Chuyên đề Số phức: lý thuyết, công thức và bài tập có đáp án

Bạn đã học các tập hợp số từ nhỏ tới lớn: số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ, số thực.
Mỗi lần mở rộng, lí do đều giống nhau: có một phương trình không giải được trong tập số cũ.
Phương trình x + 1 = 0 không giải được trong số tự nhiên — người ta mở rộng thành số nguyên.
Phương trình 2x = 1 không giải được trong số nguyên — người ta mở rộng thành số hữu tỉ.
Phương trình x² = 2 không giải được trong số hữu tỉ — người ta mở rộng thành số thực.
Và phương trình x² + 1 = 0 không giải được trong số thực — vì bình phương của mọi số thực đều không âm, không bao giờ bằng −1.
Để giải được phương trình này, người ta mở rộng tập số thực thành tập số phức — bằng cách thêm vào một số mới, kí hiệu là i, với tính chất i² = −1.
Số phức ban đầu bị coi là "số ảo", là thứ chỉ tồn tại trên giấy — nhưng ngày nay, số phức là công cụ không thể thiếu của kĩ sư điện, của xử lí tín hiệu, của cơ học lượng tử.
Chuyên đề này sẽ đi từ dạng đại số của số phức, qua mô-đun và số phức liên hợp, tới mặt phẳng phức, dạng lượng giác, công thức Moivre, căn bậc hai và phương trình bậc hai — kèm 8 ví dụ giải chi tiết từng bước, những lỗi sai mà học sinh hay mắc nhất, và 5 câu tự luyện có đáp án như giáo viên chữa bài.

Vì sao cần số phức — phương trình x² + 1 = 0

Trong tập số thực, phương trình x² + 1 = 0 vô nghiệm, vì x² ≥ 0 với mọi số thực x nên x² + 1 ≥ 1, không bao giờ bằng 0.
Để giải được phương trình này, người ta đưa vào một số mới, kí hiệu là i, được gọi là đơn vị ảo, với tính chất i² = −1.
Khi đó, phương trình x² + 1 = 0 có hai nghiệm là x = i và x = −i, vì i² = −1 và (−i)² = −1.
Số phức là số có dạng z = a + bi, với a và b là hai số thực, i là đơn vị ảo.
Số a được gọi là phần thực của z, kí hiệu là Re(z); số b được gọi là phần ảo của z, kí hiệu là Im(z).
Ví dụ: số phức z = 3 + 4i có phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 4.
Số phức z = 5 có phần thực bằng 5 và phần ảo bằng 0 — mọi số thực đều là số phức với phần ảo bằng 0.
Số phức z = 2i có phần thực bằng 0 và phần ảo bằng 2 — gọi là số thuần ảo.
Hai số phức bằng nhau khi phần thực bằng nhau và phần ảo bằng nhau.

Một tính chất quan trọng của đơn vị ảo là lũy thừa của i có chu kì 4: i¹ = i, i² = −1, i³ = −i, i⁴ = 1, rồi lặp lại.
Ví dụ: i²⁰²⁶ = i² = −1, vì 2026 chia 4 dư 2.
Tính chất này giúp tính nhanh lũy thừa của i trong các bài tập: chỉ cần lấy số mũ chia 4 rồi xem số dư.

Dạng đại số của số phức và các phép toán

Cộng và trừ hai số phức được thực hiện bằng cách cộng và trừ riêng phần thực với phần thực, phần ảo với phần ảo.
Cho z₁ = a + bi và z₂ = c + di: z₁ + z₂ = (a + c) + (b + d)i; z₁ − z₂ = (a − c) + (b − d)i.
Nhân hai số phức được thực hiện như nhân hai nhị thức, với lưu ý i² = −1.
z₁ × z₂ = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi² = (ac − bd) + (ad + bc)i.
Chia hai số phức được thực hiện bằng cách nhân cả tử và mẫu với số phức liên hợp của mẫu — phần sau sẽ giải thích số phức liên hợp là gì.
Phép nhân và phép chia số phức tuân theo các quy tắc quen thuộc: giao hoán, kết hợp, phân phối — giống như phép toán với số thực.

Ví dụ 1: Cho hai số phức z₁ = 2 + 3i và z₂ = 1 − i. Tính z₁ + z₂, z₁ − z₂, z₁ × z₂ và z₁ : z₂.
Cộng: z₁ + z₂ = (2 + 1) + (3 − 1)i = 3 + 2i.
Trừ: z₁ − z₂ = (2 − 1) + (3 − (−1))i = 1 + 4i.
Nhân: z₁ × z₂ = (2 + 3i)(1 − i) = 2 − 2i + 3i − 3i² = 2 + i + 3 = 5 + i.
Chú ý: 3i² = 3 × (−1) = −3, nên 2 − 3 = −1 ở phần thực? Không — tính lại cẩn thận: (2 + 3i)(1 − i) = 2 × 1 + 2 × (−i) + 3i × 1 + 3i × (−i) = 2 − 2i + 3i − 3i².
Vì i² = −1 nên −3i² = −3 × (−1) = 3.
Vậy kết quả là 2 + 3 + (−2i + 3i) = 5 + i — đúng.
Chia: z₁ : z₂ = (2 + 3i) : (1 − i).
Nhân cả tử và mẫu với số phức liên hợp của mẫu là 1 + i: [(2 + 3i)(1 + i)] : [(1 − i)(1 + i)].
Tử số: (2 + 3i)(1 + i) = 2 + 2i + 3i + 3i² = 2 + 5i − 3 = −1 + 5i.
Mẫu số: (1 − i)(1 + i) = 1 − i² = 1 − (−1) = 2.
Vậy z₁ : z₂ = (−1 + 5i) : 2 = −1/2 + (5/2)i.
Kiểm tra lại bằng cách nhân ngược: (−1/2 + (5/2)i) × (1 − i) = −1/2 + (1/2)i + (5/2)i − (5/2)i² = −1/2 + 3i + 5/2 = 2 + 3i — đúng bằng z₁.

Mô-đun, số phức liên hợp và ý nghĩa hình học

Mô-đun của số phức z = a + bi được định nghĩa là |z| = √(a² + b²).
Mô-đun là một số thực không âm, và |z| = 0 khi và chỉ khi z = 0.
Ví dụ: |3 + 4i| = √(9 + 16) = √25 = 5.
Số phức liên hợp của z = a + bi là z̄ = a − bi — giữ nguyên phần thực, đổi dấu phần ảo.
Ví dụ: số phức liên hợp của 2 + 3i là 2 − 3i; số phức liên hợp của 1 − i là 1 + i.
Hai tính chất quan trọng nhất của số phức liên hợp: z × z̄ = |z|² và z + z̄ = 2 × Re(z).
Ví dụ: với z = 1 + i, ta có z × z̄ = (1 + i)(1 − i) = 1 − i² = 2, và |z|² = (√2)² = 2 — khớp nhau.
Chính tính chất z × z̄ = |z|² là cơ sở của phép chia số phức: nhân cả tử và mẫu với liên hợp của mẫu sẽ biến mẫu thành một số thực.

Ví dụ 2: Tính mô-đun của các số phức sau: a) z = 3 + 4i; b) z = 1 − i. Tính z × z̄ với z = 1 + i và kiểm chứng tính chất z × z̄ = |z|².
a) |3 + 4i| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5.
b) |1 − i| = √(1² + (−1)²) = √2.
Với z = 1 + i: z̄ = 1 − i.
z × z̄ = (1 + i)(1 − i) = 1 − i² = 1 − (−1) = 2.
|z|² = (√2)² = 2.
Vậy z × z̄ = |z|² = 2 — tính chất được kiểm chứng.
Một hệ quả hay dùng: |z₁ × z₂| = |z₁| × |z₂| và |z₁ : z₂| = |z₁| : |z₂| với z₂ ≠ 0.
Ví dụ: |(2 + 3i)(1 − i)| = |5 + i| = √26, và |2 + 3i| × |1 − i| = √13 × √2 = √26 — khớp nhau.

Mặt phẳng phức: biểu diễn hình học của số phức

Mỗi số phức z = a + bi được biểu diễn bằng một điểm M(a; b) trong mặt phẳng tọa độ Oxy.
Mặt phẳng này được gọi là mặt phẳng phức: trục hoành Ox là trục thực, trục tung Oy là trục ảo.
Số phức z = a + bi còn được biểu diễn bằng vectơ OM với M(a; b).
Mô-đun |z| chính là độ dài của vectơ OM, tức là khoảng cách từ gốc tọa độ O đến điểm M.
Hai số phức liên hợp z và z̄ được biểu diễn bằng hai điểm đối xứng nhau qua trục thực Ox.
Ví dụ: z = 3 + 4i được biểu diễn bằng điểm M(3; 4), cách gốc tọa độ một khoảng bằng 5.
Phép cộng hai số phức tương ứng với phép cộng hai vectơ trong mặt phẳng phức — quy tắc hình bình hành.
Nhờ mặt phẳng phức, các bài toán số phức có thể được giải bằng hình học, và ngược lại, các bài toán hình học có thể được giải bằng số phức.

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức thỏa mãn một điều kiện thường là một hình quen thuộc.
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |z| = 2 là đường tròn tâm O bán kính 2.
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |z − (1 + i)| = 3 là đường tròn tâm I(1; 1) bán kính 3.
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |z| ≤ 1 là hình tròn tâm O bán kính 1, kể cả biên.
Nhận dạng các tập hợp điểm này là một dạng bài hay gặp trong đề thi: hãy dịch điều kiện về mô-đun thành điều kiện về khoảng cách trong mặt phẳng phức.

Dạng lượng giác của số phức và công thức Moivre

Mọi số phức z khác 0 đều viết được dưới dạng z = r(cos φ + i sin φ), với r = |z| là mô-đun của z và φ là argument của z — góc giữa vectơ OM và trục thực Ox.
Dạng này được gọi là dạng lượng giác của số phức.
Để tìm φ, ta dùng hai công thức: cos φ = a : r và sin φ = b : r, với z = a + bi và r = √(a² + b²).
Argument của một số phức không duy nhất: nếu φ là một argument thì φ + k × 2π với k nguyên cũng là argument.
Trong bài tập, người ta thường lấy argument trong khoảng (−π; π] hoặc [0; 2π) — hãy đọc kĩ đề bài để biết lấy khoảng nào.

Ví dụ 3: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác: a) z = 1 + i; b) z = −√3 + i.
a) Với z = 1 + i: mô-đun r = √(1² + 1²) = √2.
cos φ = 1 : √2 = √2 : 2; sin φ = 1 : √2 = √2 : 2.
Suy ra φ = π/4.
Vậy z = √2(cos π/4 + i sin π/4).
b) Với z = −√3 + i: mô-đun r = √((−√3)² + 1²) = √(3 + 1) = 2.
cos φ = −√3 : 2; sin φ = 1 : 2.
Góc φ thỏa mãn cos φ = −√3 : 2 và sin φ = 1 : 2 là φ = 5π/6.
Vậy z = 2(cos 5π/6 + i sin 5π/6).
Kiểm tra: 2 × cos 5π/6 = 2 × (−√3 : 2) = −√3 — đúng phần thực; 2 × sin 5π/6 = 2 × (1/2) = 1 — đúng phần ảo.
Chú ý: với số phức có phần thực âm và phần ảo dương, argument nằm trong góc phần tư thứ hai, tức là từ π/2 đến π — nếu lấy φ = π/6 thì sai, vì cos π/6 dương.

Nhân, chia và lũy thừa số phức ở dạng lượng giác

Dạng lượng giác làm cho phép nhân, chia và lũy thừa số phức trở nên rất đơn giản.
Cho z₁ = r₁(cos φ₁ + i sin φ₁) và z₂ = r₂(cos φ₂ + i sin φ₂).
Nhân hai số phức: mô-đun nhân với nhau, argument cộng với nhau: z₁ × z₂ = r₁r₂[cos(φ₁ + φ₂) + i sin(φ₁ + φ₂)].
Chia hai số phức: mô-đun chia cho nhau, argument trừ cho nhau: z₁ : z₂ = (r₁ : r₂)[cos(φ₁ − φ₂) + i sin(φ₁ − φ₂)].
Lũy thừa: công thức Moivre: [r(cos φ + i sin φ)]ⁿ = rⁿ(cos nφ + i sin nφ).
Ý nghĩa hình học: nhân với một số phức là quay vectơ biểu diễn đi một góc bằng argument của số phức đó, đồng thời co giãn theo mô-đun của nó.
Đây là lí do số phức được dùng rộng rãi trong kĩ thuật: phép quay và co giãn trong mặt phẳng được mô tả gọn gàng bằng phép nhân số phức.

Ví dụ 4: Tính (1 + i)¹⁰ bằng hai cách: dùng dạng lượng giác và công thức Moivre, rồi kiểm tra bằng cách tính trực tiếp.
Cách 1: dùng dạng lượng giác. Từ ví dụ 3, 1 + i = √2(cos π/4 + i sin π/4).
Áp dụng công thức Moivre: (1 + i)¹⁰ = (√2)¹⁰[cos(10 × π/4) + i sin(10 × π/4)].
(√2)¹⁰ = 2⁵ = 32.
10 × π/4 = 5π/2 = 2π + π/2, nên cos(5π/2) = cos(π/2) = 0 và sin(5π/2) = sin(π/2) = 1.
Vậy (1 + i)¹⁰ = 32 × (0 + i × 1) = 32i.
Cách 2: tính trực tiếp. (1 + i)² = 1 + 2i + i² = 2i.
(1 + i)⁴ = (2i)² = 4i² = −4.
(1 + i)⁸ = (−4)² = 16.
(1 + i)¹⁰ = (1 + i)⁸ × (1 + i)² = 16 × 2i = 32i.
Hai cách cho cùng một kết quả 32i — đúng.
Bạn có thể ôn lại các công thức lượng giác cần dùng trong bài chuyên đề lượng giác, và khi cần tính nhanh lũy thừa lớn thì dùng máy tính Casio online để kiểm tra.

Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai

Căn bậc hai của số phức z là số phức w sao cho w² = z.
Mọi số phức khác 0 đều có đúng hai căn bậc hai, đối nhau qua gốc tọa độ.
Cách tìm căn bậc hai của số phức z = a + bi: giả sử căn bậc hai cần tìm là w = x + yi, với x và y là hai số thực.
Khi đó w² = (x² − y²) + 2xyi = a + bi, suy ra hệ phương trình: x² − y² = a và 2xy = b.
Giải hệ này sẽ tìm được x và y, tức là tìm được w.
Một cách giải nhanh: từ hệ trên suy ra x² + y² = √(a² + b²), kết hợp với x² − y² = a để tìm x² và y² riêng biệt.

Ví dụ 5: Tìm căn bậc hai của số phức z = 3 + 4i.
Giả sử căn bậc hai cần tìm là w = x + yi, với x và y là hai số thực.
Khi đó w² = (x² − y²) + 2xyi = 3 + 4i.
Suy ra hệ phương trình: x² − y² = 3 và 2xy = 4, tức là xy = 2.
Mặt khác, x² + y² = √(3² + 4²) = √25 = 5.
Cộng hai phương trình x² − y² = 3 và x² + y² = 5: 2x² = 8, suy ra x² = 4, x = ±2.
Trừ hai phương trình: 2y² = 2, suy ra y² = 1, y = ±1.
Vì xy = 2 > 0 nên x và y cùng dấu: (x; y) = (2; 1) hoặc (−2; −1).
Vậy hai căn bậc hai của 3 + 4i là 2 + i và −2 − i.
Kiểm tra: (2 + i)² = 4 + 4i + i² = 4 + 4i − 1 = 3 + 4i — đúng.
(−2 − i)² = 4 + 4i + i² = 3 + 4i — cũng đúng.

Phương trình bậc hai az² + bz + c = 0 với a, b, c là các số thực và a ≠ 0 luôn có hai nghiệm phức (kể cả nghiệm kép).
Nếu biệt thức Δ = b² − 4ac ≥ 0 thì hai nghiệm là số thực, tính bằng công thức quen thuộc.
Nếu Δ < 0 thì hai nghiệm là hai số phức liên hợp: z = [−b ± i√(−Δ)] : (2a).
Đây là điểm khác biệt lớn nhất giữa việc giải phương trình bậc hai trong tập số thực và trong tập số phức: trong tập số thực, phương trình có thể vô nghiệm; trong tập số phức, phương trình bậc hai luôn có nghiệm.

Ví dụ 6: Giải phương trình z² − 2z + 5 = 0 trên tập số phức.
Biệt thức: Δ = (−2)² − 4 × 1 × 5 = 4 − 20 = −16 < 0.
Vì Δ < 0 nên phương trình có hai nghiệm phức liên hợp: z = [2 ± i√16] : 2 = [2 ± 4i] : 2 = 1 ± 2i.
Vậy hai nghiệm là z₁ = 1 + 2i và z₂ = 1 − 2i.
Kiểm tra với z₁ = 1 + 2i: z₁² = (1 + 2i)² = 1 + 4i + 4i² = 1 + 4i − 4 = −3 + 4i.
−2z₁ = −2 − 4i.
z₁² − 2z₁ + 5 = (−3 + 4i) + (−2 − 4i) + 5 = 0 — đúng.
Tương tự, z₂ = 1 − 2i cũng thỏa mãn phương trình.
Chú ý: hai nghiệm là liên hợp của nhau, đúng với lí thuyết: phương trình bậc hai hệ số thực có Δ < 0 thì hai nghiệm phức liên hợp.

Ví dụ 7: Giải phương trình z² + 4 = 0 trên tập số phức và biểu diễn các nghiệm trên mặt phẳng phức.
Phương trình tương đương với z² = −4.
Vì i² = −1 nên −4 = 4i² = (2i)².
Vậy z² = (2i)², suy ra z = 2i hoặc z = −2i.
Hai nghiệm là z₁ = 2i và z₂ = −2i.
Trên mặt phẳng phức, z₁ được biểu diễn bằng điểm M₁(0; 2) nằm trên trục ảo phía trên gốc tọa độ, z₂ được biểu diễn bằng điểm M₂(0; −2) nằm trên trục ảo phía dưới gốc tọa độ.
Hai điểm này đối xứng nhau qua gốc tọa độ O, và cùng cách O một khoảng bằng 2 — đúng với mô-đun |z₁| = |z₂| = 2.
Trong tập số thực, phương trình z² + 4 = 0 vô nghiệm; trong tập số phức, nó có hai nghiệm — đây chính là lí do người ta mở rộng tập số thực thành tập số phức.

Số phức trong đời sống: điện xoay chiều và tín hiệu

Số phức không chỉ là một khái niệm trừu tượng trên giấy — nó là công cụ làm việc hằng ngày của kĩ sư điện và kĩ sư viễn thông.
Trong mạch điện xoay chiều, điện áp và dòng điện biến thiên theo thời gian dưới dạng hàm sin.
Thay vì làm việc với các hàm sin phức tạp, kĩ sư biểu diễn điện áp và dòng điện bằng số phức — gọi là phasor.
Tổng trở của mạch điện xoay chiều là một số phức: Z = R + (ωL − 1 : ωC)i, với R là điện trở, L là độ tự cảm, C là điện dung, ω là tần số góc của dòng điện.
Mô-đun của tổng trở |Z| quyết định cường độ hiệu dụng của dòng điện: I = U : |Z|.
Argument của tổng trở quyết định độ lệch pha giữa điện áp và dòng điện.

Ví dụ 8: Một mạch điện xoay chiều có điện trở R = 3 Ω và cảm kháng trừ dung kháng bằng 4 Ω. Tính tổng trở phức Z, mô-đun của Z và cường độ hiệu dụng của dòng điện khi điện áp hiệu dụng là 100 V.
Tổng trở phức: Z = R + (ωL − 1 : ωC)i = 3 + 4i (Ω).
Mô-đun của tổng trở: |Z| = √(3² + 4²) = √25 = 5 Ω.
Cường độ hiệu dụng: I = U : |Z| = 100 : 5 = 20 A.
Argument của tổng trở: tan φ = 4 : 3, suy ra φ ≈ 53,1° — dòng điện chậm pha hơn điện áp một góc khoảng 53,1°.
Nếu chỉ dùng số thực thì bài toán này phải giải bằng phương pháp đồ thị vectơ rất cồng kềnh; với số phức, mọi phép tính trở thành cộng, trừ, nhân, chia các số phức — gọn gàng và chính xác.
Ngoài điện xoay chiều, số phức còn xuất hiện trong xử lí tín hiệu âm thanh và hình ảnh, trong cơ học lượng tử, và trong đồ họa máy tính — nơi phép nhân số phức được dùng để quay và co giãn các hình ảnh trên màn hình.

Những lỗi sai hay gặp nhất khi làm bài số phức

Lỗi 1: Quên i² = −1 khi nhân hai số phức.
Khi nhân (a + bi)(c + di), số hạng bdi² phải được thay bằng −bd, không phải +bd.
Ví dụ: (1 + i)² = 1 + 2i + i² = 2i, không phải 2 + 2i.
Cách tránh: sau khi khai triển tích, luôn thay i² bằng −1 ngay trước khi gom các số hạng.

Lỗi 2: Nhầm lẫn phần ảo với số phức liên hợp.
Phần ảo của z = a + bi là số thực b, không phải số phức bi.
Số phức liên hợp của z = a + bi là z̄ = a − bi — giữ nguyên phần thực, đổi dấu phần ảo.
Ví dụ: phần ảo của 2 + 3i là 3, còn số phức liên hợp của 2 + 3i là 2 − 3i.

Lỗi 3: Tính mô-đun mà quên bình phương cả phần thực lẫn phần ảo.
|a + bi| = √(a² + b²), không phải √(a + b) hay a + b.
Ví dụ: |3 + 4i| = √(9 + 16) = 5, không phải √(3 + 4) = √7 hay 3 + 4 = 7.

Lỗi 4: Xác định sai argument khi số phức nằm ở góc phần tư thứ hai hoặc thứ ba.
Khi tính argument, phải xét dấu của cả phần thực và phần ảo để xác định đúng góc phần tư.
Ví dụ: z = −√3 + i có cos φ = −√3 : 2 và sin φ = 1 : 2, suy ra φ = 5π/6, không phải π/6 — vì cos π/6 dương trong khi phần thực của z âm.

Lỗi 5: Kết luận phương trình bậc hai vô nghiệm khi Δ < 0.
Trong tập số thực, phương trình bậc hai với Δ < 0 vô nghiệm.
Trong tập số phức, phương trình bậc hai luôn có hai nghiệm: khi Δ < 0 thì hai nghiệm là hai số phức liên hợp z = [−b ± i√(−Δ)] : (2a).
Trong đề thi lớp 12, phương trình bậc hai được giải trên tập số phức — đừng bao giờ kết luận vô nghiệm khi Δ < 0.

Bài tập tự luyện — làm rồi mới xem đáp án nhé

Câu 1. Mô-đun của số phức z = 3 − 4i bằng bao nhiêu?
A. 5
B. 7
C. 1
D. 25
→ Đáp án: A. Giải thích: |z| = √(3² + (−4)²) = √(9 + 16) = √25 = 5. Đáp án B sai vì 7 = 3 + 4, không phải √(9 + 16). Đáp án C sai vì 1 = |3 − 2| hay |−4 + 5|, không liên quan. Đáp án D sai vì 25 = 3² + 4², là bình phương của mô-đun chứ không phải mô-đun.

Câu 2. (1 + i)² bằng bao nhiêu?
A. 2i
B. 2
C. 1 + 2i
D. 0
→ Đáp án: A. Giải thích: (1 + i)² = 1 + 2i + i² = 1 + 2i − 1 = 2i. Đáp án B sai vì quên số hạng 2i. Đáp án C sai vì quên thay i² = −1, giữ nguyên 1 + 2i. Đáp án D sai vì (1 + i)² khác 0 — chỉ có số 0 mới có bình phương bằng 0.

Câu 3. Số phức liên hợp của z = 2 − 5i là:
A. 2 + 5i
B. −2 + 5i
C. −2 − 5i
D. 5 − 2i
→ Đáp án: A. Giải thích: Số phức liên hợp của z = a + bi là z̄ = a − bi — giữ nguyên phần thực, đổi dấu phần ảo. Với z = 2 − 5i, phần thực là 2, phần ảo là −5, đổi dấu phần ảo thành 5, được z̄ = 2 + 5i. Đáp án B sai vì đổi dấu cả phần thực lẫn phần ảo. Đáp án C sai vì chỉ đổi dấu phần thực. Đáp án D sai vì hoán đổi phần thực và phần ảo cho nhau.

Câu 4. Phương trình z² + 9 = 0 có nghiệm là:
A. z = ±3
B. z = ±3i
C. z = ±9i
D. Vô nghiệm
→ Đáp án: B. Giải thích: Phương trình tương đương với z² = −9 = (3i)², suy ra z = 3i hoặc z = −3i. Đáp án A sai vì (±3)² = 9, không phải −9 — đó là nghiệm của z² − 9 = 0. Đáp án C sai vì (±9i)² = −81, không phải −9. Đáp án D sai vì trên tập số phức, phương trình bậc hai luôn có nghiệm — chỉ trong tập số thực thì phương trình này mới vô nghiệm.

Câu 5. Dạng lượng giác của số phức z = 1 − i là:
A. √2(cos π/4 + i sin π/4)
B. √2(cos(−π/4) + i sin(−π/4))
C. 2(cos π/4 + i sin π/4)
D. √2(cos 3π/4 + i sin 3π/4)
→ Đáp án: B. Giải thích: Mô-đun r = √(1² + (−1)²) = √2. cos φ = 1 : √2 = √2 : 2; sin φ = −1 : √2 = −√2 : 2. Góc φ thỏa mãn hai điều kiện này là φ = −π/4. Vậy z = √2(cos(−π/4) + i sin(−π/4)). Đáp án A sai vì sin π/4 dương trong khi phần ảo của z âm — đó là dạng lượng giác của 1 + i. Đáp án C sai vì mô-đun là √2 chứ không phải 2. Đáp án D sai vì cos 3π/4 âm trong khi phần thực của z dương.

Câu hỏi thường gặp về số phức

Số phức có "thật" không, hay chỉ là thứ bịa ra trên giấy? Số phức là một khái niệm toán học giống như số âm hay số vô tỉ — ban đầu cũng bị coi là "không thật", nhưng sau đó trở thành công cụ không thể thiếu. Kĩ sư điện dùng số phức mỗi ngày để tính toán mạch điện xoay chiều, nên số phức "thật" theo đúng nghĩa thực dụng nhất: nó giúp chế tạo ra các thiết bị điện tử đang chạy quanh bạn.

Vì sao phải học dạng lượng giác của số phức? Vì dạng lượng giác làm cho phép nhân, chia và lũy thừa số phức trở nên rất đơn giản: nhân thì cộng argument, chia thì trừ argument, lũy thừa thì nhân argument với số mũ. Nếu chỉ dùng dạng đại số thì tính (1 + i)¹⁰ rất dài, còn với dạng lượng giác và công thức Moivre thì chỉ cần vài dòng.

Argument của một số phức có duy nhất không? Không. Nếu φ là một argument thì φ + k × 2π với k nguyên cũng là argument. Trong bài tập, người ta thường lấy argument trong một khoảng quy định, ví dụ (−π; π] hoặc [0; 2π) — hãy đọc kĩ đề bài để biết lấy khoảng nào.

Phương trình bậc hai hệ số thực có Δ < 0 thì nghiệm như thế nào? Hai nghiệm là hai số phức liên hợp: z = [−b ± i√(−Δ)] : (2a). Ví dụ: z² − 2z + 5 = 0 có Δ = −16, hai nghiệm là 1 + 2i và 1 − 2i. Đây là điểm khác biệt lớn nhất giữa việc giải phương trình bậc hai trong tập số thực và trong tập số phức.

Học số phức để làm gì trong đời thực? Rất nhiều: kĩ sư điện dùng số phức để tính mạch điện xoay chiều, kĩ sư viễn thông dùng số phức để xử lí tín hiệu âm thanh và hình ảnh, nhà vật lí dùng số phức trong cơ học lượng tử, nhà thiết kế đồ họa dùng phép nhân số phức để quay và co giãn hình ảnh. Số phức là ngôn ngữ của dao động và quay — hai hiện tượng có mặt ở khắp nơi trong thế giới hiện đại.

Kết luận: từ x² + 1 = 0 tới cả một thế giới mới

Đi hết chuyên đề này, bạn đã có trong tay toàn bộ công cụ của chương số phức: dạng đại số và các phép toán cộng, trừ, nhân, chia; mô-đun và số phức liên hợp; mặt phẳng phức và biểu diễn hình học; dạng lượng giác và công thức Moivre; căn bậc hai của số phức và cách giải phương trình bậc hai trên tập số phức.
Điểm chung của tất cả các phần là một thói quen duy nhất: luôn nhớ i² = −1, luôn kiểm tra lại bằng cách thay nghiệm vào phương trình, và luôn xét dấu của cả phần thực lẫn phần ảo khi xác định argument.
Để ôn tiếp, hãy đọc lại bài chuyên đề lượng giác để chắc các công thức lượng giác dùng trong dạng lượng giác của số phức, bài chuyên đề hàm số và đồ thị để ôn lại cách đọc đồ thị trên mặt phẳng tọa độ, và bài chuyên đề phương trình và hệ phương trình để ôn lại cách giải phương trình bậc hai.
Cuối cùng, đừng chỉ đọc — hãy tự tay tính lại 8 ví dụ trong bài không nhìn đáp án, làm 5 câu tự luyện rồi đối chiếu với bảng đáp án, và thử tìm căn bậc hai của số phức 5 − 12i, dùng máy tính Casio online để kiểm tra lại từng giá trị mình tính.
Làm được như vậy, chuyên đề số phức sẽ thực sự là của bạn.