Bạn hãy hình dung hai con đường trên bản đồ: có những cặp đường cắt nhau vuông góc như góc phố, có những cặp đường chạy song song với nhau mãi mãi không gặp, và có những cặp đường cắt nhau xiên xẹo ở một góc nào đó. Chỉ nhìn bằng mắt, đôi khi bạn khó mà khẳng định chắc chắn hai con đường có vuông góc hay song song thật không. Trong Toán học, hai vectơ cũng vậy: chúng có thể vuông góc, cùng phương, hoặc chẳng có quan hệ đặc biệt gì. May mắn là bạn không cần đo góc bằng thước — chỉ cần tọa độ của hai vectơ, hai phép thử bằng số học sẽ cho bạn đáp án chính xác trong vài giây.
Phép thử thứ nhất dành cho hai vectơ vuông góc: bạn nhân hoành độ với hoành độ, nhân tung độ với tung độ, rồi cộng hai tích lại — nếu tổng bằng 0 thì hai vectơ vuông góc với nhau. Phép thử thứ hai dành cho hai vectơ cùng phương: bạn so sánh tỉ số hoành độ với tỉ số tung độ — nếu hai tỉ số bằng nhau thì hai vectơ cùng phương, tức là chúng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau. Hai phép thử này đều xuất phát từ công thức tích vô hướng, nhưng bạn chưa cần hiểu sâu phần chứng minh — chỉ cần thuộc cách làm và luyện cho nhuần nhuyễn, rồi sau này khi học tích vô hướng bạn sẽ thấy mọi thứ khớp lại với nhau một cách đẹp đẽ.
Hai phép thử: tích vô hướng bằng 0 và tỉ lệ tọa độ bằng nhau
Cho hai vectơ a = (x1; y1) và b = (x2; y2), điều kiện để hai vectơ vuông góc với nhau là x1 × x2 + y1 × y2 = 0. Biểu thức x1 × x2 + y1 × y2 có tên gọi là tích vô hướng của hai vectơ, kí hiệu là a · b. Khi tích vô hướng bằng 0, hai vectơ vuông góc với nhau; ngược lại, khi hai vectơ vuông góc thì tích vô hướng của chúng bằng 0. Bạn hãy ghi nhớ cặp quan hệ hai chiều này: vuông góc tương đương với tích vô hướng bằng 0. Trong thực hành, bạn chỉ cần tính tổng của hai tích rồi xem nó có bằng 0 hay không — không cần vẽ hình, không cần đo góc.
Điều kiện để hai vectơ cùng phương là tỉ lệ các tọa độ tương ứng bằng nhau, tức là x1 / x2 = y1 / y2 (với x2 và y2 khác 0). Nói một cách trực quan hơn, hai vectơ cùng phương khi vectơ này là bội của vectơ kia: tồn tại một số k sao cho a = k × b, tức là x1 = k × x2 và y1 = k × y2. Chẳng hạn, vectơ (2; 3) và vectơ (4; 6) cùng phương vì vectơ thứ hai gấp đôi vectơ thứ nhất, còn vectơ (2; 3) và vectơ (4; 5) không cùng phương vì 2 / 4 khác 3 / 5. Bạn hãy cẩn thận với trường hợp một trong hai tọa độ bằng 0: khi đó bạn không được chia cho 0 mà phải kiểm tra trực tiếp xem vectơ này có phải là bội của vectơ kia không. Ví dụ, vectơ (0; 2) và vectơ (0; 5) cùng phương vì cả hai đều thẳng đứng, dù bạn không thể lập tỉ số 0 / 0.
Hai phép thử này độc lập với nhau: một cặp vectơ có thể vuông góc, có thể cùng phương, hoặc có thể không rơi vào trường hợp nào cả. Bạn đừng bao giờ nghĩ rằng "không vuông góc thì chắc chắn cùng phương" — đó là một sai lầm rất phổ biến. Chẳng hạn, vectơ (1; 2) và vectơ (2; 5) có tích vô hướng bằng 1 × 2 + 2 × 5 = 12, khác 0 nên không vuông góc; tỉ số hoành độ là 1 / 2 còn tỉ số tung độ là 2 / 5, khác nhau nên không cùng phương. Cặp vectơ này không vuông góc cũng không cùng phương — chúng chỉ là hai vectơ cắt nhau ở một góc xiên nào đó. Khi làm bài, bạn hãy kiểm tra lần lượt từng điều kiện, đừng vội kết luận từ một phép thử duy nhất.
Một ứng dụng quan trọng của hai điều kiện này là chứng minh ba điểm thẳng hàng và chứng minh tam giác vuông. Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi hai vectơ AB và AC cùng phương. Tam giác ABC vuông tại A khi hai vectơ AB và AC vuông góc với nhau. Cả hai bài toán này đều quy về việc tính tọa độ vectơ rồi áp dụng một trong hai phép thử trên. Vì vậy, bạn hãy luyện cho thật nhuần nhuyễn cách tính tọa độ vectơ trước, rồi hai phép thử này sẽ trở thành công cụ đắc lực của bạn. Nếu muốn ôn lại cách tính tích vô hướng qua tọa độ, bạn hãy xem bài tích vô hướng của hai vectơ thông qua tọa độ.
Bốn bài toán mẫu tính từng bước
Ví dụ 1 (dùng đúng số liệu mẫu): Cho hai vectơ a = (1; 2) và b = (−4; 2). Chứng minh hai vectơ này vuông góc với nhau.
Bạn tính tích vô hướng của hai vectơ: a · b = 1 × (−4) + 2 × 2 = −4 + 4 = 0. Vì tích vô hướng bằng 0 nên hai vectơ a và b vuông góc với nhau. Bạn hãy kiểm tra lại phép nhân: 1 × (−4) bằng −4, 2 × 2 bằng 4, tổng của chúng bằng 0 — đúng. Đây là một ví dụ đẹp vì các số được chọn để tích vô hướng triệt tiêu hoàn toàn. Trong đề thi, người ta thường cho các số như vậy để bạn nhận ra ngay đáp án, nhưng bạn vẫn phải tính cẩn thận từng bước, đừng đoán mò.
Ví dụ 2 (hai vectơ cùng phương): Cho hai vectơ a = (2; 3) và b = (4; 6). Chứng minh hai vectơ này cùng phương.
Bạn so sánh tỉ số các tọa độ tương ứng: tỉ số hoành độ là 2 / 4 = 1 / 2, tỉ số tung độ là 3 / 6 = 1 / 2. Hai tỉ số bằng nhau nên hai vectơ cùng phương. Bạn cũng có thể nhận ra b = 2 × a, tức là vectơ b gấp đôi vectơ a, cùng hướng với vectơ a. Khi cần kiểm tra lại phép tính, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ. Bạn hãy lưu ý: cùng phương không có nghĩa là bằng nhau — hai vectơ cùng phương có thể dài ngắn khác nhau, thậm chí ngược hướng nhau, miễn là chúng nằm trên hai đường thẳng song song.
Ví dụ 3 (vuông góc với vectơ có thành phần bằng 0): Cho hai vectơ a = (1; 0) và b = (0; 5). Hỏi hai vectơ này có vuông góc với nhau không?
Bạn tính tích vô hướng: a · b = 1 × 0 + 0 × 5 = 0 + 0 = 0. Vì tích vô hướng bằng 0 nên hai vectơ vuông góc với nhau. Bạn hãy hình dung: vectơ a = (1; 0) nằm ngang dọc theo trục Ox, vectơ b = (0; 5) thẳng đứng dọc theo trục Oy, hai trục này vuông góc với nhau nên hai vectơ cũng vuông góc. Đây là trường hợp đặc biệt nhưng rất trực quan: một vectơ nằm ngang và một vectơ thẳng đứng luôn vuông góc với nhau.
Ví dụ 4 (tìm m để hai vectơ vuông góc): Cho hai vectơ a = (m; 2) và b = (3; −1). Tìm m để hai vectơ a và b vuông góc với nhau.
Bạn áp dụng điều kiện vuông góc: tích vô hướng của hai vectơ phải bằng 0, tức là m × 3 + 2 × (−1) = 0. Bạn giải phương trình: 3m − 2 = 0, suy ra 3m = 2, vậy m = 2 / 3. Bạn hãy kiểm tra lại bằng cách thay m = 2 / 3 vào: tích vô hướng bằng (2 / 3) × 3 + 2 × (−1) = 2 − 2 = 0, đúng. Dạng bài tìm tham số m này rất hay gặp trong đề thi, vì nó kết hợp điều kiện vuông góc với việc giải phương trình bậc nhất — bạn phải làm đúng cả hai bước mới ra được đáp án.
Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Tính tích vô hướng bằng cách cộng các tọa độ thay vì nhân từng cặp rồi cộng.
Nhiều bạn tính a · b thành (x1 + x2) + (y1 + y2) thay vì x1 × x2 + y1 × y2. Cách tránh: bạn hãy nhớ tích vô hướng là "nhân từng cặp rồi cộng lại" — nhân hoành độ với hoành độ, nhân tung độ với tung độ, rồi cộng hai tích với nhau.
Lỗi 2: Cho rằng không vuông góc thì chắc chắn cùng phương.
Nhiều bạn kiểm tra tích vô hướng khác 0 rồi kết luận ngay hai vectơ cùng phương mà không kiểm tra tỉ lệ tọa độ. Cách tránh: bạn hãy kiểm tra lần lượt từng điều kiện một cách độc lập — vuông góc thì kiểm tra tích vô hướng, cùng phương thì kiểm tra tỉ lệ tọa độ, và chấp nhận rằng có những cặp vectơ không rơi vào trường hợp nào cả.
Lỗi 3: Chia cho 0 khi lập tỉ số tọa độ.
Nhiều bạn viết tỉ số x1 / x2 khi x2 bằng 0, hoặc so sánh 0 / 0 rồi kết luận lung tung. Cách tránh: khi một tọa độ bằng 0, bạn đừng lập tỉ số mà hãy kiểm tra trực tiếp xem vectơ này có phải là bội của vectơ kia không, hoặc dùng phép nhân chéo x1 × y2 = x2 × y1 để tránh phép chia.
Lỗi 4: Nhầm dấu khi nhân số âm trong tích vô hướng.
Nhiều bạn tính 1 × (−4) thành 4 hoặc 2 × (−1) thành 2, làm sai cả tổng tích vô hướng. Cách tránh: bạn hãy viết rõ dấu của từng tích ra nháp trước khi cộng, đặc biệt chú ý các tích có một thừa số âm thì kết quả phải âm.
Lỗi 5: Quên kiểm tra điều kiện cùng phương khi chứng minh ba điểm thẳng hàng.
Nhiều bạn thấy ba điểm A, B, C có vẻ thẳng hàng trên hình vẽ rồi kết luận ngay mà không tính toán. Cách tránh: bạn hãy luôn tính tọa độ hai vectơ AB và AC rồi kiểm tra tỉ lệ tọa độ của chúng — hình vẽ chỉ là gợi ý, con số mới là bằng chứng.
Năm bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ hai phép thử: vuông góc thì tích vô hướng bằng 0, cùng phương thì tỉ lệ tọa độ bằng nhau.
Câu 1: Cho hai vectơ a = (1; 2) và b = (−4; 2). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hai vectơ vuông góc với nhau
B. Hai vectơ cùng phương với nhau
C. Hai vectơ bằng nhau
D. Hai vectơ không vuông góc cũng không cùng phương
Câu 2: Cho hai vectơ a = (2; 1) và b = (4; 2). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hai vectơ vuông góc với nhau
B. Hai vectơ cùng phương với nhau
C. Hai vectơ bằng nhau
D. Hai vectơ không vuông góc cũng không cùng phương
Câu 3: Cho hai vectơ a = (3; 4) và b = (−4; 3). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hai vectơ cùng phương với nhau
B. Hai vectơ bằng nhau
C. Hai vectơ vuông góc với nhau
D. Hai vectơ không vuông góc cũng không cùng phương
Câu 4: Cho hai vectơ a = (1; 2) và b = (2; 5). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hai vectơ vuông góc với nhau
B. Hai vectơ cùng phương với nhau
C. Hai vectơ bằng nhau
D. Hai vectơ không vuông góc cũng không cùng phương
Câu 5: Cho hai vectơ a = (m; 2) và b = (3; −1). Giá trị của m để hai vectơ vuông góc với nhau bằng bao nhiêu?
A. 2 / 3
B. −2 / 3
C. 3 / 2
D. −3 / 2
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | A | B | C | D | A |
Giải thích Câu 1 — Đáp án A (hai vectơ vuông góc với nhau) đúng: Tích vô hướng bằng 1 × (−4) + 2 × 2 = −4 + 4 = 0, nên hai vectơ vuông góc với nhau. Đáp án B sai vì tỉ số hoành độ 1 / (−4) khác tỉ số tung độ 2 / 2 = 1. Đáp án C sai vì hai vectơ có tọa độ khác nhau. Đáp án D sai vì hai vectơ đã vuông góc với nhau.
Giải thích Câu 2 — Đáp án B (hai vectơ cùng phương với nhau) đúng: Tỉ số hoành độ bằng 2 / 4 = 1 / 2, tỉ số tung độ bằng 1 / 2, hai tỉ số bằng nhau nên hai vectơ cùng phương. Đáp án A sai vì tích vô hướng bằng 2 × 4 + 1 × 2 = 10, khác 0. Đáp án C sai vì hai vectơ có độ dài khác nhau. Đáp án D sai vì hai vectơ đã cùng phương với nhau.
Giải thích Câu 3 — Đáp án C (hai vectơ vuông góc với nhau) đúng: Tích vô hướng bằng 3 × (−4) + 4 × 3 = −12 + 12 = 0, nên hai vectơ vuông góc với nhau. Đáp án A sai vì tỉ số hoành độ 3 / (−4) khác tỉ số tung độ 4 / 3. Đáp án B sai vì hai vectơ có tọa độ khác nhau. Đáp án D sai vì hai vectơ đã vuông góc với nhau.
Giải thích Câu 4 — Đáp án D (không vuông góc cũng không cùng phương) đúng: Tích vô hướng bằng 1 × 2 + 2 × 5 = 12, khác 0 nên không vuông góc; tỉ số hoành độ 1 / 2 khác tỉ số tung độ 2 / 5 nên không cùng phương. Đáp án A sai vì tích vô hướng khác 0. Đáp án B sai vì hai tỉ số tọa độ khác nhau. Đáp án C sai vì hai vectơ có tọa độ khác nhau.
Giải thích Câu 5 — Đáp án A (2 / 3) đúng: Điều kiện vuông góc là m × 3 + 2 × (−1) = 0, tức là 3m − 2 = 0, suy ra m = 2 / 3. Đáp án B (−2 / 3) sai vì bạn đã giải 3m + 2 = 0 thay vì 3m − 2 = 0. Đáp án C (3 / 2) sai vì bạn đã lấy nghịch đảo của đáp án đúng. Đáp án D (−3 / 2) sai vì không có cơ sở nào cho ra giá trị này.
Câu hỏi thường gặp về điều kiện vuông góc và cùng phương
Hỏi: Tích vô hướng bằng 0 có chắc chắn hai vectơ vuông góc không?
Đáp: Có, với điều kiện cả hai vectơ đều khác vectơ không. Tích vô hướng bằng 0 tương đương với hai vectơ vuông góc với nhau, đây là quan hệ hai chiều. Vectơ không có tích vô hướng bằng 0 với mọi vectơ nhưng không có hướng xác định, nên người ta thường xét điều kiện này cho hai vectơ khác vectơ không.
Hỏi: Hai vectơ cùng phương thì có nhất thiết phải cùng hướng không?
Đáp: Không, cùng phương bao gồm cả cùng hướng và ngược hướng. Hai vectơ cùng phương khi vectơ này là bội của vectơ kia với hệ số k bất kì khác 0: k dương thì cùng hướng, k âm thì ngược hướng. Chẳng hạn, vectơ (2; 3) và vectơ (−4; −6) cùng phương nhưng ngược hướng nhau.
Hỏi: Làm thế nào để kiểm tra hai vectơ cùng phương khi có tọa độ bằng 0?
Đáp: Bạn đừng lập tỉ số có mẫu bằng 0 mà hãy dùng phép nhân chéo: hai vectơ (x1; y1) và (x2; y2) cùng phương khi x1 × y2 = x2 × y1. Cách này tránh được phép chia cho 0 và dùng được cho mọi trường hợp, kể cả khi một trong các tọa độ bằng 0.
Hỏi: Có thể dùng hai điều kiện này để chứng minh tam giác vuông không?
Đáp: Có, tam giác ABC vuông tại A khi hai vectơ AB và AC vuông góc với nhau, tức là tích vô hướng của chúng bằng 0. Tương tự, ba điểm A, B, C thẳng hàng khi hai vectơ AB và AC cùng phương với nhau. Đây là hai ứng dụng quan trọng nhất của bài này.
Hỏi: Học bài này để làm gì trong các bài sau?
Đáp: Điều kiện vuông góc và cùng phương là công cụ để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng, tính góc giữa hai đường thẳng, và chứng minh các tính chất hình học bằng tọa độ. Khi học về đường thẳng, bạn sẽ thấy điều kiện vuông góc của hai vectơ pháp tuyến chính là điều kiện để hai đường thẳng vuông góc. Nếu muốn đi tiếp, bạn hãy xem bài tích vô hướng của hai vectơ thông qua tọa độ.
Kết luận
Muốn biết hai vectơ có vuông góc hay cùng phương không, bạn chỉ cần hai phép thử bằng số học: tính tích vô hướng x1 × x2 + y1 × y2 — bằng 0 thì vuông góc; so sánh tỉ số x1 / x2 với y1 / y2 — bằng nhau thì cùng phương. Bạn hãy nhớ ba điều: hai phép thử độc lập với nhau, đừng chia cho 0 khi lập tỉ số mà hãy dùng phép nhân chéo, và luôn kiểm tra dấu khi nhân các số âm. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để xét quan hệ giữa hai vectơ bất kì chỉ bằng tọa độ của chúng — và đó là bước quan trọng để chuyển từ hình học vẽ hình sang hình học tính toán bằng số.