Chuyên đề Hình học phẳng: lý thuyết, công thức và bài tập có đáp án

Bạn đứng trước một tấm bản đồ, muốn biết từ điểm A đến điểm B là bao xa, và phải đi theo hướng nào.
Hình học phẳng chính là môn học trả lời những câu hỏi đó — nhưng thay vì dùng thước kẻ và la bàn trên giấy, Toán 10 và 11 dạy bạn dùng tọa độ và vectơ để trả lời chính xác tới từng milimét.
Đặt một hệ trục tọa độ lên mặt phẳng, mọi điểm trở thành một cặp số, mọi đường thẳng trở thành một phương trình, mọi đường cong trở thành một công thức.
Từ đó, khoảng cách, góc, diện tích, tiếp tuyến — tất cả đều tính được bằng đại số.
Chuyên đề này sẽ đi từ vectơ và tích vô hướng, qua đường thẳng và đường tròn, tới ba đường conic: elip, hypebol và parabol — kèm 7 ví dụ giải chi tiết từng bước, những lỗi sai mà học sinh hay mắc nhất, và 5 câu tự luyện có đáp án như giáo viên chữa bài.

Vectơ và các phép toán — ngôn ngữ của hình học phẳng

Vectơ là một đoạn thẳng có hướng, được xác định bởi điểm đầu và điểm cuối.
Vectơ có điểm đầu A và điểm cuối B được kí hiệu là vectơ AB, có độ dài là độ dài đoạn thẳng AB và hướng từ A tới B.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, vectơ a = (x; y) có độ dài |a| = √(x² + y²).
Hai vectơ bằng nhau khi chúng cùng hướng và cùng độ dài.
Phép cộng hai vectơ: (x₁; y₁) + (x₂; y₂) = (x₁ + x₂; y₁ + y₂).
Phép trừ hai vectơ: (x₁; y₁) − (x₂; y₂) = (x₁ − x₂; y₁ − y₂).
Phép nhân vectơ với một số: k × (x; y) = (kx; ky).
Ba phép toán này tuân theo các quy tắc quen thuộc: giao hoán, kết hợp, phân phối — giống như phép toán với số thực, chỉ khác là làm việc với từng tọa độ riêng biệt.

Ví dụ 1: Cho hai điểm A(1; 2) và B(4; 6). Tìm tọa độ vectơ AB, độ dài đoạn thẳng AB và tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB.
Tọa độ vectơ AB = (4 − 1; 6 − 2) = (3; 4).
Độ dài đoạn thẳng AB = |AB| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5.
Trung điểm M của đoạn thẳng AB có tọa độ là trung bình cộng của tọa độ hai đầu mút: M((1 + 4) : 2; (2 + 6) : 2) = (5/2; 4).
Kiểm tra: vectơ AM = (5/2 − 1; 4 − 2) = (3/2; 2), vectơ MB = (4 − 5/2; 6 − 4) = (3/2; 2) — hai vectơ bằng nhau, đúng với tính chất trung điểm.
Cặp số (3; 4; 5) là bộ ba Pythagoras quen thuộc nhất — gặp nó trong bài tập thì độ dài tính ngay bằng 5, không cần máy tính.

Một tính chất quan trọng của vectơ là quy tắc ba điểm: với ba điểm A, B, C bất kì, ta có vectơ AB + vectơ BC = vectơ AC.
Quy tắc này giúp cộng các vectơ nối tiếp nhau mà không cần tính tọa độ từng vectơ.
Quy tắc hình bình hành: trong hình bình hành ABCD, ta có vectơ AB + vectơ AD = vectơ AC — tổng của hai vectơ kề nhau bằng vectơ đường chéo.
Trọng tâm G của tam giác ABC có tính chất: vectơ GA + vectơ GB + vectơ GC = vectơ 0, và tọa độ của G là trung bình cộng của tọa độ ba đỉnh.
Ví dụ: tam giác ABC với A(0; 0), B(6; 0), C(0; 6) có trọng tâm G(2; 2), vì (0 + 6 + 0) : 3 = 2 và (0 + 0 + 6) : 3 = 2.
Bạn có thể ôn lại các công thức vectơ trong bài công thức độ dài vectơ và bài công thức trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm tam giác.

Tích vô hướng của hai vectơ và góc giữa hai vectơ

Tích vô hướng của hai vectơ a = (x₁; y₁) và b = (x₂; y₂) được định nghĩa bằng công thức a · b = x₁x₂ + y₁y₂.
Một định nghĩa khác, mang ý nghĩa hình học: a · b = |a| × |b| × cos(a, b), với (a, b) là góc giữa hai vectơ.
Từ hai định nghĩa này, ta suy ra công thức tính cosin của góc giữa hai vectơ: cos(a, b) = (a · b) : (|a| × |b|).
Điều kiện vuông góc: hai vectơ khác vectơ 0 vuông góc với nhau khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng 0.
Đây là công cụ mạnh nhất để chứng minh vuông góc trong hình học tọa độ — thay vì chứng minh bằng hình học thuần túy, chỉ cần tính một tích vô hướng.

Ví dụ 2: Cho hai vectơ a = (2; 3) và b = (−1; 4). Tính tích vô hướng a · b, độ dài của mỗi vectơ và góc giữa hai vectơ.
Tích vô hướng: a · b = 2 × (−1) + 3 × 4 = −2 + 12 = 10.
Độ dài: |a| = √(2² + 3²) = √13; |b| = √((−1)² + 4²) = √17.
Cosin của góc giữa hai vectơ: cos(a, b) = 10 : (√13 × √17) = 10 : √221 ≈ 10 : 14,866 ≈ 0,673.
Tra bảng hoặc bấm máy tính: góc giữa hai vectơ xấp xỉ 47,7°.
Vì tích vô hướng bằng 10, khác 0, nên hai vectơ không vuông góc với nhau — góc giữa chúng là góc nhọn, đúng với cosin dương.
Chú ý: góc giữa hai vectơ luôn nằm trong khoảng từ 0° đến 180°, cosin của nó có thể âm (góc tù) hoặc dương (góc nhọn).

Tích vô hướng còn cho một công thức tính độ dài rất tiện: |a|² = a · a.
Ví dụ: với a = (3; 4), ta có a · a = 9 + 16 = 25, suy ra |a| = 5.
Một ứng dụng khác là hình chiếu của vectơ này lên vectơ kia, xuất hiện trong Vật lí khi tính công của một lực: công bằng tích vô hướng của vectơ lực và vectơ độ dời.
Trong đề thi, dạng bài "chứng minh tam giác vuông" thường được giải bằng tích vô hướng: tính tích vô hướng của hai vectơ tạo thành góc cần chứng minh, nếu bằng 0 thì góc đó vuông.

Đường thẳng: phương trình tổng quát, tham số và vị trí tương đối

Một đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ được xác định hoàn toàn khi biết một điểm nó đi qua và một vectơ chỉ phương (hoặc một vectơ pháp tuyến).
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M₀(x₀; y₀) với vectơ chỉ phương u = (a; b) là: x = x₀ + at; y = y₀ + bt, với t là tham số.
Phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng ax + by + c = 0, với vectơ pháp tuyến n = (a; b).
Hai dạng phương trình này chuyển đổi qua lại dễ dàng: từ phương trình tham số, khử tham số t sẽ được phương trình tổng quát; từ phương trình tổng quát, vectơ pháp tuyến là (a; b) và vectơ chỉ phương là (−b; a) hoặc (b; −a).
Hệ số góc của đường thẳng ax + by + c = 0 (với b ≠ 0) là k = −a : b — đây là cầu nối với kiến thức hàm số bậc nhất đã học ở lớp 9 và lớp 10.

Ví dụ 3: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm A(1; 2) và có vectơ pháp tuyến n = (3; −4). Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng đó.
Phương trình tổng quát: 3(x − 1) − 4(y − 2) = 0, khai triển thành 3x − 4y + 5 = 0.
Kiểm tra: thay A(1; 2) vào: 3 × 1 − 4 × 2 + 5 = 3 − 8 + 5 = 0 — điểm A thỏa mãn phương trình, đúng.
Khoảng cách từ điểm M(x₀; y₀) đến đường thẳng ax + by + c = 0 được tính bằng công thức d = |ax₀ + by₀ + c| : √(a² + b²).
Áp dụng với O(0; 0): d = |3 × 0 − 4 × 0 + 5| : √(3² + (−4)²) = 5 : √25 = 5 : 5 = 1.
Vậy khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng là 1 đơn vị.
Công thức khoảng cách này là một trong những công thức hay được dùng nhất trong hình học tọa độ — hãy thuộc lòng nó.

Hai đường thẳng có thể song song, trùng nhau hoặc cắt nhau.
Cho hai đường thẳng d₁: a₁x + b₁y + c₁ = 0 và d₂: a₂x + b₂y + c₂ = 0.
Nếu a₁ : a₂ = b₁ : b₂ ≠ c₁ : c₂ thì hai đường thẳng song song.
Nếu a₁ : a₂ = b₁ : b₂ = c₁ : c₂ thì hai đường thẳng trùng nhau.
Nếu a₁ : a₂ ≠ b₁ : b₂ thì hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm duy nhất.
Đặc biệt, hai đường thẳng vuông góc với nhau khi tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến bằng 0, tức là a₁a₂ + b₁b₂ = 0.
Ví dụ: đường thẳng 3x − 4y + 5 = 0 vuông góc với đường thẳng 4x + 3y − 2 = 0, vì 3 × 4 + (−4) × 3 = 12 − 12 = 0.

Khoảng cách và góc giữa hai đường thẳng

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng đã có ở ví dụ 3.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song được tính bằng cách lấy một điểm bất kì trên đường thẳng này rồi tính khoảng cách từ điểm đó đến đường thẳng kia.
Ví dụ: khoảng cách giữa hai đường thẳng song song 3x − 4y + 5 = 0 và 3x − 4y − 5 = 0.
Lấy điểm A(1; 2) trên đường thẳng thứ nhất (đã kiểm tra ở ví dụ 3).
Khoảng cách từ A đến đường thẳng thứ hai: d = |3 × 1 − 4 × 2 − 5| : √(3² + (−4)²) = |3 − 8 − 5| : 5 = 10 : 5 = 2.
Vậy hai đường thẳng song song cách nhau 2 đơn vị.
Chú ý: công thức này chỉ dùng được khi hai đường thẳng song song — nếu hai đường thẳng cắt nhau thì khoảng cách giữa chúng bằng 0 tại giao điểm.

Góc giữa hai đường thẳng là góc nhọn (hoặc góc vuông) tạo bởi hai đường thẳng đó, luôn nằm trong khoảng từ 0° đến 90°.
Cho hai đường thẳng có vectơ pháp tuyến lần lượt là n₁ và n₂, cosin của góc giữa hai đường thẳng được tính bằng công thức cos φ = |n₁ · n₂| : (|n₁| × |n₂|).
Dấu giá trị tuyệt đối ở tử số là để đảm bảo góc tính ra luôn là góc nhọn hoặc góc vuông, không phải góc tù.
Ví dụ: góc giữa hai đường thẳng 3x − 4y + 5 = 0 và 4x + 3y − 2 = 0.
Hai vectơ pháp tuyến là n₁ = (3; −4) và n₂ = (4; 3).
Tích vô hướng: n₁ · n₂ = 3 × 4 + (−4) × 3 = 0.
Vậy cos φ = 0, suy ra φ = 90° — hai đường thẳng vuông góc với nhau, đúng với kết luận ở phần trước.

Đường tròn: phương trình và tiếp tuyến

Đường tròn tâm I(a; b) bán kính R có phương trình chính tắc là (x − a)² + (y − b)² = R².
Dạng khai triển của phương trình đường tròn là x² + y² − 2ax − 2by + c = 0, với c = a² + b² − R².
Ngược lại, một phương trình dạng x² + y² − 2ax − 2by + c = 0 là phương trình đường tròn khi và chỉ khi a² + b² − c > 0, khi đó tâm là I(a; b) và bán kính là R = √(a² + b² − c).
Nếu a² + b² − c = 0 thì phương trình chỉ biểu diễn một điểm; nếu a² + b² − c < 0 thì phương trình không biểu diễn hình gì cả.
Muốn xác định một phương trình có phải đường tròn hay không, hãy kiểm tra hai điều kiện: hệ số của x² và y² phải bằng nhau và khác 0, và a² + b² − c phải lớn hơn 0.

Ví dụ 4: Viết phương trình đường tròn tâm I(2; −1), bán kính 3. Xét xem điểm M(5; −1) có thuộc đường tròn hay không, rồi viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại M.
Phương trình đường tròn: (x − 2)² + (y + 1)² = 9.
Thay M(5; −1) vào vế trái: (5 − 2)² + (−1 + 1)² = 9 + 0 = 9 — bằng vế phải, vậy M thuộc đường tròn.
Tiếp tuyến tại M có vectơ pháp tuyến là vectơ IM = (5 − 2; −1 − (−1)) = (3; 0) — bán kính IM vuông góc với tiếp tuyến tại M.
Phương trình tiếp tuyến: 3(x − 5) + 0 × (y + 1) = 0, tức là x = 5.
Kiểm tra: đường thẳng x = 5 đi qua M(5; −1) và vuông góc với bán kính IM nằm ngang — đúng.
Khoảng cách từ tâm I(2; −1) đến tiếp tuyến x = 5 là |5 − 2| = 3, đúng bằng bán kính — một cách kiểm tra nhanh: tiếp tuyến của đường tròn luôn cách tâm một khoảng bằng bán kính.

Một dạng bài hay gặp khác là viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn đi qua một điểm nằm ngoài đường tròn.
Ví dụ: viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (x − 2)² + (y + 1)² = 9 đi qua điểm A(6; 2).
Cách làm: gọi tiếp tuyến có dạng a(x − 6) + b(y − 2) = 0, với vectơ pháp tuyến (a; b).
Điều kiện tiếp xúc: khoảng cách từ tâm I(2; −1) đến tiếp tuyến bằng bán kính 3.
Giải phương trình khoảng cách sẽ tìm được hai cặp (a; b), tương ứng với hai tiếp tuyến — từ một điểm ngoài đường tròn luôn kẻ được đúng hai tiếp tuyến.

Elip: định nghĩa, phương trình chính tắc và tiêu điểm

Elip là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cố định F₁ và F₂ bằng một hằng số 2a lớn hơn khoảng cách F₁F₂.
Hai điểm F₁ và F₂ được gọi là hai tiêu điểm của elip, khoảng cách F₁F₂ = 2c được gọi là tiêu cự.
Phương trình chính tắc của elip với hai tiêu điểm nằm trên trục Ox là x² : a² + y² : b² = 1, với a > b > 0 và c² = a² − b².
Elip có trục lớn dài 2a nằm trên trục Ox, trục nhỏ dài 2b nằm trên trục Oy.
Bốn đỉnh của elip là (±a; 0) và (0; ±b).
Hai tiêu điểm là F₁(−c; 0) và F₂(c; 0).
Tâm sai của elip là e = c : a, luôn nhỏ hơn 1 — tâm sai càng gần 0 thì elip càng "tròn", càng gần 1 thì elip càng "dẹt".

Ví dụ 5: Cho elip có phương trình x² : 25 + y² : 9 = 1. Tìm độ dài trục lớn, trục nhỏ, tọa độ hai tiêu điểm và kiểm chứng định nghĩa elip tại điểm M(0; 3).
Ta có a² = 25, suy ra a = 5; b² = 9, suy ra b = 3.
Độ dài trục lớn là 2a = 10, độ dài trục nhỏ là 2b = 6.
Tiêu cự: c² = a² − b² = 25 − 9 = 16, suy ra c = 4.
Hai tiêu điểm là F₁(−4; 0) và F₂(4; 0).
Kiểm chứng tại M(0; 3): MF₁ = √((0 + 4)² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5.
MF₂ = √((0 − 4)² + 3²) = √(16 + 9) = 5.
Tổng MF₁ + MF₂ = 5 + 5 = 10 = 2a — đúng với định nghĩa elip.
Bạn có thể đọc thêm về elip trong bài công thức độ dài vectơ và khi cần tính nhanh căn bậc hai thì dùng máy tính Casio online để kiểm tra.

Hypebol: định nghĩa và phương trình chính tắc

Hypebol là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho giá trị tuyệt đối của hiệu khoảng cách từ M tới hai điểm cố định F₁ và F₂ bằng một hằng số 2a nhỏ hơn khoảng cách F₁F₂.
Phương trình chính tắc của hypebol với hai tiêu điểm nằm trên trục Ox là x² : a² − y² : b² = 1, với a > 0, b > 0 và c² = a² + b².
Khác với elip, ở hypebol thì c lớn hơn a, vì c² = a² + b².
Hypebol có hai đỉnh là (±a; 0), hai tiêu điểm là F₁(−c; 0) và F₂(c; 0).
Hai đường tiệm cận của hypebol là y = (b : a)x và y = −(b : a)x — đồ thị của hypebol càng đi xa càng tiến sát tới hai đường tiệm cận này.
Tâm sai của hypebol là e = c : a, luôn lớn hơn 1.

Ví dụ 6: Cho hypebol có phương trình x² : 16 − y² : 9 = 1. Tìm tọa độ các đỉnh, các tiêu điểm và phương trình hai đường tiệm cận.
Ta có a² = 16, suy ra a = 4; b² = 9, suy ra b = 3.
Hai đỉnh của hypebol là A₁(−4; 0) và A₂(4; 0).
Tiêu cự: c² = a² + b² = 16 + 9 = 25, suy ra c = 5.
Hai tiêu điểm là F₁(−5; 0) và F₂(5; 0).
Hai đường tiệm cận là y = (3 : 4)x và y = −(3 : 4)x.
Kiểm chứng định nghĩa tại đỉnh A₂(4; 0): A₂F₁ = |4 − (−5)| = 9; A₂F₂ = |4 − 5| = 1; |A₂F₁ − A₂F₂| = |9 − 1| = 8 = 2a — đúng với định nghĩa hypebol.
Chú ý: elip và hypebol có phương trình chính tắc rất giống nhau, chỉ khác dấu giữa hai số hạng — elip dùng dấu cộng, hypebol dùng dấu trừ, và quan hệ giữa a, b, c cũng khác: elip thì c² = a² − b², hypebol thì c² = a² + b².

Parabol: định nghĩa, phương trình chính tắc, tiêu điểm và đường chuẩn

Parabol là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho khoảng cách từ M tới một điểm cố định F bằng khoảng cách từ M tới một đường thẳng cố định Δ không đi qua F.
Điểm F được gọi là tiêu điểm, đường thẳng Δ được gọi là đường chuẩn của parabol.
Phương trình chính tắc của parabol với tiêu điểm nằm trên trục Ox là y² = 2px, với p > 0.
Tiêu điểm là F(p : 2; 0), đường chuẩn là đường thẳng x = −p : 2.
Đỉnh của parabol là gốc tọa độ O(0; 0), trục đối xứng là trục Ox.
Tham số p được gọi là tham số tiêu của parabol — p càng lớn thì parabol càng "mở rộng".

Ví dụ 7: Cho parabol có phương trình y² = 8x. Tìm tiêu điểm, đường chuẩn và kiểm chứng định nghĩa parabol tại điểm M(2; 4).
So sánh y² = 8x với dạng chính tắc y² = 2px, ta có 2p = 8, suy ra p = 4.
Tiêu điểm: F(p : 2; 0) = F(2; 0).
Đường chuẩn: x = −p : 2, tức là x = −2.
Kiểm chứng tại M(2; 4): điểm M có thỏa mãn phương trình parabol không? 4² = 16 và 8 × 2 = 16 — thỏa mãn, M thuộc parabol.
Khoảng cách từ M đến tiêu điểm: MF = √((2 − 2)² + (4 − 0)²) = √16 = 4.
Khoảng cách từ M đến đường chuẩn x = −2: d = |2 − (−2)| = 4.
MF = d = 4 — đúng với định nghĩa parabol.
Parabol xuất hiện rất nhiều trong đời sống: quỹ đạo của một quả bóng được ném lên là một parabol, mặt cắt của đèn pha ô tô và ăng-ten vệ tinh cũng có dạng parabol — vì mọi tia sáng song song với trục đối xứng đều phản xạ qua tiêu điểm.

Những lỗi sai hay gặp nhất khi làm bài hình học phẳng

Lỗi 1: Nhầm vectơ chỉ phương với vectơ pháp tuyến.
Vectơ chỉ phương song song với đường thẳng, vectơ pháp tuyến vuông góc với đường thẳng.
Với đường thẳng ax + by + c = 0, vectơ pháp tuyến là (a; b), vectơ chỉ phương là (−b; a).
Nếu dùng nhầm hai vectơ này cho nhau thì phương trình viết ra sẽ là phương trình của đường thẳng vuông góc với đường thẳng cần tìm.

Lỗi 2: Quên điều kiện a² + b² − c > 0 khi nhận dạng phương trình đường tròn.
Phương trình x² + y² − 2ax − 2by + c = 0 chỉ là đường tròn khi a² + b² − c > 0.
Nếu a² + b² − c ≤ 0 thì phương trình không biểu diễn đường tròn — hoặc chỉ một điểm, hoặc không có hình nào cả.

Lỗi 3: Nhầm công thức c² của elip và hypebol.
Elip: c² = a² − b² (vì c < a).
Hypebol: c² = a² + b² (vì c > a).
Cách nhớ: elip là đường "khép kín" nên tiêu điểm nằm trong, c nhỏ hơn a; hypebol là đường "mở" nên tiêu điểm nằm ngoài hai đỉnh, c lớn hơn a.

Lỗi 4: Nhầm tiêu điểm của parabol: F(p : 2; 0) chứ không phải F(p; 0).
Với parabol y² = 2px, tiêu điểm là F(p : 2; 0) và đường chuẩn là x = −p : 2.
Ví dụ: parabol y² = 8x có p = 4, tiêu điểm là F(2; 0), không phải F(4; 0).
Nhiều bạn lấy nhầm p làm hoành độ tiêu điểm — hãy nhớ chia đôi p.

Lỗi 5: Tính khoảng cách mà quên lấy giá trị tuyệt đối ở tử số.
Công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng có tử số là |ax₀ + by₀ + c| — phải lấy giá trị tuyệt đối.
Nếu quên thì khoảng cách có thể ra số âm, mà khoảng cách không bao giờ âm — đó là dấu hiệu cho thấy bạn đã quên giá trị tuyệt đối.

Bài tập tự luyện — làm rồi mới xem đáp án nhé

Câu 1. Cho hai điểm A(2; 1) và B(6; 4). Độ dài đoạn thẳng AB bằng bao nhiêu?
A. 5
B. 4
C. 6
D. 3
→ Đáp án: A. Giải thích: Vectơ AB = (6 − 2; 4 − 1) = (4; 3). Độ dài AB = √(4² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5. Đáp án B sai vì lấy nhầm hiệu hoành độ 4 làm độ dài. Đáp án C sai vì cộng nhầm 4 + 3 = 7 rồi làm tròn. Đáp án D sai vì lấy nhầm hiệu tung độ 3 làm độ dài.

Câu 2. Vectơ nào sau đây vuông góc với vectơ a = (3; 4)?
A. (3; 4)
B. (4; −3)
C. (4; 3)
D. (−3; 4)
→ Đáp án: B. Giải thích: Hai vectơ vuông góc với nhau khi tích vô hướng của chúng bằng 0. Tính tích vô hướng của a với (4; −3): 3 × 4 + 4 × (−3) = 12 − 12 = 0 — vuông góc. Đáp án A sai vì (3; 4) cùng hướng với a, tích vô hướng bằng 25. Đáp án C sai vì tích vô hướng bằng 3 × 4 + 4 × 3 = 24. Đáp án D sai vì tích vô hướng bằng 3 × (−3) + 4 × 4 = −9 + 16 = 7.

Câu 3. Phương trình đường tròn tâm I(−1; 2), bán kính 5 là:
A. (x − 1)² + (y + 2)² = 25
B. (x + 1)² + (y − 2)² = 25
C. (x + 1)² + (y − 2)² = 5
D. (x + 1)² + (y + 2)² = 25
→ Đáp án: B. Giải thích: Phương trình đường tròn tâm I(a; b) bán kính R là (x − a)² + (y − b)² = R². Với a = −1, b = 2, R = 5: (x + 1)² + (y − 2)² = 25. Đáp án A sai vì đổi dấu cả hai tọa độ tâm. Đáp án C sai vì vế phải phải là R² = 25 chứ không phải R = 5. Đáp án D sai vì đổi dấu tọa độ tung độ của tâm.

Câu 4. Elip có phương trình x² : 16 + y² : 9 = 1 có độ dài trục lớn bằng bao nhiêu?
A. 4
B. 6
C. 8
D. 3
→ Đáp án: C. Giải thích: Ta có a² = 16, suy ra a = 4. Độ dài trục lớn là 2a = 8. Đáp án A sai vì 4 là a, không phải 2a. Đáp án B sai vì 6 là độ dài trục nhỏ 2b, với b = 3. Đáp án D sai vì 3 là b, không phải độ dài trục lớn.

Câu 5. Parabol có phương trình y² = 12x có tiêu điểm là:
A. (6; 0)
B. (3; 0)
C. (0; 3)
D. (−3; 0)
→ Đáp án: B. Giải thích: So sánh với dạng chính tắc y² = 2px, ta có 2p = 12, suy ra p = 6. Tiêu điểm là F(p : 2; 0) = F(3; 0). Đáp án A sai vì lấy nhầm p = 6 làm hoành độ tiêu điểm — phải chia đôi p. Đáp án C sai vì tiêu điểm nằm trên trục Ox chứ không phải trục Oy. Đáp án D sai vì tiêu điểm nằm về phía dương của trục Ox, không phải phía âm.

Câu hỏi thường gặp về hình học phẳng

Vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến khác nhau như thế nào? Vectơ chỉ phương song song với đường thẳng, vectơ pháp tuyến vuông góc với đường thẳng. Với đường thẳng ax + by + c = 0, vectơ pháp tuyến là (a; b) và vectơ chỉ phương là (−b; a). Hai vectơ này vuông góc với nhau, tích vô hướng của chúng bằng 0.

Làm sao phân biệt nhanh elip và hypebol qua phương trình? Nhìn dấu giữa hai số hạng: elip có dạng x² : a² + y² : b² = 1 (dấu cộng), hypebol có dạng x² : a² − y² : b² = 1 (dấu trừ). Ngoài ra, elip là đường cong khép kín, còn hypebol gồm hai nhánh tách rời nhau.

Vì sao phải nhớ công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng? Vì nó xuất hiện trong rất nhiều bài toán: viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn, xác định vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn, tính diện tích tam giác khi biết tọa độ ba đỉnh. Đây là một trong những công thức dùng nhiều nhất của hình học tọa độ.

Đường chuẩn của parabol có vai trò gì? Đường chuẩn cùng với tiêu điểm định nghĩa nên parabol: mọi điểm trên parabol đều cách tiêu điểm và cách đường chuẩn một khoảng bằng nhau. Trong thực tế, tính chất này được dùng để thiết kế đèn pha và ăng-ten vệ tinh: mọi tia sáng song song với trục đối xứng đều phản xạ qua tiêu điểm.

Học hình học phẳng để làm gì trong đời thực? Rất nhiều: kĩ sư xây dựng dùng tọa độ để định vị công trình, nhà thiết kế đồ họa dùng đường conic để vẽ đường cong, hệ thống định vị GPS dùng khoảng cách và góc để xác định vị trí, các trò chơi điện tử dùng vectơ để mô phỏng chuyển động. Hình học phẳng là ngôn ngữ của không gian hai chiều.

Kết luận: đặt tọa độ lên mặt phẳng, hình học trở thành đại số

Đi hết chuyên đề này, bạn đã có trong tay toàn bộ công cụ của hình học phẳng: vectơ và các phép toán, tích vô hướng và góc giữa hai vectơ, phương trình đường thẳng và công thức khoảng cách, phương trình đường tròn và tiếp tuyến, và ba đường conic elip, hypebol, parabol với phương trình chính tắc, tiêu điểm và đường chuẩn.
Điểm chung của tất cả các phần là một thói quen duy nhất: chuyển bài toán hình học thành bài toán tọa độ, rồi dùng đại số để tính toán — thay vì chứng minh bằng hình vẽ, hãy tính bằng công thức.
Để ôn tiếp, hãy đọc lại bài công thức độ dài vectơ để chắc phần vectơ, bài chuyên đề hàm số và đồ thị để thấy đồ thị của các hàm số cũng là những đường cong trong mặt phẳng, và bài chuyên đề lượng giác để ôn lại cách tính góc.
Cuối cùng, đừng chỉ đọc — hãy tự tay tính lại 7 ví dụ trong bài không nhìn đáp án, làm 5 câu tự luyện rồi đối chiếu với bảng đáp án, và thử vẽ elip x² : 25 + y² : 9 = 1 ra giấy với hai tiêu điểm đã tìm được, dùng máy tính Casio online để kiểm tra lại từng giá trị mình tính.
Làm được như vậy, chuyên đề hình học phẳng sẽ thực sự là của bạn.