Công thức nhân đôi lượng giác: sin 2a, cos 2a, tan 2a đầy đủ

Trong một buổi kiểm tra 15 phút môn Toán lớp 11, Minh làm rất nhanh. Gặp câu tính sin 2a khi biết sin a, bạn viết ngay sin 2a = 2 sin a, thay số, khoanh đáp án, rồi chuyển sang câu tiếp theo mà không ngoái lại. Sang câu sau, bạn viết cos 2a = cos²a + sin²a, tính ra kết quả bằng 1, thấy "đẹp" quá nên càng tin mình đúng. Hết giờ, Minh nộp bài với tâm trạng nhẹ nhõm. Hôm trả bài, bạn ngỡ ngàng: hai câu đó đều sai, mất trọn điểm, trong khi cả hai đều là câu cho điểm — chỉ vì một dấu cộng, một thừa số bị bỏ quên. Câu chuyện của Minh không hiếm. Rất nhiều bạn học sinh mất điểm oan ở công thức nhân đôi lượng giác không phải vì không biết công thức, mà vì nhớ gần đúng: nhớ được một nửa, nhầm một dấu, quên một điều kiện.

Bài viết này sẽ giúp bạn nhớ đúng và nhớ chắc công thức nhân đôi lượng giác — ba công thức sin 2a, cos 2a, tan 2a — hiểu vì sao cos 2a lại có tới ba dạng, khi nào dùng dạng nào, điều kiện của tan 2a là gì, và cách tránh những lỗi sai mà Minh đã mắc phải. Chỉ cần đọc kỹ một lần, làm theo các ví dụ có lời giải từng bước và tự làm 5 bài tập cuối bài, bạn sẽ không bao giờ viết sin 2a = 2 sin a nữa.

Công thức nhân đôi lượng giác là gì?

Công thức nhân đôi lượng giác là nhóm công thức cho phép tính sin, cos, tan của góc gấp đôi — tức góc 2a — khi đã biết sin, cos, tan của góc a. Nói cách khác, nếu bạn biết góc a "làm được gì" thì công thức nhân đôi cho bạn biết góc 2a "làm được gì", mà không cần phải tính lại từ đầu. Đây là một trong những nhóm công thức lượng giác quan trọng nhất của chương trình Toán lớp 11, xuất hiện trong hầu hết các đề kiểm tra, đề thi học kì và đề thi tốt nghiệp.

Trước khi học thuộc, hãy hiểu công thức nhân đôi từ đâu mà ra. Nó không phải là công thức từ trên trời rơi xuống, mà là trường hợp đặc biệt của công thức cộng mà bạn đã học. Công thức cộng của sin là sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b. Nếu cho b = a, tức cộng một góc với chính nó, ta được sin(a + a) = sin a cos a + cos a sin a = 2 sin a cos a. Mà a + a chính là 2a, nên sin 2a = 2 sin a cos a. Tương tự, công thức cộng của cos là cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b. Cho b = a, ta được cos 2a = cos²a − sin²a. Công thức cộng của tan là tan(a + b) = (tan a + tan b) / (1 − tan a tan b). Cho b = a, ta được tan 2a = 2 tan a / (1 − tan²a). Hiểu được nguồn gốc này, bạn sẽ thấy công thức nhân đôi rất hợp lý, và quan trọng hơn, bạn sẽ nhớ được dấu trừ trong cos 2a — dấu trừ đó đến từ chính công thức cộng của cos, không phải do ai đó đặt ra cho khó nhớ.

Trong các công thức này, chữ a là một góc bất kì, có thể đo bằng độ hoặc bằng radian. Ký hiệu sin a, cos a, tan a là các giá trị lượng giác của góc a mà bạn đã quen từ lớp 10. Ký hiệu 2a nghĩa là góc gấp đôi góc a: nếu a = 30° thì 2a = 60°, nếu a = 45° thì 2a = 90°, nếu a = 20° thì 2a = 40°. Ký hiệu cos²a nghĩa là (cos a)², tức cos a nhân với chính nó, và sin²a nghĩa là (sin a)². Nhiều bạn nhầm cos²a với cos 2a — hai thứ này hoàn toàn khác nhau: cos²a là cos a rồi bình phương, còn cos 2a là cos của góc gấp đôi. Nhớ phân biệt rõ hai ký hiệu này, vì nhầm chúng là nhầm cả bài.

Công thức nhân đôi lượng giác của sin: sin 2a = 2 sin a cos a

Công thức đầu tiên, cũng là công thức dễ nhớ nhất trong nhóm công thức nhân đôi lượng giác, là công thức của sin:

sin 2a = 2 sin a cos a

Công thức này nói rằng sin của góc gấp đôi bằng hai lần tích của sin góc ban đầu với cos góc ban đầu. Hãy đọc thật chậm: sin 2a bằng 2 nhân sin a nhân cos a. Cả ba thừa số đều phải có mặt: số 2, sin a và cos a. Lỗi sai kinh điển mà Minh mắc phải trong câu chuyện mở đầu là viết sin 2a = 2 sin a, tức bỏ mất thừa số cos a. Bạn hãy tưởng tượng công thức này như một chiếc kiềng ba chân: thiếu một chân là đổ. Số 2 không thể thiếu, sin a không thể thiếu, cos a cũng không thể thiếu. Chỉ cần thiếu một trong ba, kết quả sai ngay.

Một cách nhớ khác: sin 2a "cần cả hai" — cần cả sin a và cos a. Nếu đề bài chỉ cho sin a, bạn phải tìm thêm cos a rồi mới tính được sin 2a. Ngược lại, nếu đề bài chỉ cho cos a, bạn phải tìm thêm sin a. Muốn tìm thừa số còn thiếu, bạn dùng hệ thức quen thuộc sin²a + cos²a = 1. Ví dụ, biết sin a = 3/5 và a là góc nhọn thì cos a là số dương, cos a = √(1 − sin²a) = √(1 − 9/25) = √(16/25) = 4/5. Khi đã có đủ sin a và cos a, việc còn lại chỉ là thay số vào công thức. Chú ý dấu của cos a: nếu a là góc nhọn thì cos a dương, nếu a là góc tù thì cos a âm, và dấu này ảnh hưởng trực tiếp tới dấu của sin 2a, nên đừng bao giờ lấy cos a mà không xem góc a thuộc khoảng nào.

Công thức sin 2a còn có một ứng dụng rất hay: nó giúp tính nhanh sin của các góc đặc biệt mà không cần máy tính. Ví dụ, sin 60° có thể tính từ sin 30° và cos 30° mà bạn đã thuộc lòng, thay vì phải nhớ riêng giá trị sin 60°. Phần ví dụ ở dưới sẽ làm rõ điều này. Ngoài ra, công thức sin 2a cũng là chìa khóa để biến đổi nhiều biểu thức lượng giác trong các bài rút gọn và chứng minh đẳng thức: khi thấy sin 2a trong đề, bạn có thể tách thành 2 sin a cos a, và khi thấy 2 sin a cos a, bạn có thể gộp lại thành sin 2a. Nhớ công thức theo cả hai chiều như vậy sẽ giúp bạn linh hoạt hơn rất nhiều khi làm bài.

Công thức nhân đôi lượng giác của cos: cos 2a có 3 dạng

Công thức của cos là công thức "đặc biệt" nhất trong nhóm công thức nhân đôi lượng giác, vì nó có tới ba dạng viết khác nhau:

cos 2a = cos²a − sin²a = 2cos²a − 1 = 1 − 2sin²a

Ba dạng này không phải là ba công thức khác nhau, mà là cùng một công thức được viết lại nhờ hệ thức sin²a + cos²a = 1. Dạng đầu tiên, cos 2a = cos²a − sin²a, là dạng gốc, suy trực tiếp từ công thức cộng như đã nói ở trên. Từ dạng gốc, thay sin²a = 1 − cos²a, ta được cos 2a = cos²a − (1 − cos²a) = 2cos²a − 1, đó là dạng thứ hai. Thay cos²a = 1 − sin²a, ta được cos 2a = (1 − sin²a) − sin²a = 1 − 2sin²a, đó là dạng thứ ba. Cả ba dạng đều đúng với mọi góc a, bạn dùng dạng nào cũng ra cùng một kết quả, miễn là tính đúng.

Vậy khi nào dùng dạng nào? Đây là câu hỏi mà nhiều bạn lúng túng nhất, và cũng là chỗ dễ mất điểm nhất. Quy tắc rất đơn giản: dùng dạng nào mà đề bài đã cho đủ dữ kiện. Nếu đề bài chỉ cho sin a, hãy dùng dạng 1 − 2sin²a, vì dạng này chỉ cần sin a, không cần cos a. Nếu đề bài chỉ cho cos a, hãy dùng dạng 2cos²a − 1, vì dạng này chỉ cần cos a. Nếu đề bài cho cả sin a và cos a, hoặc cho bạn tự chọn, hãy dùng dạng gốc cos²a − sin²a. Nói ngắn gọn: đề cho sin thì dùng dạng có sin, đề cho cos thì dùng dạng có cos, đề cho cả hai thì dùng dạng nào cũng được. Nắm được quy tắc này, bạn sẽ không bao giờ phải mất công tìm thêm một giá trị mà đề không cho, và cũng không bao giờ chọn nhầm dạng.

Một điểm nữa cần nhớ thật kỹ: trong dạng gốc, dấu giữa cos²a và sin²a là dấu trừ. Viết cos 2a = cos²a + sin²a là sai hoàn toàn, vì cos²a + sin²a luôn bằng 1 với mọi góc a, nên viết như vậy chẳng khác nào nói cos 2a = 1 với mọi góc a — điều hiển nhiên là sai, vì cos 60° = 0,5 chứ không bằng 1, cos 90° = 0 chứ không bằng 1. Đây chính là lỗi thứ hai của Minh trong câu chuyện mở đầu: bạn viết dấu cộng thay cho dấu trừ, tính ra kết quả bằng 1, thấy số "đẹp" nên tin là đúng. Kinh nghiệm rút ra: nếu tính cos 2a mà ra 1 với mọi góc, hãy dừng lại ngay và kiểm tra dấu — chắc chắn bạn đã viết nhầm dấu cộng. Một mẹo nhỏ để nhớ dấu trừ: công thức cộng của cos vốn đã có dấu trừ, cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b, nên công thức nhân đôi của cos cũng mang dấu trừ theo.

Ba dạng của cos 2a còn có một ứng dụng quan trọng trong các bài toán hạ bậc: từ 2cos²a − 1 = cos 2a, ta suy ra cos²a = (1 + cos 2a) / 2, và từ 1 − 2sin²a = cos 2a, ta suy ra sin²a = (1 − cos 2a) / 2. Hai công thức hạ bậc này giúp biến sin²a và cos²a thành biểu thức chỉ chứa cos 2a, rất hữu ích khi bạn gặp các bài rút gọn hoặc tính tích phân ở lớp 12. Bạn chưa cần thuộc lòng công thức hạ bậc ngay bây giờ, nhưng hiểu rằng ba dạng của cos 2a sinh ra từ một gốc sẽ giúp bạn thấy lượng giác là một hệ thống liên kết với nhau, chứ không phải một đống công thức rời rạc phải học vẹt.

Công thức nhân đôi lượng giác của tan: tan 2a = 2 tan a / (1 − tan²a)

Công thức thứ ba trong nhóm công thức nhân đôi lượng giác là công thức của tan:

tan 2a = 2 tan a / (1 − tan²a)

Công thức này nói rằng tan của góc gấp đôi bằng hai lần tan của góc ban đầu chia cho một trừ đi bình phương tan của góc ban đầu. Hãy chú ý mẫu số: 1 − tan²a, có dấu trừ, và tan a ở đây được bình phương. Lỗi thường gặp là viết mẫu số thành 1 + tan²a, hoặc quên bình phương tan a ở mẫu số và viết thành 1 − tan a. Cả hai cách viết sai này đều cho kết quả sai, nên bạn cần nhớ mẫu số thật chính xác: một trừ tan bình phương a.

Khác với sin và cos, công thức tan 2a có điều kiện xác định, và đây là phần nhiều bạn bỏ qua nhất khi làm bài. Thứ nhất, tan a phải xác định, tức cos a ≠ 0, hay góc a không được bằng 90° cộng với bội của 180°, vì tan a = sin a / cos a mà mẫu số không được bằng 0. Thứ hai, tan 2a phải xác định, tức cos 2a ≠ 0, hay góc 2a không được bằng 90° cộng với bội của 180°, tức a không được bằng 45° cộng với bội của 90°. Thứ ba, mẫu số của công thức phải khác 0, tức 1 − tan²a ≠ 0, hay tan²a ≠ 1, tức tan a ≠ 1 và tan a ≠ −1. Nếu tan a = 1 hoặc tan a = −1 thì mẫu số bằng 0, công thức không dùng được — và điều này hoàn toàn hợp lý, vì khi tan a = ±1 thì góc a = ±45° cộng bội của 180°, góc 2a = ±90° cộng bội của 180°, tan 2a không xác định. Tóm lại, khi dùng công thức tan 2a, bạn cần nhớ ba điều kiện: cos a ≠ 0, cos 2a ≠ 0 và tan²a ≠ 1. Trong các bài tập trắc nghiệm, điều kiện này thường được cài vào như một "bẫy": đề cho tan a = 1 rồi hỏi tan 2a bằng bao nhiêu, đáp án đúng là "không xác định", chứ không phải một con số nào đó.

Một cách nhớ điều kiện thật nhanh: tan chỉ "sống" được khi cos khác 0. Vì tan 2a liên quan tới cả góc a và góc 2a, nên cả cos a và cos 2a đều phải khác 0. Còn điều kiện tan²a ≠ 1 thực ra cũng là hệ quả của cos 2a ≠ 0, vì khi tan²a = 1 thì cos 2a = 0, nhưng trong bài làm, bạn cứ ghi đủ cả ba điều kiện cho chắc chắn, giám khảo sẽ đánh giá cao sự cẩn thận đó. Khi tính toán bằng máy tính, bạn cũng có thể kiểm tra lại kết quả tan 2a bằng cách bấm tan của góc gấp đôi để đối chiếu, và máy tính Casio online trên Classon là một công cụ tiện lợi để làm việc này khi bạn đang ôn bài ở nhà.

Bảng tóm tắt công thức nhân đôi lượng giác

Bảng dưới đây tóm tắt toàn bộ nhóm công thức nhân đôi lượng giác trong một khung hình duy nhất. Bạn nên chụp lại bảng này, in ra hoặc chép vào vở, và xem lại mỗi ngày cho tới khi thuộc lòng. Khi làm bài kiểm tra, chỉ cần nhớ được bảng này là bạn đã nắm chắc phần lớn số điểm của dạng bài công thức nhân đôi.

Nhìn vào bảng, bạn sẽ thấy một quy luật đẹp: sin 2a cần cả sin a và cos a, cos 2a có ba dạng để bạn chọn theo dữ kiện đề cho, còn tan 2a là công thức duy nhất có điều kiện. Nếu bạn chỉ nhớ được một điều từ bảng này, hãy nhớ điều này: cos 2a có dấu trừ, sin 2a có đủ cả sin a và cos a, tan 2a có mẫu số 1 − tan²a. Ba ý đó chính là ba lỗi sai phổ biến nhất, và tránh được ba lỗi đó là bạn đã tránh được gần hết số điểm mất oan ở dạng bài này.

Ví dụ minh họa công thức nhân đôi lượng giác có lời giải chi tiết

Ví dụ 1. Tính sin 60° bằng công thức nhân đôi, biết sin 30° = 1/2 và cos 30° = √3/2.

Lời giải: Ta viết 60° = 2 × 30°, nên áp dụng công thức nhân đôi của sin với a = 30°: sin 60° = sin(2 × 30°) = 2 × sin 30° × cos 30°. Thay số: sin 60° = 2 × (1/2) × (√3/2). Tính từng bước: 2 × (1/2) = 1, rồi 1 × (√3/2) = √3/2. Vậy sin 60° = √3/2 ≈ 0,866. Kết quả này khớp hoàn toàn với giá trị sin 60° mà bạn đã thuộc lòng trong bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt, chứng tỏ công thức nhân đôi cho kết quả đúng. Ví dụ này cũng cho thấy một mẹo hay: nếu bạn quên sin 60° bằng bao nhiêu, chỉ cần nhớ sin 30° và cos 30° là tính lại được ngay.

Ví dụ 2. Tính cos 60° bằng công thức nhân đôi, biết sin 30° = 1/2.

Lời giải: Ta viết 60° = 2 × 30°, nên áp dụng công thức nhân đôi của cos với a = 30°. Vì đề bài chỉ cho sin 30° mà không cho cos 30°, ta chọn dạng cos 2a = 1 − 2sin²a, dạng chỉ cần sin a. Thay số: cos 60° = 1 − 2 × sin²30° = 1 − 2 × (1/2)². Tính (1/2)² = 1/4, rồi 2 × (1/4) = 1/2, nên cos 60° = 1 − 1/2 = 0,5. Kết quả này khớp hoàn toàn với giá trị cos 60° = 0,5 trong bảng góc đặc biệt. Bạn hãy thử tính lại bằng dạng gốc cos²a − sin²a để kiểm tra: cos²30° = (√3/2)² = 3/4, sin²30° = 1/4, hiệu bằng 3/4 − 1/4 = 1/2 = 0,5. Cả hai dạng cho cùng một kết quả, đúng như lý thuyết đã nói.

Ví dụ 3. Biết sin a = 3/5 và a là góc nhọn. Tính sin 2a và cos 2a.

Lời giải: Vì a là góc nhọn nên cos a là số dương. Trước hết, tìm cos a bằng hệ thức sin²a + cos²a = 1: cos a = √(1 − sin²a) = √(1 − (3/5)²) = √(1 − 9/25) = √(16/25) = 4/5. Bây giờ đã có đủ sin a = 3/5 và cos a = 4/5, ta tính sin 2a = 2 sin a cos a = 2 × (3/5) × (4/5). Tính tử số: 2 × 3 × 4 = 24, mẫu số: 5 × 5 = 25, nên sin 2a = 24/25 = 0,96. Tiếp theo, tính cos 2a. Vì đề đã cho sin a, ta dùng dạng 1 − 2sin²a: cos 2a = 1 − 2 × (3/5)² = 1 − 2 × (9/25) = 1 − 18/25 = 7/25 = 0,28. Kiểm tra lại bằng dạng gốc: cos²a − sin²a = (4/5)² − (3/5)² = 16/25 − 9/25 = 7/25. Hai cách tính khớp nhau, đáp số đúng. Đáp số: sin 2a = 24/25, cos 2a = 7/25.

Ví dụ 4. Biết tan a = 1/2. Tính tan 2a.

Lời giải: Trước hết, kiểm tra điều kiện: tan a = 1/2 khác 1 và khác −1, nên tan²a = 1/4 ≠ 1, mẫu số khác 0, công thức dùng được. Áp dụng công thức tan 2a = 2 tan a / (1 − tan²a): tử số là 2 × (1/2) = 1, mẫu số là 1 − (1/2)² = 1 − 1/4 = 3/4. Vậy tan 2a = 1 / (3/4) = 4/3 ≈ 1,333. Đáp số: tan 2a = 4/3. Bạn có thể kiểm tra lại bằng máy tính: góc a có tan bằng 1/2 thì a ≈ 26,565°, góc 2a ≈ 53,13°, tan 53,13° ≈ 1,333, khớp với 4/3. Ví dụ này cho thấy công thức tan 2a tính rất nhanh khi đề bài cho sẵn tan a — chỉ một phép thay số là xong, không cần tìm sin a hay cos a.

Lỗi sai thường gặp khi dùng công thức nhân đôi lượng giác

Lỗi thứ nhất: viết sin 2a = 2 sin a, bỏ mất cos a. Đây là lỗi phổ biến nhất, vì nhiều bạn nhớ "nhân đôi thì nhân 2" mà quên rằng công thức còn có thừa số cos a. Cách tránh: mỗi lần viết sin 2a, hãy tự hỏi "đủ ba thừa số chưa: 2, sin a, cos a?" — thiếu một là sai.

Lỗi thứ hai: viết cos 2a = cos²a + sin²a, nhầm dấu trừ thành dấu cộng. Như đã phân tích, cos²a + sin²a luôn bằng 1, nên viết như vậy là sai ngay từ đầu. Cách tránh: nhớ rằng công thức cộng của cos có dấu trừ, nên công thức nhân đôi của cos cũng có dấu trừ; và mỗi lần tính cos 2a, hãy kiểm tra nhanh xem kết quả có bằng 1 với mọi góc hay không — nếu có thì chắc chắn bạn đã nhầm dấu.

Lỗi thứ ba: dùng sai dạng của cos 2a. Ví dụ, đề bài chỉ cho sin a mà bạn lại dùng dạng 2cos²a − 1, rồi loay hoay tìm cos a, mất thời gian và dễ sai dấu khi lấy căn. Cách tránh: đề cho sin thì dùng dạng 1 − 2sin²a, đề cho cos thì dùng dạng 2cos²a − 1, đề cho cả hai thì dùng dạng gốc cos²a − sin²a.

Lỗi thứ tư: quên điều kiện của tan 2a. Nhiều bạn thay số vào công thức tan 2a mà không kiểm tra mẫu số, tính ra kết quả trong khi tan 2a thực ra không xác định, hoặc ngược lại, thấy mẫu số bằng 0 thì lúng túng không biết làm gì. Cách tránh: trước khi tính tan 2a, hãy kiểm tra nhanh ba điều kiện cos a ≠ 0, cos 2a ≠ 0 và tan²a ≠ 1; nếu tan a = ±1 thì trả lời ngay là tan 2a không xác định.

Lỗi thứ năm: nhầm cos 2a với cos²a, và nhầm sin 2a với sin²a. Ví dụ, đề hỏi cos 2a mà bạn lại tính cos²a, hoặc đề cho sin²a mà bạn tưởng là sin 2a. Cách tránh: đọc đề thật chậm, phân biệt rõ "góc gấp đôi" (2a nằm trong dấu ngoặc của sin, cos) với "bình phương giá trị" (số 2 nằm trên đầu chữ sin, cos). Hai ký hiệu này nhìn qua thì giống nhau, nhưng ý nghĩa hoàn toàn khác nhau.

Nếu bạn muốn luyện thêm dạng bài này với nhiều câu hỏi trắc nghiệm có đáp án, hãy xem ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Toán 11 theo chủ đề trên Classon, nơi có nhiều câu hỏi về lượng giác được sắp xếp theo từng chủ đề để bạn ôn tập có hệ thống.

Bài tập tự luyện công thức nhân đôi lượng giác

Bài 1. Biết sin a = 5/13 và a là góc nhọn. Tính sin 2a và cos 2a.

Đáp án: cos a = √(1 − (5/13)²) = √(1 − 25/169) = √(144/169) = 12/13. Sin 2a = 2 × (5/13) × (12/13) = 120/169. Cos 2a = 1 − 2 × (5/13)² = 1 − 2 × (25/169) = 1 − 50/169 = 119/169. Giải thích: vì a nhọn nên cos a dương, lấy căn cho ra 12/13; dùng dạng 1 − 2sin²a vì đề chỉ cho sin a.

Bài 2. Biết cos a = −3/5 và a là góc tù (90° < a < 180°). Tính sin 2a và cos 2a.

Đáp án: Vì a tù nên sin a dương: sin a = √(1 − cos²a) = √(1 − 9/25) = √(16/25) = 4/5. Sin 2a = 2 × (−3/5) × (4/5) = −24/25. Cos 2a = 2cos²a − 1 = 2 × (9/25) − 1 = 18/25 − 1 = −7/25. Giải thích: sin 2a âm vì cos a âm mà sin a dương; cos 2a âm vì góc 2a nằm trong khoảng 180° đến 360° mà cos của góc ở đó có thể âm — kiểm tra lại bằng dạng gốc: cos²a − sin²a = 9/25 − 16/25 = −7/25, khớp nhau.

Bài 3. Biết tan a = 2. Tính tan 2a.

Đáp án: Điều kiện thỏa mãn vì tan²a = 4 ≠ 1. Tan 2a = 2 × 2 / (1 − 2²) = 4 / (1 − 4) = 4 / (−3) = −4/3. Giải thích: mẫu số âm nên tan 2a âm; nhiều bạn quên dấu trừ ở mẫu số và tính ra 4/3 là sai.

Bài 4. Tính cos 120° bằng công thức nhân đôi, biết cos 60° = 1/2.

Đáp án: Viết 120° = 2 × 60°, dùng dạng 2cos²a − 1 vì đề cho cos a: cos 120° = 2 × (1/2)² − 1 = 2 × (1/4) − 1 = 1/2 − 1 = −1/2. Giải thích: kết quả âm là đúng vì 120° là góc tù, cos của góc tù luôn âm; giá trị −1/2 cũng khớp với bảng góc đặc biệt.

Bài 5. Biết tan a = 1/3. Tính tan 2a.

Đáp án: Điều kiện thỏa mãn vì tan²a = 1/9 ≠ 1. Tan 2a = 2 × (1/3) / (1 − (1/3)²) = (2/3) / (1 − 1/9) = (2/3) / (8/9) = (2/3) × (9/8) = 18/24 = 3/4. Giải thích: chia phân số thì nhân với phân số đảo ngược, (2/3) × (9/8) rút gọn được 3/4; kết quả dương vì cả tử số và mẫu số đều dương.

Câu hỏi thường gặp về công thức nhân đôi lượng giác

Công thức nhân đôi lượng giác gồm những công thức nào?
Nhóm công thức nhân đôi lượng giác gồm ba công thức: sin 2a = 2 sin a cos a, cos 2a = cos²a − sin²a = 2cos²a − 1 = 1 − 2sin²a, và tan 2a = 2 tan a / (1 − tan²a). Trong đó cos 2a có ba dạng viết, còn sin 2a và tan 2a mỗi công thức chỉ có một dạng.

Vì sao cos 2a có tới 3 dạng, có phải học thuộc cả 3 không?
Ba dạng của cos 2a đều suy ra từ dạng gốc cos²a − sin²a nhờ hệ thức sin²a + cos²a = 1, nên bạn không cần học vẹt cả ba một cách rời rạc. Chỉ cần nhớ dạng gốc và hệ thức sin²a + cos²a = 1 là suy ra được hai dạng còn lại. Tuy nhiên, khi làm bài thi, nhớ sẵn cả ba dạng sẽ giúp bạn chọn nhanh dạng phù hợp với dữ kiện đề cho mà không mất thời gian biến đổi.

Khi nào dùng dạng 2cos²a − 1, khi nào dùng dạng 1 − 2sin²a?
Dùng dạng 2cos²a − 1 khi đề bài chỉ cho cos a, và dùng dạng 1 − 2sin²a khi đề bài chỉ cho sin a. Nếu đề bài cho cả sin a và cos a thì dùng dạng nào cũng được, dạng gốc cos²a − sin²a thường là nhanh nhất. Quy tắc này giúp bạn không phải tìm thêm giá trị mà đề không cho.

Sin 2a có bằng 2 sin a không?
Không. Sin 2a = 2 sin a cos a, thiếu thừa số cos a là sai. Ví dụ, với a = 30°, sin 2a = sin 60° = √3/2 ≈ 0,866, trong khi 2 sin a = 2 × (1/2) = 1, hai kết quả khác nhau rõ ràng. Đây là lỗi sai phổ biến nhất ở dạng bài này, bạn nhất định phải tránh.

Tan 2a có điều kiện gì, khi nào thì không tính được?
Công thức tan 2a yêu cầu cos a ≠ 0, cos 2a ≠ 0 và tan²a ≠ 1. Đặc biệt, khi tan a = 1 hoặc tan a = −1 thì mẫu số 1 − tan²a bằng 0, công thức không dùng được và tan 2a không xác định. Khi gặp trường hợp này trong bài trắc nghiệm, đáp án đúng thường là "không xác định".

Kết luận

Công thức nhân đôi lượng giác chỉ có ba công thức, nhưng mỗi công thức đều có những điểm cần nhớ thật chính xác: sin 2a phải đủ cả ba thừa số 2, sin a, cos a; cos 2a mang dấu trừ và có ba dạng để chọn theo dữ kiện đề cho; tan 2a có mẫu số 1 − tan²a và đi kèm ba điều kiện xác định. Nhớ đúng ba điểm đó, bạn đã tránh được gần hết những lỗi sai khiến Minh mất điểm oan trong câu chuyện mở đầu. Bí quyết để thuộc lâu không phải là chép đi chép lại nhiều lần, mà là hiểu công thức từ công thức cộng, làm đủ các ví dụ có lời giải từng bước, và tự làm 5 bài tập cuối bài mà không nhìn đáp án trước. Khi đã làm đúng cả 5 bài tập, bạn có thể tự tin rằng mình đã nắm chắc nhóm công thức này.

Để ôn tập hiệu quả hơn, bạn hãy luyện thêm các câu hỏi trắc nghiệm về lượng giác trong ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Toán 11 theo chủ đề, và dùng máy tính Casio online để kiểm tra lại các giá trị sin, cos, tan khi tự luyện ở nhà. Chúc bạn làm bài kiểm tra tới đây không còn mất điểm oan ở công thức nhân đôi nữa.