Bạn đã quen với phép nhân hai số: 3 nhân 4 bằng 12, gọn gàng và đơn giản. Nhưng nhân hai vectơ với nhau thì sao? Vectơ không phải là một số duy nhất mà là một cặp số, nên phép nhân của chúng cũng phải "thông minh" hơn một chút. Tích vô hướng là phép nhân đặc biệt dành cho hai vectơ: bạn nhân hoành độ với hoành độ, nhân tung độ với tung độ, rồi cộng hai tích lại với nhau — kết quả nhận được là một số duy nhất, không phải một vectơ. Con số này tuy nhỏ bé nhưng lại chứa rất nhiều thông tin: nó cho biết hai vectơ có vuông góc không, góc giữa chúng là nhọn hay tù, và một vectơ "đẩy" theo hướng của vectơ kia mạnh đến mức nào.
Trong đời sống, tích vô hướng xuất hiện ở khắp nơi mà bạn không để ý. Khi bạn kéo một chiếc xe trượt tuyết bằng một sợi dây xiên, chỉ có thành phần lực dọc theo hướng chuyển động mới thực sự làm xe di chuyển — phần lực còn lại bị "lãng phí" theo phương vuông góc. Tích vô hướng chính là công cụ đo lường phần lực có ích đó. Trong Toán học lớp 10, bạn sẽ gặp tích vô hướng qua tọa độ trước, rồi sau đó mới học định nghĩa hình học của nó qua độ dài và góc. Hai cách nhìn này bổ sung cho nhau: công thức tọa độ giúp bạn tính nhanh, còn định nghĩa hình học giúp bạn hiểu ý nghĩa. Bài này tập trung vào công thức tọa độ — cách tính nhanh nhất và hay gặp nhất trong đề thi.
Tích vô hướng qua tọa độ: nhân từng cặp rồi cộng lại
Cho hai vectơ a = (x1; y1) và b = (x2; y2), tích vô hướng của hai vectơ, kí hiệu là a · b, được tính bằng công thức a · b = x1 × x2 + y1 × y2. Bạn hãy đọc công thức này thành một câu khẩu quyết dễ nhớ: nhân hoành độ với hoành độ, nhân tung độ với tung độ, rồi cộng hai tích lại với nhau. Ví dụ, với a = (1; 2) và b = (3; 4), tích vô hướng bằng 1 × 3 + 2 × 4 = 3 + 8 = 11. Kết quả là một số thực, có thể dương, âm hoặc bằng 0 — và dấu của nó mang ý nghĩa hình học quan trọng mà bạn sẽ học ở phần dưới đây.
Điều đầu tiên bạn cần ghi nhớ về dấu của tích vô hướng là: tích vô hướng bằng 0 khi và chỉ khi hai vectơ vuông góc với nhau (với hai vectơ khác vectơ không). Đây chính là điều kiện vuông góc mà bạn đã gặp ở bài trước, và giờ bạn đã hiểu nó xuất phát từ đâu. Khi tích vô hướng dương, góc giữa hai vectơ là góc nhọn, nhỏ hơn 90 độ; khi tích vô hướng âm, góc giữa hai vectơ là góc tù, lớn hơn 90 độ. Bạn có thể hiểu một cách trực quan: tích vô hướng đo mức độ "đồng thuận" của hai vectơ — chúng càng cùng hướng thì tích vô hướng càng lớn, chúng càng ngược hướng thì tích vô hướng càng âm, và khi chúng vuông góc thì không còn chút đồng thuận nào nên tích vô hướng bằng 0.
Một tính chất đặc biệt mà bạn nhất định phải nhớ là tích vô hướng của một vectơ với chính nó bằng bình phương độ dài của vectơ đó: a · a = |a|². Bạn hãy kiểm tra lại bằng công thức tọa độ: với a = (x; y), tích a · a bằng x × x + y × y = x² + y², đúng bằng bình phương độ dài |a|² = x² + y². Tính chất này cho bạn một cách tính độ dài vectơ khác: độ dài bằng căn bậc hai của tích vô hướng của vectơ với chính nó. Trong các bài toán chứng minh, người ta rất hay dùng tính chất này để biến đổi các biểu thức chứa độ dài thành các biểu thức chứa tích vô hướng, vì tích vô hướng dễ khai triển hơn. Chẳng hạn, |a + b|² = (a + b) · (a + b) = |a|² + 2 × a · b + |b|² — một đẳng thức mà bạn sẽ gặp lại nhiều lần.
Tích vô hướng còn có các tính chất quen thuộc giống như phép nhân thông thường: nó có tính giao hoán, tức là a · b = b · a; nó có tính phân phối với phép cộng vectơ, tức là a · (b + c) = a · b + a · c; và nó có tính kết hợp với phép nhân một số với vectơ, tức là (k × a) · b = k × (a · b). Nhờ các tính chất này, bạn có thể khai triển các biểu thức chứa tích vô hướng giống như khai triển các biểu thức đại số thông thường. Tuy nhiên, bạn hãy cẩn thận với một điểm khác biệt quan trọng: tích vô hướng của hai vectơ là một số, không phải một vectơ, nên bạn không thể lấy tích vô hướng của ba vectơ theo kiểu (a · b) · c — vì a · b đã là một số, không còn là vectơ để nhân tiếp nữa. Nếu muốn ôn lại điều kiện hai vectơ vuông góc, bạn hãy xem bài điều kiện để hai vectơ vuông góc, cùng phương.
Bốn bài toán mẫu tính từng bước
Ví dụ 1 (dùng đúng số liệu mẫu): Cho hai vectơ a = (1; 2) và b = (3; 4). Tính tích vô hướng a · b.
Bạn nhân từng cặp tọa độ tương ứng rồi cộng lại: a · b = 1 × 3 + 2 × 4 = 3 + 8 = 11. Vậy tích vô hướng của hai vectơ bằng 11. Vì kết quả dương nên góc giữa hai vectơ là góc nhọn — bạn có thể hình dung hai mũi tên này chỉ theo hai hướng khá gần nhau trên mặt phẳng tọa độ. Bạn hãy kiểm tra lại phép nhân: 1 × 3 bằng 3, 2 × 4 bằng 8, tổng bằng 11 — đúng. Đây là dạng bài cơ bản nhất của tích vô hướng, và bạn phải làm đúng ngay từ lần đầu tiên vì mọi bài toán khác đều dựa trên phép tính này.
Ví dụ 2 (tích vô hướng nhỏ): Cho hai vectơ a = (2; −1) và b = (3; 5). Tính tích vô hướng a · b.
Bạn tính a · b = 2 × 3 + (−1) × 5 = 6 − 5 = 1. Vậy tích vô hướng bằng 1. Bạn hãy chú ý dấu trừ ở đây: (−1) × 5 bằng −5, nên tổng là 6 + (−5) = 1. Kết quả dương nhưng rất nhỏ, cho thấy góc giữa hai vectơ gần bằng 90 độ — hai vectơ gần như vuông góc với nhau nhưng chưa hoàn toàn vuông góc. Khi cần kiểm tra lại phép tính, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ. Dạng bài có số âm như thế này rất hay gặp trong đề thi, vì nó kiểm tra xem bạn có cẩn thận với dấu hay không.
Ví dụ 3 (tích vô hướng bằng 0): Cho hai vectơ a = (1; 0) và b = (0; 1). Tính tích vô hướng a · b và cho biết quan hệ giữa hai vectơ.
Bạn tính a · b = 1 × 0 + 0 × 1 = 0 + 0 = 0. Vì tích vô hướng bằng 0 nên hai vectơ vuông góc với nhau. Bạn hãy hình dung: vectơ a = (1; 0) là vectơ đơn vị dọc theo trục Ox, vectơ b = (0; 1) là vectơ đơn vị dọc theo trục Oy, hai trục này vuông góc với nhau nên hai vectơ cũng vuông góc. Đây là cặp vectơ vuông góc đơn giản nhất mà bạn có thể gặp, và nó cũng là cơ sở để định nghĩa hệ trục tọa độ Oxy.
Ví dụ 4 (tích vô hướng của vectơ với chính nó): Cho vectơ a = (3; 4). Tính a · a và so sánh với bình phương độ dài của vectơ a.
Bạn tính a · a = 3 × 3 + 4 × 4 = 9 + 16 = 25. Mặt khác, độ dài của vectơ a bằng √(9 + 16) = 5, nên bình phương độ dài bằng 25. Hai kết quả bằng nhau, đúng với tính chất a · a = |a|². Bạn hãy ghi nhớ tính chất này vì nó sẽ giúp bạn tính độ dài vectơ mà không cần dùng công thức căn bậc hai: chỉ cần tính tích vô hướng của vectơ với chính nó rồi lấy căn bậc hai của kết quả đó.
Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Nhân chéo tọa độ thay vì nhân từng cặp tương ứng.
Nhiều bạn tính a · b thành x1 × y2 + y1 × x2 thay vì x1 × x2 + y1 × y2, tức là nhân hoành độ của vectơ này với tung độ của vectơ kia. Cách tránh: bạn hãy nhớ "hoành nhân hoành, tung nhân tung" — chỉ nhân các thành phần cùng loại với nhau, rồi cộng hai tích lại.
Lỗi 2: Trả lời tích vô hướng bằng một vectơ thay vì một số.
Nhiều bạn viết đáp án là (3; 8) thay vì 11, tức là nhầm tích vô hướng với phép cộng vectơ hay phép nhân vectơ theo từng thành phần. Cách tránh: bạn hãy nhớ tích vô hướng là một số duy nhất, không phải một cặp số — sau khi cộng hai tích lại, đáp án chỉ còn một con số.
Lỗi 3: Quên dấu âm khi nhân với số âm.
Nhiều bạn tính (−1) × 5 thành 5 thay vì −5, làm sai cả tổng tích vô hướng. Cách tránh: bạn hãy viết rõ dấu của từng tích ra nháp trước khi cộng, và nhớ rằng tích của một số âm với một số dương là số âm.
Lỗi 4: Kết luận hai vectơ vuông góc chỉ vì tích vô hướng nhỏ.
Nhiều bạn thấy tích vô hướng bằng 1 hoặc 2 thì cho rằng hai vectơ "gần vuông góc" nên kết luận là vuông góc. Cách tránh: bạn hãy nhớ điều kiện vuông góc là tích vô hướng phải bằng 0 chính xác, không phải gần bằng 0 — chỉ cần khác 0 một chút thôi thì hai vectơ đã không vuông góc rồi.
Lỗi 5: Nhầm lẫn tích vô hướng với độ dài của tích hai vectơ.
Nhiều bạn cho rằng a · b bằng |a| × |b|, nhưng công thức đúng là a · b = |a| × |b| × cos của góc giữa hai vectơ — còn thiếu thừa số cos. Cách tránh: bạn hãy nhớ tích vô hướng qua tọa độ chỉ bằng x1 × x2 + y1 × y2, còn công thức có cos là định nghĩa hình học, hai công thức này bằng nhau nhưng không được lẫn lộn khi tính toán.
Năm bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ quy tắc: nhân hoành với hoành, nhân tung với tung, rồi cộng hai tích lại.
Câu 1: Cho hai vectơ a = (1; 2) và b = (3; 4). Tích vô hướng a · b bằng bao nhiêu?
A. 11
B. 7
C. 14
D. 25
Câu 2: Cho hai vectơ a = (2; −1) và b = (3; 5). Tích vô hướng a · b bằng bao nhiêu?
A. 11
B. 1
C. 6
D. −1
Câu 3: Cho hai vectơ a = (1; 2) và b = (−2; 1). Tích vô hướng a · b bằng bao nhiêu?
A. 4
B. −4
C. 0
D. 5
Câu 4: Cho vectơ a = (3; 4). Tích vô hướng a · a bằng bao nhiêu?
A. 7
B. 12
C. 14
D. 25
Câu 5: Cho hai vectơ a = (2; 3) và b = (0; 4). Tích vô hướng a · b bằng bao nhiêu?
A. 12
B. 8
C. 6
D. 0
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | A | B | C | D | A |
Giải thích Câu 1 — Đáp án A (11) đúng: a · b = 1 × 3 + 2 × 4 = 3 + 8 = 11. Đáp án B (7) sai vì 7 = 3 + 4 — bạn đã cộng tọa độ của vectơ b. Đáp án C (14) sai vì 14 = 2 × 3 + 2 × 4 — bạn đã lấy nhầm hoành độ của vectơ a. Đáp án D (25) sai vì 25 là bình phương độ dài của vectơ b, không phải tích vô hướng.
Giải thích Câu 2 — Đáp án B (1) đúng: a · b = 2 × 3 + (−1) × 5 = 6 − 5 = 1. Đáp án A (11) sai vì 11 = 6 + 5 — bạn đã quên dấu âm của −1. Đáp án C (6) sai vì bạn chỉ tính tích thứ nhất mà quên tích thứ hai. Đáp án D (−1) sai vì bạn đã lấy −1 × 1 thay vì tính đúng công thức.
Giải thích Câu 3 — Đáp án C (0) đúng: a · b = 1 × (−2) + 2 × 1 = −2 + 2 = 0, nên hai vectơ vuông góc với nhau. Đáp án A (4) sai vì 4 = 2 × 2 — bạn đã nhân tung độ của hai vectơ với nhau rồi lấy giá trị tuyệt đối. Đáp án B (−4) sai vì −4 = 1 × (−2) + (−2) — bạn đã tính sai tích thứ hai. Đáp án D (5) sai vì không có cơ sở nào cho ra 5.
Giải thích Câu 4 — Đáp án D (25) đúng: a · a = 3 × 3 + 4 × 4 = 9 + 16 = 25, đúng bằng bình phương độ dài của vectơ a. Đáp án A (7) sai vì 7 = 3 + 4. Đáp án B (12) sai vì 12 = 3 × 4 — bạn đã nhân hai tọa độ với nhau. Đáp án C (14) sai vì 14 = 2 × (3 + 4) — bạn đã nhân đôi tổng hai tọa độ.
Giải thích Câu 5 — Đáp án A (12) đúng: a · b = 2 × 0 + 3 × 4 = 0 + 12 = 12. Đáp án B (8) sai vì 8 = 2 × 4 — bạn đã nhân hoành độ của vectơ a với tung độ của vectơ b. Đáp án C (6) sai vì 6 = 2 × 3 — bạn đã nhân hai tọa độ của vectơ a với nhau. Đáp án D (0) sai vì bạn đã cho rằng hoành độ bằng 0 của vectơ b làm cả tích vô hướng bằng 0.
Câu hỏi thường gặp về tích vô hướng
Hỏi: Tích vô hướng là một số hay một vectơ?
Đáp: Tích vô hướng là một số thực, không phải một vectơ. Đó là lí do nó có tên "vô hướng" — kết quả không có hướng. Bạn đừng bao giờ trả lời tích vô hướng bằng một cặp số như (3; 8).
Hỏi: Tích vô hướng âm có ý nghĩa gì?
Đáp: Tích vô hướng âm có nghĩa là góc giữa hai vectơ là góc tù, lớn hơn 90 độ — hai vectơ "chống" nhau nhiều hơn là "thuận" nhau. Tích vô hướng dương thì góc nhọn, tích vô hướng bằng 0 thì góc vuông.
Hỏi: Tích vô hướng của một vectơ với chính nó bằng gì?
Đáp: Bằng bình phương độ dài của vectơ đó: a · a = |a|². Tính chất này rất hữu ích khi bạn muốn tính độ dài vectơ hoặc khai triển bình phương của tổng hai vectơ.
Hỏi: Có thể tính tích vô hướng của ba vectơ không?
Đáp: Không, vì tích vô hướng của hai vectơ đã là một số, không còn là vectơ để nhân tiếp với vectơ thứ ba. Bạn chỉ có thể tính tích vô hướng của từng cặp vectơ một, hoặc tính các biểu thức như a · (b + c) nhờ tính phân phối.
Hỏi: Học bài này để làm gì trong các bài sau?
Đáp: Tích vô hướng là công cụ để xét hai vectơ vuông góc, tính góc giữa hai vectơ và hai đường thẳng, tính công của một lực trong Vật lí, và chứng minh nhiều tính chất hình học bằng tọa độ. Nếu muốn ôn lại điều kiện vuông góc, bạn hãy xem bài điều kiện để hai vectơ vuông góc, cùng phương.
Kết luận
Tích vô hướng của hai vectơ a = (x1; y1) và b = (x2; y2) chỉ gói gọn trong công thức a · b = x1 × x2 + y1 × y2: nhân hoành với hoành, nhân tung với tung, rồi cộng hai tích lại. Bạn hãy nhớ ba điều: kết quả là một số chứ không phải vectơ, tích vô hướng bằng 0 tương đương với hai vectơ vuông góc, và tích vô hướng của vectơ với chính nó bằng bình phương độ dài của nó. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để tính tích vô hướng của bất kì cặp vectơ nào — và hiểu thêm vì sao một phép nhân đơn giản lại nói lên được nhiều điều về hướng và góc giữa hai mũi tên.