Bạn nhìn vào một hình hộp chữ nhật và tự hỏi: hai cạnh nằm ở hai vị trí khác nhau — một cạnh ở đáy, một cạnh ở mặt trên, chúng không song song cũng không cắt nhau — thì "khoảng cách" giữa chúng là bao nhiêu? Hai đường thẳng chéo nhau không có điểm chung, không cùng nằm trong một mặt phẳng, vậy mà người ta vẫn đo được khoảng cách giữa chúng một cách chính xác. Bí mật nằm ở đoạn vuông góc chung: có đúng một đoạn thẳng vuông góc với cả hai đường thẳng, và độ dài của nó chính là khoảng cách cần tìm.
Bài này sẽ giúp bạn làm chủ khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau một cách có hệ thống: từ định nghĩa đoạn vuông góc chung, công thức tính bằng tích hỗn tạp, cách đưa bài toán về khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, cho tới 4 ví dụ tính từng bước và 5 bài tập trắc nghiệm có đáp án chi tiết. Đây là bài học khó nhất của chương quan hệ song song trong không gian, vì vậy bạn hãy đọc chậm từng ví dụ và tự vẽ hình theo.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: độ dài đoạn vuông góc chung
Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Đoạn vuông góc chung của a và b là đoạn thẳng MN với M thuộc a, N thuộc b sao cho MN vuông góc với cả a và b. Người ta chứng minh được rằng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau là duy nhất. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b, kí hiệu d(a, b), được định nghĩa bằng độ dài của đoạn vuông góc chung đó: d(a, b) = MN. Bạn hãy để ý: trong vô số đoạn thẳng nối một điểm trên a với một điểm trên b, đoạn vuông góc chung là đoạn ngắn nhất — mọi đoạn nối khác đều dài hơn nó. Tính chất "ngắn nhất" này chính là lí do vì sao đoạn vuông góc chung được chọn làm thước đo khoảng cách.
Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng tọa độ, bạn dùng công thức tích hỗn tạp. Gọi u₁ là vectơ chỉ phương của đường thẳng a, u₂ là vectơ chỉ phương của đường thẳng b, M₁ là một điểm trên a và M₂ là một điểm trên b. Khi đó khoảng cách giữa a và b là: d(a, b) = |[u₁, u₂] · M₁M₂| / |[u₁, u₂]|, trong đó [u₁, u₂] là tích có hướng của hai vectơ chỉ phương, [u₁, u₂] · M₁M₂ là tích hỗn tạp của ba vectơ u₁, u₂ và M₁M₂. Tử số là giá trị tuyệt đối của tích hỗn tạp — chính là thể tích của hình hộp có ba cạnh là u₁, u₂ và M₁M₂ — còn mẫu số là độ dài của tích có hướng — chính là diện tích của hình bình hành có hai cạnh là u₁ và u₂. Thể tích chia cho diện tích đáy cho ra chiều cao — và chiều cao đó chính là khoảng cách giữa hai đường thẳng.
Ngoài công thức tích hỗn tạp, bạn còn có một cách tính khác rất hay dùng trong hình học thuần túy: khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b bằng khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng song song với a, chứa b. Cách làm như sau: bạn dựng mặt phẳng (P) chứa đường thẳng b và song song với đường thẳng a — mặt phẳng này luôn tồn tại và duy nhất — rồi tính khoảng cách từ một điểm bất kì trên a đến (P) bằng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng mà bạn đã học. Cách này đặc biệt hiệu quả trong hình hộp và hình lập phương, nơi mặt phẳng (P) thường là một mặt của hình hoặc một mặt phẳng đi qua ba đỉnh của hình.
Bạn cần phân biệt rõ ba trường hợp vị trí tương đối của hai đường thẳng. Nếu hai đường thẳng cắt nhau thì khoảng cách giữa chúng bằng 0 — vì giao điểm thuộc cả hai đường thẳng. Nếu hai đường thẳng song song thì khoảng cách giữa chúng bằng khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng này đến đường thẳng kia — bạn tính bằng công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong mặt phẳng chứa hai đường thẳng. Chỉ khi hai đường thẳng chéo nhau thì bạn mới cần đến đoạn vuông góc chung hoặc công thức tích hỗn tạp. Trước khi tính khoảng cách, bạn hãy luôn xác định xem hai đường thẳng rơi vào trường hợp nào — làm như vậy bạn sẽ không bao giờ áp dụng nhầm công thức. Khi cần kiểm tra lại phép tính, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.
Một lưu ý quan trọng: công thức tích hỗn tạp chỉ áp dụng được khi hai đường thẳng chéo nhau, tức là khi tích có hướng [u₁, u₂] khác vectơ không. Nếu [u₁, u₂] = 0 thì hai vectơ chỉ phương cùng phương, hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau, và mẫu số của công thức bằng 0 — công thức không còn ý nghĩa. Trong thực hành, bạn hãy kiểm tra [u₁, u₂] trước: nếu nó bằng vectơ không thì hai đường thẳng song song, bạn chuyển sang tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song; nếu nó khác vectơ không thì bạn tính tiếp tích hỗn tạp để xét xem hai đường thẳng cắt nhau hay chéo nhau. Nếu muốn ôn lại cách xét vị trí tương đối của hai đường thẳng, bạn hãy xem bài vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian.
Bốn bài toán mẫu tính từng bước
Ví dụ 1 (dùng đúng số liệu mẫu): Trong hình hộp chữ nhật cao 4, tính khoảng cách giữa hai cạnh đối diện chéo nhau AB và B′C′.
Bạn xét hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ với chiều cao AA′ = BB′ = CC′ = DD′ = 4. Cạnh AB nằm ở đáy, cạnh B′C′ nằm ở mặt trên — hai cạnh này chéo nhau. Bạn tìm đoạn vuông góc chung: cạnh BB′ nối đỉnh B của cạnh AB với đỉnh B′ của cạnh B′C′. Bạn kiểm tra: BB′ vuông góc với AB vì BB′ là cạnh đứng còn AB là cạnh đáy; BB′ vuông góc với B′C′ vì BB′ là cạnh đứng còn B′C′ là cạnh nằm ngang trên mặt trên. Vậy BB′ là đoạn vuông góc chung của AB và B′C′, và khoảng cách giữa hai cạnh bằng độ dài BB′ = 4. Bạn hãy để ý: trong hình hộp chữ nhật, đoạn vuông góc chung của hai cạnh chéo nhau thường chính là một cạnh của hình — bạn chỉ cần tìm đúng cạnh đó là bài toán xong ngay.
Ví dụ 2 (hình lập phương): Trong hình lập phương cạnh 3, tính khoảng cách giữa hai cạnh AB và A′D′.
Bạn xét hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ cạnh 3. Cạnh AB nằm ở đáy, cạnh A′D′ nằm ở mặt trên — hai cạnh này chéo nhau. Bạn tìm đoạn vuông góc chung: cạnh AA′ nối đỉnh A của cạnh AB với đỉnh A′ của cạnh A′D′. Bạn kiểm tra: AA′ vuông góc với AB vì AA′ là cạnh đứng còn AB là cạnh đáy; AA′ vuông góc với A′D′ vì AA′ là cạnh đứng còn A′D′ là cạnh nằm ngang trên mặt trên. Vậy AA′ là đoạn vuông góc chung, và khoảng cách giữa AB và A′D′ bằng độ dài AA′ = 3. Bạn hãy đối chiếu với ví dụ 1: cả hai bài đều có cùng một "kịch bản" — đoạn vuông góc chung là một cạnh đứng của hình — chỉ khác nhau ở độ dài cạnh.
Ví dụ 3 (dùng công thức tích hỗn tạp): Tính khoảng cách giữa đường thẳng a đi qua M₁(0; 0; 0) với vectơ chỉ phương u₁ = (1; 0; 0) và đường thẳng b đi qua M₂(0; 1; 1) với vectơ chỉ phương u₂ = (0; 1; 0).
Bước đầu tiên, bạn tính tích có hướng [u₁, u₂] = u₁ × u₂ = (0; 0; 1). Vì tích có hướng khác vectơ không nên hai đường thẳng không song song. Bước thứ hai, bạn tính vectơ M₁M₂ = (0; 1; 1) rồi tính tích hỗn tạp: [u₁, u₂] · M₁M₂ = 0 · 0 + 0 · 1 + 1 · 1 = 1 ≠ 0, nên hai đường thẳng chéo nhau. Bước thứ ba, bạn áp dụng công thức: d(a, b) = |1| / |(0; 0; 1)| = 1/1 = 1. Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng bằng 1. Bạn hãy để ý: hai đường thẳng này chính là trục Ox và đường thẳng song song với trục Oy đi qua điểm (0; 1; 1) — khoảng cách giữa chúng bằng 1, đúng bằng độ cao z = 1 của đường thẳng b so với trục Ox.
Ví dụ 4 (tích hỗn tạp với số liệu khác): Tính khoảng cách giữa đường thẳng a là trục Ox và đường thẳng b đi qua M₂(1; 1; 2) với vectơ chỉ phương u₂ = (0; 1; 1).
Bạn chọn vectơ chỉ phương của a là u₁ = (1; 0; 0) và điểm M₁(0; 0; 0) trên a. Bước đầu tiên, bạn tính tích có hướng: [u₁, u₂] = (1; 0; 0) × (0; 1; 1) = (0 · 1 − 0 · 1; 0 · 0 − 1 · 1; 1 · 1 − 0 · 0) = (0; −1; 1). Độ dài của tích có hướng là |[u₁, u₂]| = √(0 + 1 + 1) = √2. Bước thứ hai, bạn tính vectơ M₁M₂ = (1; 1; 2) rồi tính tích hỗn tạp: [u₁, u₂] · M₁M₂ = 0 · 1 + (−1) · 1 + 1 · 2 = 1. Bước thứ ba, bạn áp dụng công thức: d(a, b) = |1| / √2 = 1/√2 = √2/2 ≈ 0,71. Bạn kiểm tra tính hợp lí: khoảng cách 0,71 nhỏ hơn 1 — vì đường thẳng b "nghiêng" so với trục Ox nên nó lại gần trục Ox hơn so với trường hợp song song ở ví dụ 3.
Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Lấy khoảng cách giữa hai điểm bất kì trên hai đường thẳng làm đáp án.
Nhiều bạn lấy một điểm trên a và một điểm trên b rồi tính khoảng cách giữa hai điểm đó. Cách tránh: bạn hãy nhớ khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung — đoạn nối hai điểm bất kì luôn dài hơn hoặc bằng đoạn vuông góc chung, chỉ bằng nhau khi hai điểm đó là chân của đoạn vuông góc chung.
Lỗi 2: Quên trị tuyệt đối của tích hỗn tạp.
Nhiều bạn tính [u₁, u₂] · M₁M₂ ra số âm rồi kết luận khoảng cách âm. Cách tránh: bạn hãy nhớ khoảng cách luôn không âm — công thức có dấu trị tuyệt đối ở tử số chính là để đảm bảo điều này.
Lỗi 3: Nhầm tích có hướng với tích vô hướng ở mẫu số.
Nhiều bạn tính mẫu số là |u₁ · u₂| thay vì |[u₁, u₂]|. Cách tránh: bạn hãy nhớ mẫu số là độ dài của TÍCH CÓ HƯỚNG [u₁, u₂] — tích vô hướng cho ra một số, còn tích có hướng cho ra một vectơ, và bạn lấy độ dài của vectơ đó.
Lỗi 4: Áp dụng công thức khi hai đường thẳng song song hoặc cắt nhau.
Nhiều bạn tính tích hỗn tạp mà không kiểm tra [u₁, u₂] có bằng vectơ không hay không. Cách tránh: bạn hãy kiểm tra [u₁, u₂] trước — nếu bằng vectơ không thì hai đường thẳng song song, bạn chuyển sang công thức khoảng cách giữa hai đường thẳng song song; nếu tích hỗn tạp bằng 0 thì hai đường thẳng cắt nhau và khoảng cách bằng 0.
Lỗi 5: Nhầm đoạn vuông góc chung với đoạn nối hai điểm bất kì.
Nhiều bạn tìm một đoạn thẳng nối hai đường thẳng rồi cho rằng đó là đoạn vuông góc chung mà không kiểm tra tính vuông góc. Cách tránh: bạn hãy kiểm tra đoạn đó có vuông góc với CẢ HAI đường thẳng hay không — chỉ vuông góc với một đường thẳng thì chưa đủ, phải vuông góc với cả hai mới là đoạn vuông góc chung.
Năm bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ kiểm tra vị trí tương đối của hai đường thẳng trước khi tính khoảng cách.
Câu 1: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng độ dài của đoạn nào?
A. Đoạn vuông góc chung
B. Đoạn nối hai điểm bất kì trên hai đường thẳng
C. 0
D. Độ dài của đường thẳng dài hơn
Câu 2: Trong công thức d = |[u₁, u₂] · M₁M₂| / |[u₁, u₂]|, mẫu số là gì?
A. |u₁|
B. |u₂|
C. |[u₁, u₂]|
D. |M₁M₂|
Câu 3: Trong hình hộp chữ nhật cao 4, khoảng cách giữa hai cạnh chéo nhau AB và B′C′ (đoạn vuông góc chung là BB′) bằng bao nhiêu?
A. 2
B. 4
C. 8
D. 16
Câu 4: Hai đường thẳng cắt nhau thì khoảng cách giữa chúng bằng bao nhiêu?
A. 0
B. 1
C. Không xác định được
D. Vô cùng lớn
Câu 5: Cho u₁ = (1; 0; 0), u₂ = (0; 1; 0), M₁M₂ = (0; 1; 1). Khoảng cách giữa hai đường thẳng bằng bao nhiêu?
A. 0
B. 1
C. √2
D. 2
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | A | C | B | A | B |
Giải thích Câu 1 — Đáp án A đúng: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng độ dài đoạn vuông góc chung. Đáp án B sai vì đoạn nối hai điểm bất kì luôn dài hơn hoặc bằng đoạn vuông góc chung. Đáp án C sai vì 0 là khoảng cách giữa hai đường thẳng cắt nhau. Đáp án D sai vì độ dài đường thẳng không phải là khoảng cách.
Giải thích Câu 2 — Đáp án C đúng: Mẫu số là độ dài của tích có hướng [u₁, u₂]. Đáp án A và B sai vì |u₁| và |u₂| là độ dài của từng vectơ chỉ phương. Đáp án D sai vì |M₁M₂| là độ dài vectơ nối hai điểm, không xuất hiện ở mẫu số.
Giải thích Câu 3 — Đáp án B đúng: Đoạn vuông góc chung BB′ có độ dài bằng chiều cao của hình hộp, tức là 4. Đáp án A sai vì 2 là một nửa chiều cao. Đáp án C sai vì 8 gấp đôi chiều cao. Đáp án D sai vì 16 là bình phương của chiều cao.
Giải thích Câu 4 — Đáp án A đúng: Hai đường thẳng cắt nhau có giao điểm thuộc cả hai đường thẳng nên khoảng cách giữa chúng bằng 0. Đáp án B sai vì 1 không có cơ sở nào. Đáp án C sai vì khoảng cách xác định được và bằng 0. Đáp án D sai vì khoảng cách không thể vô cùng lớn.
Giải thích Câu 5 — Đáp án B đúng: [u₁, u₂] = (0; 0; 1), tích hỗn tạp = 0 · 0 + 0 · 1 + 1 · 1 = 1, |[u₁, u₂]| = 1, nên d = 1/1 = 1. Đáp án A sai vì tích hỗn tạp khác 0 nên hai đường thẳng chéo nhau, khoảng cách khác 0. Đáp án C sai vì √2 là độ dài của vectơ (0; 1; 1), không phải khoảng cách. Đáp án D sai vì 2 không thỏa mãn công thức.
Câu hỏi thường gặp về khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Hỏi: Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau có duy nhất không?
Đáp: Có, đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau là duy nhất. Trong vô số đoạn thẳng nối một điểm trên đường thẳng này với một điểm trên đường thẳng kia, chỉ có đúng một đoạn vuông góc với cả hai đường thẳng — và đó chính là đoạn ngắn nhất trong số đó.
Hỏi: Vì sao tử số của công thức lại là giá trị tuyệt đối của tích hỗn tạp?
Đáp: Vì tích hỗn tạp có thể âm hoặc dương tùy thuộc vào thứ tự của ba vectơ, nhưng khoảng cách luôn là số không âm. Giá trị tuyệt đối của tích hỗn tạp bằng thể tích của hình hộp có ba cạnh là u₁, u₂ và M₁M₂ — một đại lượng hình học luôn dương.
Hỏi: Có thể tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau mà không dùng tích hỗn tạp không?
Đáp: Có, bạn dựng mặt phẳng (P) chứa một đường thẳng và song song với đường thẳng còn lại, rồi tính khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng còn lại đến (P). Cách này không cần tích hỗn tạp mà chỉ cần công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng — rất hiệu quả trong hình hộp và hình lập phương.
Hỏi: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau có thể bằng 0 không?
Đáp: Không. Hai đường thẳng chéo nhau không có điểm chung nên khoảng cách giữa chúng luôn lớn hơn 0. Khoảng cách bằng 0 chỉ xảy ra khi hai đường thẳng cắt nhau hoặc trùng nhau.
Hỏi: Học khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau để làm gì trong các bài sau?
Đáp: Đây là bài toán khoảng cách khó nhất trong chương trình hình học không gian lớp 11, và nó xuất hiện rất thường xuyên trong đề thi tốt nghiệp. Nắm chắc bài này, bạn sẽ làm chủ toàn bộ chủ đề khoảng cách trong không gian — từ khoảng cách điểm đến mặt phẳng cho tới khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Kết luận
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau chỉ gói gọn trong hai cách: độ dài đoạn vuông góc chung, hoặc công thức d = |[u₁, u₂] · M₁M₂| / |[u₁, u₂]|. Bạn hãy nhớ ba điều: kiểm tra vị trí tương đối trước khi tính, đoạn vuông góc chung phải vuông góc với cả hai đường thẳng, và mẫu số của công thức là độ dài của tích có hướng chứ không phải tích vô hướng. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để tính khoảng cách giữa bất kì cặp đường thẳng chéo nhau nào trong không gian.