Độ dài đoạn thẳng khi biết một điểm nằm giữa hai điểm

Sáng nào bạn cũng đi từ nhà đến trường. Trên đường đi, bạn ghé qua hiệu sách mua một cây bút rồi mới đến trường. Nếu nhà bạn cách trường 2 km, và từ nhà đến hiệu sách là 800 m, thì từ hiệu sách đến trường còn bao nhiêu? Bạn tính ngay: 2 km trừ 800 m còn 1,2 km. Phép tính này đơn giản đến mức bạn không cần nghĩ — nhưng đằng sau nó là một công thức hình học quan trọng của lớp 6: khi một điểm nằm giữa hai điểm khác, độ dài đoạn thẳng lớn bằng tổng độ dài hai đoạn thẳng nhỏ. Bài viết này sẽ giúp bạn hiểu rõ điểm nằm giữa là gì, công thức AM + MB = AB dùng như thế nào, và vì sao nó là chìa khóa để giải rất nhiều bài toán hình học sau này — từ tính độ dài đoạn thẳng cho đến bài toán về trung điểm.

Trong chương trình Toán 6 bộ "Kết nối tri thức với cuộc sống", điểm nằm giữa hai điểm xuất hiện khi bạn học về đoạn thẳng và độ dài đoạn thẳng. Đây là một trong những kiến thức nền tảng nhất của hình học: chỉ cần nắm chắc nó, bạn sẽ tính được độ dài bất kì đoạn thẳng nào khi biết hai đoạn còn lại, và ngược lại, bạn còn có thể dùng nó để chứng minh một điểm có nằm giữa hai điểm khác hay không. Học xong bài này, mỗi lần nhìn thấy ba điểm thẳng hàng, bạn sẽ tự động nghĩ đến công thức cộng độ dài — và đó chính là phản xạ mà một học sinh giỏi hình học cần có.

1. Điểm nằm giữa là gì? Nhìn bằng mắt thường cũng thấy

Bạn hãy vẽ một đoạn thẳng AB trên giấy, rồi chấm một điểm M ở đâu đó trên đoạn thẳng đó — không phải ở ngoài, mà ngay trên đoạn AB, giữa A và B. Điểm M đó được gọi là điểm nằm giữa hai điểm A và B. Nói một cách đơn giản: điểm nằm giữa là điểm "đứng chắn" giữa hai đầu mút của đoạn thẳng, giống như hiệu sách nằm giữa nhà bạn và trường học vậy.

Để một điểm M được gọi là nằm giữa A và B, cần có hai điều kiện. Thứ nhất, ba điểm A, M, B phải thẳng hàng — tức là chúng cùng nằm trên một đường thẳng. Thứ hai, M phải ở giữa A và B, chứ không nằm ngoài đoạn thẳng AB. Nếu M nằm ngoài đoạn thẳng AB, dù ba điểm vẫn thẳng hàng, thì M không được gọi là nằm giữa A và B. Bạn hãy tưởng tượng: hiệu sách ở trên đường từ nhà đến trường thì mới gọi là "nằm giữa", còn hiệu sách ở phía sau lưng nhà bạn thì không thể gọi là nằm giữa nhà và trường được.

Có một cách nhận biết rất trực quan: nếu bạn đặt thước kẻ dọc theo đoạn thẳng AB rồi đo, bạn sẽ thấy điểm nằm giữa chia đoạn thẳng AB thành hai đoạn nhỏ AM và MB. Hai đoạn nhỏ này "xếp nối tiếp" nhau, không chồng lên nhau, và ghép lại vừa đúng thành đoạn lớn AB. Chính hình ảnh "hai đoạn nhỏ ghép thành một đoạn lớn" này là linh hồn của công thức mà chúng ta sắp học.

2. Công thức AM + MB = AB — và chiều ngược lại cũng đúng

Công thức của bài này chỉ có một dòng: nếu điểm M nằm giữa hai điểm A và B thì AM + MB = AB. Nói bằng lời: độ dài đoạn thẳng AB bằng tổng độ dài hai đoạn thẳng AM và MB. Công thức này đúng vì hai đoạn AM và MB ghép lại vừa đúng thành đoạn AB, không thừa không thiếu một milimét nào.

Bạn hãy thử đo bằng thước: vẽ đoạn AB dài 10 cm, chấm điểm M cách A 4 cm. Đo đoạn MB, bạn sẽ thấy nó dài 6 cm. Cộng lại: 4 + 6 = 10 — đúng bằng độ dài AB. Lần nào cũng vậy, chỉ cần M nằm giữa A và B thì tổng hai đoạn nhỏ luôn bằng đoạn lớn. Đây không phải là một quy tắc do ai đó đặt ra cho vui, mà là một tính chất hiển nhiên của đường thẳng — giống như đi từ nhà đến trường mà ghé qua hiệu sách thì tổng quãng đường hai chặng bằng đúng quãng đường cả chặng vậy.

Điều hay hơn nữa là công thức này còn đúng theo chiều ngược lại: nếu ba điểm A, M, B thẳng hàng và AM + MB = AB thì điểm M nằm giữa hai điểm A và B. Chiều ngược lại này rất hữu ích trong bài tập chứng minh: khi đề bài cho ba độ dài AM, MB, AB và hỏi M có nằm giữa A và B không, bạn chỉ cần cộng AM + MB rồi so sánh với AB. Nếu bằng nhau thì M nằm giữa, nếu không bằng thì M không nằm giữa. Ví dụ: AM = 5 cm, MB = 7 cm, AB = 12 cm. Ta có 5 + 7 = 12 = AB, vậy M nằm giữa A và B. Còn nếu AB = 13 cm thì 5 + 7 = 12 khác 13, nên M không nằm giữa A và B.

Nhờ công thức này mà chỉ cần biết hai trong ba độ dài AM, MB, AB là bạn tìm được độ dài thứ ba: biết AM và MB thì cộng lại ra AB; biết AB và AM thì lấy AB trừ AM ra MB; biết AB và MB thì lấy AB trừ MB ra AM. Bạn hãy nhớ kĩ ba cách biến đổi này, vì hầu hết bài tập của bài này đều xoay quanh chúng.

3. Ba cách dùng công thức — biết hai, tìm một

Công thức AM + MB = AB có ba cách dùng, tùy theo đề bài cho bạn biết những đoạn nào và hỏi đoạn nào. Bạn hãy học thuộc cả ba cách này như học thuộc bảng cửu chương.

Cách 1: Biết hai đoạn nhỏ, tìm đoạn lớn — dùng phép cộng.
Nếu đề bài cho AM và MB, hỏi AB, bạn chỉ cần cộng hai số lại: AB = AM + MB. Ví dụ: AM = 3 cm, MB = 6 cm thì AB = 3 + 6 = 9 cm. Đây là cách dùng dễ nhất, và cũng là cách dùng gốc của công thức.

Cách 2: Biết đoạn lớn và một đoạn nhỏ, tìm đoạn nhỏ còn lại — dùng phép trừ.
Nếu đề bài cho AB và AM, hỏi MB, bạn lấy đoạn lớn trừ đoạn nhỏ đã biết: MB = AB − AM. Ví dụ: AB = 10 cm, AM = 4 cm thì MB = 10 − 4 = 6 cm. Đây chính là ví dụ gốc của bài. Tương tự, nếu cho AB và MB thì AM = AB − MB.

Cách 3: Biết ba độ dài, kiểm tra điểm có nằm giữa hay không — dùng phép so sánh.
Nếu đề bài cho cả ba độ dài AM, MB, AB và hỏi M có nằm giữa A và B không, bạn cộng AM + MB rồi so sánh với AB. Bằng nhau thì nằm giữa, khác nhau thì không nằm giữa. Cách này dùng để chứng minh, không phải để tính độ dài.

Một mẹo nhỏ: trước khi tính, bạn hãy vẽ hình ra giấy nháp và ghi các số liệu lên hình. Vẽ đoạn AB, chấm điểm M, ghi AM = 4 cm, AB = 10 cm lên hình — nhìn vào hình, bạn sẽ thấy ngay cần lấy 10 trừ 4 để được MB = 6 cm. Vẽ hình không chỉ giúp bạn làm đúng mà còn giúp bạn làm nhanh hơn, vì mắt nhìn hình thì não hiểu bài nhanh hơn là đọc chữ.

4. Bốn ví dụ tính từng bước

Ví dụ 1 (cơ bản): Cho đoạn thẳng AB dài 10 cm. Điểm M nằm giữa A và B sao cho AM = 4 cm. Tính độ dài đoạn thẳng MB.
Đây là ví dụ gốc của bài. Vì M nằm giữa A và B nên ta có AM + MB = AB.
Thay số vào: 4 + MB = 10, suy ra MB = 10 − 4 = 6 cm.
Vậy đoạn thẳng MB dài 6 cm. Bạn thấy không, chỉ cần viết công thức ra rồi thay số vào là đáp số hiện ra ngay — không cần suy nghĩ phức tạp gì cả.

Ví dụ 2 (tìm đoạn lớn): Gọi N là một điểm của đoạn thẳng IK. Biết IN = 3 cm, NK = 6 cm. Tính độ dài đoạn thẳng IK.
Đây là bài tập 46 trong sách giáo khoa. Vì N là một điểm của đoạn thẳng IK, tức là N nằm giữa I và K, nên ta có IN + NK = IK.
Thay số vào: IK = 3 + 6 = 9 cm.
Vậy đoạn thẳng IK dài 9 cm. Bài này dùng cách 1: biết hai đoạn nhỏ, cộng lại ra đoạn lớn. Bạn để ý nhé, đề bài nói "N là một điểm của đoạn thẳng IK" — đó chính là cách nói khác của "N nằm giữa I và K" mà sách giáo khoa hay dùng.

Ví dụ 3 (kiểm tra điểm nằm giữa): Cho ba điểm A, M, B thẳng hàng với AM = 5 cm, MB = 7 cm, AB = 12 cm. Hỏi điểm M có nằm giữa hai điểm A và B không? Vì sao?
Ta tính AM + MB = 5 + 7 = 12 cm. So sánh với AB = 12 cm, ta thấy AM + MB = AB.
Vì ba điểm A, M, B thẳng hàng và AM + MB = AB nên điểm M nằm giữa hai điểm A và B.
Bài này dùng cách 3: không tính độ dài mà kiểm tra vị trí của điểm. Nếu đề bài đổi AB thành 13 cm thì AM + MB = 12 khác 13, và kết luận sẽ là M không nằm giữa A và B — dù ba điểm vẫn thẳng hàng.

Ví dụ 4 (bài toán thực tế): Quãng đường từ nhà bạn An đến trường dài 2 km. Trên đường đi, bạn An ghé qua hiệu sách cách nhà 800 m. Hỏi từ hiệu sách đến trường còn bao nhiêu mét?
Đổi đơn vị trước: 2 km = 2.000 m. Gọi nhà là điểm A, hiệu sách là điểm M, trường là điểm B. Vì hiệu sách nằm trên đường từ nhà đến trường nên M nằm giữa A và B, ta có AM + MB = AB.
Thay số vào: 800 + MB = 2.000, suy ra MB = 2.000 − 800 = 1.200 m.
Vậy từ hiệu sách đến trường còn 1.200 m, tức là 1,2 km. Bài này nhắc bạn một điều quan trọng: trước khi tính, hãy đổi các số liệu về cùng một đơn vị. Nếu bạn lấy 2 − 800 thì ra số âm vô lí, vì 2 ở đây là 2 km còn 800 là 800 m — hai đơn vị khác nhau không thể trừ trực tiếp cho nhau.

5. Những lỗi sai thường gặp — và cách tránh

Lỗi 1: Áp dụng công thức khi điểm M không nằm giữa A và B.
Nhiều bạn thấy ba điểm A, M, B thẳng hàng là vội vàng viết AM + MB = AB, dù M nằm ngoài đoạn thẳng AB. Khi M nằm ngoài đoạn thẳng thì AM + MB luôn lớn hơn AB, chứ không bằng AB. Ví dụ: A và B cách nhau 10 cm, M nằm ngoài đoạn AB về phía B, cách B 3 cm thì AM = 13 cm, MB = 3 cm, AM + MB = 16 cm khác 10 cm. Cách tránh: trước khi dùng công thức, hãy kiểm tra xem M có thật sự nằm trên đoạn thẳng AB không — vẽ hình ra là thấy ngay.

Lỗi 2: Nhầm phép cộng với phép trừ.
Khi đề bài cho AB và AM mà hỏi MB, nhiều bạn lại tính MB = AB + AM. Ví dụ AB = 10 cm, AM = 4 cm mà tính MB = 10 + 4 = 14 cm thì sai, vì MB là một phần của AB nên phải nhỏ hơn AB. Cách tránh: hãy nhớ "biết đoạn lớn và một đoạn nhỏ thì trừ, biết hai đoạn nhỏ thì cộng". Hoặc đơn giản hơn: đáp số MB phải nhỏ hơn AB — nếu tính ra MB lớn hơn AB thì chắc chắn bạn đã cộng nhầm thành trừ.

Lỗi 3: Không đổi đơn vị trước khi tính.
Đề bài cho AB = 2 km, AM = 800 m mà nhiều bạn tính ngay 2 − 800 = −798 rồi lúng túng. Cách tránh: đổi tất cả về cùng một đơn vị trước khi tính — 2 km = 2.000 m, rồi mới tính 2.000 − 800 = 1.200 m. Bạn cũng có thể đổi 800 m = 0,8 km rồi tính 2 − 0,8 = 1,2 km. Cách nào cũng được, miễn là các số cùng đơn vị.

Lỗi 4: Nhầm "điểm nằm giữa" với "trung điểm".
Điểm nằm giữa chỉ cần M ở giữa A và B, còn trung điểm thì ngoài việc nằm giữa, M còn phải cách đều A và B (MA = MB). Nhiều bạn thấy M nằm giữa là kết luận ngay M là trung điểm — sai! Ví dụ AB = 10 cm, AM = 4 cm, MB = 6 cm thì M nằm giữa A và B nhưng không phải trung điểm, vì 4 khác 6. Trung điểm là trường hợp đặc biệt của điểm nằm giữa, bạn sẽ học kĩ ở bài sau.

Lỗi 5: Quên ghi đơn vị vào đáp số.
Tính ra MB = 6 mà ghi đáp số là "6" thì bài làm bị trừ điểm oan, vì 6 cm khác 6 m rất nhiều. Cách tránh: ghi đơn vị ngay khi viết đáp số — MB = 6 cm. Bạn hãy tập thói quen viết đơn vị cùng với con số trong mọi bước tính, không chỉ ở đáp số cuối cùng.

6. Bài tập tự luyện

Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ vẽ hình ra giấy nháp trước khi tính — vẽ hình là một nửa của bài làm.

Câu 1: Điểm M nằm giữa hai điểm A và B. Biết AM = 5 cm, MB = 7 cm. Độ dài đoạn thẳng AB là bao nhiêu?
A. 2 cm
B. 12 cm
C. 35 cm
D. 10 cm

Câu 2: Điểm N nằm giữa hai điểm I và K. Biết IN = 3 cm, IK = 9 cm. Độ dài đoạn thẳng NK là bao nhiêu?
A. 12 cm
B. 6 cm
C. 3 cm
D. 27 cm

Câu 3: Cho ba điểm A, M, B thẳng hàng với AM = 4 cm, MB = 6 cm, AB = 10 cm. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Điểm M nằm giữa hai điểm A và B
B. Điểm M không nằm giữa hai điểm A và B
C. Điểm A nằm giữa hai điểm M và B
D. Không kết luận được

Câu 4: Điểm E nằm giữa hai điểm F và G. Biết EF = 8 cm, FG = 20 cm. Độ dài đoạn thẳng EG là bao nhiêu?
A. 28 cm
B. 12 cm
C. 8 cm
D. 10 cm

Câu 5: Đoạn thẳng PQ dài 15 cm. Điểm R nằm giữa P và Q sao cho PR = 9 cm. Độ dài đoạn thẳng RQ là bao nhiêu?
A. 24 cm
B. 6 cm
C. 9 cm
D. 5 cm

Giải thích Câu 1 — Đáp án B (12 cm) đúng: Vì M nằm giữa A và B nên AB = AM + MB = 5 + 7 = 12 cm. Đáp án A (2 cm) sai vì lấy 7 − 5 = 2 — đó là phép trừ, chỉ dùng khi đã biết đoạn lớn. Đáp án C (35 cm) sai vì lấy 5 × 7 = 35 — đây là phép nhân, không liên quan gì đến công thức cộng độ dài. Đáp án D (10 cm) sai vì lấy trung bình cộng (5 + 7) ÷ 2 = 6 rồi cộng thêm 4, không có cơ sở nào.

Giải thích Câu 2 — Đáp án B (6 cm) đúng: Vì N nằm giữa I và K nên IN + NK = IK, suy ra NK = IK − IN = 9 − 3 = 6 cm. Đáp án A (12 cm) sai vì lấy 9 + 3 = 12 — cộng nhầm khi đã biết đoạn lớn. Đáp án C (3 cm) sai vì lấy NK bằng IN, không có lí do gì để hai đoạn này bằng nhau. Đáp án D (27 cm) sai vì lấy 9 × 3 = 27 — phép nhân không dùng trong công thức này.

Giải thích Câu 3 — Đáp án A đúng: Ta có AM + MB = 4 + 6 = 10 cm = AB, mà ba điểm A, M, B thẳng hàng, nên điểm M nằm giữa hai điểm A và B. Đáp án B sai vì tổng hai đoạn nhỏ bằng đúng đoạn lớn. Đáp án C sai vì A là đầu mút của đoạn thẳng AB, không thể nằm giữa M và B. Đáp án D sai vì đã đủ điều kiện để kết luận: ba điểm thẳng hàng và AM + MB = AB.

Giải thích Câu 4 — Đáp án B (12 cm) đúng: Vì E nằm giữa F và G nên EF + EG = FG, suy ra EG = FG − EF = 20 − 8 = 12 cm. Đáp án A (28 cm) sai vì lấy 20 + 8 = 28 — cộng nhầm khi đã biết đoạn lớn FG. Đáp án C (8 cm) sai vì lấy EG bằng EF, không có căn cứ. Đáp án D (10 cm) sai vì lấy 20 ÷ 2 = 10 — đó là cách tính trung điểm, không phải cách tính đoạn thẳng còn lại.

Giải thích Câu 5 — Đáp án B (6 cm) đúng: Vì R nằm giữa P và Q nên PR + RQ = PQ, suy ra RQ = PQ − PR = 15 − 9 = 6 cm. Đáp án A (24 cm) sai vì lấy 15 + 9 = 24 — cộng nhầm khi đã biết đoạn lớn. Đáp án C (9 cm) sai vì lấy RQ bằng PR, không có căn cứ. Đáp án D (5 cm) sai vì lấy 15 ÷ 3 = 5, không liên quan gì đến đề bài.

7. Câu hỏi thường gặp

Hỏi: Điểm nằm giữa và trung điểm khác nhau ở điểm nào?
Đáp: Điểm nằm giữa chỉ cần điểm đó ở giữa hai đầu mút của đoạn thẳng. Trung điểm thì yêu cầu cao hơn: ngoài việc nằm giữa, điểm đó còn phải cách đều hai đầu mút, tức là MA = MB. Mọi trung điểm đều là điểm nằm giữa, nhưng không phải điểm nằm giữa nào cũng là trung điểm. Bạn sẽ học kĩ về trung điểm ở bài sau.

Hỏi: Nếu ba điểm thẳng hàng nhưng AM + MB khác AB thì kết luận thế nào?
Đáp: Kết luận điểm M không nằm giữa hai điểm A và B. Ví dụ AM = 5 cm, MB = 7 cm, AB = 13 cm thì 5 + 7 = 12 khác 13, nên M không nằm giữa A và B — M nằm ngoài đoạn thẳng AB. Đây chính là cách dùng chiều ngược lại của công thức để kiểm tra vị trí của một điểm.

Hỏi: Vì sao phải vẽ hình trước khi làm bài tập về điểm nằm giữa?
Đáp: Vì hình vẽ giúp bạn thấy ngay điểm nào nằm giữa điểm nào, đoạn nào là đoạn lớn, đoạn nào là đoạn nhỏ — từ đó biết mình cần cộng hay trừ. Nhiều bạn làm sai chỉ vì đọc đề rồi tính ngay trong đầu mà không vẽ hình, dẫn đến nhầm lẫn giữa các đoạn thẳng. Vẽ hình chỉ tốn 10 giây nhưng giúp bạn làm đúng gần như chắc chắn.

Hỏi: Công thức AM + MB = AB có dùng được khi M nằm ngoài đoạn thẳng AB không?
Đáp: Không. Khi M nằm ngoài đoạn thẳng AB thì AM + MB luôn lớn hơn AB. Ví dụ AB = 10 cm, M nằm ngoài đoạn AB về phía B và cách B 3 cm thì AM = 13 cm, MB = 3 cm, tổng là 16 cm, lớn hơn AB. Công thức chỉ đúng khi M nằm trên đoạn thẳng AB.

Hỏi: Học công thức này để làm gì trong các bài hình học sau?
Đáp: Rất nhiều. Khi tính chu vi hình thang hay hình bình hành, bạn cộng độ dài các cạnh lại — đó cũng là cộng các đoạn thẳng nối tiếp nhau. Khi học về trung điểm, bạn dùng AM + MB = AB kết hợp với MA = MB để tính MA = MB = AB ÷ 2. Khi học về tia và góc, bạn cũng gặp những công thức cộng tương tự. Đây là một trong những công thức nền tảng nhất của hình học lớp 6.

8. Kết luận

Điểm nằm giữa là điểm chia đoạn thẳng thành hai đoạn nhỏ ghép vừa đúng thành đoạn lớn, và công thức của nó chỉ có một dòng: nếu M nằm giữa A và B thì AM + MB = AB — ngược lại, nếu ba điểm thẳng hàng và AM + MB = AB thì M nằm giữa A và B. Từ một công thức này, bạn có ba cách dùng: biết hai đoạn nhỏ thì cộng ra đoạn lớn, biết đoạn lớn và một đoạn nhỏ thì trừ ra đoạn còn lại, biết cả ba độ dài thì so sánh để kiểm tra vị trí của điểm. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để xử lí mọi bài toán về điểm nằm giữa trong chương trình lớp 6 — và bạn cũng đã có trong tay một nửa kiến thức để học bài tiếp theo về trung điểm, vì trung điểm chính là điểm nằm giữa đặc biệt nhất: điểm nằm giữa mà còn cách đều hai đầu mút. Khi cần đo đạc hay kiểm tra lại các phép cộng, trừ độ dài, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ. Và nếu muốn thấy công thức cộng độ dài được dùng trong các hình lớn hơn, bạn hãy xem lại bài chu vi, diện tích hình thang — ở đó, chu vi cũng chính là tổng độ dài các cạnh nối tiếp nhau quanh hình.