Chuyên đề Dãy số, Cấp số cộng và Cấp số nhân: lý thuyết, công thức và bài tập có đáp án

Sáng thứ hai, bạn để dành được 10 nghìn đồng.
Thứ ba, bạn để dành thêm 10 nghìn nữa, tổng cộng thành 20 nghìn.
Thứ tư, 30 nghìn. Thứ năm, 40 nghìn.
Nhìn vào dãy số 10, 20, 30, 40, … bạn thấy ngay quy luật: mỗi ngày tăng thêm đúng 10 nghìn.
Một dãy số khác: 1, 2, 4, 8, 16, … — mỗi số gấp đôi số đứng trước nó.
Hai dãy số này trông đơn giản, nhưng đằng sau chúng là cả một chương lớn của Toán 11: dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân.
Nắm chắc chương này, bạn không chỉ giải được bài tập trong sách giáo khoa mà còn hiểu vì sao tiền gửi tiết kiệm lại tăng theo cấp số nhân, vì sao vi khuẩn sinh sôi nhanh đến vậy, và vì sao một tờ giấy gấp 42 lần lại có thể chạm tới Mặt Trăng.
Chuyên đề này sẽ đi từ định nghĩa dãy số, qua cấp số cộng, cấp số nhân, tới tổng của cấp số nhân lùi vô hạn — kèm 7 ví dụ giải chi tiết từng bước, những lỗi sai mà học sinh hay mắc nhất, và 5 câu tự luyện có đáp án như giáo viên chữa bài.

Dãy số là gì — và vì sao dãy số lại là một "hàm số đặc biệt"

Một dãy số là một hàm số xác định trên tập hợp các số tự nhiên khác 0, tức là trên tập ℕ* = {1; 2; 3; 4; …}.
Mỗi số tự nhiên n được gán cho đúng một số, gọi là số hạng thứ n của dãy, kí hiệu là uₙ.
Dãy số thường được viết dưới dạng u₁, u₂, u₃, …, uₙ, …
Ví dụ: dãy 3, 5, 7, 9, … có u₁ = 3, u₂ = 5, u₃ = 7, u₄ = 9.
Ví dụ khác: dãy 1, 4, 9, 16, … có uₙ = n², vì 1² = 1, 2² = 4, 3² = 9, 4² = 16.

Có ba cách thường dùng để cho một dãy số.
Cách thứ nhất: cho bằng công thức của số hạng tổng quát, ví dụ uₙ = 2n + 1.
Cách thứ hai: cho bằng công thức truy hồi, ví dụ u₁ = 1 và uₙ₊₁ = 2uₙ + 1 với mọi n ≥ 1.
Cách thứ ba: cho bằng mô tả, ví dụ dãy các số nguyên tố 2, 3, 5, 7, 11, …
Trong đề thi, hai cách đầu gặp nhiều nhất, vì từ công thức ta tính được bất kì số hạng nào mà không cần liệt kê cả dãy.

Ví dụ 1: Cho dãy số (uₙ) xác định bởi uₙ = 2n + 1. Tìm 4 số hạng đầu và xét xem 101 có phải là một số hạng của dãy hay không.
Thay n = 1 vào công thức: u₁ = 2 × 1 + 1 = 3.
Thay n = 2: u₂ = 2 × 2 + 1 = 5.
Thay n = 3: u₃ = 2 × 3 + 1 = 7.
Thay n = 4: u₄ = 2 × 4 + 1 = 9.
Bốn số hạng đầu là 3, 5, 7, 9.
Để xét 101 có phải là số hạng của dãy hay không, ta giải phương trình 2n + 1 = 101.
Chuyển vế: 2n = 100, suy ra n = 50.
Vì 50 là một số tự nhiên khác 0 nên 101 đúng là một số hạng của dãy, cụ thể là số hạng thứ 50: u₅₀ = 2 × 50 + 1 = 101.
Cách làm này áp dụng được cho mọi dãy cho bằng công thức tổng quát: muốn biết một số có thuộc dãy hay không, cứ giải phương trình uₙ bằng số đó rồi xem n có phải số tự nhiên hay không.

Hai tính chất của dãy số mà đề thi hay hỏi là tính đơn điệu và tính bị chặn.
Dãy số (uₙ) được gọi là dãy số tăng nếu uₙ₊₁ > uₙ với mọi n, tức là mỗi số hạng sau lớn hơn số hạng trước nó.
Dãy số được gọi là dãy số giảm nếu uₙ₊₁ < uₙ với mọi n.
Muốn xét tính đơn điệu, cách nhanh nhất là xét hiệu uₙ₊₁ − uₙ: nếu hiệu luôn dương thì dãy tăng, nếu hiệu luôn âm thì dãy giảm.
Ví dụ: với uₙ = 2n + 1, ta có uₙ₊₁ − uₙ = (2n + 3) − (2n + 1) = 2 > 0 với mọi n, nên dãy tăng.
Với uₙ = 5 − n, ta có uₙ₊₁ − uₙ = (4 − n) − (5 − n) = −1 < 0 với mọi n, nên dãy giảm.

Dãy số (uₙ) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho uₙ ≤ M với mọi n.
Dãy số được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho uₙ ≥ m với mọi n.
Dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới được gọi là dãy số bị chặn.
Ví dụ: dãy uₙ = 1/n bị chặn, vì 0 < 1/n ≤ 1 với mọi n ≥ 1.
Dãy uₙ = n² không bị chặn trên, vì n² có thể lớn tùy ý khi n đủ lớn, nhưng bị chặn dưới bởi 1.
Trong chương trình lớp 11, bạn chỉ cần nhớ: dãy tăng chưa chắc bị chặn trên, dãy giảm chưa chắc bị chặn dưới — phải xét thêm.

Cấp số cộng: mỗi bước đều thêm đúng một lượng như nhau

Cấp số cộng là dãy số mà mỗi số hạng, kể từ số hạng thứ hai, bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.
Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.
Nói cách khác: uₙ₊₁ = uₙ + d với mọi n ≥ 1.
Ví dụ: dãy 2, 5, 8, 11, 14, … là cấp số cộng với số hạng đầu u₁ = 2 và công sai d = 3, vì 5 − 2 = 3, 8 − 5 = 3, 11 − 8 = 3.
Dãy 10, 7, 4, 1, −2, … cũng là cấp số cộng, với u₁ = 10 và công sai d = −3.
Nếu d = 0 thì mọi số hạng đều bằng nhau, dãy trở thành dãy hằng — một trường hợp đặc biệt vẫn được tính là cấp số cộng.
Ngược lại, dãy 1, 3, 6, 10, … không phải là cấp số cộng, vì các hiệu liên tiếp 3 − 1 = 2, 6 − 3 = 3, 10 − 6 = 4 không bằng nhau.

Từ định nghĩa, ta suy ra công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng: uₙ = u₁ + (n − 1)d.
Chứng minh rất ngắn gọn: u₂ = u₁ + d, u₃ = u₂ + d = u₁ + 2d, u₄ = u₁ + 3d, và cứ như vậy, tới số hạng thứ n thì đã cộng thêm d đúng (n − 1) lần.
Công thức này là "chìa khóa vạn năng" của cấp số cộng: biết u₁ và d thì tính được bất kì số hạng nào; biết hai số hạng bất kì thì tìm được d rồi tìm được u₁.

Ví dụ 2: Cho cấp số cộng (uₙ) có u₁ = 2 và công sai d = 3. Tìm số hạng thứ 10 và tính tổng 10 số hạng đầu tiên.
Áp dụng công thức số hạng tổng quát: u₁₀ = u₁ + (10 − 1)d = 2 + 9 × 3 = 2 + 27 = 29.
Để tính tổng, ta dùng công thức tổng n số hạng đầu: Sₙ = n(u₁ + uₙ) : 2.
Với n = 10: S₁₀ = 10 × (2 + 29) : 2 = 10 × 31 : 2 = 155.
Kiểm tra lại bằng cách cộng trực tiếp: 2 + 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + 20 + 23 + 26 + 29.
Cộng từng cặp từ hai đầu: 2 + 29 = 31, 5 + 26 = 31, 8 + 23 = 31, 11 + 20 = 31, 14 + 17 = 31 — năm cặp, mỗi cặp 31, tổng là 5 × 31 = 155.
Cách cộng cặp này chính là ý tưởng của Gauss khi còn là học sinh: ông tính tổng 1 + 2 + … + 100 bằng cách ghép 1 với 100, 2 với 99, và cứ thế, được 50 cặp mỗi cặp 101, tổng là 5050.
Công thức Sₙ = n(u₁ + uₙ) : 2 chính là cách viết tổng quát của trò ghép cặp đó.

Ví dụ 3: Tìm cấp số cộng (uₙ) biết u₃ = 7 và u₇ = 19. Tính tổng 20 số hạng đầu tiên.
Ta có u₃ = u₁ + 2d = 7 và u₇ = u₁ + 6d = 19.
Trừ hai phương trình cho nhau: (u₁ + 6d) − (u₁ + 2d) = 19 − 7, tức là 4d = 12, suy ra d = 3.
Thay d = 3 vào phương trình thứ nhất: u₁ + 6 = 7, suy ra u₁ = 1.
Vậy cấp số cộng cần tìm có số hạng đầu là 1 và công sai là 3.
Tổng 20 số hạng đầu: S₂₀ = n[2u₁ + (n − 1)d] : 2 với n = 20, u₁ = 1, d = 3.
S₂₀ = 20 × [2 × 1 + 19 × 3] : 2 = 10 × (2 + 57) = 10 × 59 = 590.
Kiểm tra nhanh: u₂₀ = 1 + 19 × 3 = 58, và S₂₀ = 20 × (1 + 58) : 2 = 10 × 59 = 590 — khớp nhau.
Mẹo làm bài: khi đề cho hai số hạng uₘ và uₙ, công sai tính ngay bằng công thức d = (uₙ − uₘ) : (n − m), không cần giải hệ phương trình.

Một tính chất đẹp của cấp số cộng mà đề trắc nghiệm rất hay dùng: với ba số hạng liên tiếp uₙ₋₁, uₙ, uₙ₊₁ thì số hạng ở giữa bằng trung bình cộng của hai số hạng hai bên, tức là uₙ = (uₙ₋₁ + uₙ₊₁) : 2.
Ví dụ: trong cấp số cộng 2, 5, 8, ta có 5 = (2 + 8) : 2.
Tính chất này còn giúp nhận biết một dãy có phải cấp số cộng hay không: nếu mọi số hạng ở giữa đều bằng trung bình cộng của hai số hạng kề nó thì dãy đó là cấp số cộng.

Tổng n số hạng đầu của cấp số cộng — hai công thức, một ý tưởng

Tổng n số hạng đầu của cấp số cộng, kí hiệu là Sₙ, có hai công thức tương đương nhau:
Công thức thứ nhất: Sₙ = n(u₁ + uₙ) : 2.
Công thức thứ hai: Sₙ = n[2u₁ + (n − 1)d] : 2.
Hai công thức này thực ra là một: công thức thứ hai có được bằng cách thay uₙ = u₁ + (n − 1)d vào công thức thứ nhất.
Khi đề cho u₁ và uₙ thì dùng công thức thứ nhất cho nhanh.
Khi đề cho u₁ và d mà không cho uₙ thì dùng công thức thứ hai, đỡ mất công tính uₙ trước.
Ví dụ: tính tổng 1 + 3 + 5 + … + 99.
Đây là cấp số cộng với u₁ = 1, d = 2, số hạng cuối là 99.
Số số hạng: 99 = 1 + (n − 1) × 2, suy ra n − 1 = 49, n = 50.
Tổng: S₅₀ = 50 × (1 + 99) : 2 = 50 × 100 : 2 = 2500.
Kết quả này cũng chính là 50² — tổng của 50 số lẻ đầu tiên luôn bằng 50², một kết quả đẹp mà bạn có thể kiểm chứng với vài trường hợp nhỏ: 1 = 1², 1 + 3 = 4 = 2², 1 + 3 + 5 = 9 = 3².

Một dạng bài hay gặp khác là tìm n khi biết tổng Sₙ.
Ví dụ: cấp số cộng có u₁ = 3, d = 2, tổng n số hạng đầu bằng 120. Tìm n.
Áp dụng công thức: Sₙ = n[2 × 3 + (n − 1) × 2] : 2 = n(6 + 2n − 2) : 2 = n(2n + 4) : 2 = n(n + 2).
Cho n(n + 2) = 120, tức là n² + 2n − 120 = 0.
Giải phương trình bậc hai: n = [−2 + √(4 + 480)] : 2 = (−2 + 22) : 2 = 10, nghiệm còn lại n = −12 bị loại vì n phải là số tự nhiên.
Vậy n = 10.
Chú ý: bài toán tìm n luôn đưa về phương trình bậc hai, và luôn phải loại nghiệm âm hoặc nghiệm không phải số tự nhiên — đó là cái bẫy quen thuộc của dạng này.

Cấp số nhân: mỗi bước đều nhân đúng một số như nhau

Nếu cấp số cộng là "cộng đều", thì cấp số nhân là "nhân đều".
Cấp số nhân là dãy số mà mỗi số hạng, kể từ số hạng thứ hai, bằng số hạng đứng ngay trước nó nhân với một số không đổi q.
Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.
Nói cách khác: uₙ₊₁ = uₙ × q với mọi n ≥ 1.
Ví dụ: dãy 3, 6, 12, 24, 48, … là cấp số nhân với số hạng đầu u₁ = 3 và công bội q = 2.
Dãy 100, 50, 25, 12,5, … cũng là cấp số nhân, với u₁ = 100 và công bội q = 1/2.
Dãy 1, −2, 4, −8, 16, … là cấp số nhân với q = −2 — dấu của các số hạng xen kẽ nhau, một dấu hiệu nhận biết công bội âm.
Ngược lại, dãy 2, 4, 8, 15, … không phải là cấp số nhân, vì 4 : 2 = 2 nhưng 15 : 8 không bằng 2.

Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân: uₙ = u₁ × qⁿ⁻¹.
Chứng minh tương tự như cấp số cộng: u₂ = u₁ × q, u₃ = u₁ × q², u₄ = u₁ × q³, và cứ như vậy, tới số hạng thứ n thì đã nhân với q đúng (n − 1) lần.
Chú ý số mũ là n − 1 chứ không phải n — nhầm chỗ này là lỗi phổ biến nhất khi làm bài cấp số nhân.

Ví dụ 4: Cho cấp số nhân (uₙ) có u₁ = 3 và công bội q = 2. Tìm số hạng thứ 6 và tính tổng 6 số hạng đầu tiên.
Số hạng thứ 6: u₆ = u₁ × q⁵ = 3 × 2⁵ = 3 × 32 = 96.
Tổng 6 số hạng đầu: Sₙ = u₁(qⁿ − 1) : (q − 1) với q ≠ 1.
S₆ = 3 × (2⁶ − 1) : (2 − 1) = 3 × (64 − 1) : 1 = 3 × 63 = 189.
Kiểm tra lại bằng cách cộng trực tiếp: 3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96 = 189.
Cộng tay: 3 + 6 = 9, 9 + 12 = 21, 21 + 24 = 45, 45 + 48 = 93, 93 + 96 = 189 — khớp hoàn toàn.
Công thức tổng của cấp số nhân chỉ dùng được khi q ≠ 1.
Nếu q = 1 thì mọi số hạng đều bằng u₁, tổng n số hạng đầu đơn giản là Sₙ = n × u₁.

Ví dụ 5: Tìm cấp số nhân (uₙ) biết u₂ = 6 và u₅ = 48. Tính số hạng thứ 8 và tổng 8 số hạng đầu tiên.
Ta có u₂ = u₁ × q = 6 và u₅ = u₁ × q⁴ = 48.
Chia hai phương trình cho nhau: q³ = 48 : 6 = 8, suy ra q = 2.
Thay q = 2 vào phương trình thứ nhất: u₁ × 2 = 6, suy ra u₁ = 3.
Số hạng thứ 8: u₈ = 3 × 2⁷ = 3 × 128 = 384.
Tổng 8 số hạng đầu: S₈ = 3 × (2⁸ − 1) : (2 − 1) = 3 × (256 − 1) = 3 × 255 = 765.
Kiểm tra nhanh: 3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96 + 192 + 384 = 765.
Mẹo làm bài: khi đề cho hai số hạng uₘ và uₙ của cấp số nhân, công bội tính ngay bằng qⁿ⁻ᵐ = uₙ : uₘ, rồi lấy căn bậc (n − m) — nhớ xét cả trường hợp q âm khi số mũ chẵn.

Tương tự cấp số cộng, cấp số nhân cũng có một tính chất đẹp: với ba số hạng liên tiếp uₙ₋₁, uₙ, uₙ₊₁ thì bình phương số hạng ở giữa bằng tích của hai số hạng hai bên, tức là uₙ² = uₙ₋₁ × uₙ₊₁.
Ví dụ: trong cấp số nhân 3, 6, 12, ta có 6² = 36 = 3 × 12.
Tính chất này còn có tên gọi là tính chất trung bình nhân: số hạng ở giữa là trung bình nhân của hai số hạng kề nó, khi ba số đều dương.
Trong đề trắc nghiệm, tính chất này thường xuất hiện dưới dạng bài "tìm x để ba số a, b, c lập thành cấp số nhân" — chỉ cần giải phương trình b² = a × c.

Tổng n số hạng đầu của cấp số nhân — và cái bẫy q = 1

Công thức tổng n số hạng đầu của cấp số nhân là Sₙ = u₁(qⁿ − 1) : (q − 1), với điều kiện q ≠ 1.
Một cách viết khác, tiện khi q < 1, là Sₙ = u₁(1 − qⁿ) : (1 − q).
Hai cách viết này tương đương nhau, chỉ khác dấu ở cả tử và mẫu.
Khi làm bài, bạn chọn cách nào cũng được, miễn là nhất quán.
Ví dụ: tính tổng 1 + 1/2 + 1/4 + … + 1/128.
Đây là cấp số nhân với u₁ = 1, q = 1/2.
Số số hạng: số hạng cuối là 1/128 = (1/2)⁷, mà uₙ = (1/2)ⁿ⁻¹ nên n − 1 = 7, suy ra n = 8.
Tổng: S₈ = 1 × [1 − (1/2)⁸] : (1 − 1/2) = (1 − 1/256) : (1/2) = (255/256) × 2 = 255/128.
Kết quả nhỏ hơn 2 — và phần sau sẽ giải thích vì sao tổng của cả dãy vô hạn này cũng không bao giờ vượt quá 2.

Có một trường hợp đặc biệt mà nhiều bạn quên mất: khi q = 1, mẫu số q − 1 bằng 0 nên công thức trên không dùng được.
Khi đó mọi số hạng đều bằng u₁, và tổng n số hạng đầu là Sₙ = n × u₁.
Ví dụ: cấp số nhân có u₁ = 5 và q = 1 thì S₁₀ = 10 × 5 = 50.
Trong đề thi, trường hợp q = 1 thường được giấu trong bài toán tìm q: khi giải phương trình tìm q mà ra q = 1 thì phải tách riêng trường hợp này ra, nếu không sẽ chia cho 0 mà không biết.

Cấp số nhân lùi vô hạn: cộng mãi mà tổng vẫn hữu hạn

Đây là phần đẹp nhất của chương dãy số, và cũng là cầu nối sang chương giới hạn ở cuối lớp 11.
Xét cấp số nhân 1, 1/2, 1/4, 1/8, … với u₁ = 1 và q = 1/2.
Cộng thêm càng nhiều số hạng, tổng càng tiến gần tới 2 nhưng không bao giờ vượt quá 2.
S₁ = 1; S₂ = 1,5; S₃ = 1,75; S₄ = 1,875; S₅ = 1,9375; …
Phần còn thiếu so với 2 sau n số hạng là (1/2)ⁿ⁻¹ — càng cộng nhiều, phần thiếu càng nhỏ.
Khi n đủ lớn, tổng gần như bằng 2.
Người ta nói tổng của cấp số nhân lùi vô hạn này bằng 2, và viết S = 2.

Một cấp số nhân được gọi là lùi vô hạn khi công bội của nó thỏa mãn |q| < 1.
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn được tính bằng công thức S = u₁ : (1 − q).
Công thức này có được từ công thức tổng hữu hạn: Sₙ = u₁(1 − qⁿ) : (1 − q), và khi |q| < 1 thì qⁿ tiến về 0 khi n càng lớn, nên Sₙ tiến về u₁ : (1 − q).
Điều kiện |q| < 1 là bắt buộc: nếu |q| ≥ 1 thì các số hạng không nhỏ dần về 0, tổng vô hạn không có một giá trị hữu hạn xác định.
Ví dụ: cấp số nhân 1, 2, 4, 8, … có q = 2, tổng càng cộng càng lớn vô hạn, không có tổng vô hạn.

Ví dụ 6: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có u₁ = 8 và q = −1/2.
Vì |q| = 1/2 < 1 nên đây là cấp số nhân lùi vô hạn, áp dụng được công thức S = u₁ : (1 − q).
S = 8 : [1 − (−1/2)] = 8 : (3/2) = 8 × 2 : 3 = 16/3.
Kiểm tra bằng vài tổng riêng phần: S₁ = 8; S₂ = 8 − 4 = 4; S₃ = 4 + 2 = 6; S₄ = 6 − 1 = 5; S₅ = 5 + 0,5 = 5,5; S₆ = 5,5 − 0,25 = 5,25.
Các tổng riêng phần dao động quanh 16/3 ≈ 5,333… và càng lúc càng tiến gần tới giá trị đó — đúng với bản chất của tổng vô hạn.
Chú ý: công bội âm làm các số hạng đổi dấu liên tiếp, tổng riêng phần dao động lên xuống quanh giới hạn, nhưng vẫn hội tụ về cùng một giá trị.

Cấp số nhân lùi vô hạn còn là công cụ để viết một số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số.
Ví dụ: số 0,333… = 3/10 + 3/100 + 3/1000 + … là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với u₁ = 3/10 và q = 1/10.
Tổng: S = (3/10) : (1 − 1/10) = (3/10) : (9/10) = 3/9 = 1/3.
Vậy 0,333… = 1/3 — một kết quả quen thuộc mà giờ bạn đã chứng minh được bằng cấp số nhân lùi vô hạn.
Tương tự, 0,121212… = 12/99 = 4/33, vì nó là tổng của cấp số nhân với u₁ = 12/100 và q = 1/100.

Dãy số trong đời sống: lãi kép, vi khuẩn và bậc thang

Cấp số cộng và cấp số nhân không chỉ nằm trong sách giáo khoa — chúng vận hành ngay trong đời sống quanh bạn.
Tiền gửi tiết kiệm với lãi kép là một cấp số nhân: mỗi năm, số tiền được nhân với cùng một hệ số (1 + r), với r là lãi suất năm.
Nếu gửi 10 triệu đồng với lãi suất 6% một năm, số tiền sau mỗi năm là 10 × 1,06; 10 × 1,06²; 10 × 1,06³; …
Sau 5 năm, số tiền là 10 × 1,06⁵ triệu đồng.
Tính: 1,06² = 1,1236; 1,06⁴ = 1,1236² = 1,26247696; 1,06⁵ = 1,26247696 × 1,06 = 1,3382255776.
Vậy sau 5 năm bạn có khoảng 13,38 triệu đồng — tăng 3,38 triệu so với vốn ban đầu mà không cần gửi thêm đồng nào.
Đây cũng là lý do các chuyên gia tài chính khuyên nên gửi tiết kiệm sớm: cấp số nhân càng chạy lâu thì càng tăng nhanh.

Ví dụ 7: Một vi khuẩn cứ 20 phút lại phân đôi thành 2 vi khuẩn. Hỏi sau 2 giờ, từ 1 vi khuẩn ban đầu sẽ có bao nhiêu vi khuẩn?
Sau mỗi 20 phút, số vi khuẩn nhân đôi — đây là cấp số nhân với công bội q = 2.
Trong 2 giờ có 120 phút, tức là 120 : 20 = 6 lần phân đôi.
Số vi khuẩn sau 6 lần nhân đôi: 1 × 2⁶ = 64 vi khuẩn.
Nếu để thêm 2 giờ nữa, tức là tổng cộng 12 lần phân đôi, số vi khuẩn sẽ là 2¹² = 4096.
Chỉ sau 4 giờ, từ 1 vi khuẩn đã thành hơn 4000 vi khuẩn — đó là sức mạnh của tăng trưởng theo cấp số nhân, và cũng là lý do vì sao vết thương nhiễm trùng có thể trở nặng rất nhanh nếu không xử lí kịp thời.
Ngược lại, cấp số cộng tăng chậm và đều: một người leo cầu thang, mỗi tầng cao thêm 3 mét, sau 10 tầng mới lên được 30 mét — không có sự bùng nổ như cấp số nhân.

Còn một ví dụ nổi tiếng nữa: gấp một tờ giấy.
Một tờ giấy dày 0,1 mm, gấp đôi một lần thì dày 0,2 mm, gấp đôi lần nữa thì dày 0,4 mm — độ dày tăng theo cấp số nhân với q = 2.
Sau 42 lần gấp, độ dày là 0,1 × 2⁴² mm ≈ 439.804 km — lớn hơn khoảng cách từ Trái Đất tới Mặt Trăng (khoảng 384.400 km).
Tất nhiên trong thực tế không ai gấp được tờ giấy 42 lần, nhưng con số này cho thấy cấp số nhân tăng nhanh tới mức nào: chỉ cần nhân đôi đủ nhiều lần, một thứ rất mỏng cũng có thể chạm tới Mặt Trăng.
Bạn có thể đọc thêm về hàm mũ — "người anh em" của cấp số nhân — trong bài chuyên đề hàm số và đồ thị, và khi cần tính nhanh lũy thừa lớn thì dùng máy tính Casio online để kiểm tra lại kết quả của mình.

Những lỗi sai hay gặp nhất khi làm bài dãy số và cấp số

Lỗi 1: Nhầm số mũ n với n − 1 trong công thức cấp số nhân.
Công thức đúng là uₙ = u₁ × qⁿ⁻¹, không phải u₁ × qⁿ.
Ví dụ: cấp số nhân có u₁ = 3, q = 2 thì u₂ = 3 × 2¹ = 6, chứ không phải 3 × 2² = 12.
Cách tránh: luôn kiểm tra với n = 1 — khi n = 1 thì u₁ phải bằng chính u₁, tức là số mũ phải bằng 0, vậy số mũ đúng là n − 1.
Lỗi này cũng xuất hiện trong công thức cấp số cộng: uₙ = u₁ + (n − 1)d, không phải u₁ + nd.

Lỗi 2: Dùng công thức tổng của cấp số nhân khi q = 1.
Công thức Sₙ = u₁(qⁿ − 1) : (q − 1) có mẫu số q − 1, nên khi q = 1 thì mẫu số bằng 0, công thức không dùng được.
Khi q = 1, mọi số hạng đều bằng u₁, tổng n số hạng đầu là Sₙ = n × u₁.
Cách tránh: trước khi áp công thức, luôn kiểm tra xem q có bằng 1 hay không.

Lỗi 3: Áp dụng công thức tổng vô hạn khi |q| ≥ 1.
Công thức S = u₁ : (1 − q) chỉ đúng khi |q| < 1.
Với cấp số nhân 1, 2, 4, 8, … có q = 2, nếu áp dụng bừa công thức sẽ ra S = 1 : (1 − 2) = −1 — một kết quả vô nghĩa, vì tổng của các số dương không thể âm.
Cách tránh: luôn kiểm tra điều kiện |q| < 1 trước khi tính tổng vô hạn.

Lỗi 4: Nhầm lẫn cấp số cộng với cấp số nhân khi dãy có ba số hạng.
Ba số 2, 4, 8 vừa không phải cấp số cộng (hiệu 2 và 4 khác nhau) vừa là cấp số nhân (tỉ số đều bằng 2).
Ba số 2, 4, 6 là cấp số cộng nhưng không phải cấp số nhân.
Muốn phân biệt, hãy tính hiệu của hai số hạng liên tiếp: nếu các hiệu bằng nhau thì là cấp số cộng; tính tỉ số của hai số hạng liên tiếp: nếu các tỉ số bằng nhau thì là cấp số nhân.
Một dãy có thể vừa là cấp số cộng vừa là cấp số nhân — đó là dãy hằng, ví dụ 5, 5, 5, … vừa có d = 0 vừa có q = 1.

Lỗi 5: Quên loại nghiệm khi tìm n từ tổng Sₙ.
Bài toán tìm n từ tổng thường đưa về phương trình bậc hai với hai nghiệm, trong đó có một nghiệm âm hoặc bằng 0.
Vì n là số thứ tự của số hạng nên n phải là số tự nhiên khác 0 — nghiệm âm hoặc nghiệm bằng 0 đều phải loại.
Ví dụ ở phần tổng cấp số cộng: phương trình n² + 2n − 120 = 0 cho hai nghiệm n = 10 và n = −12, chỉ nhận n = 10.

Bài tập tự luyện — làm rồi mới xem đáp án nhé

Câu 1. Cho cấp số cộng (uₙ) có u₁ = 5 và công sai d = −2. Số hạng u₈ bằng bao nhiêu?
A. −9
B. −11
C. 11
D. −7
→ Đáp án: A. Giải thích: Áp dụng công thức uₙ = u₁ + (n − 1)d: u₈ = 5 + (8 − 1) × (−2) = 5 + 7 × (−2) = 5 − 14 = −9. Đáp án B sai vì tính nhầm thành 5 + 8 × (−2) = −11 — dùng số mũ n thay vì n − 1, đúng lỗi 1 đã nhắc ở trên. Đáp án C sai vì quên dấu âm của công sai. Đáp án D sai vì tính nhầm 5 + 6 × (−2) = −7 — dùng (n − 2) thay vì (n − 1).

Câu 2. Tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số cộng 1, 4, 7, 10, … bằng bao nhiêu?
A. 145
B. 135
C. 155
D. 125
→ Đáp án: A. Giải thích: Cấp số cộng có u₁ = 1 và công sai d = 3. Số hạng thứ 10: u₁₀ = 1 + 9 × 3 = 28. Tổng: S₁₀ = 10 × (1 + 28) : 2 = 10 × 29 : 2 = 145. Đáp án B sai vì tính nhầm u₁₀ = 25 rồi cộng thành 135. Đáp án C sai vì lấy nhầm d = 3,5. Đáp án D sai vì tính tổng của 9 số hạng đầu thay vì 10 số hạng.

Câu 3. Cho cấp số nhân (uₙ) có u₁ = 2 và công bội q = 3. Số hạng u₅ bằng bao nhiêu?
A. 54
B. 162
C. 48
D. 81
→ Đáp án: B. Giải thích: Áp dụng công thức uₙ = u₁ × qⁿ⁻¹: u₅ = 2 × 3⁴ = 2 × 81 = 162. Đáp án A sai vì tính nhầm thành 2 × 3³ = 54 — dùng số mũ n − 2 thay vì n − 1. Đáp án C sai vì tính nhầm thành 2 × 3 × 8 = 48. Đáp án D sai vì quên nhân với u₁ = 2, chỉ tính 3⁴ = 81.

Câu 4. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn 1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + … bằng bao nhiêu?
A. 3/2
B. 2
C. 1
D. 3
→ Đáp án: A. Giải thích: Đây là cấp số nhân lùi vô hạn với u₁ = 1 và q = 1/3, vì |q| = 1/3 < 1 nên áp dụng được công thức S = u₁ : (1 − q) = 1 : (1 − 1/3) = 1 : (2/3) = 3/2. Đáp án B sai vì tính nhầm thành 1 : (1 − 1/2) = 2 — lấy nhầm q = 1/2. Đáp án C sai vì chỉ lấy số hạng đầu tiên. Đáp án D sai vì tính nhầm thành 1 : (1 − 2/3) = 3 — lấy nhầm q = 2/3.

Câu 5. Dãy số nào sau đây là cấp số cộng?
A. 1, 3, 6, 10, …
B. 2, 5, 8, 11, …
C. 1, 2, 4, 8, …
D. 3, 6, 11, 18, …
→ Đáp án: B. Giải thích: Dãy 2, 5, 8, 11, … có hiệu của hai số hạng liên tiếp luôn bằng 3 (5 − 2 = 3, 8 − 5 = 3, 11 − 8 = 3) nên là cấp số cộng với công sai d = 3. Đáp án A sai vì các hiệu 2, 3, 4 không bằng nhau. Đáp án C sai vì đây là cấp số nhân với công bội q = 2, hiệu của hai số hạng liên tiếp là 1, 2, 4 — không bằng nhau. Đáp án D sai vì các hiệu 3, 5, 7 không bằng nhau.

Câu hỏi thường gặp về dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân

Dãy số và hàm số khác nhau như thế nào? Dãy số chính là một hàm số đặc biệt: hàm số xác định trên tập ℕ* = {1; 2; 3; …}. Điểm khác duy nhất là "đầu vào" của dãy số chỉ là các số tự nhiên 1, 2, 3, …, còn hàm số thông thường nhận mọi số thực trong tập xác định. Vì vậy mọi khái niệm của hàm số — đơn điệu, bị chặn — đều áp dụng được cho dãy số.

Làm sao phân biệt nhanh cấp số cộng và cấp số nhân? Tính hiệu của hai số hạng liên tiếp: nếu các hiệu bằng nhau thì là cấp số cộng. Tính tỉ số của hai số hạng liên tiếp: nếu các tỉ số bằng nhau thì là cấp số nhân. Chỉ cần kiểm tra hai cặp hiệu hoặc hai cặp tỉ số là đủ để kết luận trong hầu hết các bài trắc nghiệm.

Khi nào dùng công thức Sₙ = n(u₁ + uₙ) : 2, khi nào dùng Sₙ = n[2u₁ + (n − 1)d] : 2? Hai công thức này là một, chỉ khác cách viết. Đề cho u₁ và uₙ thì dùng công thức thứ nhất cho nhanh. Đề cho u₁ và d mà không cho uₙ thì dùng công thức thứ hai, đỡ mất công tính uₙ trước. Quan trọng là nhớ cả hai, để gặp dạng nào cũng làm được ngay.

Cấp số nhân lùi vô hạn khác cấp số nhân thường ở chỗ nào? Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân có |q| < 1, và nó có thêm một khái niệm mà cấp số nhân thường không có: tổng vô hạn S = u₁ : (1 − q). Cấp số nhân thường chỉ có tổng của n số hạng đầu (n hữu hạn). Nếu |q| ≥ 1 thì tổng vô hạn không tồn tại dưới dạng một số hữu hạn.

Vì sao cộng vô hạn số hạng mà tổng vẫn hữu hạn? Vì các số hạng càng lúc càng nhỏ dần về 0, phần cộng thêm sau mỗi bước ngày càng ít. Ví dụ 1 + 1/2 + 1/4 + …: sau 10 số hạng, phần còn thiếu so với 2 chỉ là 1/1024 ≈ 0,001. Cộng mãi thì phần thiếu tiến về 0, tổng tiến về 2. Đây chính là ý tưởng của giới hạn — chương sẽ học ngay sau chương dãy số.

Kết luận: cộng đều hay nhân đều — chỉ cần nhớ quy luật là tính được tất cả

Đi hết chuyên đề này, bạn đã có trong tay toàn bộ công cụ của chương dãy số: định nghĩa dãy số và hai tính chất đơn điệu, bị chặn; công thức số hạng tổng quát và công thức tổng của cấp số cộng; công thức số hạng tổng quát và công thức tổng của cấp số nhân; và công thức tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.
Điểm chung của tất cả các công thức là: chỉ cần biết số hạng đầu và công sai (hoặc công bội) là tính được mọi thứ — số hạng thứ n, tổng n số hạng đầu, thậm chí tổng vô hạn.
Thói quen làm bài cần nhớ: kiểm tra số mũ n − 1 trong cấp số nhân, kiểm tra q ≠ 1 trước khi dùng công thức tổng, kiểm tra |q| < 1 trước khi dùng công thức tổng vô hạn, và loại nghiệm âm khi tìm n.
Để ôn tiếp, hãy đọc lại bài chuyên đề hàm số và đồ thị để thấy dãy số chính là hàm số trên tập số tự nhiên, bài chuyên đề lượng giác để ôn lại cách tính lũy thừa và căn thức hay dùng trong cấp số nhân, và bài công thức đạo hàm để chuẩn bị cho chương giới hạn sắp tới.
Cuối cùng, đừng chỉ đọc — hãy tự tay tính lại 7 ví dụ trong bài không nhìn đáp án, làm 5 câu tự luyện rồi đối chiếu với bảng đáp án, và thử tính xem nếu gửi tiết kiệm 5 triệu đồng với lãi suất 7% một năm thì sau 10 năm bạn có bao nhiêu tiền, dùng máy tính Casio online để kiểm tra.
Làm được như vậy, chương dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân sẽ thực sự là của bạn.