Bạn hãy tưởng tượng mình đang đứng ở một ngã tư nhìn lên bản đồ thành phố. Có những cặp đường cắt nhau tạo thành ngã tư, có những cặp đường chạy song song với nhau mãi mãi không gặp, và có những cặp đường thực ra chỉ là một — người ta vẽ trùng lên nhau hai lần mà bạn tưởng là hai đường khác nhau. Ba số phận đó cũng chính là ba khả năng duy nhất của hai đường thẳng trên mặt phẳng: cắt nhau, song song, hoặc trùng nhau. Bài này sẽ dạy bạn cách phân biệt ba trường hợp đó chỉ bằng cách so sánh ba tỉ số lấy từ các hệ số trong phương trình của hai đường thẳng — không cần vẽ hình, không cần giải hệ phương trình.
Hai đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ thường được cho dưới dạng phương trình tổng quát: đường thẳng thứ nhất là a1x + b1y + c1 = 0, đường thẳng thứ hai là a2x + b2y + c2 = 0. Ba tỉ số cần so sánh là tỉ số các hệ số của x (a1 / a2), tỉ số các hệ số của y (b1 / b2) và tỉ số các hệ số tự do (c1 / c2). Nếu tỉ số đầu tiên khác tỉ số thứ hai thì hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm duy nhất. Nếu hai tỉ số đầu bằng nhau nhưng khác tỉ số thứ ba thì hai đường thẳng song song với nhau. Nếu cả ba tỉ số đều bằng nhau thì hai đường thẳng trùng nhau — thực ra chúng là cùng một đường thẳng. Chỉ cần nhớ "so ba tỉ số là biết ngay số phận", bạn sẽ không bao giờ nhầm lẫn nữa.
So ba tỉ số là biết ngay hai đường thẳng cắt, song song hay trùng
Cho hai đường thẳng d1: a1x + b1y + c1 = 0 và d2: a2x + b2y + c2 = 0, bạn xét ba tỉ số a1 / a2, b1 / b2 và c1 / c2. Trường hợp thứ nhất: nếu a1 / a2 khác b1 / b2 thì hai đường thẳng cắt nhau tại đúng một điểm. Bạn có thể hiểu điều này qua vectơ pháp tuyến: đường thẳng d1 có vectơ pháp tuyến n1 = (a1; b1), đường thẳng d2 có vectơ pháp tuyến n2 = (a2; b2), và khi tỉ số a1 / a2 khác tỉ số b1 / b2 thì hai vectơ pháp tuyến không cùng phương, tức là hai đường thẳng không song song nên chúng phải cắt nhau. Điểm cắt nhau là nghiệm duy nhất của hệ hai phương trình — bạn sẽ học cách giải hệ đó trong phần sau, còn ở đây chỉ cần xác định chúng có cắt nhau hay không.
Trường hợp thứ hai: nếu a1 / a2 bằng b1 / b2 nhưng khác c1 / c2 thì hai đường thẳng song song với nhau. Khi hai tỉ số đầu bằng nhau, hai vectơ pháp tuyến cùng phương với nhau, tức là hai đường thẳng có cùng hướng; nhưng vì tỉ số thứ ba khác đi nên hai đường thẳng không trùng nhau — chúng là hai đường thẳng khác nhau chạy song song. Bạn hãy hình dung hai đường ray xe lửa: chúng cùng hướng, cách nhau một khoảng không đổi và không bao giờ gặp nhau. Hệ hai phương trình trong trường hợp này vô nghiệm, vì không có điểm nào thỏa mãn đồng thời cả hai phương trình.
Trường hợp thứ ba: nếu cả ba tỉ số đều bằng nhau, tức là a1 / a2 = b1 / b2 = c1 / c2, thì hai đường thẳng trùng nhau. Điều này có nghĩa là phương trình thứ hai chỉ là phương trình thứ nhất nhân với một số khác 0, nên mọi điểm thỏa mãn phương trình này cũng thỏa mãn phương trình kia — hai đường thẳng thực ra là một. Hệ hai phương trình trong trường hợp này có vô số nghiệm, vì mọi điểm trên đường thẳng đều là nghiệm. Bạn hãy cẩn thận với trường hợp này vì nhiều bạn hay nhầm lẫn giữa song song và trùng nhau: cả hai đều có hai tỉ số đầu bằng nhau, nhưng song song thì tỉ số thứ ba khác, còn trùng nhau thì tỉ số thứ ba cũng bằng.
Một điểm bạn cần lưu ý là công thức ba tỉ số chỉ áp dụng khi các mẫu số a2, b2, c2 đều khác 0. Khi một hệ số bằng 0, bạn không được lập tỉ số có mẫu bằng 0 mà phải xử lí riêng. Chẳng hạn, đường thẳng x = 0 có a = 1, b = 0, c = 0; đường thẳng y = 0 có a = 0, b = 1, c = 0 — hai đường thẳng này là hai trục tọa độ, chúng cắt nhau tại gốc tọa độ. Trong trường hợp có hệ số bằng 0, cách an toàn nhất là dùng phép nhân chéo: hai đường thẳng cắt nhau khi a1 × b2 khác a2 × b1, song song khi a1 × b2 = a2 × b1 và a1 × c2 khác a2 × c1, trùng nhau khi a1 × b2 = a2 × b1 và a1 × c2 = a2 × c1. Cách nhân chéo này tương đương với cách so tỉ số nhưng tránh được phép chia cho 0. Nếu muốn ôn lại vectơ pháp tuyến của đường thẳng, bạn hãy xem bài liên hệ giữa vectơ pháp tuyến và vectơ chỉ phương của đường thẳng.
Bốn bài toán mẫu tính từng bước
Ví dụ 1 (dùng đúng số liệu mẫu): Cho hai đường thẳng d1: x + y − 1 = 0 và d2: 2x + 2y − 3 = 0. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng.
Bạn lập ba tỉ số: a1 / a2 = 1 / 2, b1 / b2 = 1 / 2, c1 / c2 = (−1) / (−3) = 1 / 3. Hai tỉ số đầu bằng nhau (cùng bằng 1 / 2) nhưng khác tỉ số thứ ba (1 / 3), nên hai đường thẳng song song với nhau. Bạn hãy kiểm tra lại phép tính: hệ số của x trong d1 là 1, trong d2 là 2, tỉ số bằng 1 / 2; hệ số của y trong d1 là 1, trong d2 là 2, tỉ số bằng 1 / 2; hệ số tự do trong d1 là −1, trong d2 là −3, tỉ số bằng (−1) / (−3) = 1 / 3. Vì 1 / 2 khác 1 / 3 nên hai đường thẳng không trùng nhau mà chỉ song song. Bạn cũng có thể kiểm tra bằng vectơ pháp tuyến: n1 = (1; 1) và n2 = (2; 2) cùng phương với nhau, đúng với tính chất của hai đường thẳng song song.
Ví dụ 2 (hai đường thẳng cắt nhau): Cho hai đường thẳng d1: x − y = 0 và d2: x + y = 0. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng.
Bạn lập hai tỉ số đầu: a1 / a2 = 1 / 1 = 1, b1 / b2 = (−1) / 1 = −1. Vì 1 khác −1 nên hai đường thẳng cắt nhau. Bạn hãy hình dung: d1 là đường thẳng y = x, đường phân giác của góc phần tư thứ nhất và thứ ba; d2 là đường thẳng y = −x, đường phân giác của góc phần tư thứ hai và thứ tư. Hai đường thẳng này vuông góc với nhau và cắt nhau tại gốc tọa độ O(0; 0). Khi cần kiểm tra lại phép tính, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ. Bạn hãy lưu ý: chỉ cần hai tỉ số đầu khác nhau là đủ kết luận cắt nhau, không cần tính tỉ số thứ ba.
Ví dụ 3 (hai đường thẳng trùng nhau): Cho hai đường thẳng d1: 2x − y + 1 = 0 và d2: 4x − 2y + 2 = 0. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng.
Bạn lập ba tỉ số: a1 / a2 = 2 / 4 = 1 / 2, b1 / b2 = (−1) / (−2) = 1 / 2, c1 / c2 = 1 / 2. Cả ba tỉ số đều bằng 1 / 2 nên hai đường thẳng trùng nhau. Bạn hãy kiểm tra lại: phương trình d2 chính là phương trình d1 nhân với 2 — 2 × (2x − y + 1) = 4x − 2y + 2 — nên hai phương trình mô tả cùng một đường thẳng. Mọi điểm trên đường thẳng đều thỏa mãn cả hai phương trình, hệ có vô số nghiệm. Đây là trường hợp dễ bị nhầm với song song nhất, vì cả hai đều có hai tỉ số đầu bằng nhau — bạn phải tính thêm tỉ số thứ ba mới phân biệt được.
Ví dụ 4 (song song với hệ số khác): Cho hai đường thẳng d1: x − 2y + 1 = 0 và d2: 2x − 4y + 5 = 0. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng.
Bạn lập ba tỉ số: a1 / a2 = 1 / 2, b1 / b2 = (−2) / (−4) = 1 / 2, c1 / c2 = 1 / 5. Hai tỉ số đầu bằng nhau (cùng bằng 1 / 2) nhưng khác tỉ số thứ ba (1 / 5), nên hai đường thẳng song song với nhau. Bạn hãy chú ý dấu của các hệ số: b1 = −2, b2 = −4, tỉ số (−2) / (−4) bằng 1 / 2 vì hai dấu trừ triệt tiêu nhau. Nhiều bạn tính tỉ số này thành −1 / 2 vì quên mất mẫu số cũng âm — bạn hãy cẩn thận với dấu khi cả tử và mẫu đều âm.
Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Nhầm lẫn song song với trùng nhau.
Nhiều bạn thấy hai tỉ số đầu bằng nhau thì kết luận ngay là song song mà quên tính tỉ số thứ ba. Cách tránh: bạn hãy luôn tính đủ cả ba tỉ số — hai tỉ số đầu bằng nhau mới chỉ loại trừ trường hợp cắt nhau, còn muốn phân biệt song song với trùng nhau thì bắt buộc phải so sánh thêm tỉ số thứ ba.
Lỗi 2: Tính tỉ số c1 / c2 sai dấu.
Nhiều bạn tính (−1) / (−3) thành −1 / 3 thay vì 1 / 3, vì quên rằng thương của hai số âm là số dương. Cách tránh: bạn hãy viết rõ dấu của tử và mẫu trước khi chia, và nhớ rằng âm chia âm bằng dương, âm chia dương bằng âm.
Lỗi 3: Dùng tỉ số khi mẫu số bằng 0.
Nhiều bạn lập tỉ số a1 / a2 khi a2 bằng 0 rồi kết luận lung tung. Cách tránh: khi một hệ số bằng 0, bạn hãy dùng phép nhân chéo a1 × b2 so với a2 × b1 để xét cắt nhau hay song song, và a1 × c2 so với a2 × c1 để xét trùng nhau — cách này không cần phép chia nên không bao giờ gặp mẫu bằng 0.
Lỗi 4: Đọc sai hệ số từ phương trình.
Nhiều bạn đọc đường thẳng x − y = 0 có c1 = 1 thay vì c1 = 0, vì nghĩ rằng số hạng tự do luôn phải có mặt trong phương trình. Cách tránh: bạn hãy viết phương trình về dạng đầy đủ ax + by + c = 0 trước khi đọc hệ số — nếu không có số hạng tự do thì c = 0, nếu không có số hạng chứa y thì b = 0.
Lỗi 5: Cho rằng hai đường thẳng song song thì không có điểm chung nào là "không liên quan".
Nhiều bạn học thuộc công thức mà không hiểu ý nghĩa hệ phương trình đằng sau: cắt nhau thì hệ có một nghiệm, song song thì hệ vô nghiệm, trùng nhau thì hệ có vô số nghiệm. Cách tránh: bạn hãy nhớ mối liên hệ giữa vị trí tương đối và số nghiệm của hệ — hiểu được điều này, bạn sẽ nhớ công thức lâu hơn và vận dụng được vào nhiều dạng bài khác.
Năm bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ quy tắc: tính đủ ba tỉ số, so sánh tỉ số thứ nhất với tỉ số thứ hai trước, rồi mới so sánh với tỉ số thứ ba.
Câu 1: Cho hai đường thẳng d1: x + y − 1 = 0 và d2: 2x + 2y − 3 = 0. Vị trí tương đối của hai đường thẳng là gì?
A. Song song với nhau
B. Cắt nhau tại một điểm
C. Trùng nhau
D. Vuông góc với nhau
Câu 2: Cho hai đường thẳng d1: x − y = 0 và d2: x + y = 0. Vị trí tương đối của hai đường thẳng là gì?
A. Song song với nhau
B. Cắt nhau tại một điểm
C. Trùng nhau
D. Không xác định được
Câu 3: Cho hai đường thẳng d1: 2x − y + 1 = 0 và d2: 4x − 2y + 2 = 0. Vị trí tương đối của hai đường thẳng là gì?
A. Cắt nhau tại một điểm
B. Song song với nhau
C. Trùng nhau
D. Vuông góc với nhau
Câu 4: Cho hai đường thẳng d1: 3x + y = 0 và d2: 6x + 2y + 1 = 0. Vị trí tương đối của hai đường thẳng là gì?
A. Cắt nhau tại một điểm
B. Trùng nhau
C. Vuông góc với nhau
D. Song song với nhau
Câu 5: Cho hai đường thẳng d1: x = 0 và d2: y = 0. Vị trí tương đối của hai đường thẳng là gì?
A. Song song với nhau
B. Trùng nhau
C. Cắt nhau tại một điểm
D. Không xác định được
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | A | B | C | D | C |
Giải thích Câu 1 — Đáp án A (song song với nhau) đúng: Ba tỉ số là 1 / 2, 1 / 2 và 1 / 3: hai tỉ số đầu bằng nhau nhưng khác tỉ số thứ ba nên hai đường thẳng song song. Đáp án B sai vì hai tỉ số đầu bằng nhau nên hai đường thẳng không cắt nhau. Đáp án C sai vì tỉ số thứ ba khác hai tỉ số đầu nên hai đường thẳng không trùng nhau. Đáp án D sai vì vuông góc là trường hợp đặc biệt của cắt nhau, mà hai đường thẳng này không cắt nhau.
Giải thích Câu 2 — Đáp án B (cắt nhau tại một điểm) đúng: Hai tỉ số đầu là 1 / 1 = 1 và (−1) / 1 = −1, khác nhau nên hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm — thực ra là gốc tọa độ O(0; 0). Đáp án A sai vì hai đường thẳng không cùng hướng. Đáp án C sai vì ba tỉ số không bằng nhau. Đáp án D sai vì hoàn toàn xác định được từ hai tỉ số đầu.
Giải thích Câu 3 — Đáp án C (trùng nhau) đúng: Ba tỉ số đều bằng 1 / 2 nên hai đường thẳng trùng nhau — phương trình d2 chính là phương trình d1 nhân với 2. Đáp án A sai vì hai tỉ số đầu bằng nhau nên hai đường thẳng không cắt nhau. Đáp án B sai vì tỉ số thứ ba cũng bằng 1 / 2 nên hai đường thẳng trùng nhau chứ không chỉ song song. Đáp án D sai vì vuông góc là trường hợp đặc biệt của cắt nhau.
Giải thích Câu 4 — Đáp án D (song song với nhau) đúng: Ba tỉ số là 3 / 6 = 1 / 2, 1 / 2 = 1 / 2 và 0 / 1 = 0: hai tỉ số đầu bằng nhau nhưng khác tỉ số thứ ba nên hai đường thẳng song song. Đáp án A sai vì hai tỉ số đầu bằng nhau nên hai đường thẳng không cắt nhau. Đáp án B sai vì tỉ số thứ ba bằng 0, khác 1 / 2 nên hai đường thẳng không trùng nhau. Đáp án C sai vì vuông góc là trường hợp đặc biệt của cắt nhau.
Giải thích Câu 5 — Đáp án C (cắt nhau tại một điểm) đúng: Đường thẳng x = 0 là trục Oy, đường thẳng y = 0 là trục Ox, hai trục cắt nhau tại gốc tọa độ O(0; 0). Đáp án A sai vì hai trục có hướng khác nhau. Đáp án B sai vì hai trục là hai đường thẳng khác nhau. Đáp án D sai vì vị trí tương đối hoàn toàn xác định được: dùng phép nhân chéo, a1 × b2 = 1 × 1 = 1 khác a2 × b1 = 0 × 0 = 0 nên hai đường thẳng cắt nhau.
Câu hỏi thường gặp về vị trí tương đối của hai đường thẳng
Hỏi: Vì sao phải so sánh cả ba tỉ số mà không chỉ so sánh hai tỉ số đầu?
Đáp: Vì hai tỉ số đầu chỉ cho biết hai đường thẳng có cùng hướng hay không. Nếu hai tỉ số đầu bằng nhau thì hai đường thẳng cùng hướng, nhưng vẫn chưa biết chúng là hai đường song song hay chỉ là một đường duy nhất — muốn phân biệt thì phải so sánh thêm tỉ số thứ ba.
Hỏi: Hai đường thẳng vuông góc thì có cắt nhau không?
Đáp: Có, vuông góc là trường hợp đặc biệt của cắt nhau: hai đường thẳng vuông góc với nhau thì chúng cắt nhau tại một điểm và góc giữa chúng bằng 90 độ. Khi xét vị trí tương đối, bạn xếp vuông góc vào nhóm cắt nhau, rồi mới xét thêm góc nếu đề bài hỏi.
Hỏi: Làm thế nào khi một hệ số bằng 0?
Đáp: Bạn đừng lập tỉ số có mẫu bằng 0 mà hãy dùng phép nhân chéo: cắt nhau khi a1 × b2 khác a2 × b1, song song khi a1 × b2 = a2 × b1 và a1 × c2 khác a2 × c1, trùng nhau khi cả hai phép nhân chéo đều bằng nhau. Cách này tương đương với cách so tỉ số nhưng an toàn hơn.
Hỏi: Vị trí tương đối liên quan gì đến số nghiệm của hệ phương trình?
Đáp: Hai đường thẳng cắt nhau thì hệ hai phương trình có đúng một nghiệm là tọa độ giao điểm; song song thì hệ vô nghiệm vì không có điểm chung; trùng nhau thì hệ có vô số nghiệm vì mọi điểm trên đường thẳng đều thỏa mãn cả hai phương trình. Đây là mối liên hệ quan trọng giữa hình học và đại số.
Hỏi: Học bài này để làm gì trong các bài sau?
Đáp: Vị trí tương đối là bước đầu tiên khi giải mọi bài toán về hai đường thẳng: tìm giao điểm, tính góc giữa hai đường thẳng, tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, và xét vị trí tương đối của đường thẳng với đường tròn. Nếu muốn đi tiếp, bạn hãy xem bài góc giữa hai vectơ, hai đường thẳng.
Kết luận
Vị trí tương đối của hai đường thẳng d1: a1x + b1y + c1 = 0 và d2: a2x + b2y + c2 = 0 chỉ gói gọn trong việc so sánh ba tỉ số a1 / a2, b1 / b2 và c1 / c2: tỉ số đầu khác tỉ số thứ hai thì cắt nhau, hai tỉ số đầu bằng nhau nhưng khác tỉ số thứ ba thì song song, cả ba tỉ số bằng nhau thì trùng nhau. Bạn hãy nhớ ba điều: luôn tính đủ cả ba tỉ số, cẩn thận với dấu khi cả tử và mẫu đều âm, và dùng phép nhân chéo khi có hệ số bằng 0. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để xét vị trí tương đối của bất kì cặp đường thẳng nào — và hiểu thêm vì sao ba tỉ số nhỏ bé lại quyết định được số phận của hai đường thẳng trên mặt phẳng.