Bạn tung một đồng xu: mặt ngửa hay mặt sấp?
Bạn mua một vé số: trúng hay trượt?
Bạn xem dự báo thời tiết: "70% khả năng có mưa" — con số 70% đó có nghĩa là gì?
Xác suất và thống kê là hai chương của Toán 10, 11 và 12 chuyên trả lời những câu hỏi về sự may rủi và về dữ liệu: khả năng một sự kiện xảy ra là bao nhiêu, và từ một tập dữ liệu ta rút ra được kết luận gì.
Xác suất giúp bạn đánh giá rủi ro trước khi quyết định, thống kê giúp bạn đọc hiểu thế giới qua những con số — từ điểm trung bình của lớp tới chiều cao trung bình của học sinh cả nước.
Chuyên đề này sẽ đi từ phép thử và không gian mẫu, qua quy tắc đếm và xác suất cổ điển, tới xác suất có điều kiện và công thức Bayes, biến ngẫu nhiên rời rạc, và thống kê mô tả với số trung bình, trung vị, tứ phân vị, phương sai — kèm 8 ví dụ giải chi tiết từng bước, những lỗi sai mà học sinh hay mắc nhất, và 5 câu tự luyện có đáp án như giáo viên chữa bài.
Phép thử, không gian mẫu và biến cố
Một phép thử ngẫu nhiên là một hành động mà kết quả của nó không thể đoán trước được, dù ta biết tất cả các kết quả có thể xảy ra.
Ví dụ: gieo một con xúc xắc, tung một đồng xu, rút một lá bài từ bộ bài 52 lá.
Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là không gian mẫu, kí hiệu là Ω.
Ví dụ: khi gieo một con xúc xắc cân đối, không gian mẫu là Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}, gồm 6 kết quả.
Khi gieo hai đồng xu, không gian mẫu là Ω = {SS; SN; NS; NN}, gồm 4 kết quả, với S là mặt sấp và N là mặt ngửa.
Một biến cố là một tập con của không gian mẫu — một tập hợp các kết quả mà ta quan tâm.
Ví dụ: biến cố A "xuất hiện mặt chẵn" khi gieo xúc xắc là A = {2; 4; 6}.
Ví dụ 1: Gieo một con xúc xắc cân đối. Viết không gian mẫu và tính xác suất của biến cố A "xuất hiện mặt chẵn", biến cố B "xuất hiện mặt lớn hơn 4".
Không gian mẫu: Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}, số phần tử n(Ω) = 6.
Biến cố A = {2; 4; 6}, số phần tử n(A) = 3.
Xác suất: P(A) = n(A) : n(Ω) = 3 : 6 = 1/2.
Biến cố B = {5; 6}, số phần tử n(B) = 2.
Xác suất: P(B) = 2 : 6 = 1/3.
Chú ý: công thức P(A) = n(A) : n(Ω) chỉ đúng khi mọi kết quả trong không gian mẫu có khả năng xảy ra như nhau — xúc xắc phải cân đối, đồng xu phải cân đối, các lá bài phải được rút ngẫu nhiên.
Một biến cố có xác suất bằng 0 được gọi là biến cố không thể — ví dụ gieo xúc xắc mà xuất hiện mặt 7.
Một biến cố có xác suất bằng 1 được gọi là biến cố chắc chắn — ví dụ gieo xúc xắc mà xuất hiện mặt từ 1 đến 6.
Biến cố đối của biến cố A, kí hiệu là Ā, là biến cố "A không xảy ra".
Xác suất của biến cố đối: P(Ā) = 1 − P(A).
Công thức này rất hữu ích khi tính trực tiếp P(A) khó mà tính P(Ā) dễ — ví dụ xác suất "ít nhất một" thường được tính qua biến cố đối "không có cái nào".
Quy tắc đếm: hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
Muốn tính xác suất cổ điển, ta phải đếm được số phần tử của không gian mẫu và số phần tử của biến cố.
Ba công cụ đếm quan trọng nhất là hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp.
Hoán vị: số cách sắp xếp n phần tử khác nhau thành một hàng là Pₙ = n! = 1 × 2 × … × n.
Chỉnh hợp: số cách chọn k phần tử từ n phần tử rồi sắp xếp chúng theo một thứ tự là A(n, k) = n × (n − 1) × … × (n − k + 1) = n! : (n − k)!.
Tổ hợp: số cách chọn k phần tử từ n phần tử mà không quan tâm tới thứ tự là C(n, k) = n! : [k! × (n − k)!].
Điểm khác nhau giữa chỉnh hợp và tổ hợp là thứ tự: chỉnh hợp quan tâm tới thứ tự sắp xếp, tổ hợp thì không.
Ví dụ: chọn 3 học sinh trong 10 học sinh để xếp vào 3 vị trí lớp trưởng, lớp phó, bí thư — thứ tự quan trọng, dùng chỉnh hợp.
Chọn 3 học sinh trong 10 học sinh để lập một tổ lao động — thứ tự không quan trọng, dùng tổ hợp.
Ví dụ 2: a) Có bao nhiêu cách xếp 5 học sinh thành một hàng dọc? b) Có bao nhiêu cách chọn 3 trong 10 học sinh rồi xếp vào 3 vị trí khác nhau? c) Có bao nhiêu cách chọn 3 trong 10 học sinh để lập một tổ?
a) Số cách xếp 5 học sinh thành một hàng là hoán vị của 5 phần tử: 5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120 cách.
b) Chọn 3 trong 10 rồi xếp vào 3 vị trí khác nhau là chỉnh hợp chập 3 của 10: A(10, 3) = 10 × 9 × 8 = 720 cách.
c) Chọn 3 trong 10 mà không quan tâm thứ tự là tổ hợp chập 3 của 10: C(10, 3) = 10! : (3! × 7!) = (10 × 9 × 8) : (3 × 2 × 1) = 720 : 6 = 120 cách.
So sánh b) và c): 720 = 120 × 6, vì mỗi tổ 3 người có thể xếp thành 3! = 6 thứ tự khác nhau.
Quan hệ giữa chỉnh hợp và tổ hợp là A(n, k) = C(n, k) × k! — nhớ quan hệ này thì không bao giờ nhầm hai khái niệm với nhau.
Xác suất cổ điển và các tính chất
Xác suất cổ điển của biến cố A được tính bằng công thức P(A) = n(A) : n(Ω), với điều kiện mọi kết quả trong không gian mẫu có khả năng xảy ra như nhau.
Các tính chất cơ bản của xác suất: 0 ≤ P(A) ≤ 1 với mọi biến cố A; P(Ω) = 1; P(∅) = 0.
Nếu hai biến cố A và B xung khắc nhau, tức là không thể cùng xảy ra, thì P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
Nếu hai biến cố A và B bất kì thì P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) — phải trừ đi phần giao vì nó được cộng hai lần.
Đây là công thức cộng xác suất, tương tự như nguyên lí bao hàm – loại trừ trong đếm.
Ví dụ 3: Một hộp có 5 bi đỏ và 3 bi xanh. Rút ngẫu nhiên 2 bi từ hộp. Tính xác suất để cả 2 bi rút được đều là bi đỏ.
Số cách rút 2 bi từ 8 bi là n(Ω) = C(8, 2) = 28.
Số cách rút 2 bi đỏ từ 5 bi đỏ là n(A) = C(5, 2) = 10.
Xác suất: P(A) = 10 : 28 = 5 : 14.
Kiểm tra bằng cách tính trực tiếp: rút bi thứ nhất đỏ với xác suất 5/8, sau đó còn 4 bi đỏ trong 7 bi, rút bi thứ hai đỏ với xác suất 4/7.
Xác suất cả hai đỏ là (5/8) × (4/7) = 20/56 = 5/14 — khớp với kết quả tính bằng tổ hợp.
Hai cách tính này tương đương nhau: cách tổ hợp đếm trực tiếp số trường hợp thuận lợi, cách nhân xác suất tính theo từng lần rút.
Ví dụ 4: Gieo hai con xúc xắc cân đối. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện bằng 7.
Không gian mẫu có n(Ω) = 6 × 6 = 36 kết quả.
Biến cố "tổng bằng 7" gồm các cặp: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1) — tổng cộng 6 kết quả.
Xác suất: P = 6 : 36 = 1/6.
Tổng bằng 7 là tổng có xác suất lớn nhất khi gieo hai xúc xắc, vì có nhiều cặp cho tổng 7 nhất.
Ngược lại, tổng bằng 2 chỉ có một cặp (1; 1), xác suất 1/36; tổng bằng 12 cũng chỉ có một cặp (6; 6), xác suất 1/36.
Đây là lý do trong trò chơi cờ cá ngựa hay các trò chơi dùng hai xúc xắc, tổng 7 xuất hiện thường xuyên nhất.
Quy tắc cộng và quy tắc nhân xác suất
Quy tắc cộng xác suất: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
Nếu A và B xung khắc nhau thì P(A ∩ B) = 0, công thức trở thành P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
Quy tắc nhân xác suất: P(A ∩ B) = P(A) × P(B | A), với P(B | A) là xác suất của B khi biết A đã xảy ra.
Nếu A và B độc lập với nhau, tức là việc A xảy ra không ảnh hưởng tới xác suất của B, thì P(A ∩ B) = P(A) × P(B).
Ví dụ: gieo hai con xúc xắc, biến cố "xúc xắc thứ nhất ra 6" và biến cố "xúc xắc thứ hai ra 6" là hai biến cố độc lập.
Xác suất cả hai cùng ra 6 là (1/6) × (1/6) = 1/36.
Ngược lại, rút hai lá bài liên tiếp từ một bộ bài mà không hoàn lại thì hai lần rút không độc lập — kết quả lần rút thứ nhất ảnh hưởng tới xác suất của lần rút thứ hai.
Một dạng bài hay gặp là tính xác suất "ít nhất một" bằng cách dùng biến cố đối.
Ví dụ: gieo 3 đồng xu, tính xác suất để có ít nhất một mặt ngửa.
Tính trực tiếp thì phải cộng xác suất của "đúng 1 mặt ngửa", "đúng 2 mặt ngửa" và "đúng 3 mặt ngửa".
Tính qua biến cố đối thì đơn giản hơn nhiều: biến cố đối là "không có mặt ngửa nào", tức là cả 3 đồng đều sấp, xác suất là (1/2)³ = 1/8.
Vậy xác suất cần tìm là 1 − 1/8 = 7/8.
Thói quen "gặp ít nhất một thì nghĩ tới biến cố đối" sẽ giúp bạn giải nhanh rất nhiều bài xác suất.
Xác suất có điều kiện và công thức Bayes
Xác suất có điều kiện P(A | B) là xác suất của biến cố A khi biết biến cố B đã xảy ra.
Công thức: P(A | B) = P(A ∩ B) : P(B), với P(B) > 0.
Ý nghĩa: khi biết B đã xảy ra, không gian mẫu thu hẹp lại chỉ còn các kết quả thuộc B, và xác suất của A được tính trong không gian mẫu mới này.
Công thức Bayes cho phép "đảo ngược" điều kiện: từ P(A | B) suy ra P(B | A).
Công thức Bayes: P(B | A) = P(A | B) × P(B) : P(A).
Công thức này có ứng dụng rất lớn trong đời sống: xét nghiệm y tế, lọc thư rác, dự đoán thời tiết — tất cả đều dùng Bayes để cập nhật xác suất khi có thêm thông tin mới.
Ví dụ 5: Có hai hộp bi. Hộp I có 3 bi đỏ và 2 bi xanh. Hộp II có 1 bi đỏ và 4 bi xanh. Chọn ngẫu nhiên một hộp rồi rút ngẫu nhiên một bi từ hộp đó, được bi đỏ. Tính xác suất để hộp được chọn là hộp I.
Gọi B₁ là biến cố "chọn hộp I", B₂ là biến cố "chọn hộp II", A là biến cố "rút được bi đỏ".
Ta có P(B₁) = P(B₂) = 1/2, vì chọn ngẫu nhiên một trong hai hộp.
P(A | B₁) = 3/5, vì hộp I có 3 bi đỏ trong 5 bi.
P(A | B₂) = 1/5, vì hộp II có 1 bi đỏ trong 5 bi.
Xác suất rút được bi đỏ: P(A) = P(A | B₁) × P(B₁) + P(A | B₂) × P(B₂) = (3/5) × (1/2) + (1/5) × (1/2) = 3/10 + 1/10 = 4/10 = 2/5.
Áp dụng công thức Bayes: P(B₁ | A) = P(A | B₁) × P(B₁) : P(A) = (3/5) × (1/2) : (2/5) = (3/10) : (4/10) = 3/4.
Vậy khi biết bi rút được là bi đỏ, xác suất hộp được chọn là hộp I tăng từ 1/2 lên 3/4 — vì hộp I có nhiều bi đỏ hơn nên việc rút được bi đỏ là "bằng chứng" ủng hộ hộp I.
Đây chính là bản chất của công thức Bayes: thông tin mới làm thay đổi xác suất của giả thuyết.
Biến ngẫu nhiên rời rạc: kì vọng và phương sai
Một biến ngẫu nhiên rời rạc là một đại lượng nhận các giá trị rời rạc với các xác suất tương ứng.
Bảng phân phối xác suất liệt kê các giá trị có thể của biến ngẫu nhiên và xác suất tương ứng của từng giá trị.
Tổng các xác suất trong bảng phân phối luôn bằng 1.
Kì vọng của biến ngẫu nhiên X, kí hiệu là E(X), được tính bằng công thức E(X) = x₁p₁ + x₂p₂ + … + xₙpₙ.
Kì vọng là giá trị trung bình mà biến ngẫu nhiên nhận được nếu lặp lại phép thử rất nhiều lần.
Phương sai của biến ngẫu nhiên X, kí hiệu là Var(X), được tính bằng công thức Var(X) = E(X²) − [E(X)]².
Phương sai đo mức độ phân tán của các giá trị quanh kì vọng — phương sai càng lớn thì các giá trị càng phân tán.
Ví dụ 6: Gieo hai đồng xu cân đối. Gọi X là số mặt ngửa xuất hiện. Lập bảng phân phối xác suất của X và tính kì vọng, phương sai của X.
Không gian mẫu có 4 kết quả: SS, SN, NS, NN, mỗi kết quả có xác suất 1/4.
X nhận các giá trị 0, 1, 2.
P(X = 0) = 1/4 (chỉ có SS).
P(X = 1) = 2/4 = 1/2 (có SN và NS).
P(X = 2) = 1/4 (chỉ có NN).
Kiểm tra: 1/4 + 1/2 + 1/4 = 1 — đúng.
Kì vọng: E(X) = 0 × (1/4) + 1 × (1/2) + 2 × (1/4) = 0 + 1/2 + 1/2 = 1.
Tính E(X²) = 0² × (1/4) + 1² × (1/2) + 2² × (1/4) = 0 + 1/2 + 1 = 3/2.
Phương sai: Var(X) = E(X²) − [E(X)]² = 3/2 − 1² = 1/2.
Kết quả kì vọng bằng 1 là hợp lí: gieo 2 đồng xu thì trung bình có 1 mặt ngửa — mỗi đồng xu đóng góp trung bình 1/2 mặt ngửa.
Thống kê: số trung bình, trung vị, tứ phân vị
Thống kê mô tả dùng các con số đặc trưng để tóm tắt một tập dữ liệu.
Số trung bình của mẫu số liệu x₁, x₂, …, xₙ được tính bằng công thức x̄ = (x₁ + x₂ + … + xₙ) : n.
Trung vị là giá trị ở giữa khi sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự tăng dần: nếu n lẻ thì trung vị là giá trị thứ (n + 1) : 2; nếu n chẵn thì trung vị là trung bình cộng của hai giá trị ở giữa.
Mốt là giá trị xuất hiện nhiều lần nhất trong mẫu số liệu.
Tứ phân vị chia mẫu số liệu đã sắp xếp thành bốn phần bằng nhau: Q₁ là giá trị ở vị trí 25%, Q₂ là trung vị (vị trí 50%), Q₃ là giá trị ở vị trí 75%.
Khoảng tứ phân vị là ΔQ = Q₃ − Q₁, đo mức độ phân tán của nửa giữa dữ liệu.
Khoảng biến thiên là R = giá trị lớn nhất − giá trị nhỏ nhất, đo toàn bộ độ trải của dữ liệu.
Ví dụ 7: Điểm kiểm tra Toán của 10 học sinh là: 5, 6, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 10, 10. Tính số trung bình, trung vị, mốt, phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu.
Số trung bình: x̄ = (5 + 6 + 7 + 8 + 8 + 8 + 9 + 9 + 10 + 10) : 10 = 80 : 10 = 8.
Trung vị: mẫu đã sắp xếp, n = 10 chẵn, trung vị là trung bình cộng của giá trị thứ 5 và thứ 6: (8 + 8) : 2 = 8.
Mốt: giá trị 8 xuất hiện 3 lần, nhiều nhất — mốt là 8.
Phương sai: tính các độ lệch bình phương so với số trung bình 8.
(5 − 8)² = 9; (6 − 8)² = 4; (7 − 8)² = 1; (8 − 8)² = 0 (ba lần); (9 − 8)² = 1 (hai lần); (10 − 8)² = 4 (hai lần).
Tổng các độ lệch bình phương: 9 + 4 + 1 + 0 + 0 + 0 + 1 + 1 + 4 + 4 = 24.
Phương sai: s² = 24 : 10 = 2,4.
Độ lệch chuẩn: s = √2,4 ≈ 1,55.
Nhận xét: số trung bình, trung vị và mốt đều bằng 8 — mẫu số liệu này đối xứng quanh giá trị 8, một dấu hiệu của phân phối cân đối.
Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm
Khi dữ liệu được cho dưới dạng bảng tần số ghép nhóm, ta dùng giá trị đại diện của mỗi nhóm — thường là trung điểm của khoảng — để tính các số đặc trưng.
Số trung bình của mẫu ghép nhóm: x̄ = (n₁x₁ + n₂x₂ + … + nₖxₖ) : n, với xᵢ là giá trị đại diện của nhóm thứ i và nᵢ là tần số của nhóm đó.
Phương sai của mẫu ghép nhóm: s² = [n₁(x₁ − x̄)² + n₂(x₂ − x̄)² + … + nₖ(xₖ − x̄)²] : n.
Độ lệch chuẩn: s = √s².
Tứ phân vị của mẫu ghép nhóm được tính theo công thức: Q₁ là giá trị tại vị trí n : 4, Q₃ là giá trị tại vị trí 3n : 4, với nhóm chứa tứ phân vị là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng vị trí cần tìm.
Đây là quy ước của sách giáo khoa "Kết nối tri thức với cuộc sống" lớp 12 — các sách khác có thể dùng quy ước khác nhau đôi chút, nhưng trong đề thi tốt nghiệp thì quy ước này là chuẩn.
Ví dụ 8: Chiều cao (cm) của 40 học sinh được cho trong bảng sau: [150; 155): 5 học sinh; [155; 160): 10 học sinh; [160; 165): 12 học sinh; [165; 170): 8 học sinh; [170; 175): 5 học sinh. Tính số trung bình, tứ phân vị, khoảng tứ phân vị, phương sai và độ lệch chuẩn.
Giá trị đại diện các nhóm: 152,5; 157,5; 162,5; 167,5; 172,5.
Số trung bình: x̄ = (5 × 152,5 + 10 × 157,5 + 12 × 162,5 + 8 × 167,5 + 5 × 172,5) : 40.
Tính tử số: 762,5 + 1575 + 1950 + 1340 + 862,5 = 6490.
x̄ = 6490 : 40 = 162,25 cm.
Tứ phân vị thứ nhất: vị trí n : 4 = 10. Tần số tích lũy: 5, 15, 27, 35, 40 — nhóm đầu tiên có tần số tích lũy ≥ 10 là nhóm [155; 160).
Q₁ = 155 + (10 − 5) : 10 × 5 = 155 + 2,5 = 157,5.
Tứ phân vị thứ ba: vị trí 3n : 4 = 30. Nhóm đầu tiên có tần số tích lũy ≥ 30 là nhóm [165; 170).
Q₃ = 165 + (30 − 27) : 8 × 5 = 165 + 1,875 = 166,875.
Khoảng tứ phân vị: ΔQ = Q₃ − Q₁ = 166,875 − 157,5 = 9,375.
Phương sai: tính các độ lệch bình phương so với 162,25.
(152,5 − 162,25)² × 5 = 95,0625 × 5 = 475,3125.
(157,5 − 162,25)² × 10 = 22,5625 × 10 = 225,625.
(162,5 − 162,25)² × 12 = 0,0625 × 12 = 0,75.
(167,5 − 162,25)² × 8 = 27,5625 × 8 = 220,5.
(172,5 − 162,25)² × 5 = 105,0625 × 5 = 525,3125.
Tổng: 475,3125 + 225,625 + 0,75 + 220,5 + 525,3125 = 1447,5.
Phương sai: s² = 1447,5 : 40 = 36,1875 ≈ 36,19.
Độ lệch chuẩn: s = √36,1875 ≈ 6,02 cm.
Khoảng biến thiên: R = 175 − 150 = 25 cm.
Nhận xét: chiều cao trung bình khoảng 162,25 cm, độ lệch chuẩn khoảng 6 cm — phần lớn học sinh có chiều cao trong khoảng 156 cm đến 168 cm.
Những lỗi sai hay gặp nhất khi làm bài xác suất và thống kê
Lỗi 1: Nhầm lẫn chỉnh hợp với tổ hợp.
Chỉnh hợp quan tâm tới thứ tự, tổ hợp thì không.
Cách phân biệt: hỏi "đổi chỗ hai phần tử đã chọn cho nhau thì có tạo ra một cách chọn mới không?" — nếu có thì dùng chỉnh hợp, nếu không thì dùng tổ hợp.
Ví dụ: chọn 3 học sinh xếp vào 3 vị trí khác nhau thì đổi chỗ tạo ra cách mới — dùng chỉnh hợp; chọn 3 học sinh lập một tổ thì đổi chỗ không tạo ra tổ mới — dùng tổ hợp.
Lỗi 2: Quên trừ phần giao khi tính xác suất của hợp hai biến cố.
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B), không phải P(A) + P(B).
Chỉ khi A và B xung khắc nhau thì mới được cộng trực tiếp, vì khi đó P(A ∩ B) = 0.
Lỗi 3: Nhân xác suất của hai biến cố không độc lập.
Công thức P(A ∩ B) = P(A) × P(B) chỉ đúng khi A và B độc lập với nhau.
Nếu hai biến cố phụ thuộc nhau, ví dụ rút hai lá bài liên tiếp không hoàn lại, thì phải dùng xác suất có điều kiện: P(A ∩ B) = P(A) × P(B | A).
Lỗi 4: Nhầm lẫn số trung bình với trung vị.
Số trung bình cộng tất cả các giá trị rồi chia cho số lượng — nó nhạy cảm với các giá trị ngoại lệ.
Trung vị là giá trị ở giữa sau khi sắp xếp — nó không bị ảnh hưởng bởi các giá trị ngoại lệ.
Ví dụ: thu nhập của 10 người, trong đó 9 người thu nhập 10 triệu và 1 người thu nhập 1 tỉ, thì số trung bình bị kéo lên rất cao, còn trung vị vẫn là 10 triệu — trung vị phản ánh đúng "người điển hình" hơn.
Lỗi 5: Dùng sai mẫu số khi tính phương sai của mẫu ghép nhóm.
Phương sai của mẫu ghép nhóm theo sách giáo khoa là s² = [Σnᵢ(xᵢ − x̄)²] : n, với n là tổng tần số.
Một số tài liệu dùng mẫu số n − 1 cho phương sai mẫu hiệu chỉnh — trong đề thi tốt nghiệp, hãy dùng công thức của sách giáo khoa với mẫu số n.
Bài tập tự luyện — làm rồi mới xem đáp án nhé
Câu 1. Gieo một con xúc xắc cân đối. Xác suất để xuất hiện mặt 6 là:
A. 1/6
B. 1/3
C. 1/2
D. 1
→ Đáp án: A. Giải thích: Không gian mẫu có 6 kết quả {1; 2; 3; 4; 5; 6}, biến cố "xuất hiện mặt 6" có 1 kết quả thuận lợi. Xác suất là 1/6. Đáp án B sai vì 1/3 là xác suất xuất hiện mặt chẵn hoặc mặt lớn hơn 4. Đáp án C sai vì 1/2 là xác suất xuất hiện mặt chẵn. Đáp án D sai vì xác suất bằng 1 là biến cố chắc chắn.
Câu 2. Số cách xếp 4 học sinh thành một hàng dọc là:
A. 12
B. 24
C. 16
D. 8
→ Đáp án: B. Giải thích: Số cách xếp 4 học sinh thành một hàng là hoán vị của 4 phần tử: 4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24. Đáp án A sai vì 12 = 3 × 4, không phải 4!. Đáp án C sai vì 16 = 4², không phải 4!. Đáp án D sai vì 8 = 2³, không phải 4!.
Câu 3. Một hộp có 4 bi đỏ và 6 bi xanh. Rút ngẫu nhiên 1 bi từ hộp. Xác suất để rút được bi đỏ là:
A. 2/5
B. 3/5
C. 1/2
D. 2/3
→ Đáp án: A. Giải thích: Hộp có tổng cộng 10 bi, trong đó có 4 bi đỏ. Xác suất rút được bi đỏ là 4/10 = 2/5. Đáp án B sai vì 3/5 là xác suất rút được bi xanh (6/10). Đáp án C sai vì 1/2 chỉ đúng khi số bi đỏ bằng số bi xanh. Đáp án D sai vì 2/3 không liên quan tới các số liệu của bài.
Câu 4. Gieo hai đồng xu cân đối. Xác suất để được đúng một mặt ngửa là:
A. 1/4
B. 1/2
C. 3/4
D. 1
→ Đáp án: B. Giải thích: Không gian mẫu có 4 kết quả: SS, SN, NS, NN. Biến cố "đúng một mặt ngửa" gồm 2 kết quả: SN và NS. Xác suất là 2/4 = 1/2. Đáp án A sai vì 1/4 là xác suất được 0 mặt ngửa hoặc 2 mặt ngửa. Đáp án C sai vì 3/4 là xác suất được ít nhất một mặt ngửa. Đáp án D sai vì xác suất bằng 1 là biến cố chắc chắn.
Câu 5. Mẫu số liệu 2, 4, 6, 8, 10 có số trung bình bằng bao nhiêu?
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
→ Đáp án: B. Giải thích: Số trung bình là (2 + 4 + 6 + 8 + 10) : 5 = 30 : 5 = 6. Đáp án A sai vì 5 là số lượng phần tử, không phải số trung bình. Đáp án C sai vì 7 là trung bình cộng của 4 và 10, không phải của cả mẫu. Đáp án D sai vì 8 là giá trị thứ tư trong mẫu, không phải số trung bình.
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | A | B | A | B | B |
Câu hỏi thường gặp về xác suất và thống kê
Xác suất 70% có mưa nghĩa là gì? Nghĩa là trong 100 ngày có điều kiện thời tiết tương tự như hôm nay thì khoảng 70 ngày sẽ có mưa. Xác suất không nói "chắc chắn có mưa" hay "chắc chắn không mưa" — nó nói về tần suất xuất hiện trong dài hạn.
Chỉnh hợp và tổ hợp khác nhau như thế nào? Chỉnh hợp quan tâm tới thứ tự sắp xếp, tổ hợp thì không. Chọn 3 học sinh xếp vào 3 vị trí khác nhau là chỉnh hợp; chọn 3 học sinh lập một tổ là tổ hợp. Quan hệ giữa chúng là A(n, k) = C(n, k) × k!.
Khi nào dùng công thức Bayes? Khi bạn có một giả thuyết ban đầu và nhận được thông tin mới, Bayes cho biết xác suất của giả thuyết sau khi có thông tin mới. Ví dụ: xét nghiệm dương tính thì khả năng thực sự mắc bệnh là bao nhiêu; rút được bi đỏ thì khả năng hộp được chọn là hộp nào.
Số trung bình và trung vị, cái nào tốt hơn? Không có cái nào tốt hơn tuyệt đối. Số trung bình dùng mọi giá trị nên nhạy cảm với ngoại lệ; trung vị chỉ dùng giá trị ở giữa nên bền vững trước ngoại lệ. Khi dữ liệu có ngoại lệ lớn, trung vị phản ánh "điển hình" tốt hơn; khi dữ liệu đối xứng, hai con số này gần như bằng nhau.
Học xác suất và thống kê để làm gì trong đời thực? Rất nhiều: công ty bảo hiểm dùng xác suất để định phí bảo hiểm, ngân hàng dùng thống kê để đánh giá rủi ro cho vay, nhà khoa học dùng kiểm định thống kê để kết luận một loại thuốc có hiệu quả hay không, nhà quản lí dùng trung vị thu nhập để hiểu đời sống người dân. Xác suất và thống kê là ngôn ngữ của sự không chắc chắn.
Kết luận: xác suất đo may rủi, thống kê đọc dữ liệu
Đi hết chuyên đề này, bạn đã có trong tay toàn bộ công cụ của chương xác suất và thống kê: phép thử, không gian mẫu và biến cố; quy tắc đếm với hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp; xác suất cổ điển và các tính chất; quy tắc cộng và quy tắc nhân; xác suất có điều kiện và công thức Bayes; biến ngẫu nhiên rời rạc với kì vọng và phương sai; và thống kê mô tả với số trung bình, trung vị, tứ phân vị, phương sai và độ lệch chuẩn.
Điểm chung của tất cả các phần là một thói quen duy nhất: đếm đúng không gian mẫu trước, rồi mới tính xác suất; và khi làm thống kê, luôn sắp xếp dữ liệu trước rồi mới tính các số đặc trưng.
Để ôn tiếp, hãy đọc lại bài chuyên đề dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân để thấy kì vọng của biến ngẫu nhiên cũng là một dạng tổng có quy luật, bài chuyên đề hàm số và đồ thị để ôn lại cách đọc đồ thị tần số, và bài chuyên đề lượng giác để ôn lại các phép tính với căn thức hay dùng trong phương sai.
Cuối cùng, đừng chỉ đọc — hãy tự tay tính lại 8 ví dụ trong bài không nhìn đáp án, làm 5 câu tự luyện rồi đối chiếu với bảng đáp án, và thử gieo hai đồng xu 20 lần rồi ghi lại số mặt ngửa mỗi lần, dùng máy tính Casio online để tính số trung bình và phương sai của 20 lần gieo đó.
Làm được như vậy, chuyên đề xác suất và thống kê sẽ thực sự là của bạn.