Chuyên đề Hình học không gian: lý thuyết, công thức và bài tập có đáp án

Bạn bước vào một tòa nhà cao tầng và nhìn lên: trần nhà ở trên đầu, tường ở bốn phía, sàn nhà ở dưới chân.
Không gian quanh bạn có ba chiều — dài, rộng, cao — và mọi vật thể đều chiếm một phần của không gian đó.
Hình học không gian là môn học mô tả thế giới ba chiều ấy bằng toán học: điểm, đường thẳng và mặt phẳng không còn nằm trên một mặt giấy phẳng nữa, mà tồn tại trong không gian thực.
Hai đường thẳng có thể chéo nhau mà không bao giờ gặp nhau, một đường thẳng có thể xuyên qua một mặt phẳng tại đúng một điểm, và một khối chóp có thể tích bằng đúng một phần ba thể tích của khối lăng trụ cùng đáy và cùng chiều cao.
Chuyên đề này sẽ đi từ những khái niệm cơ bản nhất của không gian, qua quan hệ song song và vuông góc, tới góc và khoảng cách, thể tích khối chóp và khối lăng trụ — kèm 7 ví dụ giải chi tiết từng bước, những lỗi sai mà học sinh hay mắc nhất, và 5 câu tự luyện có đáp án như giáo viên chữa bài.

Hình học không gian bắt đầu từ đâu — điểm, đường thẳng, mặt phẳng

Hình học không gian nghiên cứu các hình trong không gian ba chiều, nơi có ba đối tượng cơ bản: điểm, đường thẳng và mặt phẳng.
Một mặt phẳng được xác định hoàn toàn khi biết ba điểm không thẳng hàng, hoặc một đường thẳng và một điểm không thuộc đường thẳng đó, hoặc hai đường thẳng cắt nhau.
Hai đường thẳng trong không gian có bốn vị trí tương đối: trùng nhau, song song, cắt nhau, hoặc chéo nhau.
Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng nào và không bao giờ gặp nhau — đây là vị trí tương đối mới, không có trong hình học phẳng.
Ví dụ: trong một căn phòng, mép trên của bức tường phía trước và mép dưới của bức tường phía sau là hai đường thẳng chéo nhau.
Một đường thẳng và một mặt phẳng có ba vị trí tương đối: đường thẳng nằm trong mặt phẳng, đường thẳng song song với mặt phẳng, hoặc đường thẳng cắt mặt phẳng tại một điểm.
Hai mặt phẳng có ba vị trí tương đối: trùng nhau, song song, hoặc cắt nhau theo một giao tuyến.

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).
Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) đều chứa điểm S.
Gọi O là giao điểm của AC và BD — vì ABCD là hình bình hành nên hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường.
Điểm O thuộc AC nên O thuộc mặt phẳng (SAC); điểm O thuộc BD nên O thuộc mặt phẳng (SBD).
Vậy O là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng (ngoài S).
Hai mặt phẳng phân biệt có hai điểm chung phân biệt S và O thì giao tuyến của chúng là đường thẳng SO.
Vậy giao tuyến của (SAC) và (SBD) là đường thẳng SO.
Đây là dạng bài cơ bản nhất của chương quan hệ song song: muốn tìm giao tuyến, hãy tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng rồi nối chúng lại.

Một cách xác định giao tuyến khác hay dùng trong đề thi là dùng định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng: nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó hoặc đồng quy tại một điểm, hoặc đôi một song song với nhau.
Định lí này giúp tìm giao tuyến của hai mặt phẳng khi biết giao tuyến của mỗi mặt phẳng đó với một mặt phẳng thứ ba.

Quan hệ song song: đường thẳng song song với mặt phẳng, hai mặt phẳng song song

Đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) khi d và (P) không có điểm chung nào.
Dấu hiệu nhận biết: nếu đường thẳng d song song với một đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P) thì d song song với (P).
Đây là dấu hiệu hay dùng nhất để chứng minh một đường thẳng song song với một mặt phẳng: chỉ cần tìm một đường thẳng trong mặt phẳng song song với đường thẳng cần chứng minh.
Hai mặt phẳng song song với nhau khi chúng không có điểm chung nào.
Dấu hiệu nhận biết: nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) song song với (Q).
Một tính chất quan trọng: nếu một mặt phẳng cắt hai mặt phẳng song song thì giao tuyến của nó với hai mặt phẳng đó song song với nhau.

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SA, N là trung điểm của SB. Chứng minh đường thẳng MN song song với mặt phẳng (ABCD).
Xét tam giác SAB: M là trung điểm của SA, N là trung điểm của SB.
Theo tính chất đường trung bình của tam giác, MN song song với AB.
Mặt khác, AB nằm trong mặt phẳng (ABCD).
Vì MN song song với đường thẳng AB nằm trong mặt phẳng (ABCD) nên MN song song với mặt phẳng (ABCD).
Đây là cách chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng kinh điển nhất: tìm một đường thẳng trong mặt phẳng song song với đường thẳng cần chứng minh.
Trong bài này, đường trung bình của tam giác là "cầu nối" giữa đường thẳng MN và mặt phẳng đáy.
Bạn có thể ôn lại tính chất đường trung bình trong bài chuyên đề hình học phẳng.

Quan hệ vuông góc: đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc

Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) khi d vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong (P).
Dấu hiệu nhận biết: nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng (P) thì d vuông góc với (P).
Đây là dấu hiệu hay dùng nhất để chứng minh một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng.
Ví dụ: trong hình chóp S.ABC, nếu SA vuông góc với AB và SA vuông góc với AC, với AB và AC cắt nhau tại A, thì SA vuông góc với mặt phẳng (ABC).
Một hệ quả quan trọng: nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.
Hai mặt phẳng vuông góc với nhau khi góc giữa chúng bằng 90°.
Dấu hiệu nhận biết: nếu mặt phẳng (P) chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (Q) thì (P) vuông góc với (Q).

Định lí ba đường vuông góc là một công cụ mạnh để chứng minh vuông góc trong không gian: cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P), và đường thẳng b là hình chiếu của đường thẳng c lên mặt phẳng (P).
Khi đó, a vuông góc với c khi và chỉ khi a vuông góc với b.
Nói cách khác: muốn biết một đường thẳng trong mặt phẳng có vuông góc với một đường thẳng xiên hay không, chỉ cần xem nó có vuông góc với hình chiếu của đường xiên đó hay không.
Định lí này xuất hiện trong rất nhiều bài toán chứng minh vuông góc của đề thi tốt nghiệp.

Góc trong không gian: góc giữa hai đường thẳng, đường thẳng và mặt phẳng, hai mặt phẳng

Góc giữa hai đường thẳng trong không gian là góc giữa hai đường thẳng cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với hai đường thẳng đã cho.
Góc này luôn nằm trong khoảng từ 0° đến 90°.
Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là góc giữa đường thẳng d và hình chiếu của d lên mặt phẳng (P).
Nếu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì góc bằng 90°; nếu đường thẳng song song với mặt phẳng hoặc nằm trong mặt phẳng thì góc bằng 0°.
Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng tại cùng một điểm.
Để xác định góc giữa hai mặt phẳng, ta tìm một điểm trên giao tuyến, kẻ từ điểm đó hai đường thẳng, mỗi đường nằm trong một mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến — góc giữa hai đường thẳng đó là góc giữa hai mặt phẳng.

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA = a, AB = a. Tính góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC).
Vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) nên hình chiếu của SB lên mặt phẳng (ABC) là AB.
Góc giữa SB và mặt phẳng (ABC) là góc giữa SB và AB, tức là góc SBA.
Xét tam giác SAB vuông tại A (vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) nên SA vuông góc với AB).
Ta có tan của góc SBA bằng SA : AB = a : a = 1.
Suy ra góc SBA bằng 45°.
Vậy góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) là 45°.
Cách làm này áp dụng cho mọi bài toán góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: tìm hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng, góc cần tìm là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó.

Khoảng cách trong không gian: từ điểm đến mặt phẳng, giữa hai đường thẳng chéo nhau

Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng là độ dài đoạn vuông góc kẻ từ điểm đó đến mặt phẳng.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó — đoạn thẳng cắt cả hai đường thẳng và vuông góc với cả hai.
Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song với nó là khoảng cách từ một điểm bất kì trên đường thẳng đến mặt phẳng.
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
Một phương pháp tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng rất hiệu quả là phương pháp thể tích: nếu biết thể tích V của khối chóp và diện tích S của mặt đáy tương ứng thì khoảng cách từ đỉnh đến mặt đáy bằng 3V : S.

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), AB vuông góc với BC, AB = 3, BC = 4, SA = 4. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).
Trước hết, tính thể tích của khối chóp S.ABC.
Diện tích tam giác ABC vuông tại B: S(ABC) = (1/2) × AB × BC = (1/2) × 3 × 4 = 6.
Thể tích: V = (1/3) × S(ABC) × SA = (1/3) × 6 × 4 = 8.
Tiếp theo, tính diện tích tam giác SBC.
Vì BC vuông góc với AB và BC vuông góc với SA nên BC vuông góc với mặt phẳng (SAB), suy ra BC vuông góc với SB.
Độ dài SB: SB = √(SA² + AB²) = √(16 + 9) = √25 = 5.
Diện tích tam giác SBC vuông tại B: S(SBC) = (1/2) × SB × BC = (1/2) × 5 × 4 = 10.
Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng 3V : S(SBC) = 3 × 8 : 10 = 24 : 10 = 2,4.
Vậy khoảng cách cần tìm là 2,4 đơn vị.
Phương pháp thể tích này tránh được việc phải dựng trực tiếp đoạn vuông góc — một việc thường rất khó trong không gian.

Thể tích khối chóp và khối lăng trụ

Thể tích của khối chóp được tính bằng công thức V = (1/3) × B × h, với B là diện tích đáy và h là chiều cao của khối chóp — khoảng cách từ đỉnh đến mặt phẳng đáy.
Thể tích của khối lăng trụ được tính bằng công thức V = B × h, với B là diện tích đáy và h là chiều cao của khối lăng trụ — khoảng cách giữa hai mặt đáy.
So sánh hai công thức: khối chóp có thể tích bằng đúng một phần ba thể tích của khối lăng trụ cùng đáy và cùng chiều cao.
Đây là một kết quả đẹp và rất quan trọng: ba khối chóp có cùng đáy và cùng chiều cao sẽ "lấp đầy" đúng một khối lăng trụ cùng đáy và cùng chiều cao.
Thể tích của khối hộp chữ nhật là trường hợp riêng của khối lăng trụ: V = a × b × c, với a, b, c là ba kích thước của khối hộp.
Thể tích của khối lập phương cạnh a là V = a³.

Ví dụ 5: a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 6, chiều cao SO = 8. b) Tính thể tích khối lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông với hai cạnh góc vuông 3 và 4, chiều cao lăng trụ bằng 10.
a) Diện tích đáy: B = 6² = 36.
Thể tích khối chóp: V = (1/3) × 36 × 8 = 12 × 8 = 96.
b) Diện tích đáy tam giác vuông: B = (1/2) × 3 × 4 = 6.
Thể tích khối lăng trụ: V = 6 × 10 = 60.
Kiểm tra bằng đơn vị: nếu các kích thước tính bằng cm thì thể tích tính bằng cm³ — khối chóp có thể tích 96 cm³, khối lăng trụ có thể tích 60 cm³.
Chú ý: khi tính thể tích khối chóp, nhiều bạn quên nhân với 1/3 — hãy nhớ: chóp thì chia ba, lăng trụ thì không.

Thể tích khối chóp cụt và tỉ số thể tích

Khối chóp cụt là phần của khối chóp nằm giữa mặt đáy và một mặt phẳng song song với mặt đáy, cắt các cạnh bên của khối chóp.
Thể tích khối chóp cụt được tính bằng công thức V = (h : 3) × (B + B' + √(B × B')), với B và B' là diện tích hai đáy, h là chiều cao của khối chóp cụt.
Trong chương trình lớp 11, dạng bài về tỉ số thể tích gặp nhiều hơn dạng tính thể tích khối chóp cụt.
Cho hình chóp S.ABC, trên các cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm A', B', C'.
Tỉ số thể tích của hai khối chóp S.A'B'C' và S.ABC được tính bằng công thức V(S.A'B'C') : V(S.ABC) = (SA' : SA) × (SB' : SB) × (SC' : SC).
Công thức này chỉ đúng khi A', B', C' lần lượt nằm trên SA, SB, SC — không áp dụng được cho khối chóp có đáy là tứ giác.

Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABC. Trên các cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho SM = SA : 2, SN = SB : 2, SP = SC : 2. Tính tỉ số thể tích của khối chóp S.MNP và khối chóp S.ABC.
Áp dụng công thức tỉ số thể tích: V(S.MNP) : V(S.ABC) = (SM : SA) × (SN : SB) × (SP : SC).
Thay số: (1/2) × (1/2) × (1/2) = 1/8.
Vậy thể tích khối chóp S.MNP bằng 1/8 thể tích khối chóp S.ABC.
Kết quả này có thể hiểu bằng hình học: khối chóp S.MNP là hình ảnh của khối chóp S.ABC qua phép vị tự tâm S tỉ số 1/2, mà thể tích tỉ lệ với lập phương của tỉ số dài — (1/2)³ = 1/8.
Công thức tỉ số thể tích giúp giải nhanh nhiều bài toán mà không cần tính thể tích từng khối một — chỉ cần biết tỉ số các đoạn thẳng trên ba cạnh bên.

Góc giữa hai mặt phẳng và hình học không gian trong đời sống

Ví dụ 7: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 4, chiều cao SO = 2. Tính góc giữa mặt bên (SAB) và mặt đáy (ABCD).
Gọi M là trung điểm của AB.
Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SO vuông góc với mặt phẳng đáy, và M là trung điểm của AB.
Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) là đường thẳng AB.
Trong mặt phẳng (SAB), đường thẳng SM vuông góc với AB tại M (vì tam giác SAB cân tại S).
Trong mặt phẳng (ABCD), đường thẳng OM vuông góc với AB tại M (vì O là tâm của hình vuông, OM song song với AD).
Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) là góc SMO.
Ta có OM = 2 (bằng một nửa cạnh đáy), SO = 2.
tan của góc SMO bằng SO : OM = 2 : 2 = 1, suy ra góc SMO bằng 45°.
Vậy góc giữa mặt bên (SAB) và mặt đáy (ABCD) là 45°.
Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng trong ví dụ này là mẫu chuẩn cho mọi bài toán góc giữa hai mặt phẳng: tìm giao tuyến, kẻ hai đường vuông góc với giao tuyến tại cùng một điểm, góc giữa hai đường đó là góc cần tìm.

Hình học không gian xuất hiện trong đời sống nhiều hơn bạn tưởng.
Kiến trúc sư dùng thể tích để tính lượng bê tông cần đổ cho một mái chóp, dùng góc giữa hai mặt phẳng để thiết kế mái nhà sao cho thoát nước tốt.
Kim tự tháp Ai Cập là một hình chóp tứ giác đều khổng lồ: kim tự tháp Khufu có đáy hình vuông cạnh khoảng 230 mét và chiều cao khoảng 147 mét, thể tích khoảng 2,6 triệu mét khối.
Các kĩ sư xây dựng dùng khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng để xác định vị trí của một điểm trong không gian ba chiều, dùng quan hệ song song và vuông góc để đảm bảo các bức tường thẳng đứng và các tầng nhà song song với nhau.
Trong thiết kế nội thất, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng quyết định độ dốc của cầu thang: cầu thang quá dốc thì khó đi, quá thoải thì tốn diện tích.
Bạn có thể ôn lại các công thức hình học phẳng làm nền tảng trong bài chuyên đề hình học phẳng, và khi cần tính nhanh căn bậc hai hay thể tích thì dùng máy tính Casio online để kiểm tra.

Những lỗi sai hay gặp nhất khi làm bài hình học không gian

Lỗi 1: Nhầm lẫn đường thẳng chéo nhau với đường thẳng song song.
Hai đường thẳng chéo nhau không có điểm chung, nhưng không song song với nhau — chúng không cùng nằm trong một mặt phẳng nào.
Muốn chứng minh hai đường thẳng chéo nhau, phải chứng minh chúng không cùng nằm trong một mặt phẳng và không cắt nhau.

Lỗi 2: Quên nhân với 1/3 khi tính thể tích khối chóp.
Thể tích khối chóp là V = (1/3) × B × h, còn thể tích khối lăng trụ là V = B × h.
Nếu quên nhân với 1/3 thì kết quả lớn gấp ba lần đáp án đúng — một lỗi rất đắt trong bài trắc nghiệm.

Lỗi 3: Xác định sai góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó lên mặt phẳng, không phải góc giữa đường thẳng và một đường thẳng bất kì trong mặt phẳng.
Muốn tìm góc này, phải xác định đúng hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng trước.

Lỗi 4: Dùng công thức tỉ số thể tích cho khối chóp có đáy là tứ giác.
Công thức V(S.A'B'C') : V(S.ABC) = (SA' : SA) × (SB' : SB) × (SC' : SC) chỉ đúng với khối chóp tam giác S.ABC.
Với khối chóp tứ giác, phải chia khối chóp thành hai khối chóp tam giác rồi tính từng phần.

Lỗi 5: Nhầm lẫn khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng với độ dài đoạn thẳng nối điểm đó với một điểm bất kì trên mặt phẳng.
Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là độ dài đoạn vuông góc kẻ từ điểm đó đến mặt phẳng — là đoạn ngắn nhất trong tất cả các đoạn nối điểm đó với các điểm trên mặt phẳng.
Mọi đoạn xiên đều dài hơn đoạn vuông góc.

Bài tập tự luyện — làm rồi mới xem đáp án nhé

Câu 1. Hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) là góc nào sau đây?
A. Góc SBA
B. Góc SAB
C. Góc SCA
D. Góc SBC
→ Đáp án: A. Giải thích: Vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) nên hình chiếu của SB lên mặt phẳng (ABC) là AB. Góc giữa SB và mặt phẳng (ABC) là góc giữa SB và AB, tức là góc SBA. Đáp án B sai vì góc SAB là góc tại A trong tam giác SAB, không phải góc giữa SB và mặt phẳng. Đáp án C sai vì góc SCA liên quan đến đường thẳng SC, không phải SB. Đáp án D sai vì góc SBC là góc trong mặt phẳng (SBC), không phải góc giữa SB và mặt phẳng (ABC).

Câu 2. Thể tích của khối chóp có diện tích đáy bằng 12 và chiều cao bằng 5 là:
A. 60
B. 20
C. 30
D. 15
→ Đáp án: B. Giải thích: Áp dụng công thức V = (1/3) × B × h = (1/3) × 12 × 5 = 20. Đáp án A sai vì quên nhân với 1/3: 12 × 5 = 60 là thể tích của khối lăng trụ cùng đáy và cùng chiều cao. Đáp án C sai vì tính nhầm thành (1/2) × 12 × 5 = 30. Đáp án D sai vì tính nhầm thành (1/4) × 12 × 5 = 15.

Câu 3. Thể tích của khối lập phương có cạnh bằng 3 là:
A. 9
B. 27
C. 18
D. 81
→ Đáp án: B. Giải thích: Thể tích khối lập phương cạnh a là V = a³. Với a = 3: V = 27. Đáp án A sai vì 9 là diện tích một mặt của khối lập phương (3² = 9). Đáp án C sai vì 18 là tổng diện tích hai mặt. Đáp án D sai vì 81 = 3⁴, không phải 3³.

Câu 4. Hai mặt phẳng song song với nhau thì:
A. Không có điểm chung
B. Có đúng một điểm chung
C. Có vô số điểm chung
D. Cắt nhau theo một giao tuyến
→ Đáp án: A. Giải thích: Theo định nghĩa, hai mặt phẳng song song là hai mặt phẳng không có điểm chung nào. Đáp án B sai vì có đúng một điểm chung là trường hợp hai mặt phẳng cắt nhau tại một điểm — không tồn tại trong không gian, hai mặt phẳng phân biệt hoặc song song hoặc cắt nhau theo một giao tuyến. Đáp án C sai vì có vô số điểm chung là trường hợp hai mặt phẳng trùng nhau. Đáp án D sai vì cắt nhau theo một giao tuyến là trường hợp hai mặt phẳng không song song.

Câu 5. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) là:
A. Độ dài đoạn vuông góc kẻ từ A đến (P)
B. Độ dài đoạn thẳng nối A với một điểm bất kì trên (P)
C. Độ dài hình chiếu của A lên (P)
D. 0
→ Đáp án: A. Giải thích: Theo định nghĩa, khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) là độ dài đoạn vuông góc kẻ từ A đến (P). Đáp án B sai vì đoạn thẳng nối A với một điểm bất kì trên (P) có thể là đoạn xiên, dài hơn đoạn vuông góc. Đáp án C sai vì hình chiếu của A lên (P) là một điểm, không phải một đoạn thẳng, nên không có độ dài. Đáp án D sai vì khoảng cách bằng 0 chỉ khi A nằm trên (P).

Câu hỏi thường gặp về hình học không gian

Đường thẳng chéo nhau khác đường thẳng song song ở chỗ nào? Cả hai đều không có điểm chung, nhưng hai đường thẳng song song cùng nằm trong một mặt phẳng, còn hai đường thẳng chéo nhau không cùng nằm trong một mặt phẳng nào. Muốn chứng minh hai đường thẳng chéo nhau, phải chứng minh chúng không đồng phẳng.

Vì sao thể tích khối chóp lại bằng một phần ba thể tích khối lăng trụ cùng đáy, cùng chiều cao? Vì một khối lăng trụ tam giác có thể chia thành ba khối chóp tam giác có thể tích bằng nhau. Kết quả này được chứng minh bằng phương pháp chia nhỏ trong chương trình lớp 12, và là một trong những kết quả đẹp nhất của hình học không gian.

Khi nào dùng phương pháp thể tích để tính khoảng cách? Khi việc dựng trực tiếp đoạn vuông góc từ điểm đến mặt phẳng quá khó, nhưng thể tích của khối chóp và diện tích của mặt đáy lại tính được dễ dàng. Khi đó, khoảng cách bằng 3V : S. Phương pháp này đặc biệt hữu ích với các khối chóp có một cạnh bên vuông góc với mặt đáy.

Góc giữa hai mặt phẳng xác định như thế nào? Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, rồi từ một điểm trên giao tuyến kẻ hai đường thẳng, mỗi đường nằm trong một mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến. Góc giữa hai đường thẳng đó là góc giữa hai mặt phẳng. Ví dụ 7 trong bài là mẫu chuẩn của cách làm này.

Học hình học không gian để làm gì trong đời thực? Rất nhiều: kiến trúc sư dùng thể tích để tính vật liệu xây dựng, kĩ sư dùng khoảng cách và góc để định vị các bộ phận của máy móc, nhà thiết kế trò chơi điện tử dùng hình học không gian để dựng thế giới ba chiều, các nhà thiên văn dùng hình học không gian để tính khoảng cách giữa các thiên thể. Không gian ba chiều là không gian chúng ta đang sống.

Kết luận: không gian ba chiều cũng có quy luật như mặt phẳng

Đi hết chuyên đề này, bạn đã có trong tay toàn bộ công cụ của hình học không gian: điểm, đường thẳng, mặt phẳng và các vị trí tương đối của chúng; quan hệ song song và vuông góc; góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng; khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng và giữa hai đường thẳng chéo nhau; thể tích khối chóp, khối lăng trụ, khối chóp cụt và tỉ số thể tích.
Điểm chung của tất cả các phần là một thói quen duy nhất: vẽ hình rõ ràng, xác định đúng các yếu tố song song và vuông góc, rồi dùng các công thức đã học để tính toán — thay vì tưởng tượng mơ hồ, hãy vẽ hình và đặt tên cho từng điểm.
Để ôn tiếp, hãy đọc lại bài chuyên đề hình học phẳng để chắc phần hình học hai chiều làm nền tảng, bài chuyên đề đạo hàm và ứng dụng để thấy đạo hàm cũng dùng để tính thể tích trong chương tích phân.
Cuối cùng, đừng chỉ đọc — hãy tự tay tính lại 7 ví dụ trong bài không nhìn đáp án, làm 5 câu tự luyện rồi đối chiếu với bảng đáp án, và thử tính thể tích của một khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy 6 và chiều cao 9, dùng máy tính Casio online để kiểm tra lại từng giá trị mình tính.
Làm được như vậy, chuyên đề hình học không gian sẽ thực sự là của bạn.