Vào cuối thế kỷ 16, ở nước Pháp có một luật sư tên là François Viète. Ban ngày, ông làm việc với những vụ kiện và những văn bản pháp luật khô khan. Ban đêm, ông ngồi bên ngọn nến và làm toán — không phải để thi cử hay để kiếm tiền, mà chỉ vì ông tò mò. Thời đó, toán học viết ra rất khác bây giờ: người ta diễn đạt mọi thứ bằng lời, viết dài dòng như một câu văn. Muốn nói "một số nào đó cộng với ba bằng bảy", người ta phải viết hẳn một câu như thế, không có chữ x, không có dấu cộng gọn gàng như hôm nay. Viète là người đầu tiên nghĩ ra một ý tưởng tưởng chừng đơn giản nhưng làm thay đổi cả toán học: dùng chữ cái để thay cho những con số chưa biết. Ông dùng nguyên âm cho ẩn số, phụ âm cho các số đã biết. Từ khoảnh khắc đó, phương trình không còn là những câu văn dài dòng nữa, mà trở thành những dòng ký hiệu ngắn gọn mà ai cũng đọc được.
Chính nhờ cách viết mới này mà Viète nhìn ra một điều đẹp đẽ mà trước ông chưa ai thấy rõ: nghiệm của một phương trình bậc hai và các hệ số của nó không hề xa lạ với nhau, chúng gắn bó với nhau bằng hai mối liên hệ rất gọn. Biết hệ số, bạn đoán được tổng và tích của hai nghiệm. Biết tổng và tích, bạn tìm ngược lại được hai nghiệm. Mối liên hệ ấy ngày nay mang tên ông: hệ thức vi ét. Hơn bốn trăm năm đã trôi qua, học sinh lớp 9 ngày nay vẫn dùng đúng hệ thức ấy để nhẩm nghiệm một phương trình bậc hai chỉ trong vài giây, nhanh hơn cả việc bấm máy tính. Bài viết này sẽ giúp bạn hiểu tường tận hệ thức vi ét, biết khi nào được dùng, khi nào không, và luyện thành thạo cách nhẩm nghiệm nhanh để làm bài trắc nghiệm vừa nhanh vừa chắc.
Hệ thức vi ét là gì? Công thức tổng và tích hai nghiệm
Xét phương trình bậc hai một ẩn dạng ax² + bx + c = 0, trong đó a, b, c là các số đã cho, x là ẩn số cần tìm, và điều kiện bắt buộc là a ≠ 0. Giả sử phương trình này có hai nghiệm là x₁ và x₂. Hai nghiệm này có thể là hai số khác nhau, hoặc trùng nhau trong trường hợp nghiệm kép. Khi đó, hệ thức vi ét nói rằng tổng hai nghiệm và tích hai nghiệm luôn tính được trực tiếp từ các hệ số a, b, c, theo hai công thức sau:
x₁ + x₂ = −b/a
x₁ · x₂ = c/a
Đọc hai công thức này bằng lời thì rất dễ nhớ: tổng hai nghiệm bằng số đối của b chia cho a, tích hai nghiệm bằng c chia cho a. Ví dụ, phương trình x² − 5x + 6 = 0 có a = 1, b = −5, c = 6. Theo hệ thức vi ét, tổng hai nghiệm bằng −(−5)/1 = 5, tích hai nghiệm bằng 6/1 = 6. Hai số nào cộng lại bằng 5 và nhân lại bằng 6? Đó là 2 và 3. Thử lại: 2² − 5·2 + 6 = 4 − 10 + 6 = 0, đúng; 3² − 5·3 + 6 = 9 − 15 + 6 = 0, đúng. Vậy phương trình có hai nghiệm là 2 và 3, khớp hoàn toàn với tổng và tích vừa tính.
Điều làm hệ thức vi ét trở nên đặc biệt là nó cho phép bạn đi theo cả hai chiều. Chiều thứ nhất: biết phương trình, đoán nhanh tổng và tích của hai nghiệm mà chưa cần giải. Chiều thứ hai, cũng là chiều hay gặp trong bài tập hơn: biết tổng và tích của hai số, tìm ra hai số đó bằng cách xem chúng là nghiệm của một phương trình bậc hai. Cả hai chiều đều dùng đúng hai công thức trên, chỉ khác nhau ở chỗ bạn đã biết đại lượng nào và cần tìm đại lượng nào.
Ý nghĩa từng ký hiệu và điều kiện áp dụng của hệ thức vi ét
Trước khi dùng hệ thức vi ét, bạn cần hiểu rõ từng ký hiệu trong công thức, vì chỉ một dấu trừ nhầm lẫn cũng đủ làm cả bài sai. Trong phương trình ax² + bx + c = 0, chữ a là hệ số đứng trước x², chữ b là hệ số đứng trước x, chữ c là số hạng tự do, tức là số không nhân với x. Chữ x₁ và x₂ là hai nghiệm của phương trình, ký hiệu ₁ và ₂ chỉ để phân biệt nghiệm thứ nhất với nghiệm thứ hai, không mang ý nghĩa lớn nhỏ gì. Dấu trừ trong công thức tổng x₁ + x₂ = −b/a là phần dễ nhầm nhất: tổng hai nghiệm bằng số đối của b, chứ không phải bằng chính b. Nếu b = −5 thì −b = 5, tổng hai nghiệm là 5, không phải −5.
Hệ thức vi ét chỉ đúng khi phương trình thật sự có nghiệm. Điều kiện này viết gọn là Δ ≥ 0, trong đó Δ = b² − 4ac. Nếu Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm thực, tức là không tồn tại hai số x₁, x₂ nào thỏa mãn phương trình, và khi đó nói về tổng hay tích của nghiệm là vô nghĩa. Đây là điều kiện mà nhiều bạn bỏ qua nhất. Bạn phải tính delta trước, hoặc ít nhất phải chắc chắn phương trình có nghiệm, rồi mới được dùng Vi-ét để nhẩm nghiệm. Ngoài ra, điều kiện a ≠ 0 cũng luôn phải nhớ: nếu a = 0 thì phương trình không còn là bậc hai nữa, toàn bộ công thức đều không còn ý nghĩa.
Một điểm nữa cần nói rõ: hệ thức vi ét đúng cả trong trường hợp nghiệm kép. Khi Δ = 0, hai nghiệm trùng nhau, x₁ = x₂ = −b/2a. Thử với phương trình x² − 4x + 4 = 0: delta bằng 16 − 16 = 0, nghiệm kép x = 2. Theo Vi-ét, tổng hai nghiệm bằng 4, tích hai nghiệm bằng 4. Kiểm tra: 2 + 2 = 4, đúng; 2·2 = 4, đúng. Hệ thức vẫn đúng, chỉ là hai nghiệm trùng nhau nên tổng bằng hai lần một nghiệm, tích bằng bình phương của nghiệm đó.
Cách chứng minh hệ thức vi ét trong vài dòng
Bạn không bắt buộc phải thuộc lòng phần chứng minh để làm bài tập, nhưng hiểu vì sao công thức đúng sẽ giúp bạn nhớ lâu hơn rất nhiều, và không bao giờ nhầm dấu nữa. Cách chứng minh hệ thức vi ét xuất phát từ cách viết phương trình dưới dạng nhân tử. Nếu phương trình ax² + bx + c = 0 có hai nghiệm x₁ và x₂ thì vế trái của nó phân tích được thành a·(x − x₁)·(x − x₂). Đây là điều bạn đã gặp khi học phân tích đa thức thành nhân tử: một đa thức bậc hai có nghiệm thì viết được thành tích của các nhân tử bậc nhất.
Khai triển tích a·(x − x₁)·(x − x₂) ra, ta được a·(x² − (x₁ + x₂)·x + x₁·x₂), tức là ax² − a·(x₁ + x₂)·x + a·x₁·x₂. So sánh từng hệ số với dạng gốc ax² + bx + c, ta thấy hệ số của x là −a·(x₁ + x₂) phải bằng b, còn số hạng tự do a·x₁·x₂ phải bằng c. Từ đó suy ra x₁ + x₂ = −b/a và x₁·x₂ = c/a. Đó chính là hệ thức vi ét. Toàn bộ phép chứng minh chỉ là khai triển một tích và đồng nhất hệ số, không có bước nào bí ẩn. Khi bạn nhớ được rằng công thức tổng có dấu trừ vì trong nhân tử (x − x₁) có dấu trừ, bạn sẽ không bao giờ viết nhầm tổng bằng b/a nữa.
Cách chứng minh này cũng giải thích vì sao hệ thức chỉ đúng khi phương trình có nghiệm: nếu phương trình vô nghiệm thì không thể viết vế trái thành tích a·(x − x₁)·(x − x₂) với x₁, x₂ là số thực, nên mọi suy luận phía sau đều sụp đổ. Điều kiện Δ ≥ 0 vì thế không phải là một quy định gượng ép, mà là điều kiện để chính phép phân tích nhân tử này tồn tại.
Ví dụ 1: Nhẩm nghiệm phương trình x² − 5x + 6 = 0
Đây là ví dụ kinh điển nhất của hệ thức vi ét, và cũng là ví dụ bạn nên thuộc lòng. Phương trình x² − 5x + 6 = 0 có a = 1, b = −5, c = 6. Trước hết, kiểm tra điều kiện có nghiệm: Δ = (−5)² − 4·1·6 = 25 − 24 = 1, lớn hơn 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt, dùng Vi-ét được.
Theo hệ thức vi ét, tổng hai nghiệm bằng 5, tích hai nghiệm bằng 6. Bây giờ bạn chỉ cần tìm hai số có tổng bằng 5 và tích bằng 6. Nhẩm nhanh các cặp số nguyên có tích bằng 6: 1 và 6 thì tổng bằng 7, không được; 2 và 3 thì tổng bằng 5, đúng. Vậy hai nghiệm là 2 và 3. Thử lại từng nghiệm vào phương trình gốc: với x = 2, ta có 2² − 5·2 + 6 = 4 − 10 + 6 = 0; với x = 3, ta có 3² − 5·3 + 6 = 9 − 15 + 6 = 0. Cả hai đều thỏa mãn. Chỉ trong vài giây nhẩm, bạn đã có đáp án mà không cần viết công thức nghiệm dài dòng.
Ví dụ 2: Nhẩm nghiệm phương trình x² − 7x + 10 = 0
Phương trình x² − 7x + 10 = 0 có a = 1, b = −7, c = 10. Kiểm tra delta: Δ = (−7)² − 4·1·10 = 49 − 40 = 9, lớn hơn 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt. Theo hệ thức vi ét, tổng hai nghiệm bằng 7, tích hai nghiệm bằng 10. Hai số nào cộng lại bằng 7 và nhân lại bằng 10? Đó là 2 và 5, vì 2 + 5 = 7 và 2·5 = 10. Thử lại: 2² − 7·2 + 10 = 4 − 14 + 10 = 0, đúng; 5² − 7·5 + 10 = 25 − 35 + 10 = 0, đúng. Vậy hai nghiệm là 2 và 5.
Ví dụ này cho thấy một mẹo nhẩm rất hữu ích: khi a = 1, tổng hai nghiệm chính là số đối của b, tích hai nghiệm chính là c. Bạn chỉ cần nhìn vào hai số b và c trong phương trình là nhẩm được ngay, không cần chia cho a. Đa số bài tập nhẩm nghiệm trong sách giáo khoa và đề kiểm tra đều cho a = 1, chính vì muốn bạn luyện kỹ năng này.
Ví dụ 3: Phương trình có a khác 1 — 2x² − 8x + 6 = 0
Khi a khác 1, nhiều bạn lúng túng vì quên chia cho a. Phương trình 2x² − 8x + 6 = 0 có a = 2, b = −8, c = 6. Kiểm tra delta: Δ = (−8)² − 4·2·6 = 64 − 48 = 16, lớn hơn 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt. Theo hệ thức vi ét, tổng hai nghiệm bằng −b/a = 8/2 = 4, tích hai nghiệm bằng c/a = 6/2 = 3. Hai số nào cộng lại bằng 4 và nhân lại bằng 3? Đó là 1 và 3, vì 1 + 3 = 4 và 1·3 = 3. Thử lại vào phương trình gốc: với x = 1, ta có 2·1² − 8·1 + 6 = 2 − 8 + 6 = 0, đúng; với x = 3, ta có 2·9 − 8·3 + 6 = 18 − 24 + 6 = 0, đúng. Vậy hai nghiệm là 1 và 3.
Có một cách làm khác cũng rất hay: chia cả hai vế của phương trình cho 2 trước khi nhẩm, được x² − 4x + 3 = 0. Phương trình mới này có cùng hai nghiệm với phương trình ban đầu, nhưng a đã bằng 1 nên nhẩm dễ hơn: tổng bằng 4, tích bằng 3, nghiệm là 1 và 3. Cách rút gọn này đặc biệt hữu ích khi các hệ số đều chia hết cho một số chung. Tuy nhiên, bạn cần nhớ rằng việc chia cả hai vế cho một số khác 0 không làm thay đổi nghiệm, còn việc chia cho a trong công thức Vi-ét là bắt buộc nếu bạn không rút gọn trước.
Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng
Bài toán ngược của nhẩm nghiệm là: tìm hai số khi biết tổng của chúng bằng S và tích của chúng bằng P. Đây là dạng bài xuất hiện rất nhiều trong đề kiểm tra, và hệ thức vi ét cho ta cách giải gọn gàng: hai số cần tìm chính là hai nghiệm của phương trình t² − S·t + P = 0. Vì sao lại như vậy? Nếu gọi hai số cần tìm là x₁ và x₂ thì chúng thỏa mãn x₁ + x₂ = S và x₁·x₂ = P. So sánh với hệ thức vi ét, ta thấy phương trình có tổng nghiệm bằng S và tích nghiệm bằng P chính là phương trình có dạng t² − S·t + P = 0, vì với phương trình này, −b/a = S và c/a = P.
Ví dụ: tìm hai số có tổng bằng 7 và tích bằng 12. Đặt hai số đó là nghiệm của phương trình t² − 7t + 12 = 0. Kiểm tra delta của phương trình này: Δ = 49 − 48 = 1, lớn hơn 0 nên có hai nghiệm. Nhẩm nghiệm: tổng bằng 7, tích bằng 12, hai số đó là 3 và 4, vì 3 + 4 = 7 và 3·4 = 12. Thử lại: 3² − 7·3 + 12 = 9 − 21 + 12 = 0, đúng; 4² − 7·4 + 12 = 16 − 28 + 12 = 0, đúng. Vậy hai số cần tìm là 3 và 4.
Một ví dụ nữa: tìm hai số biết tổng bằng 10 và tích bằng 21. Hai số đó là nghiệm của phương trình t² − 10t + 21 = 0. Delta bằng 100 − 84 = 16, lớn hơn 0 nên có hai nghiệm. Nhẩm: tổng bằng 10, tích bằng 21, hai số là 3 và 7, vì 3 + 7 = 10 và 3·7 = 21. Thử lại: 3² − 10·3 + 21 = 9 − 30 + 21 = 0, đúng; 7² − 10·7 + 21 = 49 − 70 + 21 = 0, đúng. Vậy hai số cần tìm là 3 và 7.
Nhưng không phải lúc nào hai số như vậy cũng tồn tại. Điều kiện để tồn tại hai số có tổng S và tích P là S² − 4P ≥ 0. Điều kiện này thực chất chính là điều kiện delta của phương trình t² − S·t + P = 0 không âm. Ví dụ, không thể tìm hai số có tổng bằng 2 và tích bằng 5, vì 2² − 4·5 = 4 − 20 = −16, nhỏ hơn 0. Bạn có thể kiểm chứng bằng suy luận thường ngày: hai số cộng lại chỉ bằng 2 thì mỗi số đều nhỏ, tích của chúng không thể lớn tới 5 được. Trong bài làm, hãy luôn kiểm tra điều kiện S² − 4P ≥ 0 trước khi kết luận, nếu không bạn có thể viết ra đáp án cho một bài toán vô nghiệm.
Nhẩm nghiệm nhanh bằng hệ thức vi ét: hai trường hợp đặc biệt
Trong đề thi, có hai trường hợp đặc biệt của hệ thức vi ét giúp bạn viết đáp án ngay mà không cần nhẩm gì cả. Hai trường hợp này xuất hiện thường xuyên tới mức bạn nên thuộc lòng như thuộc bảng cửu chương. Trường hợp thứ nhất: nếu a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm bằng 1, nghiệm còn lại bằng c/a. Lý do rất đơn giản: thay x = 1 vào phương trình, vế trái trở thành a + b + c, mà tổng này bằng 0 nên x = 1 chắc chắn là nghiệm. Nghiệm còn lại tính bằng tích: vì x₁·x₂ = c/a và x₁ = 1 nên x₂ = c/a.
Ví dụ: phương trình x² − 3x + 2 = 0 có a + b + c = 1 − 3 + 2 = 0, nên có nghiệm x₁ = 1, nghiệm còn lại x₂ = c/a = 2/1 = 2. Kiểm tra bằng hệ thức vi ét: tổng hai nghiệm bằng 3, đúng vì 1 + 2 = 3; tích hai nghiệm bằng 2, đúng vì 1·2 = 2. Thử lại vào phương trình: 1² − 3·1 + 2 = 0, đúng; 2² − 3·2 + 2 = 4 − 6 + 2 = 0, đúng. Một ví dụ nữa: phương trình 2x² − 5x + 3 = 0 có 2 − 5 + 3 = 0, nên có nghiệm x₁ = 1, nghiệm còn lại x₂ = 3/2. Kiểm tra: tổng bằng 5/2, đúng vì 1 + 3/2 = 5/2; tích bằng 3/2, đúng vì 1·(3/2) = 3/2.
Trường hợp thứ hai: nếu a − b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm bằng −1, nghiệm còn lại bằng −c/a. Lý do tương tự: thay x = −1 vào phương trình, vế trái trở thành a − b + c, mà tổng này bằng 0 nên x = −1 chắc chắn là nghiệm. Ví dụ: phương trình x² + 3x + 2 = 0 có a − b + c = 1 − 3 + 2 = 0, nên có nghiệm x₁ = −1, nghiệm còn lại x₂ = −c/a = −2. Kiểm tra bằng hệ thức vi ét: tổng hai nghiệm bằng −3, đúng vì −1 + (−2) = −3; tích hai nghiệm bằng 2, đúng vì (−1)·(−2) = 2. Thử lại: (−1)² + 3·(−1) + 2 = 1 − 3 + 2 = 0, đúng; (−2)² + 3·(−2) + 2 = 4 − 6 + 2 = 0, đúng.
Một ví dụ nữa cho trường hợp này: phương trình 3x² + x − 2 = 0 có a − b + c = 3 − 1 − 2 = 0, nên có nghiệm x₁ = −1, nghiệm còn lại x₂ = −c/a = 2/3. Kiểm tra: tổng bằng −1/3, đúng vì −1 + 2/3 = −1/3; tích bằng −2/3, đúng vì (−1)·(2/3) = −2/3. Mẹo làm bài: mỗi khi nhận một phương trình bậc hai, hãy cộng nhanh a + b + c và a − b + c trong đầu trước. Nếu một trong hai tổng bằng 0, bạn có đáp án ngay trong hai giây, không cần tính delta, không cần nhẩm gì thêm.
Bảng tóm tắt hệ thức vi ét và các trường hợp nhẩm nghiệm nhanh
Bảng dưới đây tóm tắt toàn bộ những gì bạn cần nhớ về hệ thức vi ét. Bạn có thể chép bảng này vào vở, dán lên góc học tập, và nhìn lại mỗi lần làm bài cho tới khi thuộc lòng.
| Nội dung | Công thức | Ghi chú |
|---|---|---|
| Tổng hai nghiệm | x₁ + x₂ = −b/a | Nhớ dấu trừ trước b |
| Tích hai nghiệm | x₁ · x₂ = c/a | Chia cho a, không phải chia cho 2a |
| Điều kiện áp dụng | Δ = b² − 4ac ≥ 0 và a ≠ 0 | Δ < 0 thì không có nghiệm để dùng |
| Nghiệm kép | x₁ = x₂ = −b/2a | Tổng bằng −b/a, tích bằng c/a vẫn đúng |
| Trường hợp a + b + c = 0 | x₁ = 1, x₂ = c/a | Ví dụ: x² − 3x + 2 = 0 có nghiệm 1 và 2 |
| Trường hợp a − b + c = 0 | x₁ = −1, x₂ = −c/a | Ví dụ: x² + 3x + 2 = 0 có nghiệm −1 và −2 |
| Trường hợp a = 1 | x₁ + x₂ = −b, x₁ · x₂ = c | Nhẩm trực tiếp từ b và c |
| Tìm hai số biết tổng S, tích P | Hai số là nghiệm của t² − St + P = 0 | Cần S² − 4P ≥ 0 mới có hai số |
Nhìn vào bảng, bạn sẽ thấy hệ thức vi ét thực ra chỉ có hai công thức gốc, còn lại đều là hệ quả của hai công thức ấy. Trường hợp đặc biệt a + b + c = 0 chẳng qua là trường hợp x = 1 thỏa mãn phương trình, trường hợp tìm hai số biết tổng và tích chẳng qua là đọc ngược hai công thức gốc. Hiểu được như vậy, bạn không cần học thuộc từng dòng trong bảng một cách máy móc, mà chỉ cần nhớ hai công thức tổng và tích, cộng với điều kiện Δ ≥ 0, rồi tự suy ra mọi thứ còn lại.
Ứng dụng hay của hệ thức vi ét: tính biểu thức mà không cần giải phương trình
Ngoài việc nhẩm nghiệm, hệ thức vi ét còn có một ứng dụng rất hay trong các bài toán nâng cao: tính giá trị của một biểu thức chứa hai nghiệm mà không cần tìm ra từng nghiệm. Đây là dạng bài mà nếu bạn cứ lao vào giải phương trình rồi thay số vào thì vừa mất thời gian, vừa dễ sai, trong khi dùng Vi-ét thì chỉ cần vài phép biến đổi.
Ví dụ: cho phương trình x² − 6x + 5 = 0 có hai nghiệm x₁ và x₂, tính x₁² + x₂² mà không giải phương trình. Trước hết, kiểm tra delta: Δ = 36 − 20 = 16, lớn hơn 0 nên phương trình có hai nghiệm. Theo hệ thức vi ét, tổng hai nghiệm S = 6, tích hai nghiệm P = 5. Ta biến đổi: x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2·x₁·x₂ = S² − 2P = 36 − 10 = 26. Kiểm chứng bằng cách giải ra nghiệm thật: phương trình có nghiệm 1 và 5, vì 1 + 5 = 6 và 1·5 = 5; khi đó 1² + 5² = 1 + 25 = 26, khớp hoàn toàn. Bạn thấy đấy, cách dùng Vi-ét cho đáp án đúng mà không cần biết nghiệm là 1 và 5.
Một ví dụ nữa: vẫn với phương trình x² − 6x + 5 = 0, tính 1/x₁ + 1/x₂. Quy đồng, ta được 1/x₁ + 1/x₂ = (x₁ + x₂)/(x₁·x₂) = S/P = 6/5. Kiểm chứng: 1/1 + 1/5 = 1 + 1/5 = 6/5, đúng. Còn một biểu thức cũng hay gặp là (x₁ − x₂)², bằng S² − 4P. Với phương trình x² − 5x + 6 = 0, ta có S = 5, P = 6, nên (x₁ − x₂)² = 25 − 24 = 1, suy ra trị tuyệt đối của hiệu hai nghiệm bằng 1. Kiểm chứng: hai nghiệm là 2 và 3, hiệu bằng 1, đúng. Ba công thức biến đổi này — x₁² + x₂² = S² − 2P, 1/x₁ + 1/x₂ = S/P, (x₁ − x₂)² = S² − 4P — là ba công thức bạn nên ghi nhớ thêm, vì đề kiểm tra rất thích hỏi theo kiểu này.
Ứng dụng này còn mở rộng sang bài toán tìm tham số. Ví dụ, tìm m để phương trình x² − 2mx + 1 = 0 có hai nghiệm thỏa mãn x₁ + x₂ = 4. Theo Vi-ét, tổng hai nghiệm bằng 2m, nên 2m = 4, suy ra m = 2. Kiểm tra lại: với m = 2, phương trình trở thành x² − 4x + 1 = 0, delta bằng 16 − 4 = 12, lớn hơn 0 nên có hai nghiệm thật, tổng bằng 4, đúng. Bài toán tham số vốn làm nhiều bạn sợ, nhưng khi đưa về tổng và tích thì nó trở nên rất gọn.
3 lỗi sai thường gặp khi dùng hệ thức vi ét
Lỗi 1: Dùng hệ thức vi ét khi phương trình vô nghiệm. Đây là lỗi nghiêm trọng nhất và cũng là lỗi phổ biến nhất. Ví dụ, phương trình x² + x + 1 = 0 có delta bằng 1 − 4 = −3, nhỏ hơn 0 nên vô nghiệm thực. Nếu bạn cứ áp dụng Vi-ét một cách máy móc, bạn sẽ viết tổng hai nghiệm bằng −1, tích hai nghiệm bằng 1, rồi đi tìm hai số cộng lại bằng −1 và nhân lại bằng 1 — một cặp số không tồn tại. Bài làm sai ngay từ bước đầu tiên, dù các phép tính sau đó có đúng đi nữa. Cách tránh: luôn tính delta trước, hoặc ít nhất tự hỏi "phương trình này có nghiệm không" trước khi viết tổng và tích.
Lỗi 2: Quên chia cho a khi a khác 1. Với phương trình 2x² − 8x + 6 = 0, nhiều bạn viết tổng hai nghiệm bằng 8 và tích bằng 6, tức là quên chia cho a = 2. Đáp án đúng phải là tổng bằng 4, tích bằng 3. Lỗi này đặc biệt dễ mắc khi bạn đã quen với các phương trình có a = 1, vì khi a = 1 thì chia hay không chia cũng như nhau. Cách tránh: trước khi viết tổng và tích, hãy đọc to ba hệ số a, b, c ra giấy nháp, rồi mới thay vào công thức −b/a và c/a. Nếu bạn đã rút gọn phương trình về dạng a = 1 trước thì không còn lo lỗi này nữa.
Lỗi 3: Nhầm dấu của tổng hai nghiệm. Tổng hai nghiệm bằng −b/a, không phải b/a. Với phương trình x² − 5x + 6 = 0, b = −5 nên tổng bằng 5, nhưng nhiều bạn viết tổng bằng −5 rồi đi tìm hai số cộng lại bằng −5 và nhân lại bằng 6, là hai số −2 và −3, sai hoàn toàn. Cách tránh: nhớ câu thần chú "tổng bằng trừ b chia a", và nhớ rằng dấu trừ trong công thức là để đổi dấu của b. Một cách kiểm tra nhanh: nếu b âm thì tổng dương, nếu b dương thì tổng âm. Với phương trình x² + 5x + 6 = 0, b = 5 nên tổng bằng −5, hai nghiệm là −2 và −3, vì −2 + (−3) = −5 và (−2)·(−3) = 6. Thử lại: (−2)² + 5·(−2) + 6 = 4 − 10 + 6 = 0, đúng; (−3)² + 5·(−3) + 6 = 9 − 15 + 6 = 0, đúng.
Bài tập tự luyện có đáp án về hệ thức vi ét
Làm xong năm câu dưới đây, bạn sẽ nắm chắc hệ thức vi ét trong tay. Hãy tự nhẩm trước, rồi mới xem đáp án và lời giải thích ngắn bên dưới mỗi câu.
Câu 1: Nhẩm nghiệm của phương trình x² − 8x + 15 = 0. Đáp án: Delta bằng 64 − 60 = 4, lớn hơn 0 nên có hai nghiệm. Tổng hai nghiệm bằng 8, tích bằng 15, hai nghiệm là 3 và 5, vì 3 + 5 = 8 và 3·5 = 15. Thử lại: 3² − 8·3 + 15 = 9 − 24 + 15 = 0, đúng; 5² − 8·5 + 15 = 25 − 40 + 15 = 0, đúng.
Câu 2: Nhẩm nghiệm của phương trình x² + 5x + 6 = 0. Đáp án: Delta bằng 25 − 24 = 1, lớn hơn 0 nên có hai nghiệm. Tổng hai nghiệm bằng −5, tích bằng 6, hai nghiệm là −2 và −3, vì −2 + (−3) = −5 và (−2)·(−3) = 6. Thử lại: (−2)² + 5·(−2) + 6 = 4 − 10 + 6 = 0, đúng; (−3)² + 5·(−3) + 6 = 9 − 15 + 6 = 0, đúng. Câu này kiểm tra đúng lỗi nhầm dấu tổng: b = 5 nên tổng bằng −5, hai nghiệm đều âm.
Câu 3: Nhẩm nghiệm của phương trình 3x² − 12x + 9 = 0. Đáp án: Delta bằng 144 − 108 = 36, lớn hơn 0 nên có hai nghiệm. Tổng hai nghiệm bằng 12/3 = 4, tích bằng 9/3 = 3, hai nghiệm là 1 và 3, vì 1 + 3 = 4 và 1·3 = 3. Thử lại: 3·1 − 12·1 + 9 = 0, đúng; 3·9 − 12·3 + 9 = 27 − 36 + 9 = 0, đúng. Bạn cũng có thể chia cả hai vế cho 3 trước, được x² − 4x + 3 = 0, rồi nhẩm như trường hợp a = 1.
Câu 4: Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 11 và tích của chúng bằng 24. Đáp án: Hai số là nghiệm của phương trình t² − 11t + 24 = 0. Delta bằng 121 − 96 = 25, lớn hơn 0 nên có hai số thỏa mãn. Tổng bằng 11, tích bằng 24, hai số là 3 và 8, vì 3 + 8 = 11 và 3·8 = 24. Thử lại: 3² − 11·3 + 24 = 9 − 33 + 24 = 0, đúng; 8² − 11·8 + 24 = 64 − 88 + 24 = 0, đúng.
Câu 5: Phương trình x² − 3x − 4 = 0 có một nghiệm bằng 4. Không giải phương trình, hãy tìm nghiệm còn lại. Đáp án: Theo hệ thức vi ét, tổng hai nghiệm bằng 3, nên nghiệm còn lại bằng 3 − 4 = −1. Kiểm tra bằng tích: tích hai nghiệm bằng −4, mà 4·(−1) = −4, đúng. Thử lại nghiệm −1 vào phương trình: (−1)² − 3·(−1) − 4 = 1 + 3 − 4 = 0, đúng. Câu này cho thấy Vi-ét giúp bạn tìm nghiệm còn lại chỉ bằng một phép trừ, nhanh hơn nhiều so với việc giải lại từ đầu.
Muốn luyện thêm nhiều bài tập về phương trình bậc hai và hệ thức vi ét có đáp án chi tiết, bạn có thể làm bài trong ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Toán 9 theo chủ đề. Khi cần kiểm tra nghiệm nhanh hoặc đối chiếu kết quả tính tay, hãy dùng máy tính Casio online với chức năng giải phương trình. Còn nếu bạn muốn ôn lại cách tính delta và công thức nghiệm tổng quát trước khi nhẩm nghiệm, hãy đọc bài công thức nghiệm phương trình bậc hai, vì delta chính là điều kiện để biết phương trình có nghiệm hay không trước khi dùng Vi-ét.
Câu hỏi thường gặp về hệ thức vi ét
Hệ thức vi ét dùng để làm gì? Hệ thức vi ét dùng để nhẩm nghiệm phương trình bậc hai thật nhanh, kiểm tra lại nghiệm đã tính bằng công thức nghiệm, tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng, và tính giá trị các biểu thức chứa hai nghiệm mà không cần giải phương trình. Trong bài trắc nghiệm, nó giúp bạn tiết kiệm rất nhiều thời gian so với việc viết đầy đủ công thức nghiệm.
Khi nào không được dùng hệ thức vi ét? Khi phương trình vô nghiệm thực, tức là Δ < 0, thì không được dùng, vì không tồn tại hai nghiệm để mà nói tới tổng và tích. Ngoài ra, hệ thức chỉ áp dụng cho phương trình bậc hai, tức là a phải khác 0. Nếu a = 0 thì phương trình trở thành bậc nhất, chỉ có một nghiệm, và mọi công thức của Vi-ét đều không còn ý nghĩa.
Hệ thức vi ét có đúng với nghiệm kép không? Có, hoàn toàn đúng. Khi Δ = 0, hai nghiệm trùng nhau và bằng −b/2a. Khi đó tổng hai nghiệm vẫn bằng −b/a, vì hai lần −b/2a chính là −b/a, và tích hai nghiệm vẫn bằng c/a, vì bình phương của −b/2a chính là c/a khi delta bằng 0. Ví dụ x² − 4x + 4 = 0 có nghiệm kép 2, tổng bằng 4, tích bằng 4, khớp với công thức.
Nhẩm nghiệm bằng hệ thức vi ét và giải bằng công thức nghiệm, cách nào đúng hơn? Cả hai cách đều đúng và cho cùng đáp án, chỉ khác nhau về tốc độ. Nhẩm nghiệm nhanh hơn, thích hợp với bài trắc nghiệm và với những phương trình có nghiệm là số nguyên đẹp. Công thức nghiệm chắc chắn hơn, giải được mọi phương trình kể cả khi nghiệm là phân số hay số vô tỉ. Cách làm khôn ngoan là nhẩm trước bằng Vi-ét, rồi thử lại nghiệm vào phương trình gốc để chắc chắn, giống như cách bạn đối chiếu kết quả bấm máy với kết quả tính tay.
Vì sao tổng hai nghiệm lại là −b/a mà không phải b/a? Vì khi phân tích phương trình thành dạng a·(x − x₁)·(x − x₂) rồi khai triển ra, hệ số của x là −a·(x₁ + x₂), mà hệ số này phải bằng b, nên x₁ + x₂ = −b/a. Dấu trừ xuất phát từ dấu trừ trong các nhân tử (x − x₁) và (x − x₂). Nhớ được nguồn gốc này, bạn sẽ không bao giờ nhầm dấu tổng nữa.
Kết luận
Từ một ý tưởng táo bạo của François Viète vào cuối thế kỷ 16 — dùng chữ cái thay cho những con số chưa biết — toán học có thêm một công cụ vừa đẹp vừa thực dụng: hệ thức vi ét. Chỉ với hai công thức gọn gàng, tổng hai nghiệm bằng −b/a và tích hai nghiệm bằng c/a, bạn có thể nhẩm nghiệm một phương trình bậc hai trong vài giây, tìm hai số khi biết tổng và tích, tính giá trị biểu thức mà không cần giải phương trình, và kiểm tra lại mọi kết quả mình đã tính. Điều kiện duy nhất cần nhớ là phương trình phải có nghiệm, tức là Δ ≥ 0, và a phải khác 0.
Hãy bắt đầu luyện tập ngay từ hôm nay: mỗi khi gặp một phương trình bậc hai, thử nhẩm nghiệm bằng hệ thức vi ét trước, rồi mới dùng công thức nghiệm để đối chiếu. Làm đủ năm bài tập tự luyện ở trên, cộng thêm các bài trong ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Toán 9, bạn sẽ thấy tốc độ làm bài của mình tăng lên rõ rệt. Và biết đâu, bốn trăm năm sau Viète, chính bạn cũng sẽ nhớ mãi hai công thức nhỏ bé này như một trong những điều đẹp nhất của toán học lớp 9.