Chuyên đề Đạo hàm và ứng dụng: lý thuyết, công thức và bài tập có đáp án

Bạn đang lái xe trên đường cao tốc, đồng hồ tốc độ chỉ 80 km/h.
Con số 80 đó là tốc độ tại đúng thời điểm bạn nhìn xuống — không phải tốc độ trung bình của cả chuyến đi, mà là tốc độ tức thời.
Đạo hàm chính là công cụ toán học để đo "tốc độ tức thời" ấy: tốc độ thay đổi của một đại lượng tại một thời điểm, tại một điểm.
Một hàm số có thể tăng nhanh, tăng chậm, đổi chiều — đạo hàm cho bạn biết tất cả những điều đó chỉ bằng một con số.
Vì vậy đạo hàm không chỉ là một chương của Toán 11 và 12: nó là chìa khóa để vẽ tiếp tuyến, xét tính đơn điệu, tìm cực trị, tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, và giải các bài toán tối ưu trong đời thực — từ việc đóng một cái hộp sao cho đựng được nhiều nhất tới việc tìm thời điểm một quả bóng bay cao nhất.
Chuyên đề này sẽ đi từ định nghĩa đạo hàm, qua bảng đạo hàm và quy tắc tính, tới phương trình tiếp tuyến, đơn điệu, cực trị, giá trị lớn nhất – nhỏ nhất và các ứng dụng thực tế — kèm 6 ví dụ giải chi tiết từng bước, những lỗi sai mà học sinh hay mắc nhất, và 5 câu tự luyện có đáp án như giáo viên chữa bài.

Đạo hàm là gì — tốc độ thay đổi tức thời

Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng, và điểm x₀ thuộc khoảng đó.
Nếu giới hạn của tỉ số [f(x) − f(x₀)] : (x − x₀) khi x tiến dần tới x₀ tồn tại và hữu hạn thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số f tại điểm x₀, kí hiệu là f'(x₀).
Viết gọn: f'(x₀) = lim [f(x) − f(x₀)] : (x − x₀) khi x → x₀.
Nói bằng lời đời thường: đạo hàm tại một điểm là tốc độ thay đổi tức thời của hàm số tại điểm đó.
Ví dụ: quãng đường của một vật chuyển động được cho bởi s(t) = 5t² (mét, t tính bằng giây).
Vận tốc tức thời tại thời điểm t là đạo hàm của s theo t: v(t) = s'(t) = 10t.
Tại t = 2 giây, vận tốc tức thời là v(2) = 20 m/s — vật đang chạy với tốc độ 20 mét mỗi giây ngay tại thời điểm 2 giây.
Nếu bạn chỉ tính vận tốc trung bình trên cả 2 giây đầu, bạn được s(2) : 2 = 20 : 2 = 10 m/s — một con số khác hẳn, vì vật đang tăng tốc dần.

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = x² tại điểm x₀ = 3 bằng định nghĩa.
Áp dụng định nghĩa: f'(3) = lim [f(x) − f(3)] : (x − 3) khi x → 3.
Ta có f(x) − f(3) = x² − 9 = (x − 3)(x + 3).
Chia cho (x − 3): [f(x) − f(3)] : (x − 3) = x + 3, với x ≠ 3.
Cho x tiến dần tới 3: x + 3 tiến dần tới 6.
Vậy f'(3) = 6.
Kết quả này khớp với công thức đạo hàm của hàm lũy thừa: (x²)' = 2x, thay x = 3 được 2 × 3 = 6.
Ý nghĩa hình học sẽ rõ ngay ở phần sau: 6 chính là hệ số góc của tiếp tuyến với parabol y = x² tại điểm có hoành độ 3.

Một hàm số có đạo hàm tại một điểm thì nhất định liên tục tại điểm đó — nhưng điều ngược lại không đúng.
Ví dụ kinh điển: hàm số y = |x| liên tục tại x = 0 nhưng không có đạo hàm tại x = 0, vì đồ thị của nó có một "góc nhọn" tại gốc tọa độ: đi từ bên trái thì đường đi xuống với hệ số góc −1, đi từ bên phải thì đường đi lên với hệ số góc 1.
Hai phía không thống nhất nên không có một tiếp tuyến duy nhất, và đạo hàm không tồn tại.
Trong đề thi, dạng "hàm số có đạo hàm tại x₀ hay không" thường rơi vào các hàm có dấu giá trị tuyệt đối hoặc hàm cho bằng nhiều công thức trên từng khoảng — hãy nhớ kiểm tra cả tính liên tục và giới hạn đạo hàm hai phía.

Ý nghĩa hình học của đạo hàm: tiếp tuyến là đường thẳng "chạm" đồ thị

Đạo hàm f'(x₀) chính là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M(x₀; f(x₀)).
Đây là ý nghĩa hình học quan trọng nhất của đạo hàm, và là cầu nối giữa đại số với hình học.
Nếu f'(x₀) > 0 thì tiếp tuyến đi lên từ trái sang phải, hàm số đang tăng tại x₀.
Nếu f'(x₀) < 0 thì tiếp tuyến đi xuống, hàm số đang giảm tại x₀.
Nếu f'(x₀) = 0 thì tiếp tuyến nằm ngang — đồ thị "dừng lại" một nhịp tại đó, và đó thường là nơi có cực trị, như bạn sẽ thấy ở phần sau.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M(x₀; y₀) với y₀ = f(x₀) là: y = f'(x₀)(x − x₀) + y₀.
Công thức này rất dễ nhớ: nó là phương trình đường thẳng đi qua điểm M với hệ số góc bằng f'(x₀).
Quy trình viết phương trình tiếp tuyến gồm 3 bước: tính y₀ = f(x₀); tính f'(x₀); thay vào công thức trên rồi rút gọn.
Ba bước này xuất hiện trong hầu hết các đề kiểm tra 15 phút và kiểm tra giữa kì của chương đạo hàm.

Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x³ − 3x + 2 tại điểm có hoành độ x₀ = 1.
Bước 1: tính tung độ tiếp điểm. y₀ = f(1) = 1³ − 3 × 1 + 2 = 1 − 3 + 2 = 0.
Vậy tiếp điểm là M(1; 0).
Bước 2: tính đạo hàm và giá trị đạo hàm tại x₀. f'(x) = 3x² − 3, suy ra f'(1) = 3 × 1 − 3 = 0.
Bước 3: thay vào công thức tiếp tuyến: y = 0 × (x − 1) + 0, tức là y = 0.
Tiếp tuyến là đường thẳng y = 0, tức là trục hoành.
Kết quả này không ngẫu nhiên: điểm (1; 0) chính là điểm cực tiểu của hàm số này, và tiếp tuyến tại điểm cực trị luôn nằm ngang — bạn sẽ gặp lại hàm số này ở ví dụ 4, nơi ta chứng minh (1; 0) đúng là điểm cực tiểu.

Bảng đạo hàm và quy tắc tính — những công thức phải thuộc lòng

Trong thực hành, người ta hiếm khi tính đạo hàm bằng định nghĩa giới hạn, mà dùng bảng đạo hàm và các quy tắc tính.
Bảng đạo hàm của các hàm số cơ bản:
Đạo hàm của hằng số bằng 0: (C)' = 0.
Đạo hàm của x bằng 1: (x)' = 1.
Đạo hàm của lũy thừa: (xⁿ)' = n × xⁿ⁻¹, với n là số thực.
Đạo hàm của căn bậc hai: (√x)' = 1 : (2√x), với x > 0.
Đạo hàm của hàm mũ: (eˣ)' = eˣ; (aˣ)' = aˣ × ln a.
Đạo hàm của hàm logarit: (ln x)' = 1 : x; (log_a x)' = 1 : (x × ln a).
Đạo hàm của hàm lượng giác: (sin x)' = cos x; (cos x)' = −sin x; (tan x)' = 1 : cos²x; (cot x)' = −1 : sin²x.

Các quy tắc tính đạo hàm:
Đạo hàm của tổng và hiệu: (u ± v)' = u' ± v'.
Đạo hàm của tích: (u × v)' = u' × v + u × v'.
Đạo hàm của thương: (u : v)' = (u' × v − u × v') : v², với v ≠ 0.
Đạo hàm của hàm hợp: nếu y = f(u) và u = g(x) thì y' = f'(u) × g'(x) — quy tắc này còn gọi là quy tắc dây chuyền.
Quy tắc hàm hợp là quy tắc hay bị quên nhất, nhưng lại xuất hiện trong gần như mọi bài tập đạo hàm của hàm hợp.

Ví dụ 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y = (2x + 1)³; b) y = √(x² + 1).
a) Đặt u = 2x + 1, ta có y = u³.
Theo quy tắc hàm hợp: y' = 3u² × u' = 3(2x + 1)² × 2 = 6(2x + 1)².
Chú ý: nếu quên nhân với đạo hàm của u là 2 thì sẽ ra đáp án sai 3(2x + 1)².
b) Viết y là căn bậc hai của (x² + 1), đặt u = x² + 1, ta có y = √u.
y' = [1 : (2√u)] × u' = [1 : (2√(x² + 1))] × 2x = x : √(x² + 1).
Kết quả gọn đẹp: đạo hàm của √(x² + 1) là x : √(x² + 1).
Hai ví dụ này cho thấy quy tắc hàm hợp luôn gồm hai bước: đạo hàm hàm ngoài, rồi nhân với đạo hàm hàm trong.
Muốn tính đạo hàm nhanh và đúng, bạn có thể ôn lại toàn bộ bảng đạo hàm trong bài công thức đạo hàm, và khi cần tính nhanh giá trị đạo hàm tại một điểm thì dùng máy tính Casio online để đối chiếu với kết quả tính tay.

Phương trình tiếp tuyến — ba dạng bài hay gặp nhất

Ngoài dạng cơ bản "viết tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x₀", đề thi còn hay ra hai dạng nữa.
Dạng thứ hai: viết tiếp tuyến tại điểm có tung độ y₀ cho trước.
Cách làm: giải phương trình f(x) = y₀ để tìm hoành độ tiếp điểm x₀, rồi làm như dạng cơ bản.
Chú ý: phương trình f(x) = y₀ có thể có nhiều nghiệm, mỗi nghiệm cho một tiếp tuyến khác nhau — đừng vội kết luận chỉ có một tiếp tuyến.
Dạng thứ ba: viết tiếp tuyến biết hệ số góc k cho trước.
Cách làm: giải phương trình f'(x) = k để tìm hoành độ tiếp điểm, rồi làm như dạng cơ bản.
Nếu đề cho tiếp tuyến song song với một đường thẳng y = ax + b thì hệ số góc k = a.
Nếu đề cho tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = ax + b thì hệ số góc k = −1 : a, vì tích hai hệ số góc của hai đường thẳng vuông góc bằng −1.

Ví dụ: viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị y = x² + 2x − 3, biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 4x + 1.
Đạo hàm: y' = 2x + 2.
Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng có hệ số góc 4 nên y' = 4, tức là 2x + 2 = 4, suy ra x = 1.
Tung độ tiếp điểm: y = 1² + 2 × 1 − 3 = 0.
Phương trình tiếp tuyến: y = 4(x − 1) + 0, tức là y = 4x − 4.
Kiểm tra lại: tiếp tuyến y = 4x − 4 song song với y = 4x + 1 vì cùng hệ số góc 4, và đi qua điểm (1; 0) thuộc đồ thị — đúng.
Bạn có thể đọc thêm về hàm bậc hai và parabol trong bài chuyên đề hàm số và đồ thị.

Đạo hàm và tính đơn điệu: dấu của đạo hàm quyết định hướng đi của đồ thị

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a; b).
Nếu f'(x) > 0 với mọi x thuộc (a; b) thì hàm số đồng biến trên khoảng (a; b).
Nếu f'(x) < 0 với mọi x thuộc (a; b) thì hàm số nghịch biến trên khoảng (a; b).
Đây là định lí quan trọng nhất của chương đạo hàm, vì nó biến bài toán "hàm số tăng hay giảm" thành bài toán "xét dấu của đạo hàm" — một bài toán đại số quen thuộc.
Quy trình xét tính đơn điệu gồm 4 bước: tìm tập xác định; tính đạo hàm f'(x); giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm tới hạn; xét dấu f'(x) và kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến.
Khi xét dấu, bạn chỉ cần chọn một điểm thử trong mỗi khoảng rồi tính dấu của f' tại điểm đó — không cần tính dấu tại mọi điểm.

Một lưu ý quan trọng: hàm số có thể đồng biến trên từng khoảng xác định nhưng không đồng biến trên toàn bộ tập xác định.
Ví dụ: hàm số y = 1/x có đạo hàm y' = −1/x² < 0 với mọi x ≠ 0, nên nó nghịch biến trên (−∞; 0) và nghịch biến trên (0; +∞).
Nhưng không được kết luận nó nghịch biến trên tập ℝ bỏ đi điểm 0, vì lấy x₁ = −1 và x₂ = 1 thì x₁ < x₂ nhưng f(x₁) = −1 < f(x₂) = 1 — trái với định nghĩa nghịch biến.
Đây là cái bẫy kinh điển mà phần lỗi sai cuối bài sẽ nhắc lại.

Cực trị: tìm đỉnh và đáy bằng đạo hàm cấp một

Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) và điểm x₀ thuộc (a; b).
Nếu f'(x) đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua x₀ thì hàm số đạt cực đại tại x₀.
Nếu f'(x) đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua x₀ thì hàm số đạt cực tiểu tại x₀.
Nếu f'(x) không đổi dấu khi đi qua x₀ thì x₀ không phải là điểm cực trị, dù f'(x₀) = 0.
Quy tắc tìm cực trị gồm 4 bước: tìm tập xác định; tính f'(x); giải f'(x) = 0; lập bảng biến thiên và nhìn dấu của f' đổi chiều ở đâu.
Bảng biến thiên là công cụ tóm tắt toàn bộ dáng điệu của hàm số: khoảng nào đi lên, khoảng nào đi xuống, đâu là đỉnh, đâu là đáy.

Ví dụ 4: Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số y = x³ − 3x + 2.
Tập xác định: D = ℝ.
Đạo hàm: y' = 3x² − 3 = 3(x² − 1) = 3(x − 1)(x + 1).
Giải y' = 0, được x = −1 hoặc x = 1.
Xét dấu y': trên khoảng (−∞; −1), chọn x = −2 thì y' = 3 × 4 − 3 = 9 > 0, hàm số đồng biến.
Trên khoảng (−1; 1), chọn x = 0 thì y' = −3 < 0, hàm số nghịch biến.
Trên khoảng (1; +∞), chọn x = 2 thì y' = 3 × 4 − 3 = 9 > 0, hàm số đồng biến.
Vậy hàm số đồng biến trên (−∞; −1) và (1; +∞), nghịch biến trên (−1; 1).
Tại x = −1, y' đổi dấu từ dương sang âm nên hàm số đạt cực đại, giá trị cực đại y = (−1)³ − 3 × (−1) + 2 = −1 + 3 + 2 = 4.
Tại x = 1, y' đổi dấu từ âm sang dương nên hàm số đạt cực tiểu, giá trị cực tiểu y = 1³ − 3 × 1 + 2 = 1 − 3 + 2 = 0.
Điểm cực đại của đồ thị là (−1; 4), điểm cực tiểu của đồ thị là (1; 0).
Chú ý: tại x = 1, tiếp tuyến nằm ngang y = 0 — đúng với kết quả của ví dụ 2, nơi ta đã viết tiếp tuyến tại điểm này mà chưa biết nó là điểm cực tiểu.

Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên một đoạn — đừng bao giờ quên hai đầu mút

Để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b], ta làm theo 3 bước:
Bước 1: Tính f'(x), giải f'(x) = 0, giữ lại các nghiệm thuộc đoạn [a; b].
Bước 2: Tính giá trị của hàm số tại các nghiệm đó và tại hai đầu mút a, b.
Bước 3: So sánh tất cả các giá trị vừa tính, số lớn nhất là giá trị lớn nhất, số nhỏ nhất là giá trị nhỏ nhất.
Điểm mấu chốt mà nhiều bạn hay quên: phải tính cả giá trị tại hai đầu mút.
Giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất hoàn toàn có thể đạt tại đầu mút, không phải tại điểm cực trị — ví dụ sau sẽ cho bạn thấy rõ điều này.

Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = x³ − 3x² − 9x + 5 trên đoạn [−2; 4].
Đạo hàm: y' = 3x² − 6x − 9 = 3(x² − 2x − 3) = 3(x − 3)(x + 1).
Giải y' = 0, được x = 3 hoặc x = −1, cả hai đều nằm trong đoạn [−2; 4].
Tính giá trị hàm số tại các điểm tới hạn và hai đầu mút:
Tại x = −2: y = (−2)³ − 3 × (−2)² − 9 × (−2) + 5 = −8 − 12 + 18 + 5 = 3.
Tại x = −1: y = (−1)³ − 3 × (−1)² − 9 × (−1) + 5 = −1 − 3 + 9 + 5 = 10.
Tại x = 3: y = 3³ − 3 × 3² − 9 × 3 + 5 = 27 − 27 − 27 + 5 = −22.
Tại x = 4: y = 4³ − 3 × 4² − 9 × 4 + 5 = 64 − 48 − 36 + 5 = −15.
So sánh bốn giá trị 3, 10, −22, −15: giá trị lớn nhất là 10, đạt tại x = −1; giá trị nhỏ nhất là −22, đạt tại x = 3.
Nếu chỉ nhìn vào các điểm tới hạn mà bỏ qua đầu mút, bạn sẽ kết luận giá trị nhỏ nhất là −22 — may mắn là lần này điểm cực tiểu x = 3 vẫn cho giá trị nhỏ nhất.
Nhưng giá trị lớn nhất 10 đạt tại x = −1 là điểm cực đại địa phương; nếu đoạn xét là [−2; 2] thì giá trị lớn nhất vẫn là 10, còn giá trị nhỏ nhất sẽ là f(2) = 8 − 12 − 18 + 5 = −17 tại đầu mút x = 2 — một minh chứng khác cho việc đầu mút luôn có thể là nơi đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất.

Ứng dụng thực tế: tối ưu hóa và tốc độ

Đạo hàm không chỉ để làm bài tập trong sách — nó là công cụ tối ưu hóa mạnh nhất mà chương trình phổ thông trang bị cho bạn.
Bài toán tối ưu thường có dạng: một đại lượng phụ thuộc vào một biến x, hãy tìm x để đại lượng đó lớn nhất hoặc nhỏ nhất.
Quy trình giải gồm 3 bước: lập hàm số biểu diễn đại lượng cần tối ưu theo x; tìm tập xác định của x từ điều kiện thực tế; dùng đạo hàm tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của hàm số đó.
Bước lập hàm số là bước khó nhất, vì nó đòi hỏi bạn dịch bài toán thực tế thành ngôn ngữ toán học — hãy vẽ hình, đặt ẩn, rồi viết các mối quan hệ giữa các đại lượng ra giấy trước khi tính toán.

Ví dụ 6: Người ta cắt bốn góc của một tấm bìa hình vuông cạnh 24 cm thành bốn hình vuông nhỏ bằng nhau, rồi gấp lên thành một cái hộp không nắp. Hỏi phải cắt mỗi góc một hình vuông cạnh bao nhiêu để hộp có thể tích lớn nhất?
Gọi x (cm) là cạnh của hình vuông cắt đi ở mỗi góc, với 0 < x < 12.
Sau khi cắt và gấp lên, đáy hộp là hình vuông cạnh 24 − 2x, chiều cao hộp là x.
Thể tích hộp: V(x) = x(24 − 2x)².
Tính đạo hàm: V'(x) = (24 − 2x)² + x × 2(24 − 2x) × (−2) = (24 − 2x)[(24 − 2x) − 4x] = (24 − 2x)(24 − 6x).
Giải V'(x) = 0: 24 − 2x = 0 cho x = 12 (loại, vì khi đó đáy hộp không còn), hoặc 24 − 6x = 0 cho x = 4.
Xét dấu V': với 0 < x < 4 thì V'(x) > 0, thể tích tăng; với 4 < x < 12 thì V'(x) < 0, thể tích giảm.
Vậy thể tích lớn nhất khi x = 4 cm.
Thể tích lớn nhất: V(4) = 4 × (24 − 8)² = 4 × 16² = 4 × 256 = 1024 cm³.
Kiểm tra thêm: nếu cắt x = 3 cm thì V = 3 × 18² = 3 × 324 = 972 cm³; nếu cắt x = 6 cm thì V = 6 × 12² = 6 × 144 = 864 cm³ — cả hai đều nhỏ hơn 1024 cm³, đúng như kết luận.
Bài toán này là mẫu kinh điển của dạng tối ưu hình học trong đề thi tốt nghiệp: cứ lập hàm thể tích (hoặc diện tích, hoặc chi phí), tính đạo hàm, giải đạo hàm bằng 0, rồi so sánh các giá trị ứng viên.

Ngoài tối ưu hóa, đạo hàm còn xuất hiện trong vật lí dưới tên gọi vận tốc và gia tốc: nếu quãng đường là s(t) thì vận tốc tức thời là v(t) = s'(t), gia tốc tức thời là a(t) = v'(t) = s''(t).
Ví dụ: một quả bóng được ném lên với quãng đường theo thời gian là h(t) = 20t − 5t² (mét).
Vận tốc: v(t) = h'(t) = 20 − 10t.
Quả bóng đạt độ cao lớn nhất khi v(t) = 0, tức là t = 2 giây, độ cao lớn nhất là h(2) = 40 − 20 = 20 mét.
Gia tốc: a(t) = v'(t) = −10 m/s² — dấu âm cho thấy vận tốc đang giảm dần, đúng với chuyển động ném lên chịu tác dụng của trọng lực.
Bạn có thể ôn lại các công thức chuyển động trong bài chuyên đề hàm số và đồ thị và bài chuyên đề lượng giác để thấy đạo hàm xuất hiện ở khắp nơi trong Toán và Vật lí.

Những lỗi sai hay gặp nhất khi làm bài đạo hàm

Lỗi 1: Quên nhân với đạo hàm của hàm trong khi tính đạo hàm hàm hợp.
Đạo hàm của (2x + 1)³ là 6(2x + 1)², không phải 3(2x + 1)².
Cách tránh: sau khi đạo hàm hàm ngoài, luôn hỏi "hàm trong là gì, đạo hàm của nó bằng bao nhiêu" rồi nhân thêm.

Lỗi 2: Thấy f'(x₀) = 0 là kết luận ngay x₀ là điểm cực trị.
Đạo hàm bằng 0 chỉ là điều kiện cần, chưa phải điều kiện đủ.
Ví dụ: hàm số y = x³ có y' = 3x², y' = 0 tại x = 0, nhưng y' > 0 ở cả hai phía của x = 0 nên hàm số vẫn đồng biến trên ℝ, không có cực trị tại x = 0.
Cách tránh: luôn xét dấu của f' hai bên điểm tới hạn, hoặc lập bảng biến thiên đầy đủ rồi mới kết luận.

Lỗi 3: Quên tính giá trị tại hai đầu mút khi tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên đoạn.
Giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất hoàn toàn có thể đạt tại đầu mút.
Cách tránh: viết đủ 3 bước của quy trình, và luôn liệt kê giá trị tại hai đầu mút trước khi so sánh.

Lỗi 4: Kết luận hàm số đơn điệu trên cả tập xác định khi nó chỉ đơn điệu trên từng khoảng.
Ví dụ: y = 1/x nghịch biến trên (−∞; 0) và nghịch biến trên (0; +∞), nhưng không nghịch biến trên tập ℝ bỏ đi điểm 0.
Cách tránh: khi tập xác định gồm nhiều khoảng rời nhau, luôn viết kết luận đơn điệu cho từng khoảng riêng biệt, không gộp lại.

Lỗi 5: Nhầm lẫn cực trị với giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Cực trị là khái niệm địa phương: cao nhất hoặc thấp nhất trong một vùng lân cận nhỏ.
Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất là khái niệm toàn cục: lớn nhất hoặc nhỏ nhất trên toàn bộ tập đang xét.
Một hàm số có thể có cực đại nhưng giá trị lớn nhất trên đoạn lại đạt tại đầu mút — ví dụ 5 ở trên là minh chứng rõ ràng nhất.

Bài tập tự luyện — làm rồi mới xem đáp án nhé

Câu 1. Đạo hàm của hàm số y = x⁴ − 2x² + 3 là:
A. 4x³ − 4x
B. 4x³ − 2x
C. 3x³ − 4x
D. 4x³ + 4x
→ Đáp án: A. Giải thích: Áp dụng quy tắc đạo hàm từng số hạng: (x⁴)' = 4x³, (−2x²)' = −4x, (3)' = 0. Vậy y' = 4x³ − 4x. Đáp án B sai vì đạo hàm của −2x² là −4x chứ không phải −2x — quên nhân với số mũ 2. Đáp án C sai vì đạo hàm của x⁴ là 4x³ chứ không phải 3x³. Đáp án D sai vì quên dấu âm của số hạng −2x².

Câu 2. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x² tại điểm có hoành độ x₀ = 2 có hệ số góc bằng:
A. 2
B. 4
C. 8
D. 1
→ Đáp án: B. Giải thích: Hệ số góc của tiếp tuyến tại x₀ bằng f'(x₀). Ta có f'(x) = 2x, suy ra f'(2) = 2 × 2 = 4. Đáp án A sai vì lấy nhầm x₀ = 2 làm hệ số góc. Đáp án C sai vì tính nhầm thành 2² × 2 = 8. Đáp án D sai vì đạo hàm của x² không phải là 1.

Câu 3. Hàm số y = x³ − 3x nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
A. (−1; 1)
B. (−∞; −1)
C. (1; +∞)
D. ℝ
→ Đáp án: A. Giải thích: Đạo hàm y' = 3x² − 3 = 3(x² − 1). Hàm số nghịch biến khi y' < 0, tức là x² − 1 < 0, tức là −1 < x < 1. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (−1; 1). Đáp án B và C là hai khoảng đồng biến, vì ở đó y' > 0. Đáp án D sai vì hàm số không nghịch biến trên toàn bộ ℝ.

Câu 4. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = x² − 4x + 5 là:
A. (2; 1)
B. (2; 5)
C. (−2; 1)
D. (0; 5)
→ Đáp án: A. Giải thích: Đạo hàm y' = 2x − 4, giải y' = 0 được x = 2. Vì y' đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua x = 2 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 2. Giá trị cực tiểu y = 2² − 4 × 2 + 5 = 4 − 8 + 5 = 1. Vậy điểm cực tiểu của đồ thị là (2; 1). Đáp án B sai vì ghép x = 2 với y = 5 — 5 là giá trị tại x = 0, không phải tại x = 2. Đáp án C sai vì x = −2 không phải điểm tới hạn. Đáp án D sai vì (0; 5) là giao điểm của đồ thị với trục tung, không phải điểm cực tiểu.

Câu 5. Giá trị lớn nhất của hàm số y = −x² + 6x − 5 trên đoạn [0; 4] là:
A. 4
B. 5
C. 3
D. −5
→ Đáp án: A. Giải thích: Đạo hàm y' = −2x + 6, giải y' = 0 được x = 3, thuộc đoạn [0; 4]. Tính giá trị hàm số tại điểm tới hạn và hai đầu mút: f(0) = −5; f(3) = −9 + 18 − 5 = 4; f(4) = −16 + 24 − 5 = 3. So sánh ba giá trị −5, 4, 3: giá trị lớn nhất là 4, đạt tại x = 3. Đáp án B sai vì 5 là giá trị tại x = 0 của hàm số y = x² − 4x + 5 ở câu 4, không liên quan. Đáp án C là giá trị tại đầu mút x = 4, không phải giá trị lớn nhất. Đáp án D là giá trị tại đầu mút x = 0, là giá trị nhỏ nhất trên đoạn.

Câu hỏi thường gặp về đạo hàm và ứng dụng

Đạo hàm và tốc độ có liên hệ gì với nhau? Đạo hàm chính là tốc độ thay đổi tức thời. Nếu s(t) là quãng đường theo thời gian thì v(t) = s'(t) là vận tốc tức thời, và a(t) = v'(t) là gia tốc tức thời. Mọi bài toán về tốc độ trong Vật lí đều là bài toán đạo hàm trong Toán.

Vì sao phải xét dấu đạo hàm mà không xét trực tiếp hàm số? Vì dấu của đạo hàm cho biết hàm số đang tăng hay giảm một cách chắc chắn, trong khi nhìn vào công thức của hàm số thì rất khó đoán. Đạo hàm biến một câu hỏi khó ("hàm số đi lên hay đi xuống?") thành một bài toán xét dấu quen thuộc.

Tiếp tuyến tại điểm cực trị luôn nằm ngang, có đúng không? Đúng, nếu hàm số có đạo hàm tại điểm cực trị đó thì đạo hàm bằng 0, nên tiếp tuyến có hệ số góc bằng 0, tức là nằm ngang. Nhưng chiều ngược lại không đúng: tiếp tuyến nằm ngang (đạo hàm bằng 0) chưa chắc là điểm cực trị — ví dụ hàm y = x³ tại x = 0 có tiếp tuyến nằm ngang nhưng không có cực trị.

Bài toán tối ưu trong đề thi thường có dạng nào? Thường là bài toán hình học: tìm kích thước của hộp, của mảnh vườn, của khung cửa để diện tích hoặc thể tích lớn nhất; hoặc bài toán chi phí: tìm số lượng sản phẩm để lợi nhuận lớn nhất. Quy trình chung luôn là: lập hàm số, tìm tập xác định, tính đạo hàm, giải đạo hàm bằng 0, so sánh các giá trị ứng viên.

Học đạo hàm để làm gì trong đời thực? Rất nhiều: kĩ sư dùng đạo hàm để tối ưu thiết kế cầu đường và máy móc, kinh tế gia dùng đạo hàm để tìm mức sản xuất tối ưu và phân tích chi phí biên, bác sĩ dùng đạo hàm để mô hình hóa tốc độ lây lan dịch bệnh, nhà vật lí dùng đạo hàm để mô tả vận tốc và gia tốc. Đạo hàm là ngôn ngữ của sự thay đổi — học chắc chương này, bạn sẽ thấy Toán 12 nhẹ đi một nửa.

Kết luận: đạo hàm là la bàn chỉ hướng của đồ thị

Đi hết chuyên đề này, bạn đã có trong tay một bộ công cụ trọn vẹn: định nghĩa đạo hàm và ý nghĩa hình học của nó, bảng đạo hàm và các quy tắc tính, cách viết phương trình tiếp tuyến, cách dùng dấu của đạo hàm để xét tính đơn điệu và tìm cực trị, cách tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên một đoạn, và cách giải bài toán tối ưu trong thực tế.
Điểm chung của tất cả các phần là một thói quen duy nhất: tính đạo hàm trước, xét dấu sau, và luôn nhớ kiểm tra các điểm đặc biệt — điểm tới hạn, đầu mút, điểm hàm số không xác định.
Để ôn tiếp, hãy đọc lại bài chuyên đề hàm số và đồ thị để thấy đạo hàm giúp khảo sát hàm số trọn vẹn như thế nào, bài công thức đạo hàm để thuộc lòng bảng đạo hàm, và bài chuyên đề dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân để ôn lại giới hạn — chương sẽ học ngay sau đạo hàm.
Cuối cùng, đừng chỉ đọc — hãy tự tay tính lại 6 ví dụ trong bài không nhìn đáp án, làm 5 câu tự luyện rồi đối chiếu với bảng đáp án, và thử giải bài toán hộp không nắp với tấm bìa 30 cm thay vì 24 cm, dùng máy tính Casio online để kiểm tra lại từng giá trị mình tính.
Làm được như vậy, chuyên đề đạo hàm và ứng dụng sẽ thực sự là của bạn.