Chuyên đề Tích phân và Nguyên hàm: lý thuyết, công thức và bài tập có đáp án

Bạn mở vòi nước vào một cái bể, tốc độ nước chảy là 2 lít mỗi phút.
Sau 10 phút, trong bể có 20 lít nước.
Bạn vừa làm một phép tính rất quen thuộc: lấy tốc độ nhân với thời gian để ra tổng lượng.
Nhưng nếu tốc độ nước chảy thay đổi theo từng phút — lúc nhanh, lúc chậm — thì tính tổng lượng nước bằng cách nào?
Đó chính là bài toán mà tích phân sinh ra để giải quyết: cộng dồn vô số những phần rất nhỏ lại thành một tổng.
Tích phân là phép toán ngược của đạo hàm, và là công cụ để tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay, quãng đường khi biết vận tốc, và rất nhiều đại lượng "tích lũy" khác trong Toán, Vật lí và đời sống.
Chuyên đề này sẽ đi từ nguyên hàm, qua bảng nguyên hàm và hai phương pháp tính, tới tích phân xác định và công thức Newton – Leibniz, rồi ba ứng dụng lớn nhất: diện tích, thể tích và quãng đường — kèm 7 ví dụ giải chi tiết từng bước, những lỗi sai mà học sinh hay mắc nhất, và 5 câu tự luyện có đáp án như giáo viên chữa bài.

Nguyên hàm là gì — phép toán ngược của đạo hàm

Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng K.
Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x thuộc K.
Nói bằng lời đời thường: nguyên hàm là "đi ngược" đạo hàm — đạo hàm đi từ hàm số xuống tốc độ thay đổi, nguyên hàm đi từ tốc độ thay đổi trở về hàm số ban đầu.
Ví dụ: F(x) = x² là một nguyên hàm của f(x) = 2x, vì (x²)' = 2x.
Nhưng F(x) = x² + 5 cũng là một nguyên hàm của f(x) = 2x, vì (x² + 5)' = 2x — đạo hàm của hằng số bằng 0 nên hằng số "biến mất" khi đạo hàm.
Chính vì vậy, một hàm số có vô số nguyên hàm, và hai nguyên hàm bất kì chỉ khác nhau một hằng số.
Tập hợp tất cả các nguyên hàm của f(x) được gọi là họ nguyên hàm, kí hiệu là ∫f(x)dx = F(x) + C, với C là hằng số tùy ý.

Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x² + 2x − 1 và kiểm tra lại bằng cách đạo hàm.
Nguyên hàm của 3x² là x³, vì (x³)' = 3x².
Nguyên hàm của 2x là x², vì (x²)' = 2x.
Nguyên hàm của −1 là −x, vì (−x)' = −1.
Vậy họ nguyên hàm là F(x) = x³ + x² − x + C.
Kiểm tra lại: F'(x) = 3x² + 2x − 1 — đúng bằng f(x).
Thói quen kiểm tra bằng cách đạo hàm lại là thói quen vàng khi làm bài nguyên hàm: nếu đạo hàm kết quả mà ra đúng hàm số ban đầu thì đáp án đúng, nếu không thì chắc chắn đã sai ở đâu đó.

Một tính chất quan trọng: nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì mọi hàm số dạng F(x) + C đều là nguyên hàm của f(x), và mọi nguyên hàm của f(x) đều có dạng đó.
Trong bài toán tìm nguyên hàm thỏa mãn một điều kiện cho trước, ví dụ F(0) = 2, ta dùng điều kiện đó để xác định hằng số C.
Ví dụ: tìm nguyên hàm F(x) của f(x) = 2x thỏa mãn F(1) = 5.
Họ nguyên hàm: F(x) = x² + C.
Điều kiện F(1) = 5 cho 1 + C = 5, suy ra C = 4.
Vậy nguyên hàm cần tìm là F(x) = x² + 4.

Bảng nguyên hàm cơ bản — những công thức phải thuộc lòng

Bảng nguyên hàm của các hàm số cơ bản, suy ra trực tiếp từ bảng đạo hàm:
Nguyên hàm của hằng số: ∫k dx = kx + C.
Nguyên hàm của lũy thừa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹ : (n + 1) + C, với n ≠ −1.
Nguyên hàm của 1/x: ∫(1/x) dx = ln|x| + C.
Nguyên hàm của hàm mũ: ∫eˣ dx = eˣ + C; ∫aˣ dx = aˣ : ln a + C.
Nguyên hàm của hàm lượng giác: ∫sin x dx = −cos x + C; ∫cos x dx = sin x + C; ∫(1/cos²x) dx = tan x + C; ∫(1/sin²x) dx = −cot x + C.
Nguyên hàm của hàm căn: ∫(1/√x) dx = 2√x + C.
Chú ý trường hợp n = −1 trong công thức lũy thừa: khi n = −1 thì xⁿ = 1/x, nguyên hàm là ln|x| + C, không phải x⁰ : 0 — mẫu số bằng 0 nên công thức lũy thừa không dùng được.

Các tính chất của nguyên hàm giúp tính nguyên hàm của hàm phức tạp từ các hàm đơn giản:
Nguyên hàm của tổng và hiệu: ∫[f(x) ± g(x)] dx = ∫f(x) dx ± ∫g(x) dx.
Nguyên hàm của hằng số nhân với hàm số: ∫k × f(x) dx = k × ∫f(x) dx.
Ví dụ: ∫(4x³ − 2x + 1) dx = 4 × (x⁴ : 4) − 2 × (x² : 2) + x + C = x⁴ − x² + x + C.
Kiểm tra: đạo hàm của x⁴ − x² + x + C là 4x³ − 2x + 1 — đúng.
Bạn có thể ôn lại bảng đạo hàm tương ứng trong bài công thức đạo hàm, vì bảng nguyên hàm chính là bảng đạo hàm đọc ngược lại.

Hai phương pháp tính nguyên hàm: đổi biến số và từng phần

Khi hàm số cần tính nguyên hàm không có sẵn trong bảng, ta dùng hai phương pháp: đổi biến số và nguyên hàm từng phần.
Phương pháp đổi biến số dùng khi trong hàm số có một biểu thức và đạo hàm của nó cùng xuất hiện.
Ví dụ: ∫(2x + 1)⁵ dx — đặt u = 2x + 1 thì du = 2dx, tức là dx = du : 2.
Phương pháp từng phần dùng khi hàm số là tích của hai hàm thuộc hai "họ" khác nhau, ví dụ đa thức nhân với hàm mũ, hoặc đa thức nhân với hàm lượng giác.
Công thức từng phần: ∫u dv = u × v − ∫v du.
Cách nhớ: đặt u là phần dễ đạo hàm (thường là đa thức), dv là phần dễ lấy nguyên hàm (thường là hàm mũ hoặc lượng giác).

Ví dụ 2: Tính nguyên hàm ∫(2x + 1)⁵ dx bằng phương pháp đổi biến số.
Đặt u = 2x + 1, ta có du = 2dx, suy ra dx = du : 2.
Thay vào: ∫(2x + 1)⁵ dx = ∫u⁵ × (du : 2) = (1/2) × ∫u⁵ du = (1/2) × (u⁶ : 6) + C = u⁶ : 12 + C.
Trả lại biến x: kết quả là (2x + 1)⁶ : 12 + C.
Kiểm tra: đạo hàm của (2x + 1)⁶ : 12 là [6(2x + 1)⁵ × 2] : 12 = (2x + 1)⁵ — đúng.
Chú ý: nếu quên chia cho 2 khi đổi biến thì kết quả sẽ sai gấp đôi — đó là lỗi phổ biến nhất của phương pháp đổi biến.

Ví dụ 3: Tính nguyên hàm ∫x × eˣ dx bằng phương pháp từng phần.
Đặt u = x, dv = eˣ dx.
Khi đó du = dx và v = eˣ.
Áp dụng công thức từng phần: ∫x × eˣ dx = u × v − ∫v du = x × eˣ − ∫eˣ dx = x × eˣ − eˣ + C = (x − 1)eˣ + C.
Kiểm tra: đạo hàm của (x − 1)eˣ là eˣ + (x − 1)eˣ = x × eˣ — đúng.
Mẹo chọn u và dv: thứ tự ưu tiên đặt u là logarit, rồi đa thức, rồi lượng giác, rồi hàm mũ — gọi tắt là "nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ".
Ví dụ: với ∫x × sin x dx thì đặt u = x (đa thức), dv = sin x dx; với ∫x × ln x dx thì đặt u = ln x (logarit), dv = x dx.

Tích phân xác định và công thức Newton – Leibniz

Tích phân xác định của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], kí hiệu là ∫ từ a đến b của f(x) dx, là một con số — không còn chứa hằng số C như nguyên hàm.
Về mặt hình học, nếu f(x) ≥ 0 trên [a; b] thì tích phân xác định chính là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b.
Về mặt vật lí, nếu v(t) là vận tốc theo thời gian thì tích phân của v(t) từ t = a đến t = b chính là quãng đường đi được trong khoảng thời gian đó.
Công thức Newton – Leibniz cho cách tính tích phân xác định từ nguyên hàm: ∫ từ a đến b của f(x) dx = F(b) − F(a), với F(x) là một nguyên hàm bất kì của f(x).
Khi dùng công thức này, bạn có thể bỏ qua hằng số C, vì C sẽ triệt tiêu khi lấy F(b) − F(a).

Ví dụ 4: Tính các tích phân sau: a) ∫ từ 0 đến 1 của (3x² + 2x) dx; b) ∫ từ 0 đến π của sin x dx.
a) Nguyên hàm của 3x² + 2x là x³ + x².
Áp dụng công thức Newton – Leibniz: ∫ từ 0 đến 1 của (3x² + 2x) dx = [x³ + x²] từ 0 đến 1 = (1 + 1) − (0 + 0) = 2.
b) Nguyên hàm của sin x là −cos x.
∫ từ 0 đến π của sin x dx = [−cos x] từ 0 đến π = (−cos π) − (−cos 0) = −(−1) − (−1) = 1 + 1 = 2.
Hai tích phân này đều bằng 2 — một sự trùng hợp đẹp, và cả hai đều có ý nghĩa hình học: tích phân thứ nhất là diện tích dưới parabol y = 3x² + 2x từ 0 đến 1, tích phân thứ hai là diện tích dưới đường sin từ 0 đến π.

Các tính chất của tích phân xác định hay dùng trong bài tập:
Tích phân trên đoạn [a; a] bằng 0: ∫ từ a đến a của f(x) dx = 0.
Đổi cận thì đổi dấu: ∫ từ a đến b của f(x) dx = −∫ từ b đến a của f(x) dx.
Tách đoạn: ∫ từ a đến b của f(x) dx = ∫ từ a đến c của f(x) dx + ∫ từ c đến b của f(x) dx, với c nằm giữa a và b.
Tính chất này rất hữu ích khi hàm số có dấu giá trị tuyệt đối hoặc cho bằng nhiều công thức trên từng khoảng — ta tách đoạn tại điểm hàm số đổi công thức rồi tính từng phần.

Tính chất của tích phân và các kĩ thuật tính thường gặp

Ngoài công thức Newton – Leibniz, hai kĩ thuật đổi biến số và từng phần cũng áp dụng được cho tích phân xác định — chỉ khác là phải đổi cả cận tích phân khi đổi biến.
Ví dụ: tính ∫ từ 0 đến 1 của x × √(x² + 1) dx.
Đặt u = x² + 1, ta có du = 2x dx, tức là x dx = du : 2.
Đổi cận: khi x = 0 thì u = 1; khi x = 1 thì u = 2.
Tích phân trở thành (1/2) × ∫ từ 1 đến 2 của √u du = (1/2) × [(2/3) × u × √u] từ 1 đến 2.
Kết quả: (1/3) × (2√2 − 1).
Tính số: 2√2 ≈ 2,828, trừ 1 còn 1,828, chia 3 được khoảng 0,609.
Ưu điểm của việc đổi cận là không cần trả lại biến x ở cuối bài — tính trực tiếp với biến u và cận mới là xong.
Nếu quên đổi cận mà vẫn thay cận cũ x = 0 và x = 1 vào biểu thức theo u thì kết quả sai hoàn toàn — đây là lỗi phổ biến nhất khi tính tích phân bằng phương pháp đổi biến.

Một tính chất đẹp hay xuất hiện trong đề thi là tính chất của hàm chẵn và hàm lẻ trên đoạn đối xứng [−a; a].
Nếu f(x) là hàm chẵn, tức là f(−x) = f(x), thì ∫ từ −a đến a của f(x) dx = 2 × ∫ từ 0 đến a của f(x) dx.
Nếu f(x) là hàm lẻ, tức là f(−x) = −f(x), thì ∫ từ −a đến a của f(x) dx = 0.
Ví dụ: ∫ từ −1 đến 1 của x³ dx = 0, vì x³ là hàm lẻ.
Ví dụ: ∫ từ −1 đến 1 của x² dx = 2 × ∫ từ 0 đến 1 của x² dx = 2 × (1/3) = 2/3.
Nhận ra tính chẵn lẻ trước khi tính sẽ giúp bạn tiết kiệm một nửa công sức, hoặc trả lời ngay bằng 0 mà không cần tính gì thêm.

Ứng dụng 1: tính diện tích hình phẳng

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b được tính bằng S = ∫ từ a đến b của |f(x)| dx.
Dấu giá trị tuyệt đối là bắt buộc: diện tích luôn là số dương, trong khi f(x) có thể âm trên một phần của đoạn.
Nếu đồ thị nằm hoàn toàn phía trên trục hoành trên [a; b] thì bỏ được dấu giá trị tuyệt đối.
Nếu đồ thị cắt trục hoành trong đoạn thì phải tách đoạn tại các giao điểm rồi tính từng phần, lấy giá trị tuyệt đối của từng phần.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y = f(x) và y = g(x) trên đoạn [a; b] được tính bằng S = ∫ từ a đến b của |f(x) − g(x)| dx.
Trước khi tính, phải tìm giao điểm của hai đồ thị bằng cách giải phương trình f(x) = g(x) để xác định đúng cận và biết đường nào nằm trên, đường nào nằm dưới.

Ví dụ 5: a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x², trục hoành, x = 0 và x = 2. b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường y = x² và y = x.
a) Trên đoạn [0; 2], x² ≥ 0 nên diện tích S = ∫ từ 0 đến 2 của x² dx = [x³ : 3] từ 0 đến 2 = 8 : 3.
Vậy diện tích cần tìm là 8/3 đơn vị diện tích.
b) Giải phương trình hoành độ giao điểm: x² = x, tức là x² − x = 0, tức là x(x − 1) = 0, được x = 0 hoặc x = 1.
Trên đoạn [0; 1], ta có x ≥ x² (vì 0 ≤ x ≤ 1 nên x² ≤ x), vậy diện tích S = ∫ từ 0 đến 1 của (x − x²) dx.
Tính: [x² : 2 − x³ : 3] từ 0 đến 1 = (1/2 − 1/3) − 0 = 1/6.
Vậy diện tích giữa parabol y = x² và đường thẳng y = x trên đoạn [0; 1] là 1/6 đơn vị diện tích.
Chú ý: nếu lấy nhầm (x² − x) thì kết quả ra −1/6 — diện tích âm là vô nghĩa, đó là dấu hiệu cho thấy bạn đã lấy sai thứ tự trừ.

Ứng dụng 2: tính thể tích khối tròn xoay

Khi quay một hình phẳng quanh trục Ox, ta được một khối tròn xoay.
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi y = f(x), trục hoành, x = a và x = b quanh trục Ox được tính bằng công thức V = π × ∫ từ a đến b của [f(x)]² dx.
Ý tưởng của công thức này: cắt khối tròn xoay thành vô số "đĩa" mỏng vuông góc với trục Ox, mỗi đĩa có bán kính bằng |f(x)| và độ dày dx, thể tích mỗi đĩa là π × [f(x)]² × dx, cộng tất cả các đĩa lại bằng tích phân.
Nếu quay quanh trục Oy thì công thức tương tự với vai trò của x và y đổi cho nhau — trong chương trình lớp 12, dạng quay quanh Ox gặp nhiều nhất.

Ví dụ 6: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi y = √x, trục hoành, x = 0 và x = 4 quanh trục Ox. Tính thêm thể tích khi quay y = x² trên đoạn [0; 1] quanh trục Ox.
a) Áp dụng công thức: V = π × ∫ từ 0 đến 4 của (√x)² dx = π × ∫ từ 0 đến 4 của x dx.
Tính tích phân: ∫ từ 0 đến 4 của x dx = [x² : 2] từ 0 đến 4 = 16 : 2 = 8.
Vậy thể tích là V = 8π đơn vị thể tích.
Kiểm tra bằng hình học: quay y = √x quanh trục Ox trên [0; 4] tạo thành một paraboloid, thể tích 8π ≈ 25,13 — hợp lí, vì hình này nằm trong hình trụ bán kính 2 và cao 4 có thể tích π × 4 × 4 = 16π ≈ 50,27, và paraboloid chiếm đúng một nửa thể tích hình trụ đó.
b) Với y = x² trên [0; 1]: V = π × ∫ từ 0 đến 1 của (x²)² dx = π × ∫ từ 0 đến 1 của x⁴ dx = π × [x⁵ : 5] từ 0 đến 1 = π/5.
Vậy thể tích là π/5 đơn vị thể tích.
Chú ý: trong công thức thể tích phải bình phương f(x) rồi mới lấy tích phân — nếu quên bình phương thì kết quả sai hoàn toàn.

Ứng dụng 3: tích phân trong vật lí và đời sống

Tích phân xuất hiện trong Vật lí mỗi khi một đại lượng được "tích lũy" theo thời gian hoặc theo quãng đường.
Nếu v(t) là vận tốc theo thời gian thì quãng đường đi được từ thời điểm a đến thời điểm b là s = ∫ từ a đến b của v(t) dt.
Nếu a(t) là gia tốc theo thời gian thì vận tốc thay đổi từ thời điểm a đến thời điểm b là v(b) − v(a) = ∫ từ a đến b của a(t) dt.
Nếu F(x) là lực theo quãng đường thì công thực hiện khi di chuyển từ a đến b là A = ∫ từ a đến b của F(x) dx.
Ba công thức này có cùng một cấu trúc: đại lượng tích lũy bằng tích phân của tốc độ thay đổi của nó.

Ví dụ 7: Một vật chuyển động với vận tốc v(t) = 3t² + 2 (m/s), t tính bằng giây. Tính quãng đường vật đi được từ thời điểm t = 0 đến t = 2 giây.
Quãng đường là tích phân của vận tốc theo thời gian: s = ∫ từ 0 đến 2 của (3t² + 2) dt.
Nguyên hàm của 3t² + 2 là t³ + 2t.
Áp dụng công thức Newton – Leibniz: s = [t³ + 2t] từ 0 đến 2 = (8 + 4) − (0 + 0) = 12.
Vậy quãng đường vật đi được là 12 mét.
Kiểm tra bằng vận tốc trung bình: vận tốc tại t = 0 là 2 m/s, tại t = 2 là 14 m/s, vận tốc tăng dần theo thời gian.
Quãng đường 12 mét trong 2 giây cho vận tốc trung bình 6 m/s — nằm giữa 2 m/s và 14 m/s, hợp lí.
Bạn có thể ôn lại các công thức chuyển động trong bài chuyên đề đạo hàm và ứng dụng, nơi vận tốc được định nghĩa là đạo hàm của quãng đường — còn ở đây, quãng đường là tích phân của vận tốc, đúng với quan hệ ngược nhau giữa đạo hàm và tích phân.

Những lỗi sai hay gặp nhất khi làm bài tích phân

Lỗi 1: Quên cộng hằng số C khi tính nguyên hàm.
Nguyên hàm là cả một họ hàm số, không phải một hàm số duy nhất — thiếu C là thiếu một phần của đáp án.
Chú ý: khi tính tích phân xác định bằng công thức Newton – Leibniz thì không cần C, vì C triệt tiêu khi lấy F(b) − F(a).

Lỗi 2: Quên đổi cận khi tính tích phân bằng phương pháp đổi biến.
Khi đặt u = g(x) thì cận tích phân cũng phải đổi theo: cận mới là giá trị của u tại hai đầu mút cũ.
Nếu không đổi cận thì phải trả lại biến x ở cuối bài rồi mới thay cận cũ — chọn một trong hai cách, không được trộn lẫn.

Lỗi 3: Quên dấu giá trị tuyệt đối khi tính diện tích.
Diện tích luôn là số dương, trong khi f(x) có thể âm.
Nếu đồ thị cắt trục hoành trong đoạn thì phải tách đoạn tại giao điểm rồi tính từng phần.
Nếu kết quả diện tích ra số âm thì chắc chắn đã sai — kiểm tra lại ngay.

Lỗi 4: Quên bình phương f(x) khi tính thể tích khối tròn xoay.
Công thức thể tích là V = π × ∫[f(x)]² dx — phải bình phương f(x) rồi mới lấy tích phân.
Nếu quên bình phương thì kết quả sai hoàn toàn, vì bạn đang tính diện tích chứ không phải thể tích.

Lỗi 5: Dùng sai công thức nguyên hàm của 1/x và của xⁿ với n = −1.
Nguyên hàm của 1/x là ln|x| + C, không phải x⁰ : 0.
Công thức ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹ : (n + 1) + C chỉ dùng được khi n ≠ −1.
Khi gặp ∫(1/x) dx, hãy nhớ ngay tới logarit — đây là trường hợp đặc biệt duy nhất của công thức lũy thừa.

Bài tập tự luyện — làm rồi mới xem đáp án nhé

Câu 1. Nguyên hàm của hàm số f(x) = 4x³ − 2x + 1 là:
A. x⁴ − x² + x + C
B. x⁴ − 2x² + x + C
C. 4x⁴ − x² + x + C
D. x⁴ − x² + C
→ Đáp án: A. Giải thích: Tính nguyên hàm từng số hạng: ∫4x³ dx = x⁴, ∫(−2x) dx = −x², ∫1 dx = x. Vậy họ nguyên hàm là x⁴ − x² + x + C. Đáp án B sai vì nguyên hàm của −2x là −x² chứ không phải −2x² — quên chia cho 2. Đáp án C sai vì nguyên hàm của 4x³ là x⁴ chứ không phải 4x⁴ — quên chia cho 4. Đáp án D sai vì thiếu số hạng x, nguyên hàm của 1 là x chứ không phải 0.

Câu 2. Tích phân ∫ từ 0 đến 3 của (2x + 1) dx bằng bao nhiêu?
A. 9
B. 12
C. 15
D. 6
→ Đáp án: B. Giải thích: Nguyên hàm của 2x + 1 là x² + x. Áp dụng công thức Newton – Leibniz: [x² + x] từ 0 đến 3 = (9 + 3) − (0 + 0) = 12. Đáp án A sai vì tính nhầm thành 9 — chỉ lấy x² mà quên cộng x. Đáp án C sai vì tính nhầm thành 15 — cộng thêm 3. Đáp án D sai vì tính nhầm tích phân từ 0 đến 2 thay vì từ 0 đến 3.

Câu 3. Nguyên hàm ∫x × sin x dx bằng bao nhiêu?
A. x × cos x + sin x + C
B. −x × cos x + sin x + C
C. x × sin x − cos x + C
D. −x × sin x + cos x + C
→ Đáp án: B. Giải thích: Dùng phương pháp từng phần, đặt u = x, dv = sin x dx. Khi đó du = dx và v = −cos x. Áp dụng công thức: ∫x × sin x dx = x × (−cos x) − ∫(−cos x) dx = −x × cos x + ∫cos x dx = −x × cos x + sin x + C. Đáp án A sai vì lấy v = cos x thay vì −cos x. Đáp án C sai vì đạo hàm của x × sin x − cos x là sin x + x × cos x + sin x, không phải x × sin x. Đáp án D sai vì nhầm cả u và dv.

Câu 4. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y = x³, trục hoành, x = 0 và x = 1 bằng bao nhiêu?
A. 1/2
B. 1/3
C. 1/4
D. 1
→ Đáp án: C. Giải thích: Trên đoạn [0; 1], x³ ≥ 0 nên diện tích S = ∫ từ 0 đến 1 của x³ dx = [x⁴ : 4] từ 0 đến 1 = 1/4. Đáp án A sai vì 1/2 là diện tích dưới đường y = x trên [0; 1], không phải dưới y = x³. Đáp án B sai vì 1/3 là diện tích dưới y = x² trên [0; 1]. Đáp án D sai vì 1 là diện tích dưới đường y = 1 trên [0; 1].

Câu 5. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi y = x, trục hoành, x = 0 và x = 2 quanh trục Ox bằng bao nhiêu?
A. 4π
B. 8π/3
C. 2π
D. 16π/3
→ Đáp án: B. Giải thích: Áp dụng công thức V = π × ∫ từ 0 đến 2 của x² dx = π × [x³ : 3] từ 0 đến 2 = π × (8/3) = 8π/3. Đáp án A sai vì tính nhầm thành π × 4 — lấy tích phân của x thay vì x². Đáp án C sai vì tính nhầm thành π × 2 — lấy tích phân của 1 thay vì x². Đáp án D sai vì tính nhầm thành π × (16/3) — lấy cận trên là 4 thay vì 2.

Câu hỏi thường gặp về tích phân và nguyên hàm

Nguyên hàm và tích phân khác nhau như thế nào? Nguyên hàm là một họ hàm số (có hằng số C), tích phân xác định là một con số. Quan hệ giữa chúng là công thức Newton – Leibniz: tích phân xác định từ a đến b bằng hiệu giá trị của một nguyên hàm tại hai đầu mút. Nói ngắn gọn: nguyên hàm là công cụ, tích phân xác định là kết quả.

Khi nào dùng phương pháp đổi biến, khi nào dùng từng phần? Đổi biến khi trong hàm số có một biểu thức và đạo hàm của nó cùng xuất hiện, ví dụ ∫x × √(x² + 1) dx. Từng phần khi hàm số là tích của hai hàm thuộc hai "họ" khác nhau, ví dụ đa thức nhân với hàm mũ hoặc hàm lượng giác. Nếu cả hai đều dùng được thì chọn cách nào nhanh hơn.

Vì sao diện tích phải lấy giá trị tuyệt đối mà thể tích thì không? Vì diện tích là đại lượng hình học luôn dương, trong khi f(x) có thể âm — tích phân của hàm âm cho số âm, phải lấy giá trị tuyệt đối mới ra diện tích. Còn thể tích dùng [f(x)]², bình phương đã luôn không âm nên không cần giá trị tuyệt đối.

Tích phân có ứng dụng gì ngoài tính diện tích và thể tích? Rất nhiều: tính quãng đường khi biết vận tốc, tính công khi biết lực, tính khối lượng khi biết mật độ, tính xác suất trong thống kê, tính giá trị trung bình của một hàm số trên một đoạn. Bất cứ khi nào một đại lượng được tích lũy từ tốc độ thay đổi của nó, tích phân đều xuất hiện.

Làm sao kiểm tra nhanh kết quả tích phân của mình? Ba cách: đạo hàm lại nguyên hàm để xem có ra đúng hàm số ban đầu không; ước lượng bằng hình học (diện tích dưới đồ thị khoảng bao nhiêu); dùng máy tính để bấm lại. Cách đầu tiên là nhanh nhất và đáng tin nhất — hãy tập thành thói quen.

Kết luận: tích phân là nghệ thuật cộng dồn những phần rất nhỏ

Đi hết chuyên đề này, bạn đã có trong tay toàn bộ công cụ của chương tích phân: định nghĩa nguyên hàm và họ nguyên hàm, bảng nguyên hàm cơ bản, hai phương pháp tính nguyên hàm là đổi biến số và từng phần, tích phân xác định và công thức Newton – Leibniz, và ba ứng dụng lớn nhất là diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay và quãng đường trong vật lí.
Điểm chung của tất cả các phần là một thói quen duy nhất: tìm nguyên hàm trước, thay cận sau, và luôn kiểm tra lại bằng cách đạo hàm nguyên hàm vừa tìm được.
Để ôn tiếp, hãy đọc lại bài chuyên đề đạo hàm và ứng dụng để thấy đạo hàm và tích phân là hai phép toán ngược nhau, bài công thức nguyên hàm để thuộc lòng bảng nguyên hàm, và bài chuyên đề hàm số và đồ thị để ôn lại cách đọc đồ thị khi tính diện tích.
Cuối cùng, đừng chỉ đọc — hãy tự tay tính lại 7 ví dụ trong bài không nhìn đáp án, làm 5 câu tự luyện rồi đối chiếu với bảng đáp án, và thử tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x² và y = 2x, dùng máy tính Casio online để kiểm tra lại từng giá trị mình tính.
Làm được như vậy, chuyên đề tích phân và nguyên hàm sẽ thực sự là của bạn.