Bạn hãy cầm một cây thước đặt trên bàn, rồi xoay nó một góc đúng 90 độ. Cây thước vẫn là cây thước đó, vẫn dài như cũ, nhưng hướng của nó đã đổi hoàn toàn — từ nằm ngang thành thẳng đứng, hay từ thẳng đứng thành nằm ngang. Trong hình học, hai hướng vuông góc với nhau như vậy có một mối quan hệ đặc biệt: một hướng chỉ phương đi của đường thẳng, hướng còn lại vuông góc với đường thẳng đó. Bài này sẽ dạy bạn cách đổi từ hướng này sang hướng kia chỉ bằng một thao tác duy nhất: đổi chỗ hai tọa độ và đổi dấu một trong hai số.
Một đường thẳng trong mặt phẳng có thể được mô tả bằng hai loại vectơ: vectơ chỉ phương là vectơ có giá song song hoặc trùng với đường thẳng, cho biết đường thẳng "đi" theo hướng nào; vectơ pháp tuyến là vectơ có giá vuông góc với đường thẳng, cho biết đường thẳng "quay mặt" về hướng nào. Hai loại vectơ này luôn vuông góc với nhau, và chính nhờ quan hệ vuông góc đó mà bạn có thể suy ra loại này từ loại kia một cách dễ dàng. Nắm được cách đổi qua đổi lại này, bạn sẽ viết được phương trình đường thẳng từ nhiều loại dữ kiện khác nhau — một kĩ năng mà đề thi lớp 10 kiểm tra rất thường xuyên.
Đổi vai: từ pháp tuyến sang chỉ phương chỉ bằng một phép xoay
Cho vectơ n = (a; b) là vectơ pháp tuyến của một đường thẳng, một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó là vectơ u = (−b; a) hoặc vectơ u = (b; −a). Bạn hãy nhìn kĩ cách biến đổi: lấy vectơ pháp tuyến (a; b), đổi chỗ hai thành phần cho nhau rồi đổi dấu một trong hai thành phần, bạn sẽ nhận được vectơ chỉ phương. Chẳng hạn, từ n = (2; 3) bạn đổi chỗ thành (3; 2) rồi đổi dấu thành phần thứ hai, được u = (3; −2); hoặc đổi dấu thành phần thứ nhất, được u = (−3; 2) — cả hai đều là vectơ chỉ phương của cùng một đường thẳng, chỉ khác nhau ở hướng đi. Bạn hãy kiểm tra lại bằng tích vô hướng: n · u = 2 × 3 + 3 × (−2) = 6 − 6 = 0, đúng là hai vectơ vuông góc với nhau.
Ngược lại, cho vectơ u = (a; b) là vectơ chỉ phương của một đường thẳng, một vectơ pháp tuyến của đường thẳng đó là vectơ n = (−b; a) hoặc vectơ n = (b; −a). Cách biến đổi hoàn toàn giống nhau — đổi chỗ hai thành phần rồi đổi dấu một thành phần — vì quan hệ giữa hai loại vectơ này là đối xứng: pháp tuyến vuông góc với chỉ phương thì chỉ phương cũng vuông góc với pháp tuyến. Bạn đừng lo lắng về việc có hai lựa chọn (−b; a) và (b; −a): chúng là hai vectơ đối nhau, cùng phương với nhau, nên đều dùng được như nhau. Khi làm bài, bạn chỉ cần chọn một trong hai, thường là lựa chọn nào cho ra các số đẹp hơn hoặc khớp với đáp án trắc nghiệm.
Vì sao phép biến đổi này lại cho ra vectơ vuông góc? Bạn hãy kiểm tra bằng tích vô hướng: với n = (a; b) và u = (−b; a), tích vô hướng bằng a × (−b) + b × a = −ab + ab = 0. Hai tích triệt tiêu lẫn nhau một cách hoàn hảo, bất kể a và b là số nào. Đó là vẻ đẹp của công thức này: nó đúng với mọi vectơ, không có ngoại lệ. Bạn cũng có thể hiểu theo nghĩa hình học: phép biến đổi (a; b) thành (−b; a) chính là phép quay vectơ một góc 90 độ ngược chiều kim đồng hồ, còn (a; b) thành (b; −a) là phép quay 90 độ cùng chiều kim đồng hồ. Quay một vectơ đi 90 độ thì vectơ mới vuông góc với vectơ cũ — đó là tất cả bí mật của công thức.
Một điểm bạn cần ghi nhớ là mỗi đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương và vô số vectơ pháp tuyến, vì bất kì vectơ nào cùng phương với một vectơ chỉ phương cũng là vectơ chỉ phương, và tương tự với vectơ pháp tuyến. Chẳng hạn, nếu u = (3; −2) là vectơ chỉ phương thì (6; −4), (−3; 2) hay (1,5; −1) cũng đều là vectơ chỉ phương của cùng đường thẳng đó. Khi làm bài trắc nghiệm, bạn đừng hoảng nếu đáp án không trùng đúng vectơ bạn tính ra — hãy kiểm tra xem đáp án có cùng phương với vectơ của bạn không, tức là có phải là bội của nó không. Nếu muốn ôn lại điều kiện hai vectơ vuông góc, bạn hãy xem bài điều kiện để hai vectơ vuông góc, cùng phương.
Bốn bài toán mẫu tính từng bước
Ví dụ 1 (dùng đúng số liệu mẫu): Cho vectơ n = (2; 3) là vectơ pháp tuyến của một đường thẳng. Tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.
Bạn áp dụng công thức đổi vai: từ n = (2; 3), đổi chỗ hai thành phần được (3; 2), đổi dấu thành phần thứ hai được u = (3; −2). Vậy một vectơ chỉ phương của đường thẳng là u = (3; −2). Bạn hãy kiểm tra lại bằng tích vô hướng: n · u = 2 × 3 + 3 × (−2) = 6 − 6 = 0, đúng là hai vectơ vuông góc với nhau. Bạn cũng có thể chọn vectơ đối u = (−3; 2) — cả hai đều đúng, nhưng đáp án (3; −2) là đáp án thường gặp hơn vì nó giữ nguyên dấu của thành phần thứ nhất.
Ví dụ 2 (từ chỉ phương sang pháp tuyến): Cho vectơ u = (1; 2) là vectơ chỉ phương của một đường thẳng. Tìm một vectơ pháp tuyến của đường thẳng đó.
Bạn làm ngược lại: từ u = (1; 2), đổi chỗ hai thành phần được (2; 1), đổi dấu thành phần thứ nhất được n = (−2; 1). Vậy một vectơ pháp tuyến của đường thẳng là n = (−2; 1). Bạn hãy kiểm tra lại: u · n = 1 × (−2) + 2 × 1 = −2 + 2 = 0, đúng. Khi cần kiểm tra lại phép tính, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ. Bạn hãy lưu ý: cách biến đổi từ chỉ phương sang pháp tuyến giống hệt cách biến đổi ngược lại, nên bạn chỉ cần thuộc một công thức duy nhất là đủ.
Ví dụ 3 (vectơ pháp tuyến có thành phần bằng 0): Cho vectơ n = (1; 0) là vectơ pháp tuyến của một đường thẳng. Tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.
Bạn áp dụng công thức: từ n = (1; 0), đổi chỗ được (0; 1), đổi dấu thành phần thứ hai vẫn được (0; 1) vì −1 vẫn là 1 khi đổi dấu số 0 thì số 0 không đổi dấu. Vậy một vectơ chỉ phương là u = (0; 1). Bạn hãy hình dung: vectơ pháp tuyến n = (1; 0) nằm ngang dọc theo trục Ox, nên đường thẳng vuông góc với nó phải là đường thẳng đứng, và vectơ chỉ phương của đường thẳng đứng là vectơ thẳng đứng (0; 1). Trường hợp này cho thấy công thức vẫn đúng ngay cả khi một thành phần bằng 0.
Ví dụ 4 (áp dụng vào phương trình đường thẳng): Đường thẳng có phương trình 2x + 3y − 1 = 0. Tìm một vectơ pháp tuyến và một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.
Bạn đọc vectơ pháp tuyến trực tiếp từ phương trình: đường thẳng ax + by + c = 0 có vectơ pháp tuyến n = (a; b), nên ở đây n = (2; 3). Sau đó bạn đổi vai để tìm vectơ chỉ phương: từ n = (2; 3), đổi chỗ được (3; 2), đổi dấu thành phần thứ hai được u = (3; −2). Vậy đường thẳng 2x + 3y − 1 = 0 có vectơ pháp tuyến n = (2; 3) và vectơ chỉ phương u = (3; −2). Bạn hãy ghi nhớ cách đọc vectơ pháp tuyến từ phương trình tổng quát, vì đây là bước đầu tiên của hầu hết các bài toán về đường thẳng.
Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Chỉ đổi chỗ hai thành phần mà quên đổi dấu.
Nhiều bạn biến đổi n = (2; 3) thành u = (3; 2) mà không đổi dấu thành phần nào, kết quả là tích vô hướng bằng 2 × 3 + 3 × 2 = 12, khác 0 nên hai vectơ không vuông góc. Cách tránh: bạn hãy nhớ công thức có hai bước — đổi chỗ rồi đổi dấu một thành phần — thiếu một bước là sai.
Lỗi 2: Đổi dấu cả hai thành phần.
Nhiều bạn biến đổi n = (2; 3) thành (−3; −2), tức là đổi chỗ rồi đổi dấu cả hai, kết quả là vectơ đối của vectơ pháp tuyến ban đầu, vẫn cùng phương với pháp tuyến chứ không vuông góc với nó. Cách tránh: bạn chỉ được đổi dấu đúng một thành phần, không được đổi dấu cả hai.
Lỗi 3: Nhầm lẫn vectơ pháp tuyến với vectơ chỉ phương.
Nhiều bạn được hỏi vectơ chỉ phương thì trả lời vectơ pháp tuyến và ngược lại. Cách tránh: bạn hãy nhớ pháp tuyến thì "vuông góc" với đường thẳng, chỉ phương thì "chỉ hướng đi" của đường thẳng. Khi đề bài cho phương trình ax + by + c = 0 thì (a; b) là pháp tuyến, muốn tìm chỉ phương phải đổi vai thêm một bước nữa.
Lỗi 4: Cho rằng mỗi đường thẳng chỉ có một vectơ chỉ phương duy nhất.
Nhiều bạn thấy đáp án trắc nghiệm là (6; −4) trong khi mình tính ra (3; −2) thì cho rằng mình làm sai. Cách tránh: bạn hãy nhớ mọi bội khác 0 của một vectơ chỉ phương cũng là vectơ chỉ phương — hãy kiểm tra xem đáp án có cùng phương với vectơ của bạn không trước khi kết luận.
Lỗi 5: Đọc sai vectơ pháp tuyến từ phương trình đường thẳng.
Nhiều bạn đọc đường thẳng 2x + 3y − 1 = 0 có vectơ pháp tuyến là (2; −3) hoặc (3; 2) vì nhầm hệ số. Cách tránh: bạn hãy nhớ vectơ pháp tuyến là (a; b) với a là hệ số của x, b là hệ số của y, lấy đúng dấu của từng hệ số trong phương trình.
Năm bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ quy tắc: đổi chỗ hai thành phần, đổi dấu đúng một thành phần.
Câu 1: Cho vectơ n = (2; 3) là vectơ pháp tuyến của một đường thẳng. Vectơ nào sau đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó?
A. (3; −2)
B. (2; 3)
C. (3; 2)
D. (−2; −3)
Câu 2: Cho vectơ u = (1; 2) là vectơ chỉ phương của một đường thẳng. Vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng đó?
A. (2; 1)
B. (−2; 1)
C. (1; −2)
D. (−1; 2)
Câu 3: Cho vectơ n = (4; −1) là vectơ pháp tuyến của một đường thẳng. Vectơ nào sau đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó?
A. (4; 1)
B. (−4; −1)
C. (1; 4)
D. (1; −4)
Câu 4: Đường thẳng có vectơ pháp tuyến n = (1; 1). Vectơ nào sau đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó?
A. (1; 1)
B. (2; 2)
C. (−1; −1)
D. (1; −1)
Câu 5: Cho vectơ u = (0; 5) là vectơ chỉ phương của một đường thẳng. Vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng đó?
A. (5; 0)
B. (0; 5)
C. (5; 5)
D. (1; 1)
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | A | B | C | D | A |
Giải thích Câu 1 — Đáp án A (3; −2) đúng: Đổi chỗ hai thành phần của (2; 3) được (3; 2), đổi dấu thành phần thứ hai được (3; −2); kiểm tra tích vô hướng: 2 × 3 + 3 × (−2) = 0. Đáp án B (2; 3) sai vì đó chính là vectơ pháp tuyến ban đầu. Đáp án C (3; 2) sai vì chỉ đổi chỗ mà quên đổi dấu, tích vô hướng bằng 12 khác 0. Đáp án D (−2; −3) sai vì đó là vectơ đối của vectơ pháp tuyến, vẫn cùng phương với pháp tuyến.
Giải thích Câu 2 — Đáp án B (−2; 1) đúng: Đổi chỗ hai thành phần của (1; 2) được (2; 1), đổi dấu thành phần thứ nhất được (−2; 1); kiểm tra tích vô hướng: 1 × (−2) + 2 × 1 = −2 + 2 = 0, nên vectơ này vuông góc với vectơ chỉ phương, tức là vectơ pháp tuyến. Đáp án A (2; 1) sai vì chỉ đổi chỗ mà quên đổi dấu, tích vô hướng bằng 1 × 2 + 2 × 1 = 4, khác 0. Đáp án C (1; −2) sai vì tích vô hướng bằng 1 × 1 + 2 × (−2) = −3, khác 0. Đáp án D (−1; 2) sai vì tích vô hướng bằng 1 × (−1) + 2 × 2 = 3, khác 0.
Giải thích Câu 3 — Đáp án C (1; 4) đúng: Đổi chỗ hai thành phần của (4; −1) được (−1; 4), đổi dấu thành phần thứ nhất được (1; 4); kiểm tra tích vô hướng: 4 × 1 + (−1) × 4 = 4 − 4 = 0. Đáp án A (4; 1) sai vì tích vô hướng bằng 4 × 4 + (−1) × 1 = 15, khác 0. Đáp án B (−4; −1) sai vì đó là vectơ cùng phương với vectơ pháp tuyến. Đáp án D (1; −4) sai vì tích vô hướng bằng 4 × 1 + (−1) × (−4) = 8, khác 0.
Giải thích Câu 4 — Đáp án D (1; −1) đúng: Đổi chỗ hai thành phần của (1; 1) được (1; 1), đổi dấu thành phần thứ hai được (1; −1); kiểm tra tích vô hướng: 1 × 1 + 1 × (−1) = 0, nên vectơ này vuông góc với vectơ pháp tuyến, tức là vectơ chỉ phương. Đáp án A (1; 1) sai vì đó là vectơ pháp tuyến ban đầu. Đáp án B (2; 2) sai vì đó là bội của vectơ pháp tuyến, vẫn cùng phương với pháp tuyến. Đáp án C (−1; −1) sai vì đó là vectơ đối của vectơ pháp tuyến, tích vô hướng với pháp tuyến bằng −2, khác 0.
Giải thích Câu 5 — Đáp án A (5; 0) đúng: Đổi chỗ hai thành phần của (0; 5) được (5; 0), đổi dấu thành phần thứ hai vẫn được (5; 0) vì số 0 không đổi dấu; kiểm tra tích vô hướng: 0 × 5 + 5 × 0 = 0. Đáp án B (0; 5) sai vì đó là vectơ chỉ phương ban đầu. Đáp án C (5; 5) sai vì tích vô hướng bằng 0 × 5 + 5 × 5 = 25, khác 0. Đáp án D (1; 1) sai vì tích vô hướng bằng 0 × 1 + 5 × 1 = 5, khác 0.
Câu hỏi thường gặp về vectơ pháp tuyến và vectơ chỉ phương
Hỏi: Vì sao đổi chỗ hai tọa độ rồi đổi dấu một tọa độ lại cho ra vectơ vuông góc?
Đáp: Vì tích vô hướng của (a; b) với (−b; a) bằng a × (−b) + b × a = −ab + ab = 0. Hai tích triệt tiêu lẫn nhau một cách hoàn hảo. Về mặt hình học, phép biến đổi này tương đương với việc quay vectơ một góc 90 độ, và vectơ sau khi quay 90 độ thì vuông góc với vectơ ban đầu.
Hỏi: Nên chọn (−b; a) hay (b; −a)?
Đáp: Cả hai đều đúng vì chúng là hai vectơ đối nhau, cùng phương với nhau. Bạn hãy chọn lựa chọn nào cho ra các số đẹp hơn hoặc khớp với đáp án trắc nghiệm. Trong hầu hết các trường hợp, bạn chỉ cần tính một trong hai rồi kiểm tra xem đáp án có cùng phương với vectơ của bạn không.
Hỏi: Một đường thẳng có bao nhiêu vectơ chỉ phương?
Đáp: Vô số. Mọi bội khác 0 của một vectơ chỉ phương cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng đó. Tương tự, một đường thẳng cũng có vô số vectơ pháp tuyến. Khi làm bài trắc nghiệm, bạn đừng tìm vectơ trùng đúng với đáp án mà hãy kiểm tra xem đáp án có cùng phương với vectơ bạn tính ra không.
Hỏi: Làm thế nào để đọc vectơ pháp tuyến từ phương trình đường thẳng?
Đáp: Đường thẳng có phương trình tổng quát ax + by + c = 0 thì vectơ pháp tuyến là n = (a; b) — lấy hệ số của x làm hoành độ, hệ số của y làm tung độ, giữ nguyên dấu của từng hệ số. Sau đó muốn tìm vectơ chỉ phương thì đổi vai bằng cách đổi chỗ rồi đổi dấu một thành phần.
Hỏi: Học bài này để làm gì trong các bài sau?
Đáp: Vectơ pháp tuyến và vectơ chỉ phương là hai công cụ chính để viết phương trình đường thẳng, xét vị trí tương đối của hai đường thẳng, và tính góc giữa hai đường thẳng. Nếu muốn đi tiếp, bạn hãy xem bài vị trí tương đối của hai đường thẳng.
Kết luận
Liên hệ giữa vectơ pháp tuyến n = (a; b) và vectơ chỉ phương u = (−b; a) hoặc u = (b; −a) chỉ gói gọn trong một thao tác: đổi chỗ hai thành phần rồi đổi dấu một trong hai thành phần. Bạn hãy nhớ ba điều: phải đổi dấu đúng một thành phần, mọi bội của vectơ tìm được cũng dùng được, và vectơ pháp tuyến của đường thẳng ax + by + c = 0 đọc trực tiếp từ hệ số là n = (a; b). Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để đổi qua đổi lại giữa hai loại vectơ này — và đó là kĩ năng mở đầu cho toàn bộ chương đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ.