Cuối tuần trước, lớp 10A tổ chức liên hoan. Bạn lớp trưởng mang 360.000 đồng đi mua nước: mỗi chai nước ngọt giá 15.000 đồng, mỗi chai nước suối giá 10.000 đồng, tổng cộng mua đúng 30 chai.
Hỏi lớp đã mua bao nhiêu chai nước ngọt, bao nhiêu chai nước suối?
Nếu chỉ gọi x là số chai nước ngọt thì ta mới có một phương trình: 15.000x + 10.000(30 − x) = 360.000.
Giải ra x = 12 — lớp mua 12 chai nước ngọt và 18 chai nước suối.
Nghe thì đơn giản, nhưng thử đổi đề một chút: lớp trưởng chỉ nhớ tổng số tiền và tổng số chai, còn giá mỗi loại thì... quên mất. Lúc ấy một phương trình là không đủ — ta cần tới hai phương trình, hai ẩn số, và cả một hệ phương trình.
Chuyên đề này sẽ đi từ cánh cửa đầu tiên — phương trình bậc nhất một ẩn — cho tới hệ ba ẩn, qua phương trình bậc hai, delta, Vi-ét, phương trình chứa căn, chứa tham số, và cả những bài toán thực tế mà đề kiểm tra rất hay ra. Mỗi phần đều có ví dụ giải từng bước và bài tập để bạn tự luyện ngay.
1. Phương trình là gì — một câu hỏi có dấu bằng
Một phương trình là một đẳng thức có chứa ẩn số — những chữ cái như x, y mà ta cần tìm giá trị.
Ví dụ: 2x + 3 = 11 là một phương trình với ẩn x.
Nghiệm của phương trình là giá trị của ẩn làm cho đẳng thức đúng. Với 2x + 3 = 11, thử x = 4: 2 × 4 + 3 = 11 — đúng, vậy x = 4 là một nghiệm.
Tập nghiệm là tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình, thường kí hiệu là S. Phương trình 2x + 3 = 11 có S = {4}.
Một phương trình có thể có một nghiệm, nhiều nghiệm, vô số nghiệm, hoặc không có nghiệm nào — trường hợp cuối gọi là phương trình vô nghiệm, tập nghiệm là tập rỗng S = ∅.
Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.
Có hai phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm, và bạn sẽ dùng chúng trong mọi bài giải:
Chuyển vế: chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia thì đổi dấu hạng tử đó.
Nhân (hoặc chia) cả hai vế với cùng một số khác 0.
Nhờ hai phép này, mọi phương trình bậc nhất đều có thể đưa về dạng ax + b = 0 quen thuộc.
Trước khi giải, hãy tập thói quen đọc đề như một thám tử: ẩn là gì, điều kiện của ẩn là gì, đề hỏi nghiệm hay hỏi số nghiệm, có tham số hay không.
Chỉ cần trả lời được bốn câu hỏi đó, bạn đã đi được nửa đường.
2. Phương trình bậc nhất một ẩn — cánh cửa đầu tiên
Phương trình bậc nhất một ẩn có dạng ax + b = 0, trong đó a ≠ 0, a và b là các số đã biết.
Cách giải chỉ có một bước: chuyển vế rồi chia — x = −b/a.
Nghe thì quá dễ, nhưng chính dạng này là nền móng của mọi dạng khác: phương trình bậc hai sau khi phân tích cũng về tới bậc nhất, hệ phương trình sau khi khử cũng về tới bậc nhất.
Ví dụ 1: Giải phương trình 3x − 7 = 2x + 5.
Chuyển các hạng tử chứa x sang vế trái, các số sang vế phải: 3x − 2x = 5 + 7.
Rút gọn: x = 12.
Thử lại: vế trái 3 × 12 − 7 = 29, vế phải 2 × 12 + 5 = 29 — hai vế bằng nhau, nghiệm đúng.
Vậy tập nghiệm S = {12}.
Thói quen thử lại chỉ tốn vài giây nhưng cứu được rất nhiều điểm: một phép chuyển vế sai dấu là cả bài đi tong.
| Dạng phương trình | Cách xử lí | Kết quả |
|---|---|---|
| ax + b = 0 (a ≠ 0) | x = −b/a | Một nghiệm duy nhất |
| 0x = b (b ≠ 0) | Không có x nào thỏa mãn | Vô nghiệm |
| 0x = 0 | Mọi x đều thỏa mãn | Vô số nghiệm |
Bảng trên chính là toàn bộ "số phận" của một phương trình bậc nhất: một nghiệm, vô nghiệm, hoặc vô số nghiệm — không có trường hợp thứ tư.
Khi gặp dạng 0x = b, đừng cố chia: số 0 nhân với bất cứ số nào cũng bằng 0, nên 0x = 5 là điều không thể, còn 0x = 0 thì x nào cũng đúng.
3. Phương trình bậc hai — khi ẩn số nhân với chính nó
Phương trình bậc hai một ẩn có dạng ax² + bx + c = 0, với a ≠ 0.
Đây là dạng phương trình xuất hiện nhiều nhất trong chương trình lớp 9 và lớp 10, từ đề kiểm tra 15 phút tới đề thi vào lớp 10.
Muốn biết phương trình có bao nhiêu nghiệm, chỉ cần nhìn vào một con số duy nhất: biệt thức delta.
Đặt Δ = b² − 4ac, ta có ba trường hợp:
Nếu Δ > 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt: x₁ = (−b + √Δ) / 2a và x₂ = (−b − √Δ) / 2a.
Nếu Δ = 0, phương trình có nghiệm kép: x₁ = x₂ = −b / 2a.
Nếu Δ < 0, phương trình vô nghiệm trên tập số thực.
Công thức nghiệm đầy đủ đã có trong bài công thức nghiệm phương trình bậc hai — hãy mở ra đối chiếu khi làm bài tập.
Một mẹo nhỏ hay dùng trong phòng thi: khi b là số chẵn, đặt b = 2b' thì có thể dùng delta phẩy Δ' = b'² − ac cho gọn số. Công thức nghiệm khi đó là x = (−b' ± √Δ') / a.
Ví dụ: x² − 6x + 5 = 0 có b' = −3, Δ' = 9 − 5 = 4, nghiệm x = 3 ± 2, tức là x = 5 hoặc x = 1.
Ví dụ 2: Giải phương trình x² − 5x + 6 = 0.
Tính delta: Δ = (−5)² − 4 × 1 × 6 = 25 − 24 = 1.
Vì Δ = 1 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.
x₁ = (5 + √1) / 2 = 6 / 2 = 3.
x₂ = (5 − √1) / 2 = 4 / 2 = 2.
Thử lại: 3² − 5 × 3 + 6 = 9 − 15 + 6 = 0; 2² − 5 × 2 + 6 = 4 − 10 + 6 = 0 — cả hai đều đúng.
Vậy tập nghiệm S = {2; 3}.
Sau khi tìm được nghiệm, bạn có thể kiểm tra nhanh bằng máy tính Casio online: nhập phương trình, máy sẽ cho ra nghiệm để đối chiếu với kết quả tính tay — nhưng nhớ rằng trong phòng thi, máy tính chỉ là công cụ kiểm tra, bài giải vẫn phải trình bày đầy đủ các bước.
Định lí Vi-ét — nhẩm nghiệm không cần delta
Nếu phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x₁, x₂ thì tổng và tích của chúng thỏa mãn:
x₁ + x₂ = −b/a.
x₁ × x₂ = c/a.
Hai công thức này gọi là hệ thức Vi-ét, và chúng mở ra một lối đi tắt rất hay: khi a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm x₁ = 1, nghiệm còn lại x₂ = c/a; khi a − b + c = 0 thì có nghiệm x₁ = −1, nghiệm còn lại x₂ = −c/a.
Ví dụ: x² − 3x + 2 = 0 có 1 − 3 + 2 = 0 nên nhẩm ngay được hai nghiệm x = 1 và x = 2, không cần tính delta.
Ví dụ 3: Cho phương trình x² − 7x + 10 = 0. Không giải phương trình, hãy tính x₁² + x₂², trong đó x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình.
Theo Vi-ét: x₁ + x₂ = 7 và x₁ × x₂ = 10.
Biến đổi: x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂.
Thay số: 7² − 2 × 10 = 49 − 20 = 29.
Vậy x₁² + x₂² = 29.
Kiểm chứng bằng cách giải ra nghiệm: x = 2 và x = 5, mà 2² + 5² = 4 + 25 = 29 — khớp.
Kiểu bài "tính biểu thức đối xứng của nghiệm mà không giải phương trình" này xuất hiện trong hầu hết các đề kiểm tra, và Vi-ét là chìa khóa duy nhất. Muốn ôn kĩ hơn, xem bài hệ thức Vi-ét.
4. Những dạng "khó nhằn": chứa căn, chứa ẩn ở mẫu, chứa tham số
Ba dạng này khiến nhiều bạn mất điểm không phải vì khó tính, mà vì quên mất một bước duy nhất: đặt điều kiện trước khi biến đổi.
Phương trình chứa căn: biểu thức dưới dấu căn phải không âm, và khi bình phương hai vế thì vế còn lại cũng phải không âm.
Phương trình chứa ẩn ở mẫu: mẫu số phải khác 0 — nghiệm nào làm mẫu bằng 0 thì phải loại, dù tính ra rất đẹp.
Phương trình chứa tham số: chữ m trong đề không phải ẩn cần tìm mà là một số chưa biết — nhiệm vụ của bạn là biện luận: với m nào thì phương trình có nghiệm, vô nghiệm, hay có nghiệm kép.
Ví dụ 4: Giải phương trình √(x + 3) = x − 1.
Điều kiện: x + 3 ≥ 0 và x − 1 ≥ 0, tức là x ≥ 1.
Bình phương hai vế: x + 3 = (x − 1)² = x² − 2x + 1.
Chuyển vế: x² − 3x − 2 = 0.
Tính delta: Δ = 9 + 8 = 17, nghiệm x = (3 ± √17) / 2.
Đối chiếu điều kiện x ≥ 1: (3 + √17) / 2 ≈ 3,56 — nhận; (3 − √17) / 2 ≈ −0,56 — loại.
Thử lại với x ≈ 3,56: vế trái √(6,56) ≈ 2,56, vế phải 3,56 − 1 = 2,56 — khớp.
Vậy tập nghiệm S = {(3 + √17) / 2}.
Bài học ở đây: nghiệm (3 − √17) / 2 vẫn thỏa mãn phương trình sau khi bình phương, nhưng vi phạm điều kiện ban đầu — đó gọi là nghiệm ngoại lai, và đề thi rất thích gài bẫy kiểu này.
Với phương trình chứa ẩn ở mẫu, quy tắc cũng giống hệt: đặt điều kiện mẫu khác 0 trước, giải xong đối chiếu lại.
Ví dụ nhanh: 1/(x − 2) = 3/(x + 2), điều kiện x ≠ 2 và x ≠ −2.
Quy đồng: x + 2 = 3(x − 2), suy ra x + 2 = 3x − 6, 2x = 8, x = 4 — thỏa mãn điều kiện, nhận.
Thử lại: 1/(4 − 2) = 1/2, 3/(4 + 2) = 3/6 = 1/2 — đúng.
Ví dụ 5: Biện luận số nghiệm của phương trình mx + 2 = 3x + m theo tham số m.
Chuyển vế và rút gọn: (m − 3)x = m − 2.
Trường hợp 1: m − 3 = 0, tức là m = 3. Phương trình trở thành 0x = 1 — vô nghiệm.
Trường hợp 2: m − 3 ≠ 0, tức là m ≠ 3. Phương trình có nghiệm duy nhất x = (m − 2) / (m − 3).
Kiểm chứng với m = 5: x = 3/2. Thay vào: vế trái 5 × 3/2 + 2 = 19/2, vế phải 3 × 3/2 + 5 = 19/2 — khớp.
Kết luận: m = 3 thì vô nghiệm, m ≠ 3 thì có nghiệm duy nhất x = (m − 2) / (m − 3).
Dạng biện luận này là cầu nối lên lớp 12: ở đó, người ta còn dùng công thức đạo hàm và bảng biến thiên để biện luận số nghiệm của phương trình theo tham số một cách trực quan hơn.
5. Hệ phương trình — khi một phương trình là chưa đủ
Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát:
a₁x + b₁y = c₁.
a₂x + b₂y = c₂.
Nghiệm của hệ là cặp số (x; y) thỏa mãn đồng thời cả hai phương trình — về hình học, đó chính là giao điểm của hai đường thẳng.
Có ba cách giải, và bạn nên thành thạo cả ba vì mỗi đề sẽ "hợp" với một cách:
Phương pháp thế: rút một ẩn từ phương trình này, thế vào phương trình kia.
Phương pháp cộng đại số: nhân hai phương trình với hệ số thích hợp rồi cộng (hoặc trừ) để triệt tiêu một ẩn.
Phương pháp Cramer: dùng định thức D = a₁b₂ − a₂b₁; Dx = c₁b₂ − c₂b₁; Dy = a₁c₂ − a₂c₁.
Với Cramer: nếu D ≠ 0, hệ có nghiệm duy nhất x = Dx/D, y = Dy/D; nếu D = 0 và Dx = Dy = 0, hệ có vô số nghiệm; nếu D = 0 và Dx ≠ 0 hoặc Dy ≠ 0, hệ vô nghiệm.
Ví dụ 6: Giải hệ phương trình {2x + y = 7; x − y = 2}.
Cách cộng đại số: cộng hai phương trình vế theo vế, y bị triệt tiêu: 3x = 9, suy ra x = 3.
Thế x = 3 vào phương trình thứ hai: 3 − y = 2, suy ra y = 1.
Cách Cramer để kiểm tra: D = 2 × (−1) − 1 × 1 = −3; Dx = 7 × (−1) − 2 × 1 = −9; Dy = 2 × 2 − 1 × 7 = −3.
x = Dx/D = (−9)/(−3) = 3; y = Dy/D = (−3)/(−3) = 1 — khớp với cách cộng đại số.
Thử lại: 2 × 3 + 1 = 7 và 3 − 1 = 2 — cả hai phương trình đều đúng.
Vậy nghiệm của hệ là (x; y) = (3; 1).
Hệ ba ẩn thì sao? Nguyên tắc vẫn vậy: khử dần từng ẩn cho tới khi còn một phương trình bậc nhất.
Ví dụ hệ {x + y + z = 6; 2x − y + z = 3; x + 2y − z = 2}.
Lấy phương trình thứ hai trừ phương trình thứ nhất: x − 2y = −3.
Lấy phương trình thứ ba cộng phương trình thứ nhất: 2x + 3y = 8.
Giải hệ hai ẩn mới: từ x = 2y − 3 thế vào 2x + 3y = 8 được 4y − 6 + 3y = 8, suy ra y = 2, x = 1, rồi z = 6 − 1 − 2 = 3.
Thử lại: 1 + 2 + 3 = 6; 2 − 2 + 3 = 3; 1 + 4 − 3 = 2 — đúng cả ba.
Vậy nghiệm là (x; y; z) = (1; 2; 3).
6. Bài toán thực tế — lập phương trình, lập hệ rồi mới giải
Mọi bài toán thực tế về phương trình đều đi qua đúng bốn bước:
Bước 1: Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn (ví dụ: x là số chai nước, x nguyên dương).
Bước 2: Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và lập phương trình (hoặc hệ).
Bước 3: Giải phương trình (hoặc hệ) vừa lập.
Bước 4: Đối chiếu nghiệm với điều kiện, trả lời câu hỏi của đề bài.
Bước 4 là bước bị bỏ quên nhiều nhất: nghiệm tính ra đúng nhưng không thỏa điều kiện thực tế (ví dụ số người âm, thời gian âm) thì vẫn phải loại.
Bài toán: Cần pha 200 g dung dịch muối nồng độ 10% từ hai dung dịch muối có nồng độ 4% và 16%. Hỏi cần lấy bao nhiêu gam mỗi loại?
Gọi x (g) là khối lượng dung dịch 4%, y (g) là khối lượng dung dịch 16%, với x > 0, y > 0.
Tổng khối lượng: x + y = 200.
Khối lượng muối: 0,04x + 0,16y = 200 × 10% = 20.
Nhân phương trình thứ hai với 100: 4x + 16y = 2000, hay x + 4y = 500.
Trừ cho phương trình thứ nhất: 3y = 300, suy ra y = 100, rồi x = 100.
Thử lại: 100 + 100 = 200 g; lượng muối 4 + 16 = 20 g, đúng 10% của 200 g.
Vậy cần lấy 100 g dung dịch 4% và 100 g dung dịch 16%.
Cùng một khuôn bốn bước này, bạn giải được cả bài toán chuyển động (quãng đường = vận tốc × thời gian), bài toán năng suất (khối lượng công việc = năng suất × thời gian), bài toán tuổi, bài toán hình học — chỉ khác nhau ở chỗ lập phương trình từ dữ kiện nào.
7. Những lỗi sai hay gặp nhất khi giải phương trình và hệ phương trình
Lỗi 1: Quên đặt điều kiện xác định.
Giải phương trình chứa căn hay chứa ẩn ở mẫu mà không đặt điều kiện trước, rồi nhận cả nghiệm ngoại lai vào đáp án.
Cách tránh: viết điều kiện thành dòng đầu tiên của bài giải, trước cả khi biến đổi.
Lỗi 2: Chuyển vế quên đổi dấu.
Chuyển −7 từ vế trái sang vế phải mà vẫn giữ nguyên −7, cả bài sai theo.
Cách tránh: sau khi chuyển vế, đọc lại từng hạng tử một lần nữa trước khi rút gọn.
Lỗi 3: Bình phương hai vế mà không kiểm tra lại nghiệm.
Bình phương là phép biến đổi không tương đương: nó có thể sinh ra nghiệm ngoại lai.
Cách tránh: mọi nghiệm tìm được sau khi bình phương đều phải thử lại vào phương trình gốc.
Lỗi 4: Nhầm công thức nghiệm khi delta bằng 0.
Khi Δ = 0, nghiệm kép là x = −b/2a — nhiều bạn vẫn áp công thức (−b ± √Δ)/2a rồi viết hai nghiệm giống nhau, hoặc quên mất trường hợp nghiệm kép khi biện luận.
Cách tránh: nhớ riêng ba trường hợp của delta như một bảng tra cứu trong đầu.
Lỗi 5: Áp dụng Vi-ét khi phương trình vô nghiệm.
Hệ thức Vi-ét chỉ đúng khi phương trình có nghiệm, tức là Δ ≥ 0.
Cách tránh: tính delta trước, chỉ dùng Vi-ét sau khi đã chắc chắn phương trình có nghiệm.
Lỗi 6: Kết luận nghiệm của hệ mà không thử lại cả hai phương trình.
Một cặp (x; y) chỉ là nghiệm của hệ khi thỏa mãn đồng thời cả hai phương trình — thử một phương trình là chưa đủ.
Cách tránh: thay cặp nghiệm vào cả hai phương trình, kiểm tra từng vế.
8. Bài tập tự luyện — làm rồi mới xem đáp án nhé
Câu 1. Nghiệm của phương trình 2x + 6 = 0 là:
A. 3
B. −3
C. 6
D. −6
→ Đáp án: B. Giải thích: 2x + 6 = 0, chuyển vế được 2x = −6, suy ra x = −3. Đáp án A sai vì quên đổi dấu khi chuyển 6 sang vế phải. Đáp án C và D sai vì lấy 6 chia 1 hoặc giữ nguyên dấu mà không chia cho 2.
Câu 2. Tổng hai nghiệm của phương trình x² − 3x − 4 = 0 bằng:
A. 3
B. −3
C. 4
D. −4
→ Đáp án: A. Giải thích: Theo Vi-ét, tổng hai nghiệm bằng −b/a = 3/1 = 3. Đáp án B sai vì quên dấu trừ trong công thức −b/a. Đáp án C và D nhầm tổng với tích hai nghiệm (tích bằng c/a = −4).
Câu 3. Hệ phương trình {x + y = 5; 2x − y = 1} có nghiệm là:
A. (2; 3)
B. (3; 2)
C. (1; 4)
D. (5; 0)
→ Đáp án: A. Giải thích: Cộng hai phương trình: 3x = 6, suy ra x = 2, thế vào phương trình đầu được y = 3. Thử lại: 2 + 3 = 5 và 4 − 3 = 1 — đúng cả hai. Đáp án B là cặp nghiệm bị hoán đổi x và y. Đáp án C thỏa mãn phương trình đầu (1 + 4 = 5) nhưng không thỏa mãn phương trình thứ hai (2 − 4 = −2 ≠ 1). Đáp án D thỏa mãn phương trình đầu nhưng 2 × 5 − 0 = 10 ≠ 1.
Câu 4. Phương trình x² − 2x + m = 0 vô nghiệm khi:
A. m < 1
B. m > 1
C. m = 1
D. m ≥ 1
→ Đáp án: B. Giải thích: Tính Δ' = 1 − m. Phương trình vô nghiệm khi Δ' < 0, tức là 1 − m < 0, suy ra m > 1. Đáp án A cho Δ' > 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt. Đáp án C cho Δ' = 0, phương trình có nghiệm kép x = 1. Đáp án D gộp cả trường hợp nghiệm kép vào, không đúng với yêu cầu vô nghiệm.
Câu 5. Phương trình mx = 4 vô nghiệm khi:
A. m = 0
B. m = 4
C. m ≠ 0
D. m = 1
→ Đáp án: A. Giải thích: Khi m = 0, phương trình trở thành 0x = 4 — không có giá trị x nào thỏa mãn nên vô nghiệm. Đáp án C ngược lại: m ≠ 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = 4/m. Đáp án B và D đều cho nghiệm duy nhất (x = 1 và x = 4).
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | B | A | A | B | A |
9. Câu hỏi thường gặp về phương trình và hệ phương trình
Phương trình vô nghiệm và phương trình vô số nghiệm khác nhau như thế nào? Vô nghiệm nghĩa là không có giá trị nào của ẩn thỏa mãn, tập nghiệm là tập rỗng — ví dụ 0x = 5. Vô số nghiệm nghĩa là mọi giá trị của ẩn đều thỏa mãn, tập nghiệm là cả tập số thực — ví dụ 0x = 0. Hai trường hợp này đối lập nhau, đừng nhầm lẫn khi biện luận theo tham số.
Vì sao phải đặt điều kiện khi giải phương trình chứa căn hoặc chứa ẩn ở mẫu? Vì các phép biến đổi sau đó (bình phương, quy đồng) có thể làm xuất hiện nghiệm ngoại lai hoặc làm mất nghiệm. Điều kiện là "bộ lọc" cuối cùng: nghiệm nào không thỏa điều kiện thì loại, dù tính ra rất đẹp. Ví dụ 4 ở trên là minh chứng rõ ràng nhất.
Khi nào dùng phương pháp thế, khi nào dùng phương pháp cộng đại số? Dùng phương pháp thế khi một phương trình đã có sẵn một ẩn được biểu diễn đơn giản theo ẩn còn lại (ví dụ y = 2x + 1). Dùng phương pháp cộng đại số khi hệ số của một ẩn ở hai phương trình đối nhau hoặc bằng nhau, hoặc có thể nhân để trở nên như vậy — như ví dụ 6, cộng một cái là xong. Thành thạo cả hai thì đề cho dạng nào cũng xử lí được.
Ngoài nhẩm nghiệm, Vi-ét còn dùng để làm gì? Rất nhiều việc: tính giá trị biểu thức đối xứng của hai nghiệm mà không cần giải phương trình (ví dụ 3), tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng, lập phương trình bậc hai khi biết trước hai nghiệm, và xét dấu hai nghiệm (cùng dấu hay trái dấu, cùng dương hay cùng âm) dựa vào tích và tổng. Đây là một trong những công cụ "đa năng" nhất của chương trình lớp 9–10.
Phương trình mũ và logarit thì giải như thế nào? Đó là nội dung của lớp 11: phương trình mũ đưa về cùng cơ số hoặc đặt ẩn phụ, phương trình logarit thì đặt điều kiện cho biểu thức trong logarit rồi dùng định nghĩa logarit để khử. Toàn bộ công thức cần nhớ đã có trong bài công thức logarit — nắm chắc chuyên đề này trước, sang lớp 11 bạn sẽ thấy phương trình mũ – logarit chỉ là "phương trình bậc nhất, bậc hai khoác áo mới".
Kết luận: một ẩn chưa đủ thì thêm ẩn, một phương trình chưa đủ thì thêm phương trình
Đi hết chuyên đề này, bạn đã có trong tay một bộ công cụ trọn vẹn: định nghĩa phương trình và tập nghiệm, công thức nghiệm phương trình bậc nhất và bậc hai, biệt thức delta với ba trường hợp, hệ thức Vi-ét để nhẩm nghiệm và tính biểu thức đối xứng, cách xử lí phương trình chứa căn, chứa ẩn ở mẫu và chứa tham số, ba phương pháp giải hệ hai ẩn cùng định thức Cramer, cách khử dần để giải hệ ba ẩn, và khuôn bốn bước để giải mọi bài toán thực tế.
Điểm chung của tất cả các phần là một thói quen duy nhất: luôn đặt điều kiện trước khi biến đổi, luôn thử lại nghiệm vào đề gốc, và luôn đối chiếu nghiệm với điều kiện thực tế trước khi kết luận.
Để ôn tiếp, hãy đọc lại các bài công thức đã có: công thức nghiệm phương trình bậc hai để chắc phần delta, hệ thức Vi-ét để nhẩm nghiệm nhanh hơn, và công thức logarit để chuẩn bị cho phương trình mũ – logarit ở lớp 11.
Lộ trình ôn tập gợi ý cho chuyên đề này:
- Làm lại 6 ví dụ trong bài không nhìn lời giải, tới khi đúng cả 6.
- Làm 5 câu tự luyện, đối chiếu bảng đáp án và đọc kĩ phần giải thích của câu nào làm sai.
- Tự ra 3 bài toán thực tế quanh mình (tiền bạc, pha chế, chuyển động) rồi lập phương trình giải thử.
- Dùng máy tính Casio online để kiểm tra nghiệm, rồi trình bày lại bài giải đầy đủ bằng tay.
- Ôn lại bảng ba trường hợp của delta và ba trường hợp của định thức Cramer trước ngày kiểm tra.
Làm được như vậy, phương trình và hệ phương trình sẽ không còn là nỗi lo trong bất cứ đề kiểm tra nào nữa — mà trở thành phần chắc điểm nhất trong bài làm của bạn.