Buổi sáng, chú Tư — người thợ làm mái nhà trong xóm — đứng dưới sân, ngước nhìn lên mái nhà đang lợp dở. Mái nhà nghiêng một góc 45° so với mặt ngang, rồi ở phần chóp, mái lại gập thêm một góc 30° nữa để tạo thành phần mái phụ che hiên. Chú cần biết chiều cao của điểm cao nhất trên mái để cắt đúng độ dài của cây xà gồ, mà muốn tính được chiều cao đó, chú phải biết sin của góc 75° — vì 75° chính là tổng của 45° và 30°.
Hay lấy một ví dụ khác gần gũi hơn: bạn đứng cách chân một tòa tháp 20 mét, ngước mắt lên nhìn đỉnh tháp. Tầm mắt của bạn tạo với mặt đất một góc 30°, rồi bạn ngẩng thêm 45° nữa mới nhìn thấy đúng đỉnh tháp. Góc nhìn tổng cộng là 75°, và để tính chiều cao của tháp, bạn lại cần sin 75° và cos 75°.
Vấn đề là: trong bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt mà chúng ta đã học, chỉ có các góc 0°, 30°, 45°, 60°, 90°. Không có sẵn sin 75°, cũng chẳng có cos 15° hay tan 105°. Vậy làm sao tính được những giá trị này mà không cần bấm máy tính? Câu trả lời nằm ở công thức cộng lượng giác — một trong những công thức quan trọng và dùng nhiều nhất của chương trình Toán lớp 11.
Công thức cộng lượng giác cho phép chúng ta tính sin, cos, tan của một góc là tổng hoặc hiệu của hai góc đã biết. Chỉ cần nhớ được ba công thức trong bài này, bạn sẽ tính được sin 75°, cos 15°, tan 105° và rất nhiều góc khác chỉ bằng giấy bút, đồng thời hiểu sâu hơn vì sao các giá trị lượng giác lại liên hệ với nhau chặt chẽ đến vậy.
Công thức cộng lượng giác là gì? Vì sao phải học?
Trong Toán lớp 11, chúng ta đã biết giá trị sin, cos, tan của các góc đặc biệt. Bạn còn nhớ chứ? sin 30° = 1/2, sin 45° = √2/2, sin 60° = √3/2, cos 30° = √3/2, cos 45° = √2/2, cos 60° = 1/2, tan 30° = 1/√3, tan 45° = 1, tan 60° = √3. Những con số này rất đẹp, rất gọn, và chúng ta dùng chúng hằng ngày trong bài tập.
Nhưng đời sống và bài tập không chỉ dừng ở các góc đặc biệt. Góc mái nhà của chú Tư là 75°, góc nhìn lên đỉnh tháp cũng là 75°, góc nghiêng của một con dốc có thể là 15°, góc giữa hai thanh gỗ trong một khung cửa có thể là 105°. Những góc này đều không nằm trong bảng góc đặc biệt. Nếu cứ mỗi lần gặp một góc lạ lại phải bấm máy tính thì vừa chậm, vừa không hiểu bản chất, mà trong nhiều bài kiểm tra, máy tính còn không được phép dùng cho phần tính giá trị chính xác.
Đó chính là lúc công thức cộng lượng giác phát huy tác dụng. Ý tưởng của nó rất đơn giản: một góc lạ như 75° có thể viết thành tổng của hai góc quen thuộc, 75° = 45° + 30°. Một góc 15° có thể viết thành hiệu của hai góc quen thuộc, 15° = 45° − 30°. Góc 105° thì bằng 60° + 45°. Một khi đã tách được góc lạ thành tổng hoặc hiệu của hai góc đặc biệt, ta chỉ cần áp dụng công thức cộng là tính ra kết quả chính xác, dưới dạng căn thức gọn đẹp như √6/4 + √2/4.
Không chỉ vậy, công thức cộng lượng giác còn là nền tảng của rất nhiều công thức khác mà bạn sẽ gặp ngay sau đó trong chương trình lớp 11: công thức nhân đôi, công thức hạ bậc, công thức biến đổi tổng thành tích. Tất cả những công thức đó đều suy ra từ ba công thức cộng. Nắm chắc ba công thức này, bạn đã nắm được chìa khóa của cả một chương lượng giác.
Công thức cộng lượng giác của sin
Công thức cộng lượng giác của sin được viết như sau:
sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b
Trong đó, a và b là hai góc bất kỳ, đo bằng độ hoặc bằng radian đều được. Ký hiệu sin a có nghĩa là sin của góc a, cos b có nghĩa là cos của góc b. Dấu ± trong công thức tổng quát sin(a ± b) = sin a cos b ± cos a sin b có nghĩa là: khi cộng hai góc (a + b) thì ta lấy dấu cộng ở giữa, khi trừ hai góc (a − b) thì ta lấy dấu trừ ở giữa. Nói cách khác, dấu ở vế trái và dấu ở vế phải luôn giống nhau — cộng thì cộng, trừ thì trừ.
Cách nhớ công thức sin rất dễ: sin của tổng bằng sin góc này nhân cos góc kia, cộng với cos góc này nhân sin góc kia. Bạn cứ đọc công thức thành một câu: "sin a cos b cộng cos a sin b". Hai số hạng đều là tích của một sin và một cos, chỉ khác nhau ở chỗ góc nào đi với sin, góc nào đi với cos. Không có phép cộng sin a + sin b nào ở đây cả — đó là lỗi mà rất nhiều bạn mắc phải khi mới học, chúng ta sẽ nói kỹ ở phần lỗi sai thường gặp.
Một điểm cần lưu ý: công thức sin không có điều kiện gì đặc biệt. Hai góc a và b có thể là bất kỳ giá trị nào, công thức vẫn đúng. Bạn có thể kiểm chứng bằng máy tính bỏ túi: bấm sin 75° được khoảng 0,966, và lát nữa chúng ta sẽ tính tay ra đúng con số đó.
Công thức cộng lượng giác của cos
Công thức cộng lượng giác của cos được viết như sau:
cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b
cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b
Trong công thức tổng quát cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sin a sin b, ký hiệu ∓ có nghĩa là dấu ngược lại với dấu ±. Cụ thể: khi cộng hai góc (a + b) thì ta lấy dấu trừ ở giữa, khi trừ hai góc (a − b) thì ta lấy dấu cộng ở giữa. Đây chính là điểm khác biệt lớn nhất giữa công thức cos và công thức sin, và cũng là chỗ dễ nhầm nhất trong cả bài.
Hãy nhớ kỹ bằng một câu mẹo: "sin giữ dấu, cos đổi dấu". Với sin, cộng thì cộng, trừ thì trừ, dấu không đổi. Với cos thì ngược lại: cộng thành trừ, trừ thành cộng. Nếu bạn chỉ nhớ được một điều duy nhất trong bài này thì hãy nhớ câu đó, vì nó sẽ cứu bạn khỏi lỗi sai phổ biến nhất khi làm bài kiểm tra.
Vì sao cos lại đổi dấu? Về mặt hình học, điều này liên quan đến cách các góc quay trên đường tròn đơn vị: cos đo theo trục ngang, nên khi hai góc cộng lại, hình chiếu ngang của chúng trừ đi nhau một phần. Bạn chưa cần hiểu sâu phần chứng minh hình học ở đây; chỉ cần nhớ chắc quy tắc đổi dấu và áp dụng đúng là đủ để làm tốt mọi bài tập lớp 11.
Công thức cos cũng không có điều kiện gì đặc biệt, đúng với mọi góc a và b. Một hệ quả thú vị: nếu bạn đặt b = a vào công thức cos(a + b), bạn sẽ được cos 2a = cos² a − sin² a — đó chính là công thức nhân đôi mà chúng ta sẽ học ngay sau bài này. Mọi công thức đều bắt nguồn từ đây.
Công thức cộng lượng giác của tan
Công thức cộng lượng giác của tan được viết như sau:
tan(a + b) = (tan a + tan b) / (1 − tan a tan b)
tan(a − b) = (tan a − tan b) / (1 + tan a tan b)
Trong công thức tổng quát tan(a ± b) = (tan a ± tan b) / (1 ∓ tan a tan b), dấu ± ở tử số và dấu ∓ ở mẫu số luôn ngược nhau: cộng ở tử thì trừ ở mẫu, trừ ở tử thì cộng ở mẫu. Quy tắc này giống như công thức cos: dấu ở mẫu đổi ngược so với dấu của phép cộng góc.
Muốn nhớ công thức tan, bạn hãy nghĩ như sau: tử số là tổng hoặc hiệu của hai tan, giống như công thức sin "giữ dấu". Mẫu số là 1 trừ hoặc cộng tích của hai tan, và dấu ở mẫu ngược với dấu ở tử. Đọc thành câu: "tan cộng bằng tổng hai tan chia cho một trừ tích hai tan". Nghe hơi dài, nhưng đọc vài lần là thuộc.
Khác với sin và cos, công thức tan có điều kiện đi kèm, và đây là điều bắt buộc phải nhớ:
- Điều kiện thứ nhất: cos a ≠ 0 và cos b ≠ 0, tức là tan a và tan b phải xác định. Nếu một trong hai góc bằng 90° (cộng thêm 180°), tan của góc đó không xác định, công thức không áp dụng được.
- Điều kiện thứ hai: cos(a ± b) ≠ 0, tức là tan(a ± b) phải xác định. Điều này tương đương với 1 ∓ tan a tan b ≠ 0, nghĩa là mẫu số trong công thức không được bằng 0.
- Điều kiện thứ ba: 1 − tan a tan b ≠ 0 khi tính tan(a + b), và 1 + tan a tan b ≠ 0 khi tính tan(a − b). Nếu mẫu số bằng 0 thì phép chia không thực hiện được.
Trong bài tập lớp 11, các góc thường là góc đặc biệt nên điều kiện này ít khi bị vi phạm, nhưng khi làm bài, bạn vẫn nên kiểm tra nhanh mẫu số khác 0 trước khi kết luận. Quên điều kiện của tan là một trong những lỗi bị trừ điểm oan uổng nhất.
Bảng tóm tắt công thức cộng lượng giác
Để tiện tra cứu nhanh trước giờ làm bài, dưới đây là bảng tóm tắt đầy đủ ba công thức cộng lượng giác. Bạn nên chép bảng này vào vở hoặc in ra dán ở góc học tập, đọc đi đọc lại vài lần cho đến khi thuộc lòng.
| Hàm số | Công thức cộng (a + b) | Công thức trừ (a − b) | Điều kiện |
|---|---|---|---|
| sin | sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b | sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b | Đúng với mọi góc a, b |
| cos | cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b | cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b | Đúng với mọi góc a, b |
| tan | tan(a + b) = (tan a + tan b) / (1 − tan a tan b) | tan(a − b) = (tan a − tan b) / (1 + tan a tan b) | cos a, cos b, cos(a ± b) đều khác 0; mẫu số khác 0 |
Nhìn vào bảng, bạn sẽ thấy rõ quy luật: sin giữ dấu, cos đổi dấu, tan thì tử giữ dấu còn mẫu đổi dấu. Cả ba công thức đều có chung một cấu trúc: vế trái là hàm của tổng hoặc hiệu hai góc, vế phải là biểu thức gồm các hàm của từng góc riêng lẻ. Đó chính là ý nghĩa sâu xa của công thức cộng: nó biến một góc phức tạp thành hai góc đơn giản mà chúng ta đã biết giá trị.
Ví dụ áp dụng công thức cộng lượng giác
Lý thuyết sẽ trở nên rõ ràng hơn rất nhiều khi đi vào ví dụ cụ thể. Dưới đây là các ví dụ được tính từng bước, bạn hãy lấy giấy bút ra và tính theo từng dòng để thấy mọi con số đều khớp nhau.
Ví dụ 1: Tính sin 75°
Đây chính là bài toán của chú Tư với mái nhà: góc 75° = 45° + 30°. Áp dụng công thức cộng của sin:
sin 75° = sin(45° + 30°) = sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30°
Thay các giá trị góc đặc biệt: sin 45° = √2/2, cos 30° = √3/2, cos 45° = √2/2, sin 30° = 1/2.
sin 75° = (√2/2) × (√3/2) + (√2/2) × (1/2) = √6/4 + √2/4 ≈ 0,966
Kết quả chính xác của sin 75° là (√6 + √2)/4, giá trị gần đúng là 0,966. Bạn có thể bấm máy tính kiểm tra: sin 75° cho ra 0,9659..., khớp hoàn toàn với kết quả tính tay. Nếu cần kiểm tra nhanh bằng máy, bạn có thể tham khảo hướng dẫn sử dụng máy tính Casio online để bấm sin 75° và đối chiếu với kết quả vừa tính.
Ví dụ 2: Tính cos 15°
Góc 15° = 45° − 30°. Áp dụng công thức trừ của cos — nhớ quy tắc cos đổi dấu, trừ thành cộng:
cos 15° = cos(45° − 30°) = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30°
Thay giá trị: cos 45° = √2/2, cos 30° = √3/2, sin 45° = √2/2, sin 30° = 1/2.
cos 15° = (√2/2) × (√3/2) + (√2/2) × (1/2) = √6/4 + √2/4 ≈ 0,966
Thật thú vị: cos 15° và sin 75° bằng nhau, đều bằng √6/4 + √2/4 ≈ 0,966. Điều này không phải trùng hợp, vì sin 75° = sin(90° − 15°) = cos 15°. Hai ví dụ này kiểm chứng lẫn nhau rất tốt.
Ví dụ 3: Tính sin 15°
Góc 15° = 45° − 30°. Áp dụng công thức trừ của sin — sin giữ dấu, trừ thì trừ:
sin 15° = sin(45° − 30°) = sin 45° cos 30° − cos 45° sin 30°
sin 15° = (√2/2) × (√3/2) − (√2/2) × (1/2) = √6/4 − √2/4 ≈ 0,259
Kết quả chính xác của sin 15° là (√6 − √2)/4, giá trị gần đúng là 0,259. So sánh với ví dụ 1, bạn thấy sin 75° và sin 15° chỉ khác nhau ở dấu cộng và dấu trừ ở giữa — đúng như quy tắc "sin giữ dấu".
Ví dụ 4: Tính cos 75°
Góc 75° = 45° + 30°. Áp dụng công thức cộng của cos — cos đổi dấu, cộng thành trừ:
cos 75° = cos(45° + 30°) = cos 45° cos 30° − sin 45° sin 30°
cos 75° = (√2/2) × (√3/2) − (√2/2) × (1/2) = √6/4 − √2/4 ≈ 0,259
Kết quả chính xác của cos 75° là (√6 − √2)/4, giá trị gần đúng là 0,259. Bạn có thấy cos 75° bằng sin 15° không? Lại là một cặp đối xứng: cos 75° = sin(90° − 75°) = sin 15°. Bốn ví dụ đầu tiên tạo thành hai cặp bằng nhau, giúp bạn ghi nhớ và tự kiểm tra kết quả rất hiệu quả.
Ví dụ 5: Tính tan 75°
Góc 75° = 45° + 30°. Áp dụng công thức cộng của tan, với tan 45° = 1 và tan 30° = 1/√3:
tan 75° = tan(45° + 30°) = (tan 45° + tan 30°) / (1 − tan 45° tan 30°)
tan 75° = (1 + 1/√3) / (1 − 1/√3) = (√3 + 1) / (√3 − 1)
Nhân cả tử và mẫu với (√3 + 1) để trục căn thức ở mẫu: (√3 + 1)² / (3 − 1) = (3 + 2√3 + 1) / 2 = 2 + √3 ≈ 3,732.
Vậy tan 75° = 2 + √3 ≈ 3,732. Kiểm tra bằng máy tính: tan 75° cho ra 3,7320..., khớp hoàn toàn. Lưu ý điều kiện: mẫu số 1 − tan 45° tan 30° = 1 − 1/√3 khác 0, và cos 75° khác 0, nên công thức áp dụng được.
Ví dụ 6: Tính sin 105° bằng cách tách góc khác
Góc 105° = 60° + 45°, một cách tách khác với các ví dụ trên, cho thấy công thức cộng dùng được với mọi cặp góc đặc biệt. Áp dụng công thức cộng của sin:
sin 105° = sin(60° + 45°) = sin 60° cos 45° + cos 60° sin 45°
Thay giá trị: sin 60° = √3/2, cos 45° = √2/2, cos 60° = 1/2, sin 45° = √2/2.
sin 105° = (√3/2) × (√2/2) + (1/2) × (√2/2) = √6/4 + √2/4 ≈ 0,966
Kết quả này bằng sin 75°, vì sin 105° = sin(180° − 105°) = sin 75°. Một lần nữa, các công thức tự kiểm chứng lẫn nhau — đó là dấu hiệu cho thấy bạn đã tính đúng.
Mẹo nhớ công thức cộng lượng giác nhanh và lâu
Ba công thức cộng trông có vẻ dài, nhưng chỉ cần vài mẹo nhỏ là bạn nhớ rất nhanh. Thứ nhất, học thuộc câu thần chú: "sin giữ dấu, cos đổi dấu, tan tử giữ mẫu đổi". Câu này tóm tắt toàn bộ quy tắc dấu của cả ba công thức trong một dòng duy nhất.
Thứ hai, hãy nhớ công thức sin trước, vì nó đơn giản nhất và không có điều kiện. Sau đó suy ra công thức cos bằng cách đổi dấu ở giữa, và suy ra công thức tan bằng cách lấy sin chia cos. Cách học theo hệ thống như vậy giúp bạn không phải học vẹt từng công thức riêng lẻ.
Thứ ba, luyện tập bằng cách tính đi tính lại các góc 15°, 75°, 105° cho đến khi bạn tính được trong đầu mà không cần nhìn công thức. Mỗi lần tính, bạn lại củng cố trí nhớ một lần. Sau khoảng mười lần luyện, ba công thức sẽ nằm gọn trong đầu bạn.
Thứ tư, hãy tự kiểm tra bằng máy tính sau mỗi lần tính tay. Khi kết quả tính tay khớp với số máy tính hiện ra, cảm giác chắc chắn đó sẽ giúp bạn tự tin hơn rất nhiều khi bước vào phòng kiểm tra. Bạn có thể dùng máy tính Casio online để kiểm tra nhanh sin 75°, cos 15° hay tan 75° bất cứ lúc nào.
Lỗi sai thường gặp khi dùng công thức cộng lượng giác
Qua nhiều năm chấm bài, thầy cô nhận thấy học sinh thường mắc ba lỗi sau đây khi áp dụng công thức cộng lượng giác. Biết trước các lỗi này, bạn sẽ tránh được những điểm mất oan.
Lỗi 1: Nhầm dấu trong công thức cos
Đây là lỗi phổ biến nhất. Nhiều bạn viết cos(a + b) = cos a cos b + sin a sin b, tức là lấy dấu cộng thay vì dấu trừ. Hoặc viết cos(a − b) = cos a cos b − sin a sin b, tức là lấy dấu trừ thay vì dấu cộng. Cả hai đều sai, vì công thức cos đổi dấu so với phép cộng góc. Hãy luôn nhắc mình: "cos đổi dấu" trước khi viết công thức.
Cách tránh lỗi: mỗi lần viết công thức cos, hãy dừng lại một giây và tự hỏi: "mình đang cộng hay trừ góc?" Nếu cộng góc thì lấy dấu trừ ở giữa, nếu trừ góc thì lấy dấu cộng ở giữa. Một giây dừng lại đó có thể cứu cả một bài toán.
Lỗi 2: Quên điều kiện xác định của tan
Nhiều bạn áp dụng công thức tan mà không kiểm tra mẫu số 1 ∓ tan a tan b có bằng 0 hay không, hoặc không kiểm tra cos của các góc có khác 0 hay không. Trong đa số bài tập lớp 11, điều kiện này được thỏa mãn, nhưng khi gặp góc 90° hoặc khi mẫu số vô tình bằng 0, đáp án sẽ sai hoàn toàn.
Cách tránh lỗi: trước khi dùng công thức tan, hãy kiểm tra nhanh ba điều: cos a khác 0, cos b khác 0, và mẫu số 1 ∓ tan a tan b khác 0. Chỉ cần một dòng kiểm tra trong bài làm là đủ, và thầy cô chấm bài cũng đánh giá cao sự cẩn thận này.
Lỗi 3: Cộng góc nhầm thành cộng giá trị sin, cos
Một số bạn nghĩ rằng sin(a + b) = sin a + sin b, hoặc cos(a + b) = cos a + cos b. Đây là sai lầm nghiêm trọng về bản chất. Ví dụ, sin 75° = sin(45° + 30°) ≈ 0,966, trong khi sin 45° + sin 30° = √2/2 + 1/2 ≈ 1,207 — lớn hơn 1, không thể là giá trị của sin. Chỉ cần kiểm tra nhanh bằng giới hạn của sin (không vượt quá 1) là bạn đã thấy ngay cách làm này sai.
Cách tránh lỗi: luôn nhớ rằng sin của tổng không bằng tổng các sin. Công thức đúng là tích chéo sin nhân cos rồi cộng lại, như đã trình bày ở phần công thức sin. Nếu bạn thấy đáp án sin vượt quá 1 hoặc nhỏ hơn −1 thì chắc chắn đã tính sai ở đâu đó.
Lỗi 4: Nhầm giá trị góc đặc biệt
Đôi khi lỗi không nằm ở công thức mà nằm ở giá trị thay vào: nhầm sin 30° với cos 30°, nhầm tan 30° = 1/√3 với tan 60° = √3, hoặc nhầm sin 45° = cos 45° = √2/2. Lỗi này khiến cả bài tính đúng công thức mà vẫn sai kết quả.
Cách tránh lỗi: trước khi thay số, hãy viết ra đầy đủ các giá trị góc đặc biệt cần dùng, kiểm tra lại một lượt rồi mới tính. Việc viết ra giấy tuy tốn thêm vài giây nhưng giúp bạn tránh được những sai sót đáng tiếc.
Bài tập tự luyện công thức cộng lượng giác
Hãy thử sức với 5 bài tập dưới đây. Mỗi bài đều có đáp án và giải thích ngắn để bạn tự kiểm tra. Bạn nên làm ra giấy trước rồi mới xem đáp án — làm như vậy hiệu quả gấp nhiều lần so với chỉ đọc đáp án.
Câu 1: Tính sin 15° bằng công thức cộng lượng giác.
→ Đáp án: sin 15° = sin(45° − 30°) = sin 45° cos 30° − cos 45° sin 30° = √6/4 − √2/4 ≈ 0,259.
Giải thích: Tách 15° thành 45° − 30°, áp dụng công thức trừ của sin, dấu giữ nguyên là dấu trừ, thay các giá trị góc đặc biệt rồi tính.
Câu 2: Tính cos 75° bằng công thức cộng lượng giác.
→ Đáp án: cos 75° = cos(45° + 30°) = cos 45° cos 30° − sin 45° sin 30° = √6/4 − √2/4 ≈ 0,259.
Giải thích: Tách 75° thành 45° + 30°, áp dụng công thức cộng của cos, nhớ cos đổi dấu nên lấy dấu trừ ở giữa, kết quả bằng sin 15°.
Câu 3: Tính sin 105° bằng công thức cộng lượng giác.
→ Đáp án: sin 105° = sin(60° + 45°) = sin 60° cos 45° + cos 60° sin 45° = √6/4 + √2/4 ≈ 0,966.
Giải thích: Tách 105° thành 60° + 45°, áp dụng công thức cộng của sin, dấu giữ nguyên là dấu cộng, kết quả bằng sin 75°.
Câu 4: Tính cos 105° bằng công thức cộng lượng giác.
→ Đáp án: cos 105° = cos(60° + 45°) = cos 60° cos 45° − sin 60° sin 45° = √2/4 − √6/4 ≈ −0,259.
Giải thích: Tách 105° thành 60° + 45°, áp dụng công thức cộng của cos, đổi dấu thành dấu trừ, kết quả là số âm vì 105° là góc tù, cos của góc tù luôn âm.
Câu 5: Tính tan 15° bằng công thức cộng lượng giác.
→ Đáp án: tan 15° = tan(45° − 30°) = (tan 45° − tan 30°) / (1 + tan 45° tan 30°) = (1 − 1/√3) / (1 + 1/√3) = (√3 − 1) / (√3 + 1) = 2 − √3 ≈ 0,268.
Giải thích: Tách 15° thành 45° − 30°, tử số lấy dấu trừ, mẫu số đổi dấu thành dấu cộng, trục căn thức ở mẫu được 2 − √3, kiểm tra mẫu số 1 + 1/√3 khác 0 nên công thức áp dụng được.
Nếu bạn làm đúng cả 5 câu, xin chúc mừng — bạn đã nắm vững công thức cộng lượng giác. Nếu còn câu nào sai, hãy quay lại phần ví dụ, đối chiếu từng bước tính và tìm xem mình sai ở dấu hay sai ở giá trị góc đặc biệt. Muốn luyện thêm nhiều dạng bài trắc nghiệm theo từng chủ đề, bạn có thể tham khảo ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Toán 11 theo chủ đề để rèn kỹ năng làm bài nhanh và chính xác hơn.
Câu hỏi thường gặp về công thức cộng lượng giác
Công thức cộng lượng giác dùng để làm gì?
→ Đáp án: Công thức cộng lượng giác dùng để tính sin, cos, tan của một góc là tổng hoặc hiệu của hai góc đã biết, ví dụ tính sin 75° từ sin 45° và sin 30°. Ngoài ra, nó còn là nền tảng để suy ra công thức nhân đôi, công thức hạ bậc và công thức biến đổi tổng thành tích trong chương trình Toán lớp 11.
Vì sao công thức cos lại đổi dấu còn công thức sin thì không?
→ Đáp án: Vì cos đo hình chiếu của góc lên trục ngang của đường tròn đơn vị, nên khi hai góc cộng lại, phần hình chiếu chung bị trừ đi, dẫn đến dấu trừ trong cos(a + b). Ngược lại, sin đo hình chiếu lên trục đứng nên giữ nguyên dấu. Bạn chỉ cần nhớ câu mẹo "sin giữ dấu, cos đổi dấu" là đủ để làm bài.
Có thể dùng công thức cộng lượng giác với góc đo bằng radian không?
→ Đáp án: Được. Công thức cộng lượng giác đúng với mọi góc, dù góc đó đo bằng độ hay bằng radian. Ví dụ sin(π/4 + π/6) tính hoàn toàn tương tự như sin(45° + 30°), chỉ cần đổi 45° thành π/4 và 30° thành π/6.
Khi nào thì không dùng được công thức cộng của tan?
→ Đáp án: Khi tan của một trong hai góc không xác định (cos a = 0 hoặc cos b = 0, ví dụ góc 90°), khi tan(a ± b) không xác định (cos(a ± b) = 0), hoặc khi mẫu số 1 ∓ tan a tan b bằng 0. Trong các trường hợp đó, bạn cần dùng công thức sin và cos rồi lấy sin chia cos để tính tan.
Làm sao để nhớ lâu ba công thức cộng lượng giác?
→ Đáp án: Học thuộc câu thần chú "sin giữ dấu, cos đổi dấu, tan tử giữ mẫu đổi", sau đó luyện tính các góc 15°, 75°, 105° nhiều lần cho đến khi tính được trong đầu. Kết hợp kiểm tra bằng máy tính sau mỗi lần tính tay, và làm thêm bài tập trong ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Toán 11 theo chủ đề để củng cố.
Kết luận
Trở lại với câu chuyện mái nhà của chú Tư: góc mái 75° tuy không có trong bảng góc đặc biệt, nhưng nhờ công thức cộng lượng giác, chú chỉ cần tách 75° thành 45° + 30° là tính được sin 75° = √6/4 + √2/4 ≈ 0,966, từ đó tính ra chiều cao của mái nhà và cắt xà gồ đúng kích thước. Một công thức toán học tưởng chừng khô khan lại giải quyết được một bài toán rất thực tế trong đời sống.
Trong bài này, chúng ta đã học ba công thức: sin(a ± b) = sin a cos b ± cos a sin b, cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sin a sin b, và tan(a ± b) = (tan a ± tan b) / (1 ∓ tan a tan b). Chúng ta đã tính được sin 75°, cos 15°, sin 15°, cos 75°, tan 75° và sin 105° với kết quả chính xác, đã điểm qua các lỗi sai thường gặp và luyện tập với 5 bài tập có đáp án chi tiết.
Điều quan trọng nhất cần mang theo sau bài học này là quy tắc dấu: sin giữ dấu, cos đổi dấu, tan tử giữ mẫu đổi. Nắm chắc quy tắc này, cộng với bảng giá trị các góc đặc biệt, bạn sẽ tính được giá trị lượng giác của rất nhiều góc mà không cần phụ thuộc vào máy tính. Và khi đã thành thạo công thức cộng, bạn sẽ thấy công thức nhân đôi hay công thức hạ bậc ở các bài sau trở nên dễ dàng hơn rất nhiều, vì tất cả đều bắt nguồn từ ba công thức hôm nay.
Hãy dành thời gian luyện lại các ví dụ và bài tập trong bài, tự tính thêm sin 15°, cos 75° hay tan 105° cho đến khi bạn làm được nhanh và đúng. Chúc bạn học tốt và đạt điểm cao trong các bài kiểm tra lượng giác sắp tới.