Vì sao sin 75° + sin 15° lại tính nhanh được bằng một phép nhân, trong khi bấm từng cái rồi cộng thì lâu và dễ sai số? Thử nghĩ mà xem: 75° và 15° đều không phải góc đặc biệt, muốn tính sin 75° bạn phải bấm máy, muốn tính sin 15° bạn lại phải bấm máy lần nữa, rồi cộng hai kết quả lẻ lẻ vào nhau. Chỉ cần bấm nhầm một phím là cả bài toán đi tong. Nhưng có một cách khác nhanh hơn nhiều: biến cái tổng ấy thành một phép nhân, cụ thể là sin 75° + sin 15° = 2 · sin 45° · cos 30°. Đến đây thì mọi chuyện trở nên dễ dàng, vì 45° và 30° đều là góc đặc biệt mà bạn đã thuộc lòng: sin 45° = √2/2, cos 30° = √3/2. Nhân lại với nhau, đáp án hiện ra ngay là √6/2, khoảng 1,225. Không cần bấm máy hai lần, không lo sai số làm tròn, và quan trọng nhất là bạn hiểu vì sao đáp án lại ra như vậy.
Đó chính là sức mạnh của công thức biến đổi tổng thành tích. Bài viết này sẽ giúp bạn nắm chắc cả bốn công thức, hiểu rõ từng ký hiệu có nghĩa là gì, biết cách suy ra chúng từ công thức cộng mà không cần học vẹt, rồi luyện tập với những ví dụ được tính đúng từng bước và bài tập tự luyện có đáp án. Học xong bài này, những biểu thức lượng giác trông đáng sợ với một đống dấu cộng sẽ trở thành những phép nhân gọn gàng mà bạn xử lý trong vài giây.
Công thức biến đổi tổng thành tích là gì?
Công thức biến đổi tổng thành tích là nhóm bốn công thức giúp ta biến một tổng hoặc một hiệu của hai sin hoặc hai cos thành một tích. Nói một cách đời thường, khi gặp một phép cộng mà hai số hạng đều là sin hoặc cos của những góc "xấu" như 75° hay 15°, ta không cộng trực tiếp nữa mà đổi nó thành phép nhân của sin và cos của những góc "đẹp" hơn. Phép nhân thì dễ tính hơn phép cộng rất nhiều, nhất là khi các góc mới đều là góc đặc biệt như 30°, 45°, 60°.
Trong bốn công thức này, a và b là hai góc bất kỳ, có thể đo bằng độ hoặc bằng radian, tùy theo bài toán. Ký hiệu (a + b)/2 nghĩa là trung bình cộng của hai góc, tức là cộng hai góc lại rồi chia đôi. Ký hiệu (a − b)/2 nghĩa là nửa hiệu của hai góc, tức là lấy góc a trừ góc b rồi chia đôi. Hai "nửa góc" này xuất hiện trong mọi công thức, và việc phân biệt rõ cái nào là tổng, cái nào là hiệu chính là chìa khóa để không viết nhầm. Bạn cứ nhớ: góc ở vế trái là a và b, còn góc ở vế phải luôn là "nửa tổng" và "nửa hiệu" của chúng.
Một điểm rất hay của công thức biến đổi tổng thành tích là nó làm việc theo cả hai chiều. Khi cần tính giá trị, ta biến tổng thành tích để tính nhanh. Ngược lại, khi cần rút gọn một biểu thức lượng giác hoặc giải phương trình lượng giác, ta cũng biến tổng thành tích để đưa biểu thức về dạng nhân tử, rồi xử lý từng thừa số một. Bạn sẽ thấy ứng dụng này rõ nhất ở phần ví dụ giải phương trình bên dưới.
Bốn công thức biến đổi tổng thành tích cần thuộc lòng
Dưới đây là cả bốn công thức. Bạn không cần học thuộc một cách máy móc ngay từ đầu, vì phần sau của bài sẽ chỉ cho bạn cách suy ra chúng từ công thức cộng. Nhưng trước hết, hãy đọc kỹ từng công thức một, để ý xem vế phải dùng sin hay cos, và chỗ nào có dấu trừ.
| Công thức | Tên gọi |
|---|---|
| sin a + sin b = 2 sin((a + b)/2) · cos((a − b)/2) | Tổng hai sin |
| sin a − sin b = 2 cos((a + b)/2) · sin((a − b)/2) | Hiệu hai sin |
| cos a + cos b = 2 cos((a + b)/2) · cos((a − b)/2) | Tổng hai cos |
| cos a − cos b = −2 sin((a + b)/2) · sin((a − b)/2) | Hiệu hai cos |
Công thức 1: sin a + sin b = 2 sin((a + b)/2) · cos((a − b)/2)
Tổng của hai sin bằng hai lần sin của nửa tổng nhân với cos của nửa hiệu. Mẹo nhớ rất dễ: "sin cộng sin bằng hai sin cos" — chữ sin đứng đầu ở cả hai vế, vế phải có sin trước, cos sau. Trong công thức này, sin luôn đi với nửa tổng (a + b)/2, còn cos luôn đi với nửa hiệu (a − b)/2. Ví dụ quen thuộc nhất chính là sin 75° + sin 15° = 2 · sin 45° · cos 30°, vì nửa tổng của 75° và 15° là 45°, nửa hiệu là 30°.
Công thức 2: sin a − sin b = 2 cos((a + b)/2) · sin((a − b)/2)
Hiệu của hai sin bằng hai lần cos của nửa tổng nhân với sin của nửa hiệu. Mẹo nhớ: "sin trừ sin bằng hai cos sin" — so với công thức tổng hai sin, vị trí của sin và cos đổi chỗ cho nhau: bây giờ cos đi với nửa tổng, sin đi với nửa hiệu. Một điểm cần chú ý là công thức này không có dấu trừ ở phía trước, dù vế trái là một phép trừ. Dấu trừ đã "nằm" trong nửa hiệu (a − b)/2 rồi, nên bạn đừng thêm dấu trừ nào nữa. Ví dụ: sin 75° − sin 15° = 2 · cos 45° · sin 30° = √2/2, khoảng 0,707.
Công thức 3: cos a + cos b = 2 cos((a + b)/2) · cos((a − b)/2)
Tổng của hai cos bằng hai lần cos của nửa tổng nhân với cos của nửa hiệu. Mẹo nhớ: "cos cộng cos bằng hai cos cos" — đây là công thức dễ nhớ nhất vì vế phải toàn là cos, không có sin nào cả. Ví dụ: cos 75° + cos 15° = 2 · cos 45° · cos 30° = √6/2, khoảng 1,225. Bạn có để ý điều thú vị không: cos 75° + cos 15° và sin 75° + sin 15° cho cùng một kết quả √6/2. Đó không phải là trùng hợp, mà vì 75° và 15° là hai góc phụ nhau, nên sin của góc này bằng cos của góc kia, và hai tổng ấy thực ra là một.
Công thức 4: cos a − cos b = −2 sin((a + b)/2) · sin((a − b)/2)
Hiệu của hai cos bằng trừ hai lần sin của nửa tổng nhân với sin của nửa hiệu. Mẹo nhớ: "cos trừ cos bằng trừ hai sin sin" — đây là công thức duy nhất trong bốn công thức có dấu trừ ở phía trước, và cũng là công thức duy nhất mà vế phải toàn là sin. Hai điểm đặc biệt này đi cùng nhau nên bạn chỉ cần nhớ một dấu hiệu: cứ thấy hiệu hai cos là nhớ ngay đến dấu trừ và hai chữ sin. Ví dụ: cos 105° − cos 15° = −2 · sin 60° · sin 45° = −√6/2, khoảng −1,225. Kết quả âm là hoàn toàn hợp lý, vì cos 105° đã âm rồi, trừ thêm cos 15° dương thì kết quả càng âm hơn.
Để nhớ cả bốn công thức cùng lúc, bạn có thể dùng câu vần sau: "sin cộng sin hai sin cos, sin trừ sin hai cos sin, cos cộng cos hai cos cos, cos trừ cos trừ hai sin sin". Đọc đi đọc lại vài lần, nhẩm theo nhịp, bạn sẽ thấy bốn công thức tự nhiên chui vào đầu mà không cần cố gắng. Nhưng nếu một lúc nào đó bạn quên mất một công thức trong phòng thi, đừng hoảng: phần tiếp theo sẽ chỉ cho bạn cách suy ra cả bốn công thức từ công thức cộng, chỉ trong vài dòng.
Vì sao bốn công thức này đúng? Suy ra từ công thức cộng
Bốn công thức biến đổi tổng thành tích không phải từ trên trời rơi xuống, mà đều suy ra được từ bốn công thức cộng mà bạn đã học: sin(x + y), sin(x − y), cos(x + y) và cos(x − y). Ý tưởng rất đơn giản: cộng hoặc trừ hai công thức cộng với nhau, một số số hạng sẽ triệt tiêu, chỉ còn lại đúng dạng tích mà ta cần.
Bắt đầu với hai công thức sin. Ta có sin(x + y) = sin x · cos y + cos x · sin y và sin(x − y) = sin x · cos y − cos x · sin y. Cộng hai đẳng thức này lại, hai số hạng cos x · sin y triệt tiêu nhau, còn lại sin(x + y) + sin(x − y) = 2 · sin x · cos y. Bây giờ, đặt a = x + y và b = x − y. Giải ngược lại thì x = (a + b)/2 và y = (a − b)/2. Thay vào đẳng thức vừa tìm được, ta có ngay sin a + sin b = 2 · sin((a + b)/2) · cos((a − b)/2). Đó chính là công thức thứ nhất.
Nếu thay vì cộng mà ta trừ hai đẳng thức sin cho nhau, hai số hạng sin x · cos y triệt tiêu, còn lại sin(x + y) − sin(x − y) = 2 · cos x · sin y. Cũng đặt a = x + y và b = x − y như trên, ta được sin a − sin b = 2 · cos((a + b)/2) · sin((a − b)/2). Đó là công thức thứ hai. Bạn thấy không, chỉ một phép đặt ẩn phụ x = (a + b)/2 và y = (a − b)/2 là cả hai công thức sin hiện ra.
Với cos cũng tương tự. Ta có cos(x + y) = cos x · cos y − sin x · sin y và cos(x − y) = cos x · cos y + sin x · sin y. Cộng hai đẳng thức này lại, hai số hạng sin x · sin y triệt tiêu, còn lại cos(x + y) + cos(x − y) = 2 · cos x · cos y. Đặt a = x + y và b = x − y, ta được cos a + cos b = 2 · cos((a + b)/2) · cos((a − b)/2), chính là công thức thứ ba.
Cuối cùng, trừ hai đẳng thức cos cho nhau, hai số hạng cos x · cos y triệt tiêu, còn lại cos(x + y) − cos(x − y) = −2 · sin x · sin y. Đặt a = x + y và b = x − y như trên, ta được cos a − cos b = −2 · sin((a + b)/2) · sin((a − b)/2), chính là công thức thứ tư. Dấu trừ ở đây xuất hiện một cách tự nhiên, vì cos(x + y) có dấu trừ trước sin x · sin y còn cos(x − y) có dấu cộng. Hiểu được nguồn gốc này, bạn sẽ không bao giờ quên dấu trừ của công thức cos trừ cos nữa.
Tóm lại, cách suy ra cả bốn công thức chỉ gói gọn trong hai bước: bước một, cộng hoặc trừ hai công thức cộng để được một tích; bước hai, đặt a = x + y và b = x − y để đổi vai trò của các góc. Nắm được hai bước này, bạn có thể tự viết lại cả bốn công thức bất cứ lúc nào, kể cả khi quên mất bảng công thức. Trong phòng thi, đây là "phao cứu sinh" đáng tin cậy hơn nhiều so với việc học vẹt.
Ví dụ tính đúng từng bước với công thức biến đổi tổng thành tích
Ví dụ 1: Tính sin 75° + sin 15°.
Áp dụng công thức tổng hai sin: sin 75° + sin 15° = 2 · sin((75° + 15°)/2) · cos((75° − 15°)/2) = 2 · sin 45° · cos 30°.
Thay giá trị góc đặc biệt: sin 45° = √2/2 và cos 30° = √3/2, nên biểu thức bằng 2 · (√2/2) · (√3/2) = √6/2, khoảng 1,225.
Kiểm tra bằng máy tính: sin 75° ≈ 0,966, sin 15° ≈ 0,259, cộng lại được 0,966 + 0,259 = 1,225, trùng khớp với kết quả vừa tính. Đây chính là ví dụ mở đầu bài viết, và bây giờ bạn đã thấy toàn bộ quá trình tính toán của nó.
Ví dụ 2: Tính cos 75° + cos 15°.
Áp dụng công thức tổng hai cos: cos 75° + cos 15° = 2 · cos((75° + 15°)/2) · cos((75° − 15°)/2) = 2 · cos 45° · cos 30°.
Thay giá trị góc đặc biệt: cos 45° = √2/2 và cos 30° = √3/2, nên biểu thức bằng 2 · (√2/2) · (√3/2) = √6/2, khoảng 1,225.
Kiểm tra bằng máy tính: cos 75° ≈ 0,259, cos 15° ≈ 0,966, cộng lại được 0,259 + 0,966 = 1,225, trùng khớp. Như đã nói ở trên, kết quả này bằng đúng kết quả của ví dụ 1, vì 75° và 15° là hai góc phụ nhau.
Ví dụ 3: Tính sin 75° − sin 15°.
Áp dụng công thức hiệu hai sin: sin 75° − sin 15° = 2 · cos((75° + 15°)/2) · sin((75° − 15°)/2) = 2 · cos 45° · sin 30°.
Thay giá trị góc đặc biệt: cos 45° = √2/2 và sin 30° = 1/2, nên biểu thức bằng 2 · (√2/2) · (1/2) = √2/2, khoảng 0,707.
Kiểm tra bằng máy tính: sin 75° ≈ 0,966, sin 15° ≈ 0,259, trừ nhau được 0,966 − 0,259 = 0,707, trùng khớp. Bạn chú ý nhé: ở đây cos đi với nửa tổng 45°, sin đi với nửa hiệu 30°, đúng như mẹo "sin trừ sin bằng hai cos sin".
Ví dụ 4: Tính cos 105° − cos 15°.
Áp dụng công thức hiệu hai cos, nhớ dấu trừ phía trước: cos 105° − cos 15° = −2 · sin((105° + 15°)/2) · sin((105° − 15°)/2) = −2 · sin 60° · sin 45°.
Thay giá trị góc đặc biệt: sin 60° = √3/2 và sin 45° = √2/2, nên biểu thức bằng −2 · (√3/2) · (√2/2) = −√6/2, khoảng −1,225.
Kiểm tra bằng máy tính: cos 105° ≈ −0,259, cos 15° ≈ 0,966, trừ nhau được −0,259 − 0,966 = −1,225, trùng khớp. Đây là ví dụ điển hình cho thấy dấu trừ quan trọng đến mức nào: quên nó là đáp án sai dấu ngay.
Ví dụ 5: Rút gọn sin 40° + sin 20°.
Không phải lúc nào biến đổi tổng thành tích cũng cho ra một con số cụ thể. Đôi khi nó rút gọn biểu thức thành một dạng ngắn hơn, và đó cũng là một dạng bài rất hay gặp. Áp dụng công thức tổng hai sin: sin 40° + sin 20° = 2 · sin((40° + 20°)/2) · cos((40° − 20°)/2) = 2 · sin 30° · cos 10°.
Vì sin 30° = 1/2 nên 2 · sin 30° = 1, biểu thức rút gọn còn cos 10°. Vậy sin 40° + sin 20° = cos 10°.
Kiểm tra bằng máy tính: sin 40° ≈ 0,643, sin 20° ≈ 0,342, cộng lại được 0,643 + 0,342 = 0,985, còn cos 10° ≈ 0,985, trùng khớp. Dạng rút gọn này thường xuất hiện trong các bài chứng minh đẳng thức, nơi đáp án không phải là một con số mà là một biểu thức gọn hơn.
Ví dụ 6: Giải phương trình sin 3x + sin x = 0.
Đây là ứng dụng quan trọng nhất của công thức biến đổi tổng thành tích trong các bài toán phương trình lượng giác. Biến đổi vế trái thành tích: sin 3x + sin x = 2 · sin((3x + x)/2) · cos((3x − x)/2) = 2 · sin 2x · cos x.
Phương trình trở thành 2 · sin 2x · cos x = 0, tức là sin 2x = 0 hoặc cos x = 0. Từ đây, việc tìm nghiệm trở nên đơn giản vì ta chỉ cần giải hai phương trình cơ bản thay vì một phương trình có tổng. Đây chính là lý do vì sao người ta gọi nhóm công thức này là "biến đổi tổng thành tích": biến tổng thành tích thì mới giải được phương trình, vì một tích bằng 0 khi và chỉ khi có ít nhất một thừa số bằng 0.
Bảng tóm tắt công thức biến đổi tổng thành tích
Khi ôn thi, bạn chỉ cần nhìn vào một bảng duy nhất dưới đây. In bảng này ra hoặc chép vào vở, đọc lại mỗi ngày vài lần, bốn công thức sẽ nằm lòng rất nhanh.
| Dạng | Công thức | Mẹo nhớ |
|---|---|---|
| Tổng hai sin | sin a + sin b = 2 sin((a + b)/2) · cos((a − b)/2) | sin cộng sin, hai sin cos |
| Hiệu hai sin | sin a − sin b = 2 cos((a + b)/2) · sin((a − b)/2) | sin trừ sin, hai cos sin |
| Tổng hai cos | cos a + cos b = 2 cos((a + b)/2) · cos((a − b)/2) | cos cộng cos, hai cos cos |
| Hiệu hai cos | cos a − cos b = −2 sin((a + b)/2) · sin((a − b)/2) | cos trừ cos, trừ hai sin sin |
Một cách khác để ghi nhớ bảng này là để ý quy luật: trong ba công thức đầu, thừa số đầu tiên luôn đi với nửa tổng (a + b)/2 và thừa số thứ hai luôn đi với nửa hiệu (a − b)/2. Chỉ có công thức hiệu hai cos là phá vỡ mọi quy luật quen thuộc: dấu trừ phía trước và cả hai thừa số đều là sin. Vì nó đặc biệt nhất nên nó cũng dễ nhớ nhất, chỉ cần bạn nhớ "cos trừ cos là trường hợp khác thường".
Những lỗi sai thường gặp khi dùng công thức biến đổi tổng thành tích
Lỗi 1: Nhầm sin và cos ở vế phải.
Đây là lỗi phổ biến nhất, nhất là khi nhầm công thức tổng hai sin với hiệu hai sin. Ví dụ, có bạn viết sin 75° + sin 15° = 2 · cos 45° · sin 30°, tức là dùng nhầm công thức hiệu hai sin cho một tổng hai sin. Kết quả sai sẽ là 2 · (√2/2) · (1/2) = √2/2, khoảng 0,707, trong khi đáp án đúng là √6/2, khoảng 1,225. Cách tránh: trước khi viết, hãy đọc to đề bài xem đó là tổng hay hiệu, rồi đọc to câu mẹo nhớ tương ứng, ví dụ "sin cộng sin, hai sin cos", rồi mới viết công thức ra.
Lỗi 2: Quên dấu trừ ở công thức cos a − cos b.
Công thức hiệu hai cos là công thức duy nhất có dấu trừ phía trước, nên cũng là công thức dễ bị quên dấu nhất. Ví dụ, tính cos 105° − cos 15° mà quên dấu trừ thì đáp án ra +√6/2 thay vì −√6/2, sai hoàn toàn về dấu. Cách tránh: mỗi khi thấy hiệu hai cos, hãy viết dấu trừ ra trước tiên, rồi mới viết phần còn lại của công thức. Ngoài ra, bạn có thể kiểm tra nhanh bằng cảm giác: cos 105° đã âm, trừ thêm một số dương thì kết quả phải âm, nên nếu đáp án ra số dương thì chắc chắn đã sai.
Lỗi 3: Nhầm (a + b)/2 với (a − b)/2.
Hoán đổi nửa tổng và nửa hiệu cho nhau là lỗi rất tinh vi vì đáp án sai trông vẫn "hợp lý". Ví dụ, tính sin 75° + sin 15° mà viết nhầm thành 2 · sin 30° · cos 45° thì kết quả là 2 · (1/2) · (√2/2) = √2/2, khoảng 0,707, khác hẳn đáp án đúng 1,225. Cách tránh: luôn tính nửa tổng trước, nửa hiệu sau, và viết rõ ràng từng bước ra giấy nháp. Nửa tổng bao giờ cũng là số lớn hơn trong hai nửa góc khi a và b đều dương, nên bạn có thể dùng điều này để tự kiểm tra: trong ví dụ trên, nửa tổng phải là 45°, nửa hiệu là 30°, chứ không thể ngược lại.
Lỗi 4: Quên chia đôi góc.
Có bạn nhớ đúng dạng công thức nhưng quên chia 2, viết sin a + sin b = 2 · sin(a + b) · cos(a − b). Với ví dụ sin 75° + sin 15°, viết sai như vậy sẽ cho 2 · sin 90° · cos 60° = 2 · 1 · (1/2) = 1, khác đáp án đúng 1,225. Cách tránh: nhớ rằng góc ở vế phải luôn là "nửa góc", và hãy viết dấu ngoặc cùng với phép chia 2 ngay khi viết công thức, ví dụ viết ((a + b)/2) đầy đủ chứ đừng viết tắt thành (a + b).
Lỗi 5: Không để ý dấu khi a nhỏ hơn b.
Khi a nhỏ hơn b thì nửa hiệu (a − b)/2 là số âm, và sin của một góc âm thì âm, cos của một góc âm thì vẫn dương. Ví dụ, sin 15° − sin 75° = 2 · cos 45° · sin(−30°) = 2 · (√2/2) · (−1/2) = −√2/2, khoảng −0,707. Kiểm tra: sin 15° ≈ 0,259 trừ sin 75° ≈ 0,966 được −0,707, đúng. Nhiều bạn quên mất dấu âm của sin(−30°) nên ra đáp án dương, sai dấu. Cách tránh: khi thấy hiệu hai sin mà số bị trừ lớn hơn số trừ, hãy chuẩn bị tinh thần rằng kết quả sẽ âm, và nhớ sin(−x) = −sin x còn cos(−x) = cos x.
Bài tập tự luyện có đáp án
Hãy tự làm các câu dưới đây trước khi xem đáp án. Mỗi câu chỉ cần áp dụng đúng một công thức, nhưng bạn nên tính cả nửa tổng và nửa hiệu ra giấy nháp để tránh nhầm lẫn, rồi đối chiếu kết quả với máy tính như cách làm trong các ví dụ trên.
Câu 1: Tính sin 105° + sin 15°.
Đáp án: Áp dụng công thức tổng hai sin: sin 105° + sin 15° = 2 · sin 60° · cos 45° = 2 · (√3/2) · (√2/2) = √6/2, khoảng 1,225. Kiểm tra: sin 105° ≈ 0,966, sin 15° ≈ 0,259, tổng bằng 1,225, đúng.
Câu 2: Tính cos 105° + cos 15°.
Đáp án: Áp dụng công thức tổng hai cos: cos 105° + cos 15° = 2 · cos 60° · cos 45° = 2 · (1/2) · (√2/2) = √2/2, khoảng 0,707. Kiểm tra: cos 105° ≈ −0,259, cos 15° ≈ 0,966, tổng bằng 0,707, đúng.
Câu 3: Rút gọn sin 40° + sin 20°.
Đáp án: Áp dụng công thức tổng hai sin: sin 40° + sin 20° = 2 · sin 30° · cos 10° = 2 · (1/2) · cos 10° = cos 10°, khoảng 0,985. Kiểm tra: sin 40° ≈ 0,643, sin 20° ≈ 0,342, tổng bằng 0,985, bằng cos 10°, đúng.
Câu 4: Tính cos 75° − cos 15°.
Đáp án: Áp dụng công thức hiệu hai cos, nhớ dấu trừ phía trước: cos 75° − cos 15° = −2 · sin 45° · sin 30° = −2 · (√2/2) · (1/2) = −√2/2, khoảng −0,707. Kiểm tra: cos 75° ≈ 0,259, cos 15° ≈ 0,966, hiệu bằng −0,707, đúng.
Câu 5: Rút gọn sin 80° − sin 20°.
Đáp án: Áp dụng công thức hiệu hai sin: sin 80° − sin 20° = 2 · cos 50° · sin 30° = 2 · cos 50° · (1/2) = cos 50°, khoảng 0,643. Kiểm tra: sin 80° ≈ 0,985, sin 20° ≈ 0,342, hiệu bằng 0,643, bằng cos 50°, đúng.
Muốn luyện thêm các bài lượng giác trắc nghiệm có đáp án chi tiết, bạn có thể làm bài trong ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Toán 11 theo chủ đề. Khi cần kiểm tra nhanh một giá trị lượng giác, hãy dùng máy tính Casio online để bấm sin, cos của từng góc rồi đối chiếu với kết quả tính tay bằng công thức biến đổi tổng thành tích — hai cách tính ra cùng một đáp án thì bạn có thể yên tâm rằng mình đã làm đúng.
Câu hỏi thường gặp về công thức biến đổi tổng thành tích
Công thức biến đổi tổng thành tích dùng để làm gì?
Nhóm công thức này có ba công dụng chính. Thứ nhất, tính nhanh giá trị của tổng hoặc hiệu hai sin, hai cos khi các góc ban đầu không phải góc đặc biệt nhưng nửa tổng và nửa hiệu lại là góc đặc biệt. Thứ hai, rút gọn biểu thức lượng giác và chứng minh đẳng thức, như ví dụ sin 40° + sin 20° = cos 10° ở trên. Thứ ba, giải phương trình lượng giác bằng cách biến tổng thành tích rồi cho từng thừa số bằng 0, như ví dụ sin 3x + sin x = 0.
Có công thức biến đổi tổng thành tích cho tan không?
Không có công thức tan nào gọn gàng giống như bốn công thức sin, cos ở trên, nhưng tan vẫn có công thức cộng của riêng nó: tan a + tan b = sin(a + b) / (cos a · cos b) và tan a − tan b = sin(a − b) / (cos a · cos b), với điều kiện cos a và cos b khác 0. Bạn có thể tự kiểm chứng công thức này bằng cách quy đồng tan a + tan b = sin a / cos a + sin b / cos b, tử số thu được đúng là sin(a + b) theo công thức sin của một tổng. Trong chương trình lớp 11, bốn công thức sin và cos mới là trọng tâm cần thuộc lòng.
Làm sao nhớ được cả bốn công thức biến đổi tổng thành tích?
Có hai cách, và bạn nên kết hợp cả hai. Cách thứ nhất là học thuộc câu vần: "sin cộng sin hai sin cos, sin trừ sin hai cos sin, cos cộng cos hai cos cos, cos trừ cos trừ hai sin sin". Cách thứ hai là nhớ cách suy ra từ công thức cộng: cộng hoặc trừ hai công thức cộng rồi đặt a = x + y, b = x − y. Cách thứ nhất giúp bạn viết nhanh trong phòng thi, cách thứ hai giúp bạn tự khôi phục lại công thức mỗi khi quên. Ngoài ra, chỉ cần nhớ kỹ một điểm khác biệt duy nhất là công thức cos trừ cos có dấu trừ và toàn sin, ba công thức còn lại sẽ tự nhiên hiện ra theo quy luật.
Công thức biến đổi tổng thành tích có dùng được với radian không?
Có, hoàn toàn dùng được. Các công thức này đúng với mọi góc a và b, dù bạn đo bằng độ hay bằng radian. Ví dụ, sin(π/3) + sin(π/6) = 2 · sin(π/4) · cos(π/12). Tính thử: sin(π/3) = sin 60° ≈ 0,866, sin(π/6) = sin 30° = 0,5, tổng bằng 1,366. Còn vế phải là 2 · sin 45° · cos 15° = 2 · (√2/2) · cos 15° ≈ 1,414 · 0,966 = 1,366, trùng khớp. Khi làm bài với radian, bạn chỉ cần nhớ đổi góc ra độ trong đầu để nhận ra góc đặc biệt, hoặc bấm máy ở chế độ radian để kiểm tra.
Biến đổi tổng thành tích khác gì biến đổi tích thành tổng?
Hai nhóm công thức này ngược nhau. Biến đổi tổng thành tích biến một tổng thành một tích, còn biến đổi tích thành tổng biến một tích thành một tổng, ví dụ sin a · cos b = (sin(a + b) + sin(a − b)) / 2. Bạn dùng tổng thành tích khi cần nhân các thừa số với nhau, nhất là khi giải phương trình lượng giác, còn dùng tích thành tổng khi cần cộng trừ các số hạng, nhất là khi tính tích phân hoặc rút gọn biểu thức có phép nhân. Hai nhóm công thức thực ra là hai mặt của cùng một phép biến đổi, chỉ khác nhau ở chiều đi, nên học chắc một nhóm sẽ giúp bạn hiểu nhanh nhóm còn lại.
Kết luận
Công thức biến đổi tổng thành tích gói gọn trong một ý tưởng duy nhất: biến một phép cộng khó tính thành một phép nhân dễ tính. Bốn công thức của nó đều suy ra được từ công thức cộng chỉ bằng hai bước đặt ẩn phụ, nên bạn không cần học vẹt mà vẫn viết lại được bất cứ lúc nào. Hãy thuộc lòng câu vần "sin cộng sin hai sin cos, sin trừ sin hai cos sin, cos cộng cos hai cos cos, cos trừ cos trừ hai sin sin", nhớ kỹ dấu trừ duy nhất ở công thức hiệu hai cos, và luôn kiểm tra lại đáp án bằng máy tính như cách làm trong các ví dụ của bài này. Khi đã quen tay, bạn sẽ thấy những bài toán lượng giác có tổng hai sin hay hiệu hai cos không còn đáng sợ nữa, mà chỉ là vài phép nhân với các góc đặc biệt mà thôi. Và mỗi khi gặp một tổng lượng giác trong đề thi, câu hỏi đầu tiên bạn tự đặt ra nên là: "tổng này có biến thành tích được không?" — rất nhiều lần, câu trả lời sẽ là có.