Bạn hãy nhìn hai con đường cắt nhau trên bản đồ: chúng tạo ra bốn góc, hai góc nhọn đối đỉnh với nhau và hai góc tù đối đỉnh với nhau. Khi người ta hỏi "góc giữa hai đường thẳng bằng bao nhiêu", họ luôn muốn nghe đáp án là góc nhọn — góc nhỏ hơn hoặc bằng 90 độ — chứ không phải góc tù. Quy ước này có vẻ tùy tiện nhưng lại rất hợp lí: góc giữa hai đường thẳng đo độ "lệch" giữa hai hướng đi, và độ lệch nhỏ nhất luôn là góc nhọn. Bài này sẽ dạy bạn cách tính góc đó bằng một công thức cos có dấu giá trị tuyệt đối — chính dấu giá trị tuyệt đối này là thứ "ép" kết quả luôn rơi vào khoảng từ 0 độ đến 90 độ.
Trước khi học góc giữa hai đường thẳng, bạn cần nhớ lại góc giữa hai vectơ: với hai vectơ a và b, cos của góc giữa chúng bằng tích vô hướng chia cho tích hai độ dài, và góc này nằm trong khoảng từ 0 độ đến 180 độ. Góc giữa hai đường thẳng thì khác ở hai điểm: thứ nhất, mỗi đường thẳng có hai hướng ngược nhau nên góc giữa chúng chỉ lấy giá trị từ 0 độ đến 90 độ; thứ hai, công thức tính dùng vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng và có thêm dấu giá trị tuyệt đối ở tử số. Dấu giá trị tuyệt đối chính là thứ biến góc tù thành góc nhọn: nếu hai vectơ pháp tuyến tạo với nhau một góc tù thì góc giữa hai đường thẳng sẽ là góc bù của nó, tức là góc nhọn. Bạn hãy ghi nhớ sự khác biệt này, vì nhiều bạn hay nhầm lẫn giữa hai loại góc.
Góc giữa hai đường thẳng luôn lấy góc nhọn
Cho hai đường thẳng d1 và d2 có vectơ pháp tuyến lần lượt là n1 = (a1; b1) và n2 = (a2; b2), góc φ giữa hai đường thẳng được tính bằng công thức cos φ = |a1 × a2 + b1 × b2| / (√(a1² + b1²) × √(a2² + b2²)), với 0 độ ≤ φ ≤ 90 độ. Bạn hãy nhìn kĩ công thức này: tử số là giá trị tuyệt đối của tích vô hướng hai vectơ pháp tuyến, mẫu số là tích độ dài của hai vectơ pháp tuyến. Nhờ dấu giá trị tuyệt đối ở tử số mà cos φ luôn không âm, nên φ luôn nằm trong khoảng từ 0 độ đến 90 độ — đúng với quy ước góc giữa hai đường thẳng luôn là góc nhọn hoặc góc vuông.
Bạn hãy hiểu vì sao công thức này đúng. Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa hai vectơ pháp tuyến của chúng, hoặc bằng góc bù của góc đó — vì mỗi đường thẳng có hai hướng ngược nhau nên có hai cách chọn vectơ pháp tuyến, cho ra hai góc bù nhau. Trong hai góc bù nhau đó, một góc nhọn và một góc tù (trừ trường hợp góc vuông), và người ta quy ước lấy góc nhọn làm góc giữa hai đường thẳng. Dấu giá trị tuyệt đối trong công thức chính là cách chọn góc nhọn một cách tự động: nếu tích vô hướng âm thì lấy giá trị tuyệt đối sẽ đổi dấu nó thành dương, tương đương với việc lấy góc bù. Bạn không cần nhớ phần chứng minh này, chỉ cần nhớ công thức và nhớ rằng kết quả luôn là góc nhọn.
Có hai trường hợp đặc biệt mà bạn nên nhận ra ngay không cần tính toán. Trường hợp thứ nhất: nếu tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến bằng 0, tức là a1 × a2 + b1 × b2 = 0, thì cos φ = 0 nên φ = 90 độ — hai đường thẳng vuông góc với nhau. Trường hợp thứ hai: nếu hai vectơ pháp tuyến cùng phương với nhau, tức là hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau, thì cos φ = 1 nên φ = 0 độ — hai đường thẳng không tạo thành góc gì cả. Hai trường hợp này giúp bạn kiểm tra nhanh đáp án: nếu bạn tính ra góc 90 độ thì hãy kiểm tra lại xem hai đường thẳng có vuông góc không, còn nếu tính ra góc 0 độ thì hãy kiểm tra xem chúng có song song không.
Một điểm bạn cần lưu ý là công thức góc giữa hai đường thẳng dùng vectơ pháp tuyến, nhưng bạn cũng có thể dùng vectơ chỉ phương để tính — kết quả sẽ giống hệt nhau, vì góc giữa hai vectơ chỉ phương cũng bằng góc giữa hai đường thẳng hoặc góc bù của nó, và dấu giá trị tuyệt đối sẽ xử lí phần còn lại. Trong thực hành, bạn hãy chọn loại vectơ nào dễ lấy hơn: nếu đề bài cho phương trình tổng quát ax + by + c = 0 thì vectơ pháp tuyến (a; b) đọc được ngay; nếu đề bài cho phương trình tham số thì vectơ chỉ phương đọc được ngay. Đừng cố đổi từ loại này sang loại kia khi không cần thiết. Nếu muốn ôn lại tích vô hướng qua tọa độ, bạn hãy xem bài tích vô hướng của hai vectơ thông qua tọa độ.
Bốn bài toán mẫu tính từng bước
Ví dụ 1 (dùng đúng số liệu mẫu): Cho hai đường thẳng d1: y = x và d2: y = −x. Tính góc giữa hai đường thẳng.
Bạn viết hai đường thẳng về dạng tổng quát: d1: x − y = 0 có vectơ pháp tuyến n1 = (1; −1), d2: x + y = 0 có vectơ pháp tuyến n2 = (1; 1). Bạn tính tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến: n1 · n2 = 1 × 1 + (−1) × 1 = 1 − 1 = 0. Vì tích vô hướng bằng 0 nên cos φ = 0 / (√2 × √2) = 0, suy ra φ = 90 độ. Vậy góc giữa hai đường thẳng bằng 90 độ — hai đường thẳng vuông góc với nhau. Bạn hãy hình dung: d1 là đường phân giác của góc phần tư thứ nhất, d2 là đường phân giác của góc phần tư thứ hai, hai đường phân giác này vuông góc với nhau tại gốc tọa độ.
Ví dụ 2 (góc giữa hai vectơ): Cho hai vectơ a = (1; 0) và b = (1; 1). Tính góc giữa hai vectơ.
Bạn dùng công thức cos của góc giữa hai vectơ: cos = (a · b) / (|a| × |b|). Tích vô hướng a · b = 1 × 1 + 0 × 1 = 1. Độ dài |a| = 1, độ dài |b| = √(1 + 1) = √2. Vậy cos = 1 / (1 × √2) = 1 / √2, suy ra góc bằng 45 độ. Bạn hãy lưu ý: góc giữa hai vectơ không có dấu giá trị tuyệt đối ở tử số, nên nó có thể là góc tù nếu tích vô hướng âm; còn góc giữa hai đường thẳng thì luôn có dấu giá trị tuyệt đối nên luôn là góc nhọn. Khi cần kiểm tra lại phép tính, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.
Ví dụ 3 (hai trục tọa độ): Cho hai đường thẳng d1: x = 0 và d2: y = 0. Tính góc giữa hai đường thẳng.
Bạn đọc vectơ pháp tuyến: d1: x = 0 có n1 = (1; 0), d2: y = 0 có n2 = (0; 1). Tích vô hướng n1 · n2 = 1 × 0 + 0 × 1 = 0, nên cos φ = 0, suy ra φ = 90 độ. Vậy góc giữa hai trục tọa độ bằng 90 độ — điều này hoàn toàn đúng với định nghĩa hệ trục tọa độ Oxy, trong đó hai trục vuông góc với nhau. Đây là ví dụ đơn giản nhất nhưng cũng là ví dụ quan trọng nhất, vì nó cho thấy công thức góc giữa hai đường thẳng tương thích với những điều bạn đã biết từ trước.
Ví dụ 4 (góc 60 độ): Cho hai đường thẳng d1: y = 0 và d2: y = √3 × x. Tính góc giữa hai đường thẳng.
Bạn viết d1 về dạng tổng quát: y = 0 có vectơ pháp tuyến n1 = (0; 1). Đường thẳng d2: y = √3 × x viết lại thành √3 × x − y = 0, có vectơ pháp tuyến n2 = (√3; −1). Bạn tính tích vô hướng: n1 · n2 = 0 × √3 + 1 × (−1) = −1, giá trị tuyệt đối bằng 1. Độ dài |n1| = 1, độ dài |n2| = √(3 + 1) = 2. Vậy cos φ = 1 / (1 × 2) = 1 / 2, suy ra φ = 60 độ. Bạn hãy kiểm tra lại bằng hình dung: đường thẳng d2 có hệ số góc √3 nên tạo với trục Ox một góc 60 độ, còn d1 chính là trục Ox, nên góc giữa hai đường thẳng bằng 60 độ — khớp hoàn toàn.
Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Quên dấu giá trị tuyệt đối ở tử số.
Nhiều bạn tính cos φ bằng tích vô hướng chia cho tích hai độ dài mà không lấy giá trị tuyệt đối, nên khi tích vô hướng âm thì cos φ âm và góc tính ra là góc tù, lớn hơn 90 độ. Cách tránh: bạn hãy luôn viết dấu giá trị tuyệt đối quanh tử số khi tính góc giữa hai đường thẳng — đó là điểm khác biệt quan trọng nhất giữa công thức này với công thức góc giữa hai vectơ.
Lỗi 2: Nhầm lẫn góc giữa hai vectơ với góc giữa hai đường thẳng.
Nhiều bạn tính góc giữa hai vectơ pháp tuyến rồi trả lời luôn mà không xét xem góc đó là nhọn hay tù. Cách tránh: bạn hãy nhớ góc giữa hai đường thẳng luôn nằm trong khoảng từ 0 độ đến 90 độ — nếu bạn tính ra góc lớn hơn 90 độ thì chắc chắn bạn đã quên dấu giá trị tuyệt đối hoặc đang tính góc giữa hai vectơ.
Lỗi 3: Đọc sai vectơ pháp tuyến từ phương trình đường thẳng.
Nhiều bạn đọc đường thẳng y = x có vectơ pháp tuyến là (1; 1) thay vì (1; −1), vì quên chuyển vế. Cách tránh: bạn hãy viết phương trình về dạng tổng quát ax + by + c = 0 trước khi đọc hệ số — đường thẳng y = x viết lại thành x − y = 0 nên vectơ pháp tuyến là (1; −1).
Lỗi 4: Tính sai độ dài của vectơ pháp tuyến.
Nhiều bạn tính độ dài của vectơ (√3; −1) thành √2 thay vì 2, vì tính (√3)² thành 2 thay vì 3. Cách tránh: bạn hãy nhớ (√3)² = 3, rồi cộng với (−1)² = 1 được 4, căn bậc hai của 4 bằng 2. Viết rõ từng bước ra nháp sẽ giúp bạn không nhầm.
Lỗi 5: Cho rằng hai đường thẳng song song thì góc giữa chúng bằng 90 độ.
Nhiều bạn nhầm lẫn giữa "song song" và "vuông góc". Cách tránh: bạn hãy nhớ hai đường thẳng song song thì góc giữa chúng bằng 0 độ vì chúng cùng hướng, còn hai đường thẳng vuông góc thì góc bằng 90 độ. Hai trường hợp này đối lập nhau hoàn toàn.
Năm bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ quy tắc: lấy giá trị tuyệt đối của tích vô hướng rồi chia cho tích hai độ dài, kết quả luôn là góc nhọn.
Câu 1: Cho hai đường thẳng d1: y = x và d2: y = −x. Góc giữa hai đường thẳng bằng bao nhiêu?
A. 90 độ
B. 45 độ
C. 0 độ
D. 60 độ
Câu 2: Cho hai vectơ a = (1; 0) và b = (1; 1). Góc giữa hai vectơ bằng bao nhiêu?
A. 30 độ
B. 45 độ
C. 60 độ
D. 90 độ
Câu 3: Cho hai đường thẳng d1: x = 0 và d2: y = 0. Góc giữa hai đường thẳng bằng bao nhiêu?
A. 0 độ
B. 45 độ
C. 90 độ
D. 180 độ
Câu 4: Cho hai đường thẳng d1: y = x và d2: y = √3 × x. Góc giữa hai đường thẳng bằng bao nhiêu?
A. 30 độ
B. 15 độ
C. 45 độ
D. 60 độ
Câu 5: Cho hai đường thẳng d1: 3x + 4y = 0 và d2: 4x − 3y = 0. Góc giữa hai đường thẳng bằng bao nhiêu?
A. 0 độ
B. 45 độ
C. 60 độ
D. 90 độ
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | A | B | C | B | D |
Giải thích Câu 1 — Đáp án A (90 độ) đúng: Vectơ pháp tuyến n1 = (1; −1) và n2 = (1; 1) có tích vô hướng bằng 1 × 1 + (−1) × 1 = 0, nên cos φ = 0 và φ = 90 độ. Đáp án B (45 độ) sai vì 45 độ là góc mỗi đường thẳng tạo với trục Ox, không phải góc giữa hai đường thẳng với nhau. Đáp án C (0 độ) sai vì hai đường thẳng không song song. Đáp án D (60 độ) sai vì không có cơ sở nào cho ra 60 độ.
Giải thích Câu 2 — Đáp án B (45 độ) đúng: Tích vô hướng a · b = 1 × 1 + 0 × 1 = 1, |a| = 1, |b| = √2, nên cos = 1 / √2 và góc bằng 45 độ. Đáp án A (30 độ) sai vì cos 30 độ bằng √3 / 2, khác 1 / √2. Đáp án C (60 độ) sai vì cos 60 độ bằng 1 / 2, khác 1 / √2. Đáp án D (90 độ) sai vì tích vô hướng khác 0 nên hai vectơ không vuông góc.
Giải thích Câu 3 — Đáp án C (90 độ) đúng: Đường thẳng x = 0 là trục Oy, đường thẳng y = 0 là trục Ox, hai trục vuông góc với nhau nên góc giữa chúng bằng 90 độ. Đáp án A (0 độ) sai vì hai trục không song song. Đáp án B (45 độ) sai vì không có cơ sở nào cho ra 45 độ. Đáp án D (180 độ) sai vì góc giữa hai đường thẳng không bao giờ vượt quá 90 độ.
Giải thích Câu 4 — Đáp án B (15 độ) đúng: Đường thẳng y = x tạo với trục Ox góc 45 độ, đường thẳng y = √3 × x tạo với trục Ox góc 60 độ, nên góc giữa hai đường thẳng bằng 60 − 45 = 15 độ. Bạn cũng có thể tính bằng công thức: n1 = (1; −1), n2 = (√3; −1), tích vô hướng bằng √3 + 1, |n1| = √2, |n2| = 2, cos φ = (√3 + 1) / (2 × √2), cho ra φ = 15 độ. Đáp án A (30 độ) sai vì 30 độ là hiệu của 90 và 60, không liên quan. Đáp án C (45 độ) sai vì 45 độ là góc của đường thẳng thứ nhất với trục Ox. Đáp án D (60 độ) sai vì 60 độ là góc của đường thẳng thứ hai với trục Ox.
Giải thích Câu 5 — Đáp án D (90 độ) đúng: Vectơ pháp tuyến n1 = (3; 4) và n2 = (4; −3) có tích vô hướng bằng 3 × 4 + 4 × (−3) = 12 − 12 = 0, nên cos φ = 0 và φ = 90 độ — hai đường thẳng vuông góc với nhau. Đáp án A (0 độ) sai vì hai đường thẳng không song song. Đáp án B (45 độ) sai vì không có cơ sở nào cho ra 45 độ. Đáp án C (60 độ) sai vì cos 60 độ bằng 1 / 2, khác 0.
Câu hỏi thường gặp về góc giữa hai vectơ, hai đường thẳng
Hỏi: Góc giữa hai đường thẳng khác góc giữa hai vectơ ở điểm nào?
Đáp: Góc giữa hai vectơ nằm trong khoảng từ 0 độ đến 180 độ và không có dấu giá trị tuyệt đối trong công thức cos. Góc giữa hai đường thẳng nằm trong khoảng từ 0 độ đến 90 độ và có dấu giá trị tuyệt đối ở tử số, vì mỗi đường thẳng có hai hướng ngược nhau nên người ta luôn lấy góc nhọn.
Hỏi: Vì sao công thức góc giữa hai đường thẳng lại có dấu giá trị tuyệt đối?
Đáp: Vì hai vectơ pháp tuyến có thể tạo với nhau một góc tù, trong khi góc giữa hai đường thẳng được quy ước lấy góc nhọn. Dấu giá trị tuyệt đối biến tích vô hướng âm thành dương, tương đương với việc lấy góc bù của góc tù — và góc bù của một góc tù luôn là góc nhọn.
Hỏi: Hai đường thẳng song song thì góc giữa chúng bằng bao nhiêu?
Đáp: Bằng 0 độ, vì hai đường thẳng cùng hướng nên không tạo thành góc. Trong công thức, hai vectơ pháp tuyến cùng phương nên cos φ = 1, suy ra φ = 0 độ.
Hỏi: Có thể dùng vectơ chỉ phương thay cho vectơ pháp tuyến để tính góc không?
Đáp: Có, kết quả sẽ giống hệt nhau vì góc giữa hai vectơ chỉ phương cũng bằng góc giữa hai đường thẳng hoặc góc bù của nó, và dấu giá trị tuyệt đối sẽ xử lí phần còn lại. Bạn hãy dùng loại vectơ nào dễ lấy hơn từ dữ kiện đề bài cho.
Hỏi: Học bài này để làm gì trong các bài sau?
Đáp: Góc giữa hai đường thẳng là công cụ để xét hai đường thẳng có vuông góc không, tính góc của tam giác trong mặt phẳng tọa độ, và sau này là tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Nếu muốn ôn lại vị trí tương đối, bạn hãy xem bài vị trí tương đối của hai đường thẳng.
Kết luận
Góc φ giữa hai đường thẳng có vectơ pháp tuyến n1 = (a1; b1) và n2 = (a2; b2) được tính bằng công thức cos φ = |a1 × a2 + b1 × b2| / (√(a1² + b1²) × √(a2² + b2²)), với 0 độ ≤ φ ≤ 90 độ. Bạn hãy nhớ ba điều: dấu giá trị tuyệt đối ở tử số là thứ giữ cho góc luôn nhọn, tích vô hướng bằng 0 thì góc bằng 90 độ, và hai đường thẳng song song thì góc bằng 0 độ. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để tính góc giữa hai đường thẳng bất kì — và hiểu thêm vì sao người ta luôn chọn góc nhọn khi nói về góc giữa hai đường thẳng.