Chuyên đề Lượng giác: đường tròn đơn vị, công thức và phương trình lượng giác có đáp án

Cuối tuần trước, lớp tôi đi dã ngoại và dừng chân trước một cây cột cờ cao vút giữa sân trường.
Thầy giáo đố: "Ai đo được chiều cao của cột cờ mà không cần trèo lên, không cần thang, chỉ được dùng thước dây và một cái máy đo góc?"
Cả lớp im lặng, rồi một bạn giơ tay: đứng cách chân cột 20 mét, ngắm lên đỉnh cột, đo được góc 35 độ — và chỉ với một phép nhân, chiều cao hiện ra: khoảng 15,6 mét.
Phép nhân ấy có tên là tang, và nó chỉ là một trong bốn cái tên sin, cos, tan, cot — bốn cái tên mở ra cả một chuyên đề: lượng giác.
Lượng giác sinh ra từ nhu cầu đo đạc của con người: đo chiều cao mà không cần chạm tới, đo khoảng cách qua sông mà không cần bơi sang, mô tả chuyển động quay tròn của đu quay, của bánh xe, của sóng biển.
Bài viết này sẽ không bắt bạn học thuộc lòng một bảng công thức khô khan.
Chúng ta sẽ đi theo một tấm bản đồ duy nhất — đường tròn đơn vị — rồi từ đó mở dần hộp công cụ: công thức cộng, công thức nhân đôi, biến đổi tổng thành tích, hàm số lượng giác, phương trình lượng giác.
Đi hết chuyên đề, bạn sẽ giải được phương trình sin x = 1/2, tính được sin 15 độ mà không cần bấm máy, và biết vì sao đồ thị hàm sin lại uốn lượn như sóng.

1. Đường tròn đơn vị — tấm bản đồ duy nhất bạn cần

Hãy quên bảng công thức một lúc và tưởng tượng một đường tròn bán kính bằng 1, tâm tại gốc tọa độ O.
Đó là đường tròn đơn vị — tấm bản đồ của cả chuyên đề này.
Lấy một điểm M bất kì trên đường tròn, gọi góc tạo bởi tia OM và trục Ox là góc lượng giác có số đo x.
Khi đó, hoành độ của M chính là cos x, tung độ của M chính là sin x.
Nói cách khác: cos x là "bóng" của điểm M chiếu lên trục ngang, sin x là "bóng" của M chiếu lên trục đứng.
Hai tỉ số còn lại sinh ra từ hai tỉ số đầu: tan x = sin x : cos x (với cos x ≠ 0) và cot x = cos x : sin x (với sin x ≠ 0).
Vì điểm M luôn nằm trên đường tròn bán kính 1 nên theo định lí Pythagore, hoành độ bình phương cộng tung độ bình phương luôn bằng 1.
Đó chính là hệ thức quan trọng nhất của lượng giác: sin²x + cos²x = 1, đúng với mọi góc x.
Từ hệ thức này, bạn suy ra ngay hai hệ thức anh em: 1 + tan²x = 1 : cos²x (khi cos x ≠ 0) và 1 + cot²x = 1 : sin²x (khi sin x ≠ 0), cùng với tan x × cot x = 1.
Đường tròn đơn vị còn cho bạn thấy dấu của sin, cos, tan, cot ở từng góc phần tư — và đây là điều học sinh hay quên nhất khi làm bài.
Ở góc phần tư thứ nhất (0 đến π/2), cả sin và cos đều dương nên tan và cot cũng dương.
Ở góc phần tư thứ hai (π/2 đến π), sin dương nhưng cos âm nên tan và cot âm.
Ở góc phần tư thứ ba (π đến 3π/2), sin và cos cùng âm nên tan và cot dương.
Ở góc phần tư thứ tư (3π/2 đến 2π), sin âm, cos dương nên tan và cot âm.
Muốn nhớ nhanh, bạn chỉ cần nhớ hai dấu đầu: sin dương ở nửa trên của đường tròn (góc phần tư I và II), cos dương ở nửa phải (góc phần tư I và IV) — tan và cot dương khi sin và cos cùng dấu.

Trước khi đi tiếp, bạn cần đổi được độ sang radian và ngược lại, vì chương trình phổ thông dùng cả hai đơn vị này.
Một vòng tròn đầy đủ là 360 độ, cũng là 2π radian, nên 180 độ = π radian.
Công thức đổi: số đo radian = số đo độ × π : 180, và số đo độ = số đo radian × 180 : π.
Ví dụ: 30 độ = π : 6, 45 độ = π : 4, 60 độ = π : 3, 90 độ = π : 2, 180 độ = π.
Một radian xấp xỉ 57,3 độ — bạn không cần nhớ con số này để làm bài, chỉ cần nhớ 180 độ = π radian là đủ đổi mọi góc.

2. Bảng giá trị đặc biệt — năm con số phải thuộc lòng

Có năm góc mà đề thi hỏi đi hỏi lại: 0 độ, 30 độ, 45 độ, 60 độ và 90 độ.
Giá trị sin và cos của chúng tuân theo một quy luật rất đẹp mà bạn có thể nhớ bằng mẹo "căn bậc hai của 0, 1, 2, 3, 4 chia cho 2".
Sin của 0 độ, 30 độ, 45 độ, 60 độ, 90 độ lần lượt là √0 : 2 = 0, √1 : 2 = 1 : 2, √2 : 2, √3 : 2, √4 : 2 = 1.
Cos thì đi ngược lại: 1, √3 : 2, √2 : 2, 1 : 2, 0 — chính là dãy sin đọc ngược.
Tan bằng sin chia cos nên tan 0 độ = 0, tan 30 độ = √3 : 3, tan 45 độ = 1, tan 60 độ = √3, còn tan 90 độ không xác định vì cos 90 độ = 0.

Bạn không cần học thuộc cả bảng này như học vẹt.
Chỉ cần nhớ dãy sin "căn 0, 1, 2, 3, 4 chia 2" và nhớ cos là dãy đó đọc ngược — tan và cot tính ra trong một dòng.
Trong phòng thi, khi gặp góc 30 độ, 45 độ hay 60 độ, bạn tra bảng này thay vì bấm máy: vừa nhanh, vừa tránh sai số làm tròn.

3. Hộp công cụ: bốn nhóm công thức biến đổi

Nếu đường tròn đơn vị là tấm bản đồ thì các công thức biến đổi là hộp công cụ bạn mang theo trên đường.
Có bốn nhóm công cụ, và mỗi nhóm sinh ra từ nhóm trước — bạn không cần học rời rạc từng công thức mà chỉ cần hiểu chúng nối với nhau thế nào.

Nhóm 1: công thức cộng — gốc rễ của mọi công thức khác.
Sin của một tổng bằng sin cos cộng cos sin: sin(a + b) = sin a × cos b + cos a × sin b.
Sin của một hiệu chỉ đổi một dấu: sin(a − b) = sin a × cos b − cos a × sin b.
Cos của một tổng thì "đổi dấu": cos(a + b) = cos a × cos b − sin a × sin b.
Cos của một hiệu: cos(a − b) = cos a × cos b + sin a × sin b.
Tan của một tổng: tan(a + b) = (tan a + tan b) : (1 − tan a × tan b), với điều kiện các tan đều có nghĩa và tan a × tan b ≠ 1.
Mẹo nhớ đã lưu truyền qua nhiều thế hệ học sinh: "Sin thì sin cos cos sin, cos thì cos cos sin sin dấu trừ" — câu này nói đúng thứ tự dấu của cả hai công thức.

Nhóm 2: công thức nhân đôi và hạ bậc — khi a gặp chính nó.
Đặt b = a vào công thức cộng, bạn được ngay công thức nhân đôi: sin 2a = 2 × sin a × cos a.
Cos nhân đôi có ba dạng tương đương, dùng dạng nào tùy đề bài cho gì: cos 2a = cos²a − sin²a = 2cos²a − 1 = 1 − 2sin²a.
Tan nhân đôi: tan 2a = 2 × tan a : (1 − tan²a), với tan a có nghĩa và tan²a ≠ 1.
Từ cos 2a, bạn lật ngược lại được công thức hạ bậc — công cụ biến bậc hai thành bậc một: sin²a = (1 − cos 2a) : 2 và cos²a = (1 + cos 2a) : 2.
Muốn ôn lại riêng từng công thức nhân đôi với ví dụ mẫu, bạn có thể xem bài công thức nhân đôi lượng giác và bài công thức cộng lượng giác.

Nhóm 3: biến đổi tích thành tổng — tách một tích thành hai tổng.
cos a × cos b = 1/2 × [cos(a + b) + cos(a − b)].
sin a × sin b = 1/2 × [cos(a − b) − cos(a + b)].
sin a × cos b = 1/2 × [sin(a + b) + sin(a − b)].
Ba công thức này suy ra trực tiếp từ công thức cộng — bạn cộng (hoặc trừ) hai công thức cộng với nhau là thấy ngay, không cần học thuộc một cách máy móc.

Nhóm 4: biến đổi tổng thành tích — gộp hai tổng thành một tích.
cos a + cos b = 2 × cos((a + b) : 2) × cos((a − b) : 2).
cos a − cos b = −2 × sin((a + b) : 2) × sin((a − b) : 2).
sin a + sin b = 2 × sin((a + b) : 2) × cos((a − b) : 2).
sin a − sin b = 2 × cos((a + b) : 2) × sin((a − b) : 2).
Ngoài ra còn một công thức rất hay gặp khi rút gọn: tan a + tan b = sin(a + b) : (cos a × cos b).
Nhóm này là nhóm "ngược" của nhóm 3, và là chìa khóa để giải phương trình lượng giác dạng tổng — vì một phương trình chỉ giải được gọn khi một vế của nó thành một tích.
Muốn xem đầy đủ nhóm này với ví dụ mẫu, bạn có thể xem bài công thức biến đổi tổng thành tích.

4. Cung liên kết — bốn câu thần chú

Trên đường tròn đơn vị, nhiều góc khác nhau lại có cùng một giá trị sin hoặc cos — chỉ khác dấu.
Bốn câu thần chú dưới đây gom toàn bộ quan hệ đó lại, và đề thi rất thích hỏi đúng chỗ này.
"Cos đối": hai góc đối nhau thì cos bằng nhau, sin đối nhau — cos(−a) = cos a và sin(−a) = −sin a.
"Sin bù": hai góc bù nhau (tổng bằng π) thì sin bằng nhau, cos đối nhau — sin(π − a) = sin a và cos(π − a) = −cos a.
"Phụ chéo": hai góc phụ nhau (tổng bằng π/2) thì sin góc này bằng cos góc kia — sin(π/2 − a) = cos a và cos(π/2 − a) = sin a.
"Khác π tan": hai góc hơn kém nhau π thì tan và cot bằng nhau — tan(a + π) = tan a và cot(a + π) = cot a, còn sin và cos đều đổi dấu.
Ví dụ: sin 150 độ = sin(180 độ − 30 độ) = sin 30 độ = 1/2, còn cos 150 độ = −cos 30 độ = −√3/2.
Ví dụ khác: cos 210 độ = cos(180 độ + 30 độ) = −cos 30 độ = −√3/2, vì góc 210 độ nằm ở góc phần tư thứ ba, cos âm.
Muốn tính nhanh các giá trị như sin 120 độ hay cos 135 độ, bạn không cần bấm máy — chỉ cần đưa góc về góc nhọn quen thuộc bằng bốn câu thần chú này rồi xét dấu theo góc phần tư.

5. Hàm số lượng giác — khi sin và cos thành sóng

Đến đây, sin và cos không còn là tỉ số của một góc cố định nữa — chúng trở thành hàm số của biến x, và đồ thị của chúng là những đường sóng uốn lượn đều đặn.
Hàm số y = sin x có tập xác định là toàn bộ tập số thực R, tập giá trị là đoạn [−1; 1].
Nó là hàm số lẻ (đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ), tuần hoàn với chu kì 2π — nghĩa là đồ thị lặp lại chính nó sau mỗi đoạn dài 2π.
Trên mỗi khoảng (−π/2 + k2π; π/2 + k2π), hàm sin đồng biến; trên mỗi khoảng (π/2 + k2π; 3π/2 + k2π), hàm sin nghịch biến.
Giá trị lớn nhất của sin x là 1, đạt được tại x = π/2 + k2π; giá trị nhỏ nhất là −1, đạt được tại x = −π/2 + k2π (k là số nguyên).
Hàm số y = cos x cũng có tập xác định R và tập giá trị [−1; 1], tuần hoàn với chu kì 2π, nhưng nó là hàm số chẵn — đồ thị đối xứng qua trục Oy.
Đồ thị hàm cos chính là đồ thị hàm sin dịch sang trái một đoạn π/2, vì cos x = sin(x + π/2).
Hàm số y = tan x có tập xác định là R trừ đi các điểm π/2 + kπ (vì tại đó cos x = 0, tan không xác định), tập giá trị là toàn bộ R.
Nó là hàm số lẻ, tuần hoàn với chu kì π — ngắn bằng một nửa chu kì của sin và cos — và đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.
Hàm số y = cot x có tập xác định là R trừ đi các điểm kπ, tập giá trị là R, là hàm số lẻ, tuần hoàn với chu kì π và nghịch biến trên từng khoảng xác định.
Một ứng dụng rất hay gặp trong đề thi: tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức dạng y = a × sin x + b × cos x.
Bạn viết lại y = √(a² + b²) × sin(x + φ), trong đó cos φ = a : √(a² + b²) và sin φ = b : √(a² + b²).
Vì sin(x + φ) chạy trong đoạn [−1; 1] nên giá trị lớn nhất của y là √(a² + b²) và giá trị nhỏ nhất là −√(a² + b²).
Ví dụ: y = 3 sin x + 4 cos x có giá trị lớn nhất bằng √(9 + 16) = 5 và giá trị nhỏ nhất bằng −5 (xem Ví dụ 5 ở mục 7).

6. Phương trình lượng giác cơ bản — ba cánh cửa

Mọi phương trình lượng giác, dù phức tạp đến đâu, cuối cùng cũng được đưa về ba dạng cơ bản sau — ba cánh cửa mà bạn phải mở được bằng thuộc lòng.
Cánh cửa thứ nhất: sin x = a.
Nếu |a| > 1 thì phương trình vô nghiệm, vì sin x không bao giờ vượt khỏi đoạn [−1; 1].
Nếu |a| ≤ 1 thì nghiệm là x = arcsin a + k2π hoặc x = π − arcsin a + k2π, với k là số nguyên.
Ba trường hợp đặc biệt hay gặp: sin x = 0 thì x = kπ; sin x = 1 thì x = π/2 + k2π; sin x = −1 thì x = −π/2 + k2π.
Cánh cửa thứ hai: cos x = a.
Nếu |a| > 1 thì phương trình vô nghiệm.
Nếu |a| ≤ 1 thì nghiệm là x = ±arccos a + k2π, với k là số nguyên.
Ba trường hợp đặc biệt: cos x = 0 thì x = π/2 + kπ; cos x = 1 thì x = k2π; cos x = −1 thì x = π + k2π.
Cánh cửa thứ ba: tan x = a.
Phương trình này luôn có nghiệm với mọi số thực a, vì tập giá trị của tan là toàn bộ R: x = arctan a + kπ, với k là số nguyên.
Tương tự, cot x = a luôn có nghiệm x = arccot a + kπ với mọi số thực a.
Chú ý quan trọng: họ nghiệm của sin và cos dùng chu kì 2π, còn họ nghiệm của tan và cot dùng chu kì π — nhầm hai chu kì này là một trong những lỗi mất điểm nhiều nhất (xem mục 8).
Khi gặp phương trình dạng sin(2x − π/3) = 1/2 hay cos(3x + π/4) = −√2/2, bạn chỉ cần coi cả biểu thức trong ngoặc là "x mới", giải như phương trình cơ bản, rồi mới giải tiếp để tìm x (xem Ví dụ 4 ở mục 7).

7. Xưởng thực hành — sáu ví dụ làm từng bước

Ví dụ 1. Tính sin 15 độ mà không dùng máy tính.
Bước 1: Viết 15 độ thành hiệu của hai góc đặc biệt: 15 độ = 45 độ − 30 độ.
Bước 2: Áp dụng công thức sin của một hiệu: sin(45 độ − 30 độ) = sin 45 độ × cos 30 độ − cos 45 độ × sin 30 độ.
Bước 3: Thay giá trị từ bảng đặc biệt: sin 45 độ = √2 : 2, cos 30 độ = √3 : 2, cos 45 độ = √2 : 2, sin 30 độ = 1 : 2.
Bước 4: Tính: (√2 : 2) × (√3 : 2) − (√2 : 2) × (1 : 2) = √6 : 4 − √2 : 4 = (√6 − √2) : 4.
Đáp số: sin 15 độ = (√6 − √2) : 4, xấp xỉ 0,2588.
Kiểm tra lại: sin 15 độ ≈ (2,449 − 1,414) : 4 = 1,035 : 4 ≈ 0,2588 — khớp với giá trị bấm máy.
Muốn kiểm tra nhanh các phép tính căn thức như thế này, bạn có thể dùng máy tính Casio online để đối chiếu kết quả tính tay của mình.

Ví dụ 2. Cho sin a = 3/5 và góc a thuộc góc phần tư thứ hai (π/2 < a < π). Tính cos a, tan a, sin 2a và cos 2a.
Bước 1: Tìm cos a từ hệ thức cơ bản: cos²a = 1 − sin²a = 1 − 9/25 = 16/25, suy ra cos a = 4/5 hoặc cos a = −4/5.
Bước 2: Vì a thuộc góc phần tư thứ hai nên cos a âm — chọn cos a = −4/5.
Bước 3: tan a = sin a : cos a = (3/5) : (−4/5) = −3/4.
Bước 4: Áp dụng công thức nhân đôi: sin 2a = 2 × sin a × cos a = 2 × (3/5) × (−4/5) = −24/25.
Bước 5: cos 2a = 1 − 2sin²a = 1 − 2 × (9/25) = 1 − 18/25 = 7/25.
Đáp số: cos a = −4/5, tan a = −3/4, sin 2a = −24/25, cos 2a = 7/25.
Kiểm tra lại: cos 2a còn bằng cos²a − sin²a = 16/25 − 9/25 = 7/25 — hai cách tính khớp nhau.

Ví dụ 3. Cho tan x = 2. Tính giá trị của biểu thức A = (sin x + cos x) : (sin x − cos x).
Bước 1: Chia cả tử số và mẫu số cho cos x (cos x ≠ 0 vì tan x có nghĩa).
Bước 2: Tử số thành tan x + 1, mẫu số thành tan x − 1, nên A = (tan x + 1) : (tan x − 1).
Bước 3: Thay tan x = 2: A = (2 + 1) : (2 − 1) = 3 : 1 = 3.
Đáp số: A = 3.
Kiểm tra lại bằng cách chọn một góc cụ thể: tan x = 2 thì sin x = 2 : √5 và cos x = 1 : √5 (góc phần tư thứ nhất), thay vào A = (2 : √5 + 1 : √5) : (2 : √5 − 1 : √5) = (3 : √5) : (1 : √5) = 3 — khớp với kết quả.
Đây là dạng bài "chia tử mẫu cho cos" rất hay gặp: mỗi khi biểu thức chỉ chứa sin và cos cùng bậc, bạn chia cho cos (hoặc cos²) để đưa về tan.

Ví dụ 4. Giải phương trình sin(2x − π/3) = 1/2.
Bước 1: Coi 2x − π/3 là "góc mới", giải phương trình sin(u) = 1/2 với u = 2x − π/3.
Bước 2: sin u = 1/2 khi u = π/6 + k2π hoặc u = π − π/6 + k2π = 5π/6 + k2π, với k là số nguyên.
Bước 3: Trường hợp thứ nhất: 2x − π/3 = π/6 + k2π, suy ra 2x = π/2 + k2π, vậy x = π/4 + kπ.
Bước 4: Trường hợp thứ hai: 2x − π/3 = 5π/6 + k2π, suy ra 2x = 7π/6 + k2π, vậy x = 7π/12 + kπ.
Đáp số: x = π/4 + kπ hoặc x = 7π/12 + kπ, với k là số nguyên.
Kiểm tra lại với k = 0: x = π/4 thì 2x − π/3 = π/2 − π/3 = π/6, sin(π/6) = 1/2 — đúng.
Với x = 7π/12 thì 2x − π/3 = 7π/6 − π/3 = 5π/6, sin(5π/6) = 1/2 — đúng.

Ví dụ 5. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 3 sin x + 4 cos x.
Bước 1: Viết lại y dưới dạng một hàm sin duy nhất: y = 5 × sin(x + φ), trong đó cos φ = 3 : 5 và sin φ = 4 : 5.
Bước 2: Vì sin(x + φ) luôn chạy trong đoạn [−1; 1] nên y chạy trong đoạn [−5; 5].
Bước 3: Giá trị lớn nhất của y là 5, đạt được khi sin(x + φ) = 1, tức là khi sin x = 3/5 và cos x = 4/5.
Bước 4: Giá trị nhỏ nhất của y là −5, đạt được khi sin(x + φ) = −1, tức là khi sin x = −3/5 và cos x = −4/5.
Đáp số: giá trị lớn nhất bằng 5, giá trị nhỏ nhất bằng −5.
Kiểm tra lại bằng bất đẳng thức: y² = (3 sin x + 4 cos x)² ≤ (3² + 4²) × (sin²x + cos²x) = 25 × 1 = 25, nên |y| ≤ 5 — khớp với kết quả.
Quy tắc chung cần nhớ: giá trị lớn nhất của a sin x + b cos x là √(a² + b²), giá trị nhỏ nhất là −√(a² + b²).

Ví dụ 6. Một cột cờ đứng thẳng trên mặt đất phẳng. Một học sinh đứng cách chân cột 20 m, dùng máy đo góc ngắm lên đỉnh cột và đo được góc 35 độ so với phương ngang. Mắt của học sinh cao 1,6 m so với mặt đất. Tính chiều cao của cột cờ (làm tròn đến một chữ số thập phân).
Bước 1: Vẽ tam giác vuông với cạnh góc vuông nằm ngang dài 20 m, góc nhọn tại mắt học sinh bằng 35 độ, cạnh góc vuông đứng là phần cột cờ cao hơn mắt học sinh — gọi là h.
Bước 2: tan 35 độ = h : 20, suy ra h = 20 × tan 35 độ.
Bước 3: tan 35 độ ≈ 0,7002, nên h ≈ 20 × 0,7002 = 14,004 m.
Bước 4: Cộng thêm chiều cao từ mặt đất tới mắt: chiều cao cột cờ ≈ 14,004 + 1,6 = 15,604 m.
Đáp số: cột cờ cao khoảng 15,6 m.
Kiểm tra lại: nếu quên cộng 1,6 m thì đáp án chỉ còn 14,0 m — thiếu đúng chiều cao của mắt người đo, một lỗi rất hay gặp trong bài toán thực tế.

8. Sáu cái bẫy hay mất điểm oan

Bẫy 1: Nhầm dấu trong công thức cộng của cos.
Nhiều bạn viết cos(a + b) = cos a × cos b + sin a × sin b — sai dấu.
Đúng là cos(a + b) = cos a × cos b − sin a × sin b, còn cos(a − b) mới dùng dấu cộng.
Cách tránh: nhớ câu "cos thì cos cos sin sin dấu trừ" — dấu trừ đi với dấu cộng trong ngoặc.

Bẫy 2: Viết sin 2a = 2 sin a.
Nhiều bạn nhớ "nhân đôi" rồi nhân đôi mỗi sin một cách máy móc, quên mất cos a.
Đúng là sin 2a = 2 × sin a × cos a — phải có cả sin và cos.
Cách tránh: mỗi lần viết sin 2a, bạn viết đủ ba thành phần "2, sin, cos" rồi mới tính tiếp.

Bẫy 3: Quên điều kiện xác định của tan và cot.
Tan x chỉ có nghĩa khi cos x ≠ 0, tức là x ≠ π/2 + kπ; cot x chỉ có nghĩa khi sin x ≠ 0, tức là x ≠ kπ.
Nhiều bạn giải phương trình chứa tan rồi nhận cả nghiệm làm mẫu số bằng 0.
Cách tránh: trước khi giải phương trình có tan hoặc cot, bạn viết điều kiện xác định ra trước, rồi đối chiếu nghiệm với điều kiện đó ở bước cuối.

Bẫy 4: Lấy nghiệm phương trình lượng giác thiếu họ nghiệm.
Nhiều bạn giải sin x = 1/2 rồi chỉ viết x = π/6 mà quên họ x = 5π/6 + k2π, hoặc viết chu kì kπ thay vì k2π cho sin và cos.
Cách tránh: nghiệm của sin và cos luôn có hai họ với chu kì 2π, nghiệm của tan và cot có một họ với chu kì π — bạn kiểm tra đủ họ nghiệm trước khi khoanh đáp án.

Bẫy 5: Nhầm lẫn độ và radian.
Nhiều bạn bấm máy ở chế độ độ trong khi đề cho góc bằng radian (hoặc ngược lại), khiến mọi giá trị đều sai.
Cách tránh: đọc kĩ đề — góc viết dạng π/6, π/4 là radian; góc viết dạng 30 độ, 45 độ là độ — và chỉnh chế độ máy tính trước khi bấm.

Bẫy 6: Áp dụng sin²x + cos²x = 1 mà không xét dấu.
Từ sin a = 3/5, nhiều bạn kết luận cos a = 4/5 mà quên rằng cos a còn có thể bằng −4/5.
Dấu của cos (hay sin) phụ thuộc vào góc phần tư chứa góc a — đề bài luôn cho thêm dữ kiện về khoảng của góc để bạn chọn dấu.
Cách tránh: mỗi lần rút căn bậc hai để tìm sin hoặc cos, bạn dừng lại một nhịp và hỏi "góc này ở góc phần tư nào, dấu gì?" rồi mới chọn dấu.

9. Bài tập tự luyện — làm rồi mới xem đáp án nhé

Câu 1. Giá trị của sin 75 độ bằng bao nhiêu?
A. (√6 − √2) : 4
B. (√6 + √2) : 4
C. √3 : 2
D. 1 : 2
→ Đáp án: B. Giải thích: Viết 75 độ = 45 độ + 30 độ rồi áp dụng công thức sin của một tổng: sin 75 độ = sin 45 độ × cos 30 độ + cos 45 độ × sin 30 độ = (√2 : 2) × (√3 : 2) + (√2 : 2) × (1 : 2) = √6 : 4 + √2 : 4 = (√6 + √2) : 4, xấp xỉ 0,9659. Đáp án A sai vì (√6 − √2) : 4 là sin 15 độ (hiệu chứ không phải tổng). Đáp án C sai vì √3 : 2 là sin 60 độ. Đáp án D sai vì 1 : 2 là sin 30 độ.

Câu 2. Cho cos a = −12/13 và góc a thỏa mãn π/2 < a < π. Giá trị của sin a bằng bao nhiêu?
A. 5/13
B. −5/13
C. 12/13
D. −12/13
→ Đáp án: A. Giải thích: Từ hệ thức cơ bản sin²a = 1 − cos²a = 1 − 144/169 = 25/169, suy ra sin a = 5/13 hoặc sin a = −5/13. Vì a thuộc góc phần tư thứ hai (π/2 < a < π) nên sin a dương — chọn sin a = 5/13. Đáp án B sai vì lấy nhầm dấu âm (sin chỉ âm ở góc phần tư thứ ba và thứ tư). Đáp án C và D sai vì 12/13 là giá trị tuyệt đối của cos a, không phải của sin a.

Câu 3. Phương trình cos x = √3 : 2 có bao nhiêu nghiệm trong đoạn [0; 2π]?
A. 1 nghiệm: x = π/6
B. 1 nghiệm: x = π/3
C. 2 nghiệm: x = π/6 và x = 11π/6
D. 2 nghiệm: x = π/6 và x = 5π/6
→ Đáp án: C. Giải thích: cos x = √3 : 2 khi x = ±π/6 + k2π. Trong đoạn [0; 2π], họ x = π/6 + k2π cho nghiệm x = π/6, họ x = −π/6 + k2π cho nghiệm x = 11π/6 (k = 1). Vậy có 2 nghiệm: π/6 và 11π/6. Đáp án A sai vì bỏ sót họ nghiệm âm. Đáp án B sai vì cos(π/3) = 1/2, không phải √3 : 2. Đáp án D sai vì cos(5π/6) = −√3 : 2 — đó là nghiệm của cos x = −√3 : 2, không phải của phương trình đã cho.

Câu 4. Rút gọn biểu thức P = sin²x + cos²x + tan x × cot x (với sin x ≠ 0 và cos x ≠ 0).
A. 0
B. 1
C. 2
D. tan²x
→ Đáp án: C. Giải thích: Theo hệ thức cơ bản, sin²x + cos²x = 1. Theo định nghĩa, tan x × cot x = (sin x : cos x) × (cos x : sin x) = 1. Vậy P = 1 + 1 = 2. Đáp án A sai vì không có số hạng nào triệt tiêu nhau. Đáp án B sai vì chỉ tính riêng sin²x + cos²x mà quên cộng thêm tan x × cot x. Đáp án D sai vì tan²x chỉ xuất hiện khi biến đổi 1 + tan²x, không liên quan tới biểu thức này.

Câu 5. Giá trị lớn nhất của hàm số y = 2 sin x − 2√3 cos x bằng bao nhiêu?
A. 2
B. 2√3
C. 4
D. 2√2
→ Đáp án: C. Giải thích: Áp dụng quy tắc: giá trị lớn nhất của a sin x + b cos x là √(a² + b²). Ở đây a = 2, b = −2√3 nên giá trị lớn nhất bằng √(2² + (−2√3)²) = √(4 + 12) = √16 = 4. Đáp án A sai vì 2 chỉ là hệ số của sin x, chưa tính phần cos. Đáp án B sai vì 2√3 là giá trị tuyệt đối của hệ số cos, không phải giá trị lớn nhất của cả biểu thức. Đáp án D sai vì 2√2 là √(a² + b²) khi a = b = 2, không khớp với đề bài.

10. Câu hỏi thường gặp về lượng giác

Vì sao sin²x + cos²x = 1 luôn đúng với mọi góc x? Vì trên đường tròn đơn vị, điểm M có hoành độ cos x và tung độ sin x luôn cách gốc tọa độ một khoảng bằng bán kính là 1. Theo định lí Pythagore, cos²x + sin²x = 1² = 1. Hệ thức này không phải một quy ước mà là hệ quả trực tiếp của định nghĩa sin, cos trên đường tròn đơn vị.

Khi nào dùng công thức cộng, khi nào dùng công thức nhân đôi? Bạn dùng công thức cộng khi góc trong bài là tổng hoặc hiệu của hai góc khác nhau, ví dụ sin 75 độ = sin(45 độ + 30 độ). Bạn dùng công thức nhân đôi khi góc cần tính gấp đôi góc đã biết, ví dụ tính sin 2a khi biết sin a và cos a. Nhân đôi thực ra chỉ là trường hợp riêng của công thức cộng khi hai góc bằng nhau.

Đổi độ sang radian như thế nào cho nhanh? Bạn chỉ cần nhớ 180 độ = π radian. Muốn đổi độ sang radian, bạn nhân số độ với π rồi chia cho 180; muốn đổi radian sang độ, bạn nhân số radian với 180 rồi chia cho π. Ví dụ: 120 độ = 120 × π : 180 = 2π : 3; π : 4 = 45 độ.

Vì sao tan x không xác định tại x = π/2 + kπ? Vì tan x = sin x : cos x, mà tại x = π/2 + kπ thì cos x = 0 nên phép chia không thực hiện được. Trên đồ thị, tại các điểm này hàm tan có đường tiệm cận đứng — đồ thị "bắn" lên vô cùng khi x tiến tới π/2 từ bên trái và "rơi" xuống âm vô cùng khi x tiến tới π/2 từ bên phải.

Học thuộc bảng giá trị lượng giác đặc biệt bằng cách nào? Bạn chỉ cần nhớ dãy sin "căn của 0, 1, 2, 3, 4 chia cho 2" ứng với các góc 0 độ, 30 độ, 45 độ, 60 độ, 90 độ. Cos là dãy đó đọc ngược lại. Tan tính bằng sin chia cos. Ngoài ra bạn có thể nhớ bằng bàn tay: xòe bàn tay trái, gập ngón ứng với góc cần nhớ, số ngón còn lại cho biết căn bậc hai cần lấy — mẹo này nhiều thầy cô vẫn dạy vì nó trực quan và khó quên.

Kết luận: lượng giác là ngôn ngữ của vòng quay

Đi hết chuyên đề này, bạn đã thấy lượng giác không phải một bảng công thức để học vẹt.
Mọi thứ bắt đầu từ một đường tròn bán kính 1: sin là tung độ, cos là hoành độ, tan và cot sinh ra từ hai tỉ số đầu.
Từ đường tròn ấy, công thức cộng sinh ra công thức nhân đôi, công thức nhân đôi sinh ra công thức hạ bậc, công thức cộng sinh ra biến đổi tích thành tổng và tổng thành tích.
Hàm số lượng giác biến những tỉ số ấy thành sóng, và phương trình lượng giác là cách bạn hỏi "sóng này bằng bao nhiêu tại điểm nào".
Đu quay quay tròn, bánh xe lăn, sóng biển lên xuống, dòng điện xoay chiều đổi chiều — tất cả đều nói bằng ngôn ngữ sin và cos.
Chỉ cần nhớ tấm bản đồ đường tròn đơn vị và bốn nhóm công cụ biến đổi, bạn có thể tính góc, tính cạnh, giải phương trình và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hầu hết các bài tập lượng giác trong chương trình phổ thông.

Muốn đi xa hơn, hãy nối chuyên đề này với các công thức biến đổi sẽ dùng ngay trong các bài tập: công thức nhân đôi lượng giác, công thức cộng lượng giác và công thức biến đổi tổng thành tích.
Làm lại 5 câu tự luyện cho đến khi đúng cả 5 câu không cần nhìn đáp án, rồi thử tự tính sin 15 độ, cos 105 độ và giải phương trình cos 2x = 1/2 — làm được việc đó là bạn đã thực sự làm chủ chuyên đề lượng giác.

• Đường tròn đơn vị: sin là tung độ, cos là hoành độ, dấu theo góc phần tư
• Bảng giá trị đặc biệt: sin là "căn 0, 1, 2, 3, 4 chia 2", cos đọc ngược lại
• Bốn nhóm công thức: cộng, nhân đôi và hạ bậc, tích thành tổng, tổng thành tích
• Cung liên kết: cos đối, sin bù, phụ chéo, khác π tan
• Hàm số lượng giác: tập xác định, tính chẵn lẻ, tuần hoàn, giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
• Phương trình lượng giác cơ bản: sin x = a, cos x = a, tan x = a
• Ví dụ giải chi tiết, lỗi sai thường gặp, bài tập tự luyện và FAQ

Làm được như vậy, chuyên đề lượng giác sẽ thực sự là của bạn — và lần sau nhìn một vòng đu quay đang quay, bạn sẽ không chỉ thấy nó quay, mà thấy cả một đường tròn đơn vị đang vận hành.