Chuyên đề Hàm số và đồ thị: lý thuyết, công thức và bài tập có đáp án

Sáng nay lúc 7 giờ, nhiệt độ ngoài trời là 24°C.
Đến giữa trưa, nhiệt độ lên tới 32°C.
Tối về, nhiệt độ lại hạ xuống còn 27°C.
Mỗi thời điểm trong ngày cho đúng một nhiệt độ — không thể nào 12 giờ trưa vừa 32°C lại vừa 28°C được.
Chính mối quan hệ "mỗi đầu vào cho đúng một đầu ra" ấy là hàm số.
Hàm số không chỉ nằm trong sách giáo khoa: tiền cước điện thoại tăng theo dung lượng đã dùng, chiều cao của một cái cây tăng theo năm tháng, số tiền gửi tiết kiệm tăng theo thời gian — tất cả đều là hàm số đang vận hành quanh bạn mỗi ngày.
Chuyên đề này sẽ dẫn bạn đi hết một vòng hàm số: từ định nghĩa, tập xác định, tính đơn điệu, cực trị, cho tới cách đọc và vẽ đồ thị của những hàm quen thuộc nhất, rồi dùng đạo hàm để khảo sát trọn vẹn một hàm số như chương trình lớp 12 yêu cầu.
Cứ đọc chậm, làm theo từng ví dụ, và cuối bài thử sức với 5 câu tự luyện — bạn sẽ thấy hàm số không còn là một chương khó nhằn nữa.

Chặng 1: Hàm số là gì — và vì sao phải tìm tập xác định trước tiên

Hàm số là một quy tắc gán mỗi số x thuộc một tập D cho đúng một số y duy nhất.
Ta viết y = f(x), đọc là "y bằng f của x".
Tập D được gọi là tập xác định của hàm số.
Nói cách khác: x là "đầu vào", f là "cái máy", y là "đầu ra" — một đầu vào không bao giờ cho ra hai kết quả khác nhau.

Hàm số có thể được cho bằng công thức, bằng bảng giá trị, hoặc bằng đồ thị.
Trong chương trình phổ thông, dạng công thức là dạng gặp nhiều nhất.
Ví dụ: y = 2x + 1 là hàm số cho bằng công thức.
Với x = 3, ta tính được y = 2 × 3 + 1 = 7.
Với x = −1, ta tính được y = 2 × (−1) + 1 = −1.
Mỗi x cho đúng một y — đó là dấu hiệu nhận biết hàm số.

Trước khi làm bất cứ điều gì với một hàm số, việc đầu tiên luôn là tìm tập xác định.
Ba tình huống hay gặp nhất là:
Căn bậc hai: biểu thức dưới dấu căn phải lớn hơn hoặc bằng 0.
Phân thức: mẫu số phải khác 0.
Logarit: biểu thức trong logarit phải lớn hơn 0.

Ví dụ 1: Tìm tập xác định của hàm số y = √(2x − 4) + 1/(x − 1).
Điều kiện thứ nhất: biểu thức dưới dấu căn không âm, tức là 2x − 4 ≥ 0, suy ra x ≥ 2.
Điều kiện thứ hai: mẫu số khác 0, tức là x − 1 ≠ 0, suy ra x ≠ 1.
Vì x ≥ 2 đã loại trừ x = 1 rồi, nên chỉ còn điều kiện x ≥ 2.
Vậy tập xác định là D = [2; +∞).
Nếu bạn quên mất điều kiện của dấu căn mà thay x = 0 vào, bạn sẽ gặp √(−4) — một phép tính không có nghĩa trong tập số thực.

Một mẹo nhỏ: khi gặp hàm số có nhiều điều kiện, hãy viết từng điều kiện ra một dòng, giải riêng từng dòng, rồi lấy phần chung của tất cả.
Làm như vậy thì không bao giờ sót điều kiện.

Chặng 2: Đọc dáng điệu — hàm số đang đi lên hay đi xuống

Nhìn vào một đồ thị, câu hỏi đầu tiên thường là: đường này đang đi lên hay đi xuống?
Đó chính là tính đơn điệu của hàm số.
Hàm số y = f(x) được gọi là đồng biến (tăng) trên khoảng K nếu với mọi x₁, x₂ thuộc K mà x₁ < x₂ thì f(x₁) < f(x₂).
Hàm số được gọi là nghịch biến (giảm) trên khoảng K nếu với mọi x₁, x₂ thuộc K mà x₁ < x₂ thì f(x₁) > f(x₂).
Nói bằng hình ảnh: đồng biến thì đồ thị đi lên từ trái sang phải, nghịch biến thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải.

Đạo hàm là công cụ nhanh nhất để biết hàm số đang đi lên hay đi xuống.
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a; b).
Nếu f'(x) > 0 với mọi x thuộc (a; b) thì hàm số đồng biến trên khoảng (a; b).
Nếu f'(x) < 0 với mọi x thuộc (a; b) thì hàm số nghịch biến trên khoảng (a; b).
Quy trình xét tính đơn điệu gồm 4 bước: tìm tập xác định; tính đạo hàm f'(x); giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm tới hạn; xét dấu f'(x) và lập bảng biến thiên, rồi kết luận.
Muốn tính đạo hàm nhanh và đúng, bạn có thể ôn lại toàn bộ bảng đạo hàm và quy tắc tính trong bài công thức đạo hàm.

Bảng biến thiên là "bản đồ" tóm tắt toàn bộ dáng điệu của hàm số: khoảng nào đi lên, khoảng nào đi xuống, đâu là đỉnh, đâu là đáy.
Học cách lập bảng biến thiên thành thạo thì mọi câu hỏi về đơn điệu và cực trị đều trở nên dễ dàng.

Chặng 3: Đỉnh và đáy — cực trị của hàm số

Trên một ngọn đồi, đỉnh đồi là điểm cao nhất trong vùng lân cận, đáy thung lũng là điểm thấp nhất trong vùng lân cận.
Trong hàm số, hai điểm ấy được gọi là điểm cực đại và điểm cực tiểu.
Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) và điểm x₀ thuộc (a; b).
Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(x₀) với mọi x thuộc (x₀ − h; x₀ + h) và x ≠ x₀ thì hàm số đạt cực đại tại x₀, giá trị f(x₀) gọi là giá trị cực đại.
Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(x₀) với mọi x thuộc (x₀ − h; x₀ + h) và x ≠ x₀ thì hàm số đạt cực tiểu tại x₀, giá trị f(x₀) gọi là giá trị cực tiểu.
Điểm cực đại và điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị.

Quy tắc tìm cực trị cũng gồm 4 bước quen thuộc: tìm tập xác định; tính f'(x); giải f'(x) = 0; lập bảng biến thiên và nhìn dấu của f' đổi chiều ở đâu.
Nếu f' đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua x₀ thì hàm số đạt cực đại tại x₀.
Nếu f' đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua x₀ thì hàm số đạt cực tiểu tại x₀.
Nếu f' không đổi dấu thì x₀ không phải là điểm cực trị — đây là cái bẫy kinh điển mà phần lỗi sai cuối bài sẽ nhắc lại.

Ví dụ 2: Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số y = x³ − 3x² + 2.
Tập xác định: D = ℝ.
Đạo hàm: y' = 3x² − 6x = 3x(x − 2).
Giải y' = 0, ta được x = 0 hoặc x = 2.
Xét dấu y': trên khoảng (−∞; 0), chọn x = −1 thì y' = 3 × (−1) × (−3) = 9 > 0, hàm số đồng biến.
Trên khoảng (0; 2), chọn x = 1 thì y' = 3 × 1 × (−1) = −3 < 0, hàm số nghịch biến.
Trên khoảng (2; +∞), chọn x = 3 thì y' = 3 × 3 × 1 = 9 > 0, hàm số đồng biến.
Vậy hàm số đồng biến trên (−∞; 0) và (2; +∞), nghịch biến trên (0; 2).
Tại x = 0, y' đổi dấu từ dương sang âm nên hàm số đạt cực đại, giá trị cực đại y = 0³ − 3 × 0² + 2 = 2.
Tại x = 2, y' đổi dấu từ âm sang dương nên hàm số đạt cực tiểu, giá trị cực tiểu y = 2³ − 3 × 2² + 2 = 8 − 12 + 2 = −2.
Điểm cực đại của đồ thị là (0; 2), điểm cực tiểu của đồ thị là (2; −2).

Chặng 4: Bốn gương mặt quen thuộc — bậc nhất, bậc hai, mũ – logarit và phân thức

Có bốn họ hàm số mà bạn sẽ gặp đi gặp lại trong mọi đề kiểm tra và đề thi.
Nắm chắc dáng đồ thị của từng họ thì dù đề bài biến tấu thế nào, bạn vẫn nhận ra ngay.

Hàm bậc nhất y = ax + b (a ≠ 0)

Đồ thị là một đường thẳng.
Nếu a > 0, hàm số đồng biến trên ℝ, đường thẳng đi lên từ trái sang phải.
Nếu a < 0, hàm số nghịch biến trên ℝ, đường thẳng đi xuống từ trái sang phải.
Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0; b) và cắt trục hoành tại điểm (−b/a; 0).
Ví dụ: y = 2x − 1 cắt trục tung tại (0; −1) và cắt trục hoành tại (1/2; 0), vì 2x − 1 = 0 cho x = 1/2.

Hàm bậc hai y = ax² + bx + c (a ≠ 0)

Đồ thị là một parabol.
Đỉnh của parabol là điểm I(−b/2a; −Δ/4a), với Δ = b² − 4ac.
Trục đối xứng là đường thẳng x = −b/2a.
Nếu a > 0, parabol có bề lõm hướng lên, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại đỉnh.
Nếu a < 0, parabol có bề lõm hướng xuống, hàm số đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh.
Muốn tìm giao điểm với trục hoành, bạn giải phương trình ax² + bx + c = 0 — ôn lại cách giải trong bài công thức nghiệm phương trình bậc hai, và khi cần nhẩm nhanh tổng – tích hai nghiệm thì dùng hệ thức Vi-ét.

Ví dụ 3: Khảo sát nhanh hàm số y = x² − 4x + 3.
Viết lại dưới dạng bình phương: y = (x − 2)² − 1.
Đỉnh của parabol là I(2; −1), trục đối xứng là đường thẳng x = 2.
Vì a = 1 > 0 nên parabol có bề lõm hướng lên, giá trị nhỏ nhất của hàm số là −1, đạt tại x = 2.
Hàm số nghịch biến trên (−∞; 2) và đồng biến trên (2; +∞).
Giao với trục hoành: giải x² − 4x + 3 = 0, được x = 1 hoặc x = 3, đồ thị cắt trục hoành tại (1; 0) và (3; 0).
Giao với trục tung: tại x = 0 thì y = 3, đồ thị cắt trục tung tại (0; 3).
Chỉ với 5 điểm này, bạn đã vẽ được parabol khá chính xác.

Hàm mũ và hàm logarit — cặp đôi đối xứng

Hàm mũ y = aˣ (a > 0, a ≠ 1) có tập xác định là ℝ.
Nếu a > 1, hàm số đồng biến trên ℝ.
Nếu 0 < a < 1, hàm số nghịch biến trên ℝ.
Hàm logarit y = log_ax (a > 0, a ≠ 1) có tập xác định là (0; +∞).
Nếu a > 1, hàm số đồng biến trên (0; +∞).
Nếu 0 < a < 1, hàm số nghịch biến trên (0; +∞).
Hai đồ thị này đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x — vì logarit chính là hàm ngược của hàm mũ.
Toàn bộ công thức logarit cần nhớ đã có trong bài công thức logarit.

Ví dụ 4: Tính giá trị và giải phương trình mũ – logarit.
Tính 2³ = 2 × 2 × 2 = 8, và log₂8 = 3 vì 2³ = 8.
Giải phương trình 2ˣ = 16: vì 16 = 2⁴ nên x = 4.
Giải phương trình log₂(x − 1) = 3: điều kiện x − 1 > 0, tức là x > 1.
Từ log₂(x − 1) = 3 suy ra x − 1 = 2³ = 8, vậy x = 9, thỏa mãn điều kiện x > 1.
Hàm mũ còn xuất hiện trong bài toán tăng trưởng thực tế: tiền gửi tiết kiệm với lãi kép tăng theo hàm mũ theo thời gian, xem thêm trong bài công thức tính lãi kép.

Hàm phân thức và đường tiệm cận

Với hàm phân thức dạng y = (ax + b)/(cx + d), đồ thị có hai đường tiệm cận: tiệm cận đứng là đường thẳng x = −d/c (nơi mẫu số bằng 0) và tiệm cận ngang là đường thẳng y = a/c (tỉ số hai hệ số của x).
Đồ thị gồm hai nhánh, mỗi nhánh nằm một phía của tiệm cận đứng, và càng đi xa thì càng tiến sát tới tiệm cận ngang mà không bao giờ chạm vào.

Ví dụ 5: Xét hàm số y = (2x − 1)/(x + 1).
Tập xác định: D = ℝ \ {−1}, vì mẫu số x + 1 = 0 khi x = −1.
Đạo hàm: y' = 3/(x + 1)².
Vì (x + 1)² > 0 với mọi x ≠ −1 nên y' > 0 trên từng khoảng xác định.
Vậy hàm số đồng biến trên (−∞; −1) và đồng biến trên (−1; +∞).
Tiệm cận đứng: x = −1.
Tiệm cận ngang: y = 2.
Một vài điểm để vẽ đồ thị: tại x = 0 thì y = −1; tại x = 1 thì y = 1/2; tại x = −2 thì y = 5.
Chú ý: hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định, chứ không đồng biến trên toàn bộ tập xác định — vì hai khoảng (−∞; −1) và (−1; +∞) bị ngắt bởi điểm x = −1.

Chặng 5: Đạo hàm — cỗ máy khảo sát trọn vẹn một hàm số

Khi đã biết đạo hàm, bạn có thể khảo sát bất kỳ hàm số nào theo một quy trình 4 bước chuẩn của chương trình lớp 12:
Bước 1: Tìm tập xác định.
Bước 2: Tính đạo hàm, giải f'(x) = 0, lập bảng biến thiên để kết luận tính đơn điệu và cực trị.
Bước 3: Tìm các đường tiệm cận (nếu có) và các giao điểm với hai trục tọa độ.
Bước 4: Vẽ đồ thị dựa trên bảng biến thiên và các điểm đã tính.
Đạo hàm còn là chìa khóa để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn — dạng bài xuất hiện trong hầu hết các đề thi.

Quy tắc tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn [a; b] gồm 3 bước:
Bước 1: Tính f'(x), giải f'(x) = 0, giữ lại các nghiệm thuộc đoạn [a; b].
Bước 2: Tính giá trị của hàm số tại các nghiệm đó và tại hai đầu mút a, b.
Bước 3: So sánh tất cả các giá trị vừa tính, số lớn nhất là giá trị lớn nhất, số nhỏ nhất là giá trị nhỏ nhất.
Điểm mấu chốt mà nhiều bạn hay quên: phải tính cả giá trị tại hai đầu mút.
Ví dụ sau sẽ cho bạn thấy vì sao.

Ví dụ 6: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = x³ − 3x² − 9x + 35 trên đoạn [−4; 4].
Đạo hàm: y' = 3x² − 6x − 9 = 3(x² − 2x − 3) = 3(x − 3)(x + 1).
Giải y' = 0, được x = 3 hoặc x = −1, cả hai đều nằm trong đoạn [−4; 4].
Tính giá trị hàm số tại các điểm tới hạn và hai đầu mút:
Tại x = −4: y = (−4)³ − 3 × (−4)² − 9 × (−4) + 35 = −64 − 48 + 36 + 35 = −41.
Tại x = −1: y = (−1)³ − 3 × (−1)² − 9 × (−1) + 35 = −1 − 3 + 9 + 35 = 40.
Tại x = 3: y = 3³ − 3 × 3² − 9 × 3 + 35 = 27 − 27 − 27 + 35 = 8.
Tại x = 4: y = 4³ − 3 × 4² − 9 × 4 + 35 = 64 − 48 − 36 + 35 = 15.
So sánh bốn giá trị −41, 40, 8, 15: giá trị lớn nhất là 40, đạt tại x = −1; giá trị nhỏ nhất là −41, đạt tại x = −4.
Nếu chỉ nhìn vào các điểm tới hạn mà bỏ qua đầu mút, bạn sẽ kết luận sai giá trị nhỏ nhất là 8 — trong khi giá trị tại đầu mút x = −4 là −41, nhỏ hơn hẳn.
Bài học ở đây: đầu mút luôn có thể là nơi đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất, đừng bao giờ bỏ qua.

Đạo hàm và nguyên hàm là hai phép toán ngược nhau: đạo hàm đi từ hàm số xuống tốc độ thay đổi, nguyên hàm đi từ tốc độ thay đổi trở về hàm số ban đầu.
Bạn có thể đọc thêm trong bài công thức nguyên hàm.
Khi làm bài, bạn cũng có thể dùng máy tính Casio online để bấm nhanh giá trị hàm số tại một điểm hoặc dò nghiệm của phương trình đạo hàm, rồi đối chiếu với kết quả mình tính tay.

Những lỗi sai hay gặp nhất khi làm bài hàm số

Lỗi 1: Quên tìm tập xác định ngay từ đầu.
Nhiều bạn tính đạo hàm, lập bảng biến thiên rất đẹp, nhưng kết quả sai hoàn toàn vì hàm số vốn không xác định ở những điểm đó.
Ví dụ: với y = √(x − 1), mọi kết luận chỉ có nghĩa khi x ≥ 1.
Cách tránh: viết điều kiện xác định thành dòng đầu tiên của bài giải, trước cả khi tính đạo hàm.

Lỗi 2: Thấy f'(x₀) = 0 là kết luận ngay x₀ là điểm cực trị.
Đạo hàm bằng 0 chỉ là điều kiện cần, chưa phải điều kiện đủ.
Ví dụ: hàm số y = x³ có y' = 3x², y' = 0 tại x = 0, nhưng y' > 0 ở cả hai phía của x = 0 nên hàm số vẫn đồng biến trên ℝ, không có cực trị tại x = 0.
Cách tránh: luôn xét dấu của f' hai bên điểm tới hạn, hoặc lập bảng biến thiên đầy đủ rồi mới kết luận.

Lỗi 3: Nhầm lẫn cực trị với giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Cực trị là khái niệm địa phương: cao nhất hoặc thấp nhất trong một vùng lân cận nhỏ.
Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất là khái niệm toàn cục: lớn nhất hoặc nhỏ nhất trên toàn bộ tập đang xét.
Một hàm số có thể có cực đại nhưng giá trị lớn nhất trên đoạn lại đạt tại đầu mút — ví dụ 6 ở trên là minh chứng rõ ràng nhất.

Lỗi 4: Kết luận hàm số đơn điệu trên cả tập xác định khi nó chỉ đơn điệu trên từng khoảng.
Ví dụ: y = 1/x nghịch biến trên (−∞; 0) và nghịch biến trên (0; +∞), nhưng không nghịch biến trên ℝ \ {0}.
Chứng minh: lấy x₁ = −1 và x₂ = 1, ta có x₁ < x₂ nhưng f(x₁) = −1 < f(x₂) = 1, trái với định nghĩa nghịch biến.
Cách tránh: khi tập xác định gồm nhiều khoảng rời nhau, luôn viết kết luận đơn điệu cho từng khoảng riêng biệt, không gộp lại.

Lỗi 5: Nhầm tiệm cận đứng với tiệm cận ngang.
Tiệm cận đứng là đường thẳng đứng x = x₀, xuất hiện khi mẫu số bằng 0.
Tiệm cận ngang là đường thẳng nằm ngang y = y₀, xuất hiện khi x tiến ra vô cùng.
Với y = (2x − 1)/(x + 1), tiệm cận đứng là x = −1, tiệm cận ngang là y = 2 — đừng viết ngược hai số này.

Bài tập tự luyện — làm rồi mới xem đáp án nhé

Câu 1. Tập xác định của hàm số y = √(x + 3) + 1/(x − 2) là:
A. [−3; +∞)
B. [−3; +∞) \ {2}
C. (−3; +∞)
D. ℝ \ {2}
→ Đáp án: B. Giải thích: Điều kiện của dấu căn: x + 3 ≥ 0, suy ra x ≥ −3. Điều kiện của mẫu số: x − 2 ≠ 0, suy ra x ≠ 2. Kết hợp hai điều kiện, tập xác định là [−3; +∞) nhưng bỏ đi điểm 2, tức là [−3; +∞) \ {2}. Đáp án A sai vì quên loại điểm x = 2, tại đó mẫu số bằng 0. Đáp án C sai vì x = −3 vẫn thỏa mãn (√0 = 0) nên −3 phải được lấy vào. Đáp án D sai vì bỏ sót điều kiện của dấu căn: với x < −3 thì √(x + 3) không xác định.

Câu 2. Hàm số y = −x² + 4x − 3 đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A. (−∞; 2)
B. (2; +∞)
C. (−∞; 4)
D. (0; +∞)
→ Đáp án: A. Giải thích: Đây là hàm bậc hai với a = −1 < 0, parabol có bề lõm hướng xuống, đỉnh tại x = −b/2a = −4/(2 × (−1)) = 2. Hàm số đồng biến khi đi lên phía đỉnh, tức là trên khoảng (−∞; 2), và nghịch biến trên (2; +∞). Đáp án B là khoảng nghịch biến, không phải đồng biến. Đáp án C và D sai vì đều chứa phần đồ thị đã đi xuống sau đỉnh x = 2.

Câu 3. Điểm cực đại của đồ thị hàm số y = x³ − 3x + 1 là:
A. (−1; 3)
B. (1; −1)
C. (0; 1)
D. (1; 3)
→ Đáp án: A. Giải thích: Đạo hàm y' = 3x² − 3 = 3(x² − 1), giải y' = 0 được x = −1 hoặc x = 1. Trên khoảng (−∞; −1), y' > 0; trên khoảng (−1; 1), y' < 0; trên khoảng (1; +∞), y' > 0. Vậy tại x = −1, y' đổi dấu từ dương sang âm nên hàm số đạt cực đại, giá trị cực đại y = (−1)³ − 3 × (−1) + 1 = −1 + 3 + 1 = 3, điểm cực đại là (−1; 3). Đáp án B là điểm cực tiểu: tại x = 1, y' đổi dấu từ âm sang dương, giá trị cực tiểu y = 1 − 3 + 1 = −1. Đáp án C sai vì x = 0 không phải điểm tới hạn (y'(0) = −3 ≠ 0). Đáp án D sai vì ghép x = 1 với y = 3, hai con số thuộc về hai điểm khác nhau.

Câu 4. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x² − 6x + 10 trên đoạn [0; 4] là:
A. 1
B. 2
C. 10
D. 0
→ Đáp án: A. Giải thích: Viết lại y = (x − 3)² + 1, đỉnh parabol tại x = 3, giá trị tại đỉnh là 1. Vì 3 nằm trong đoạn [0; 4] nên giá trị nhỏ nhất trên đoạn là 1, đạt tại x = 3. Kiểm tra thêm hai đầu mút để chắc chắn: tại x = 0 thì y = 10, tại x = 4 thì y = 16 − 24 + 10 = 2, cả hai đều lớn hơn 1. Đáp án B là giá trị tại đầu mút x = 4, không phải giá trị nhỏ nhất. Đáp án C là giá trị tại đầu mút x = 0. Đáp án D sai vì (x − 3)² + 1 ≥ 1 với mọi x, hàm số không bao giờ bằng 0.

Câu 5. Hàm số nào sau đây nghịch biến trên ℝ?
A. y = 2ˣ
B. y = (1/2)ˣ
C. y = x³
D. y = log₂x
→ Đáp án: B. Giải thích: Hàm mũ y = aˣ nghịch biến trên ℝ khi 0 < a < 1. Với a = 1/2, điều kiện này thỏa mãn nên y = (1/2)ˣ nghịch biến trên ℝ. Đáp án A sai vì 2 > 1 nên y = 2ˣ đồng biến trên ℝ. Đáp án C sai vì y = x³ có y' = 3x² ≥ 0 với mọi x và chỉ bằng 0 tại một điểm duy nhất x = 0, nên hàm số vẫn đồng biến trên ℝ. Đáp án D sai vì hàm logarit y = log₂x chỉ xác định trên (0; +∞), không xác định trên toàn bộ ℝ, và trên tập xác định của nó thì nó đồng biến chứ không nghịch biến.

Câu hỏi thường gặp về chuyên đề hàm số và đồ thị

Hàm số và phương trình khác nhau như thế nào? Hàm số là một quy tắc gán mỗi x cho một y duy nhất, còn phương trình là một đẳng thức cần tìm x thỏa mãn. Ví dụ: y = x² − 4x + 3 là một hàm số, còn phương trình x² − 4x + 3 = 0 là câu hỏi "x bằng bao nhiêu thì hàm số bằng 0", đáp án là x = 1 hoặc x = 3. Nói cách khác, phương trình thường là một câu hỏi đặt ra trên một hàm số.

Làm sao biết nhanh một hàm số đồng biến hay nghịch biến? Cách nhanh nhất là tính đạo hàm rồi xét dấu. Với hàm bậc nhất y = ax + b, chỉ cần nhìn dấu của a: a > 0 thì đồng biến, a < 0 thì nghịch biến. Với hàm bậc hai, tìm đỉnh x = −b/2a rồi nhìn dấu của a: a > 0 thì nghịch biến trước đỉnh, đồng biến sau đỉnh; a < 0 thì ngược lại.

Cực trị và giá trị lớn nhất, nhỏ nhất có phải là một không? Không. Cực trị là cao nhất hoặc thấp nhất trong một vùng lân cận nhỏ quanh điểm đó, còn giá trị lớn nhất và nhỏ nhất là cao nhất hoặc thấp nhất trên toàn bộ tập đang xét. Một hàm số có thể đạt cực đại tại x = 0 nhưng giá trị lớn nhất trên đoạn [−4; 4] lại đạt tại đầu mút x = 4 — hãy xem lại ví dụ 6 để thấy rõ điều này.

Vẽ đồ thị hàm bậc hai cần bao nhiêu điểm? Tối thiểu 5 điểm: đỉnh, hai giao điểm với trục hoành (nếu có), giao điểm với trục tung, và một điểm phụ đối xứng qua trục đối xứng. Với 5 điểm này, parabol của bạn đã đủ chính xác để làm bài. Nếu phương trình bậc hai vô nghiệm thì không có giao điểm với trục hoành, bạn thay bằng hai điểm phụ hai bên đỉnh.

Học hàm số để làm gì trong đời thực? Rất nhiều: tiền lãi tiết kiệm tăng theo hàm mũ, chi phí sản xuất có điểm tối ưu là điểm cực tiểu của hàm chi phí, quỹ đạo của một quả bóng là một parabol, tốc độ lây lan dịch bệnh được mô hình hóa bằng đạo hàm của hàm số ca nhiễm. Hàm số là ngôn ngữ để mô tả mọi sự thay đổi — học chắc chuyên đề này, bạn sẽ thấy Toán 12 nhẹ đi một nửa.

Kết luận: học hàm số là học cách đọc sự thay đổi

Đi hết chuyên đề này, bạn đã có trong tay một bộ công cụ trọn vẹn: định nghĩa hàm số và tập xác định, cách đọc tính đơn điệu qua đạo hàm, cách tìm cực trị bằng bảng biến thiên, dáng đồ thị của bốn họ hàm quen thuộc, và quy trình khảo sát cùng cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên một đoạn.
Điểm chung của tất cả các phần là một thói quen duy nhất: luôn bắt đầu từ tập xác định, luôn kiểm tra dấu của đạo hàm, và luôn nhớ tính giá trị tại đầu mút khi tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Để ôn tiếp, hãy đọc lại các bài công thức đã có: công thức đạo hàm để tính đạo hàm nhanh hơn, công thức logarit để chắc phần mũ – logarit, và công thức nguyên hàm để chuẩn bị cho chương tích phân.
Cuối cùng, đừng chỉ đọc — hãy tự tay lập bảng biến thiên cho 5 câu tự luyện ở trên, vẽ lại đồ thị của ví dụ 3 và ví dụ 5 ra giấy, rồi dùng máy tính Casio online để kiểm tra lại từng giá trị mình tính.
Làm được như vậy, chuyên đề hàm số và đồ thị sẽ thực sự là của bạn.