Bạn mở bảng điểm của cả lớp và thấy điểm số rải rác từ 0 đến 10, bạn muốn biết "điểm số nào xuất hiện nhiều nhất"? Bạn khảo sát chiều cao của học sinh trong trường và muốn biết "khoảng chiều cao nào có đông học sinh nhất"? Khi dữ liệu đã được gom thành từng nhóm, bạn không thể đếm từng giá trị riêng lẻ như trước nữa — bạn cần một công cụ mới để tìm "giá trị đại diện đông đúc nhất" của cả mẫu. Công cụ đó chính là mốt của mẫu số liệu ghép nhóm.
Bài này sẽ giúp bạn làm chủ công thức mốt của mẫu số liệu ghép nhóm một cách có hệ thống: từ định nghĩa mốt và nhóm mốt, công thức tính với từng thành phần được giải thích rõ ràng, cách xử lí các trường hợp đặc biệt như nhóm mốt nằm ở đầu hoặc cuối bảng, cho tới 4 ví dụ tính từng bước và 5 bài tập trắc nghiệm có đáp án chi tiết. Đây là bài học ngắn gọn nhưng rất hay xuất hiện trong đề thi, vì vậy bạn hãy học thật chắc từng bước tính.
Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm: nhóm đông nhất quyết định tất cả
Cho mẫu số liệu ghép nhóm với các nhóm có tần số lần lượt là n₁, n₂, …, nₖ. Nhóm mốt là nhóm có tần số lớn nhất — tức là nhóm "đông đúc nhất" trong bảng. Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu M₀, được tính bằng công thức: M₀ = l + (f₁ − f₀)/((f₁ − f₀) + (f₁ − f₂)) · h, trong đó l là đầu trái của nhóm mốt, h là độ dài của nhóm mốt, f₁ là tần số của nhóm mốt, f₀ là tần số của nhóm kề trước nhóm mốt, f₂ là tần số của nhóm kề sau nhóm mốt. Bạn hãy nhớ: mốt luôn nằm bên trong nhóm mốt, không bao giờ rơi ra ngoài nhóm đó.
Vì sao công thức lại có dạng này? Bạn hãy tưởng tượng biểu đồ tần số: nhóm mốt là cột cao nhất, hai cột kề bên thấp hơn. Mốt là vị trí mà tại đó "đỉnh" của dữ liệu tập trung — nó không nằm chính giữa nhóm mốt mà lệch về phía nhóm kề có tần số lớn hơn. Nếu nhóm kề trước đông hơn nhóm kề sau (f₀ lớn hơn f₂) thì mốt lệch về phía trái, gần đầu trái l hơn; nếu nhóm kề sau đông hơn thì mốt lệch về phía phải. Tỉ số (f₁ − f₀)/((f₁ − f₀) + (f₁ − f₂)) chính là "tỉ lệ lệch" này: tử số đo độ chênh lệch với nhóm trước, mẫu số là tổng hai độ chênh lệch. Khi hai nhóm kề có tần số bằng nhau thì mốt nằm chính giữa nhóm mốt.
Có hai trường hợp đặc biệt bạn cần nhớ. Thứ nhất, nếu nhóm mốt là nhóm đầu tiên trong bảng thì không có nhóm kề trước, người ta quy ước f₀ = 0. Thứ hai, nếu nhóm mốt là nhóm cuối cùng thì không có nhóm kề sau, người ta quy ước f₂ = 0. Quy ước này rất hợp lí: bạn có thể tưởng tượng phía ngoài bảng không có dữ liệu nào, tức là tần số bằng 0. Ngoài ra, công thức này chỉ áp dụng khi các nhóm có độ dài bằng nhau — đó là cách chia nhóm chuẩn trong chương trình phổ thông.
Bạn cũng cần phân biệt mốt với hai số đặc trưng khác mà bạn đã học: số trung bình cộng và trung vị. Số trung bình cộng là "điểm cân bằng" của toàn bộ dữ liệu, trung vị là "điểm giữa" chia mẫu thành hai nửa bằng nhau, còn mốt là "điểm đông đúc nhất" — nơi dữ liệu tập trung nhiều nhất. Ba số này có thể khác nhau khá xa: với cùng một mẫu số liệu, trung bình cộng có thể là 7,08, trung vị là 7,14, còn mốt là 7,22. Mỗi số kể một câu chuyện khác nhau về mẫu số liệu, và trong đề thi, người ta thường hỏi cả ba để kiểm tra xem bạn có phân biệt được chúng hay không. Nếu muốn ôn lại cách tính độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm, bạn hãy xem bài phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm.
Một lưu ý quan trọng nữa: mốt của mẫu số liệu ghép nhóm chỉ là giá trị xấp xỉ, không phải giá trị chính xác tuyệt đối. Vì dữ liệu đã bị "gom nhóm" nên thông tin chi tiết bên trong mỗi nhóm đã mất đi — công thức mốt dùng phép nội suy tuyến tính để ước lượng vị trí tập trung nhất trong nhóm mốt. Trong thực tế, nếu bạn có dữ liệu gốc chưa ghép nhóm thì mốt chính xác là giá trị xuất hiện nhiều lần nhất, nhưng khi chỉ có bảng ghép nhóm thì công thức trên là cách tốt nhất để ước lượng. Khi cần kiểm tra lại phép tính, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.
Bốn bài toán mẫu tính từng bước
Ví dụ 1 (dùng đúng số liệu mẫu): Tính mốt của mẫu số liệu ghép nhóm với các nhóm [0; 5) tần số 3, [5; 10) tần số 7, [10; 15) tần số 2.
Bước đầu tiên, bạn xác định nhóm mốt: tần số lớn nhất là 7, thuộc nhóm [5; 10), nên nhóm mốt là [5; 10). Bước thứ hai, bạn đọc các thành phần: đầu trái l = 5, độ dài nhóm h = 5, tần số nhóm mốt f₁ = 7, tần số nhóm kề trước f₀ = 3, tần số nhóm kề sau f₂ = 2. Bước thứ ba, bạn thay vào công thức: M₀ = 5 + (7 − 3)/((7 − 3) + (7 − 2)) · 5 = 5 + 4/(4 + 5) · 5 = 5 + (4/9) · 5 = 5 + 20/9 = 5 + 2,22… = 7,22…. Vậy mốt xấp xỉ bằng 7,22. Bạn hãy để ý: mốt 7,22 nằm trong nhóm mốt [5; 10) và lệch về phía phải của điểm giữa 7,5? Không — 7,22 nhỏ hơn 7,5, tức là lệch về phía trái, vì nhóm kề trước (tần số 3) đông hơn nhóm kề sau (tần số 2). Điều này hoàn toàn khớp với trực giác: phía trái của nhóm mốt "đông" hơn phía phải nên dữ liệu tập trung lệch về bên trái.
Ví dụ 2 (điểm kiểm tra): Tính mốt của mẫu điểm kiểm tra với các nhóm [0; 4) tần số 2, [4; 8) tần số 6, [8; 12) tần số 10, [12; 16) tần số 4.
Bạn xác định nhóm mốt: tần số lớn nhất là 10, thuộc nhóm [8; 12), nên nhóm mốt là [8; 12). Các thành phần: l = 8, h = 4, f₁ = 10, f₀ = 6, f₂ = 4. Thay vào công thức: M₀ = 8 + (10 − 6)/((10 − 6) + (10 − 4)) · 4 = 8 + 4/(4 + 6) · 4 = 8 + (4/10) · 4 = 8 + 1,6 = 9,6. Vậy mốt xấp xỉ bằng 9,6 điểm. Bạn kiểm tra tính hợp lí: 9,6 nằm trong nhóm mốt [8; 12) và lớn hơn điểm giữa 10? Không — 9,6 nhỏ hơn 10, lệch về phía trái, vì nhóm kề trước (tần số 6) đông hơn nhóm kề sau (tần số 4). Kết quả này có ý nghĩa thực tế: điểm số tập trung nhiều nhất quanh 9,6 — giáo viên có thể kết luận đa số học sinh đạt điểm khá giỏi trong bài kiểm tra này.
Ví dụ 3 (nhóm mốt ở đầu bảng): Tính mốt của mẫu số liệu với các nhóm [0; 10) tần số 12, [10; 20) tần số 8, [20; 30) tần số 5.
Bạn xác định nhóm mốt: tần số lớn nhất là 12, thuộc nhóm đầu tiên [0; 10). Vì đây là nhóm đầu tiên nên không có nhóm kề trước, bạn quy ước f₀ = 0. Các thành phần: l = 0, h = 10, f₁ = 12, f₀ = 0, f₂ = 8. Thay vào công thức: M₀ = 0 + (12 − 0)/((12 − 0) + (12 − 8)) · 10 = (12/16) · 10 = 7,5. Vậy mốt xấp xỉ bằng 7,5. Bạn hãy để ý: mốt 7,5 nằm trong nhóm [0; 10) và lớn hơn điểm giữa 5 — lệch về phía phải, vì phía phải có nhóm kề với tần số 8 trong khi phía trái không có dữ liệu nào. Đây chính là tác dụng của quy ước f₀ = 0: nó kéo mốt về phía có dữ liệu.
Ví dụ 4 (nhóm mốt ở cuối bảng): Tính mốt của mẫu số liệu với các nhóm [0; 10) tần số 4, [10; 20) tần số 6, [20; 30) tần số 11.
Bạn xác định nhóm mốt: tần số lớn nhất là 11, thuộc nhóm cuối cùng [20; 30). Vì đây là nhóm cuối cùng nên không có nhóm kề sau, bạn quy ước f₂ = 0. Các thành phần: l = 20, h = 10, f₁ = 11, f₀ = 6, f₂ = 0. Thay vào công thức: M₀ = 20 + (11 − 6)/((11 − 6) + (11 − 0)) · 10 = 20 + 5/(5 + 11) · 10 = 20 + (5/16) · 10 = 20 + 3,125 = 23,125 ≈ 23,13. Vậy mốt xấp xỉ bằng 23,13. Bạn kiểm tra: 23,13 nằm trong nhóm mốt [20; 30) và nhỏ hơn điểm giữa 25 — lệch về phía trái, vì nhóm kề trước có tần số 6 trong khi phía phải không có dữ liệu. Hai ví dụ 3 và 4 cho thấy quy ước f₀ = 0 và f₂ = 0 không phải là mẹo vặt mà là hệ quả tự nhiên của việc dữ liệu chỉ tồn tại trong phạm vi bảng.
Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Lấy giá trị đại diện của nhóm mốt làm mốt.
Nhiều bạn thấy nhóm mốt là [5; 10) thì kết luận mốt bằng 7,5 — chính là giá trị đại diện của nhóm. Cách tránh: bạn hãy nhớ giá trị đại diện chỉ là điểm giữa của nhóm, còn mốt được tính bằng công thức nội suy và thường lệch khỏi điểm giữa. Trong ví dụ 1, mốt đúng là 7,22 chứ không phải 7,5.
Lỗi 2: Nhầm lẫn f₀ và f₂.
Nhiều bạn lấy tần số của nhóm kề sau làm f₀ và tần số của nhóm kề trước làm f₂, khiến mốt lệch sang phía ngược lại. Cách tránh: bạn hãy nhớ f₀ là nhóm kề TRƯỚC (bên trái, nhóm có giá trị nhỏ hơn), f₂ là nhóm kề SAU (bên phải, nhóm có giá trị lớn hơn). Viết rõ thứ tự các nhóm ra giấy trước khi thay số.
Lỗi 3: Quên nhân với độ dài nhóm h.
Nhiều bạn tính xong tỉ số (f₁ − f₀)/((f₁ − f₀) + (f₁ − f₂)) rồi cộng ngay vào l mà quên nhân với h, khiến kết quả sai hẳn. Cách tránh: bạn hãy nhớ công thức đầy đủ M₀ = l + tỉ số · h — tỉ số chỉ là một số từ 0 đến 1, còn h mới đưa nó về đúng thang đo của dữ liệu.
Lỗi 4: Chọn sai nhóm mốt.
Nhiều bạn chọn nhóm có giá trị đại diện lớn nhất hoặc nhóm cuối cùng làm nhóm mốt. Cách tránh: bạn hãy nhớ nhóm mốt là nhóm có TẦN SỐ lớn nhất — chỉ nhìn vào cột tần số, không nhìn vào giá trị của nhóm.
Lỗi 5: Áp dụng công thức khi có hai nhóm cùng tần số lớn nhất.
Nhiều bạn gặp hai nhóm đều có tần số 8 (lớn nhất) thì vẫn cố tính một mốt duy nhất. Cách tránh: bạn hãy nhớ khi đó mẫu số liệu có hai mốt (hai nhóm mốt) — mỗi nhóm cho một mốt riêng, hoặc tùy theo quy ước của đề bài mà chỉ xét một nhóm. Đừng bao giờ tự ý cộng gộp hai nhóm lại với nhau.
Năm bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ xác định đúng nhóm mốt trước khi thay số vào công thức.
Câu 1: Mẫu số liệu ghép nhóm có các nhóm [0; 5) tần số 3, [5; 10) tần số 7, [10; 15) tần số 2. Nhóm mốt là nhóm nào?
A. [0; 5)
B. [5; 10)
C. [10; 15)
D. Không xác định được
Câu 2: Với mẫu số liệu ở Câu 1, mốt xấp xỉ bằng bao nhiêu?
A. 5,00
B. 6,50
C. 7,22
D. 7,50
Câu 3: Với f₀ = 3, f₁ = 7, f₂ = 2, tỉ số (f₁ − f₀)/((f₁ − f₀) + (f₁ − f₂)) bằng bao nhiêu?
A. 4/9
B. 5/9
C. 4/5
D. 7/9
Câu 4: Mẫu số liệu có các nhóm [10; 20) tần số 4, [20; 30) tần số 9, [30; 40) tần số 5. Nhóm mốt là nhóm nào?
A. [10; 20)
B. [20; 30)
C. [30; 40)
D. [10; 40)
Câu 5: Với mẫu số liệu ở Câu 4, mốt xấp xỉ bằng bao nhiêu?
A. 25,56
B. 24,44
C. 26,67
D. 25,00
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | B | C | A | B | A |
Giải thích Câu 1 — Đáp án B đúng: Tần số lớn nhất là 7, thuộc nhóm [5; 10), nên nhóm mốt là [5; 10). Đáp án A sai vì nhóm [0; 5) chỉ có tần số 3. Đáp án C sai vì nhóm [10; 15) chỉ có tần số 2. Đáp án D sai vì nhóm mốt xác định được rõ ràng.
Giải thích Câu 2 — Đáp án C đúng: M₀ = 5 + (7 − 3)/((7 − 3) + (7 − 2)) · 5 = 5 + (4/9) · 5 = 5 + 20/9 ≈ 7,22. Đáp án A sai vì 5 là đầu trái của nhóm mốt, không phải mốt. Đáp án B sai vì không có cơ sở nào cho ra 6,50. Đáp án D sai vì 7,5 là giá trị đại diện của nhóm mốt, không phải mốt.
Giải thích Câu 3 — Đáp án A đúng: f₁ − f₀ = 7 − 3 = 4; f₁ − f₂ = 7 − 2 = 5; tỉ số = 4/(4 + 5) = 4/9. Đáp án B sai vì 5/9 là tỉ số (f₁ − f₂)/((f₁ − f₀) + (f₁ − f₂)). Đáp án C sai vì 4/5 là tỉ số (f₁ − f₀)/(f₁ − f₂). Đáp án D sai vì không có cơ sở nào cho ra 7/9.
Giải thích Câu 4 — Đáp án B đúng: Tần số lớn nhất là 9, thuộc nhóm [20; 30), nên nhóm mốt là [20; 30). Đáp án A sai vì nhóm [10; 20) chỉ có tần số 4. Đáp án C sai vì nhóm [30; 40) chỉ có tần số 5. Đáp án D sai vì [10; 40) không phải là một nhóm trong bảng.
Giải thích Câu 5 — Đáp án A đúng: M₀ = 20 + (9 − 4)/((9 − 4) + (9 − 5)) · 10 = 20 + (5/9) · 10 = 20 + 50/9 ≈ 25,56. Đáp án B sai vì 24,44 là kết quả khi tính 20 + (4/9) · 10. Đáp án C sai vì 26,67 là kết quả khi tính 20 + (6/9) · 10. Đáp án D sai vì 25 là điểm giữa của nhóm mốt, không phải mốt.
Câu hỏi thường gặp về mốt của mẫu số liệu ghép nhóm
Hỏi: Mốt khác gì so với trung vị và số trung bình cộng?
Đáp: Số trung bình cộng là "điểm cân bằng" của dữ liệu, trung vị là "điểm giữa" chia mẫu thành hai nửa bằng nhau, còn mốt là "điểm đông đúc nhất" — nơi dữ liệu tập trung nhiều nhất. Ba số này đo ba khía cạnh khác nhau và thường không bằng nhau.
Hỏi: Một mẫu số liệu có thể có mấy mốt?
Đáp: Có thể có một mốt, nhiều mốt hoặc không có mốt. Nếu hai nhóm không kề nhau cùng có tần số lớn nhất thì mẫu có hai mốt. Nếu mọi giá trị xuất hiện với tần số như nhau thì mẫu không có mốt.
Hỏi: Mốt có nhất thiết phải là một giá trị có trong mẫu không?
Đáp: Với dữ liệu chưa ghép nhóm, mốt là giá trị xuất hiện nhiều nhất nên có trong mẫu. Với dữ liệu ghép nhóm, mốt tính bằng công thức là giá trị ước lượng, có thể không trùng với bất kì giá trị nào trong mẫu.
Hỏi: Vì sao công thức mốt lại có dạng nội suy tuyến tính?
Đáp: Vì người ta giả thiết tần số phân bố đều bên trong mỗi nhóm và đường gấp khúc nối các đỉnh của biểu đồ tần số là đường thẳng. Giao điểm của hai đoạn thẳng nối đỉnh cột mốt với hai cột kề cho ra vị trí mốt — và phép tính giao điểm đó chính là công thức nội suy trong bài.
Hỏi: Khi nào không dùng được công thức mốt?
Đáp: Khi các nhóm có độ dài khác nhau, khi mẫu không có nhóm nào nổi trội hẳn về tần số, hoặc khi dữ liệu là định tính (ví dụ màu sắc yêu thích) thì công thức này không áp dụng được — với dữ liệu định tính, mốt đơn giản là giá trị xuất hiện nhiều nhất.
Kết luận
Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm chỉ gói gọn trong ba bước: tìm nhóm có tần số lớn nhất, đọc đúng l, h, f₀, f₁, f₂, rồi thay vào công thức M₀ = l + (f₁ − f₀)/((f₁ − f₀) + (f₁ − f₂)) · h. Bạn hãy nhớ ba điều: mốt luôn nằm trong nhóm mốt, nhóm mốt ở đầu bảng thì f₀ = 0, nhóm mốt ở cuối bảng thì f₂ = 0, và đừng bao giờ lấy giá trị đại diện của nhóm làm mốt. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để tìm mốt của bất kì mẫu số liệu ghép nhóm nào trong đề thi.