Bạn nhìn vào một hình lập phương và tự hỏi: hai đường chéo của hai mặt kề nhau — một đường nằm trên mặt đáy, một đường nằm trên mặt bên — tạo với nhau góc bao nhiêu độ? Hai đường thẳng đó không cắt nhau trong mặt phẳng nào cả, chúng chéo nhau trong không gian, vậy mà người ta vẫn nói về "góc giữa chúng". Bí mật nằm ở một định nghĩa rất thông minh: bạn dời hai đường thẳng về cùng một điểm mà không đổi hướng của chúng, rồi đo góc tại điểm đó. Đó chính là góc giữa hai đường thẳng trong không gian.
Bài này sẽ giúp bạn làm chủ góc giữa hai đường thẳng trong không gian một cách có hệ thống: từ định nghĩa góc giữa hai đường thẳng, công thức tính bằng vectơ chỉ phương, các trường hợp đặc biệt như hai đường thẳng vuông góc, cho tới 4 ví dụ tính từng bước và 5 bài tập trắc nghiệm có đáp án chi tiết. Đây là bài học kết nối hình học với đại số vectơ, vì vậy bạn hãy nắm chắc công thức cosin trước khi bắt đầu.
Góc giữa hai đường thẳng trong không gian: dời về một điểm, đo như góc thường
Cho hai đường thẳng a và b trong không gian. Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a′ và b′ cùng đi qua một điểm O và lần lượt song song với a và b. Góc này luôn nằm trong khoảng từ 0° đến 90°, tức là 0° ≤ (a, b) ≤ 90°. Bạn hãy để ý: định nghĩa này không phụ thuộc vào việc bạn chọn điểm O ở đâu — dù bạn dời hai đường thẳng về điểm nào thì góc đo được vẫn như nhau, vì phép tịnh tiến giữ nguyên hướng của đường thẳng.
Để tính góc giữa hai đường thẳng, bạn dùng vectơ chỉ phương. Gọi u là vectơ chỉ phương của đường thẳng a và v là vectơ chỉ phương của đường thẳng b. Khi đó cos của góc φ giữa hai đường thẳng được tính bằng công thức: cos φ = |u · v| / (|u| · |v|), trong đó u · v là tích vô hướng của hai vectơ, |u| và |v| là độ dài của chúng. Dấu trị tuyệt đối ở tử số là điểm mấu chốt: góc giữa hai vectơ có thể là góc tù (lớn hơn 90°), nhưng góc giữa hai đường thẳng thì luôn là góc nhọn hoặc góc vuông — vì vậy bạn phải lấy trị tuyệt đối để đảm bảo cos φ không âm và φ nằm trong khoảng từ 0° đến 90°.
Có ba trường hợp đặc biệt bạn cần nhớ. Thứ nhất, hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng 0° — vì hai vectơ chỉ phương cùng phương nên |u · v| = |u| · |v|, cos φ = 1. Thứ hai, hai đường thẳng vuông góc với nhau thì góc giữa chúng bằng 90° — vì hai vectơ chỉ phương vuông góc nên u · v = 0, cos φ = 0. Thứ ba, hai đường thẳng chéo nhau vẫn có góc xác định — góc giữa chúng là góc giữa hai đường thẳng song song với chúng cùng đi qua một điểm, hoàn toàn không phụ thuộc vào việc hai đường thẳng có cắt nhau hay không. Nhiều bạn lầm tưởng hai đường thẳng chéo nhau thì "không có góc" — đó là sai lầm phổ biến nhất của bài này.
Bạn cũng cần phân biệt góc giữa hai đường thẳng với góc giữa hai vectơ. Góc giữa hai vectơ nằm trong khoảng từ 0° đến 180°, còn góc giữa hai đường thẳng chỉ nằm trong khoảng từ 0° đến 90°. Nếu góc giữa hai vectơ chỉ phương là góc tù, ví dụ 120°, thì góc giữa hai đường thẳng là 180° − 120° = 60°. Công thức với dấu trị tuyệt đối tự động thực hiện việc này cho bạn: |cos 120°| = 1/2 = cos 60°. Khi cần kiểm tra lại phép tính, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.
Một ứng dụng quan trọng của góc giữa hai đường thẳng là chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau trong không gian. Thay vì phải chứng minh hình học phức tạp, bạn chỉ cần chọn hai vectơ chỉ phương, tính tích vô hướng của chúng và kiểm tra xem nó có bằng 0 hay không. Phương pháp vectơ này đặc biệt hiệu quả trong hình lập phương và hình hộp chữ nhật, nơi các vectơ chỉ phương thường là các vectơ cạnh hoặc đường chéo có tọa độ đẹp. Nếu muốn ôn lại góc giữa hai đường thẳng trong mặt phẳng, bạn hãy xem bài góc giữa hai vectơ, hai đường thẳng.
Bốn bài toán mẫu tính từng bước
Ví dụ 1 (dùng đúng số liệu mẫu): Trong hình lập phương, tính góc giữa hai đường chéo của hai mặt kề nhau chung một đỉnh.
Bạn xét hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ với cạnh bằng a. Hai đường chéo cần xét là AC (đường chéo của mặt đáy ABCD) và AB′ (đường chéo của mặt bên ABB′A′), cả hai cùng xuất phát từ đỉnh A. Bạn chọn vectơ chỉ phương: vectơ AC = (a; a; 0) nếu bạn đặt hệ tọa độ với A tại gốc, AB theo trục x và AD theo trục y; vectơ AB′ = (a; 0; a). Bạn tính tích vô hướng: AC · AB′ = a · a + a · 0 + 0 · a = a². Bạn tính độ dài: |AC| = √(a² + a²) = a√2, |AB′| = √(a² + a²) = a√2. Bạn áp dụng công thức: cos φ = |AC · AB′| / (|AC| · |AB′|) = a² / (a√2 · a√2) = a² / (2a²) = 1/2. Vậy φ = 60°. Bạn hãy để ý: kết quả 60° không phụ thuộc vào độ dài cạnh a — dù hình lập phương lớn hay nhỏ thì góc giữa hai đường chéo này vẫn bằng 60°.
Ví dụ 2 (hai đường thẳng vuông góc): Trong tứ diện đều ABCD cạnh a, tính góc giữa hai cạnh đối AB và CD.
Bạn đặt hệ tọa độ hoặc dùng vectơ thuần túy. Bạn viết vectơ CD theo các vectơ AB, AC, AD: vì D là đỉnh của tứ diện đều nên vectơ CD = AD − AC. Bạn tính tích vô hướng AB · CD = AB · (AD − AC) = AB · AD − AB · AC. Trong tứ diện đều, góc giữa hai cạnh kề nhau bằng 60° nên AB · AD = a · a · cos 60° = a²/2, và AB · AC = a²/2. Vậy AB · CD = a²/2 − a²/2 = 0. Tích vô hướng bằng 0 nên hai đường thẳng AB và CD vuông góc với nhau, góc giữa chúng bằng 90°. Đây là một tính chất đẹp của tứ diện đều: hai cạnh đối bất kì của tứ diện đều cũng vuông góc với nhau.
Ví dụ 3 (đường chéo không gian): Trong hình lập phương cạnh a, tính góc giữa đường chéo không gian AC′ và cạnh AB.
Bạn chọn vectơ chỉ phương: vectơ AB = (a; 0; 0), vectơ AC′ = (a; a; a) — đường chéo không gian đi từ đỉnh A đến đỉnh đối diện C′. Bạn tính tích vô hướng: AB · AC′ = a · a + 0 · a + 0 · a = a². Bạn tính độ dài: |AB| = a, |AC′| = √(a² + a² + a²) = a√3. Bạn áp dụng công thức: cos φ = a² / (a · a√3) = 1/√3. Vậy φ = arccos(1/√3) ≈ 54,74°. Bạn hãy để ý: góc này lớn hơn 45° nhưng nhỏ hơn 60° — đường chéo không gian "chếch" lên khỏi mặt đáy một góc đáng kể, và con số 54,74° chính là đáp án chính xác của bài toán này.
Ví dụ 4 (dùng tọa độ): Tính góc giữa đường thẳng a đi qua điểm (0; 0; 0) với vectơ chỉ phương u = (1; 2; 0) và đường thẳng b đi qua điểm (0; 0; 1) với vectơ chỉ phương v = (2; 1; 0).
Bạn tính tích vô hướng: u · v = 1 · 2 + 2 · 1 + 0 · 0 = 4. Bạn tính độ dài: |u| = √(1 + 4) = √5, |v| = √(4 + 1) = √5. Bạn áp dụng công thức: cos φ = |4| / (√5 · √5) = 4/5 = 0,8. Vậy φ = arccos(0,8) ≈ 36,87°. Bạn hãy để ý: hai đường thẳng này chéo nhau (a nằm trong mặt phẳng z = 0, b nằm trong mặt phẳng z = 1) nhưng góc giữa chúng vẫn tính được bình thường bằng công thức vectơ — vị trí tương đối của hai đường thẳng không ảnh hưởng gì đến cách tính góc.
Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Lấy góc tù làm đáp án.
Nhiều bạn tính cos φ = −1/2 rồi kết luận góc bằng 120°. Cách tránh: bạn hãy nhớ góc giữa hai đường thẳng luôn nằm trong khoảng từ 0° đến 90° — công thức có dấu trị tuyệt đối |u · v| chính là để đảm bảo điều này. Với cos φ = −1/2, góc đúng là 60°.
Lỗi 2: Nhầm góc giữa hai đường thẳng với góc giữa hai vectơ chỉ phương.
Nhiều bạn tính góc giữa hai vectơ chỉ phương rồi trả lời luôn mà không lấy trị tuyệt đối. Cách tránh: bạn hãy nhớ góc giữa hai vectơ nằm trong khoảng từ 0° đến 180°, còn góc giữa hai đường thẳng chỉ từ 0° đến 90° — nếu góc vectơ là góc tù thì góc đường thẳng bằng 180° trừ đi góc đó.
Lỗi 3: Quên chia cho tích độ dài của hai vectơ.
Nhiều bạn tính cos φ = u · v mà quên chia cho |u| · |v|, khiến kết quả sai hẳn. Cách tránh: bạn hãy nhớ công thức đầy đủ cos φ = |u · v| / (|u| · |v|) — tử số là tích vô hướng, mẫu số là tích hai độ dài.
Lỗi 4: Cho rằng hai đường thẳng chéo nhau thì không có góc.
Nhiều bạn gặp hai đường thẳng chéo nhau thì kết luận "không xác định được góc". Cách tránh: bạn hãy nhớ định nghĩa góc giữa hai đường thẳng dùng hai đường thẳng song song với chúng cùng đi qua một điểm — hai đường thẳng chéo nhau vẫn có góc xác định như thường.
Lỗi 5: Dùng sai vectơ chỉ phương.
Nhiều bạn lấy vectơ nối hai điểm bất kì trên hai đường thẳng làm vectơ chỉ phương, ví dụ lấy vectơ nối một điểm trên đường thẳng a với một điểm trên đường thẳng b. Cách tránh: bạn hãy nhớ vectơ chỉ phương phải nằm dọc theo đường thẳng — nó phải là vectơ nối hai điểm cùng thuộc một đường thẳng, hoặc vectơ đã cho trong đề bài.
Năm bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ lấy trị tuyệt đối của tích vô hướng trước khi tính góc.
Câu 1: Góc giữa hai đường thẳng trong không gian nằm trong khoảng nào?
A. [0°; 90°]
B. [0°; 180°]
C. (0°; 90°)
D. [0°; 360°)
Câu 2: Hai đường thẳng có vectơ chỉ phương u, v thỏa mãn |u · v| / (|u| · |v|) = 1/2. Góc giữa hai đường thẳng bằng bao nhiêu?
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
Câu 3: Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì góc giữa chúng bằng bao nhiêu?
A. 0°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
Câu 4: Trong hình lập phương, góc giữa hai đường chéo của hai mặt kề nhau chung một đỉnh bằng bao nhiêu?
A. 45°
B. 60°
C. 90°
D. 30°
Câu 5: Hai đường thẳng có vectơ chỉ phương u = (1; 0; 0) và v = (0; 1; 1). Góc giữa hai đường thẳng bằng bao nhiêu?
A. 45°
B. 60°
C. 90°
D. 30°
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | A | C | D | B | C |
Giải thích Câu 1 — Đáp án A đúng: Góc giữa hai đường thẳng trong không gian nằm trong khoảng [0°; 90°], bao gồm cả hai đầu mút: 0° khi hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau, 90° khi hai đường thẳng vuông góc. Đáp án B sai vì [0°; 180°] là khoảng của góc giữa hai vectơ. Đáp án C sai vì khoảng này loại mất hai trường hợp đặc biệt 0° và 90°. Đáp án D sai vì góc giữa hai đường thẳng không bao giờ vượt quá 90°.
Giải thích Câu 2 — Đáp án C đúng: cos φ = 1/2 nên φ = 60°. Đáp án A sai vì cos 30° = √3/2. Đáp án B sai vì cos 45° = √2/2. Đáp án D sai vì cos 90° = 0.
Giải thích Câu 3 — Đáp án D đúng: Hai đường thẳng vuông góc thì góc giữa chúng bằng 90°. Đáp án A sai vì 0° là góc giữa hai đường thẳng song song. Đáp án B và C sai vì không phải là góc vuông.
Giải thích Câu 4 — Đáp án B đúng: Theo ví dụ 1, cos φ = 1/2 nên φ = 60°. Đáp án A sai vì 45° là góc giữa đường chéo mặt và cạnh của hình vuông. Đáp án C sai vì hai đường chéo này không vuông góc. Đáp án D sai vì 30° không thỏa mãn cos φ = 1/2.
Giải thích Câu 5 — Đáp án C đúng: u · v = 1 · 0 + 0 · 1 + 0 · 1 = 0 nên hai vectơ chỉ phương vuông góc, góc giữa hai đường thẳng bằng 90°. Đáp án A sai vì cos 45° = √2/2. Đáp án B sai vì cos 60° = 1/2. Đáp án D sai vì cos 30° = √3/2.
Câu hỏi thường gặp về góc giữa hai đường thẳng trong không gian
Hỏi: Góc giữa hai đường thẳng chéo nhau có tính được không?
Đáp: Có, hoàn toàn tính được. Bạn dời hai đường thẳng về cùng một điểm mà không đổi hướng của chúng, rồi đo góc tại điểm đó. Công thức cos φ = |u · v| / (|u| · |v|) áp dụng cho mọi cặp đường thẳng, dù chúng cắt nhau, song song hay chéo nhau.
Hỏi: Vì sao công thức tính góc lại có dấu trị tuyệt đối?
Đáp: Vì góc giữa hai đường thẳng luôn là góc nhọn hoặc góc vuông (từ 0° đến 90°), còn tích vô hướng u · v có thể âm khi góc giữa hai vectơ chỉ phương là góc tù. Dấu trị tuyệt đối đảm bảo cos φ không âm, tương ứng với việc lấy góc bù 180° − φ khi cần.
Hỏi: Hai đường thẳng vuông góc thì có nhất thiết phải cắt nhau không?
Đáp: Không. Hai đường thẳng vuông góc là hai đường thẳng có vectơ chỉ phương vuông góc với nhau — chúng có thể cắt nhau, cũng có thể chéo nhau. Ví dụ trong hình lập phương, cạnh AB và cạnh CC′ vuông góc với nhau nhưng chéo nhau.
Hỏi: Có thể tính góc giữa hai đường thẳng bằng máy tính cầm tay không?
Đáp: Có. Bạn tính cos φ bằng công thức vectơ rồi dùng phím cos⁻¹ (arccos) trên máy tính để tìm góc. Bạn nhớ đặt máy ở chế độ độ (Degree) nếu muốn đáp án ra độ, và kiểm tra xem cos φ có nằm trong khoảng từ 0 đến 1 hay không trước khi bấm.
Hỏi: Học góc giữa hai đường thẳng để làm gì trong các bài sau?
Đáp: Góc giữa hai đường thẳng là bước đầu tiên trước khi học góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng, và các bài toán cực trị hình học không gian. Bạn sẽ dùng lại công thức cosin với vectơ chỉ phương trong cả những bài đó.
Kết luận
Góc giữa hai đường thẳng trong không gian chỉ gói gọn trong một công thức: cos φ = |u · v| / (|u| · |v|), với φ nằm trong khoảng từ 0° đến 90°. Bạn hãy nhớ ba điều: dời hai đường thẳng về cùng một điểm mà không đổi hướng, lấy trị tuyệt đối của tích vô hướng để góc luôn là góc nhọn hoặc góc vuông, và hai đường thẳng chéo nhau vẫn có góc xác định. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để tính góc giữa bất kì cặp đường thẳng nào trong không gian.