Bạn mở điện thoại, chấm một điểm trên bản đồ, và ngay lập tức biết mình đang đứng ở đâu, quán cà phê gần nhất nằm hướng nào, còn bao xa nữa thì tới.
Đằng sau sự tiện lợi ấy là một ý tưởng toán học rất đẹp: mỗi vị trí được gắn với một bộ ba con số — kinh độ, vĩ độ và độ cao — và chỉ cần ba con số đó, người ta xác định được chính xác một điểm trong không gian.
Hình học tọa độ Oxyz làm đúng việc ấy, nhưng gọn gàng hơn nhiều: thay vì kinh độ vĩ độ, ta dùng ba trục số vuông góc với nhau, và thay vì cả hành tinh, ta làm việc với bất cứ điểm nào — từ một đỉnh của khối chóp trong bài kiểm tra, tới một đỉnh của nhân vật trong game 3D, tới vị trí của một vệ tinh đang bay quanh Trái Đất.
Chuyên đề này đi từ hệ trục Oxyz qua vectơ, tích vô hướng, tích có hướng tới mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu, khoảng cách và góc — kèm 8 ví dụ giải chi tiết, những lỗi sai hay gặp và 5 câu tự luyện có đáp án như giáo viên chữa bài.
1. Hệ trục tọa độ Oxyz — bản đồ của không gian
Trên mặt phẳng, bạn đã quen với hệ trục Oxy: hai trục số vuông góc với nhau tại gốc O, mỗi điểm được xác định bởi một cặp số (x; y).
Không gian ba chiều chỉ cần thêm một trục nữa là đủ: trục Oz vuông góc với cả Ox và Oy, cũng đi qua gốc O.
Ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau, chung gốc O, hợp thành hệ trục tọa độ Oxyz — gọi tắt là hệ tọa độ trong không gian.
Trong hệ này, mỗi điểm M được xác định bởi một bộ ba số có thứ tự (x; y; z): x là hoành độ, y là tung độ, z là cao độ của điểm M.
Nhìn vào hình minh họa ngay đầu bài, điểm M(2; 3; 4) có ba hình chiếu vuông góc là M₁(2; 3; 0) trên mặt phẳng Oxy, M₂(2; 0; 4) trên mặt phẳng Oxz và M₃(0; 3; 4) trên mặt phẳng Oyz — chỉ cần đổi số 0 vào đúng vị trí là bạn có ngay tọa độ hình chiếu, không cần tính toán gì thêm.
Đổi thứ tự là đổi điểm — M(2; 3; 4) và M(3; 2; 4) là hai điểm hoàn toàn khác nhau trong không gian, dù chúng dùng chung ba con số 2, 3, 4.
2. Vectơ trong không gian — tọa độ và các phép toán
Nếu điểm là một "địa chỉ" trong không gian thì vectơ là một "mũi tên": nó có hướng và có độ dài.
Trong hệ Oxyz, mỗi vectơ a được xác định bởi một bộ ba số (x; y; z), viết là a = (x; y; z), trong đó x, y, z là tọa độ của vectơ.
Cho hai điểm A(x₁; y₁; z₁) và B(x₂; y₂; z₂), vectơ AB có tọa độ bằng tọa độ điểm cuối trừ tọa độ điểm đầu: AB = (x₂ − x₁; y₂ − y₁; z₂ − z₁).
Đây là công thức bạn sẽ dùng nhiều nhất trong cả chuyên đề, vì hầu hết bài toán đều bắt đầu bằng việc tính vectơ nối hai điểm.
Độ dài của vectơ a = (x; y; z) được tính bằng công thức |a| = √(x² + y² + z²) — chính là định lý Py-ta-go mở rộng lên ba chiều.
Từ đó, khoảng cách giữa hai điểm A và B bằng độ dài của vectơ AB: AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²).
Trung điểm M của đoạn thẳng AB có tọa độ bằng trung bình cộng tọa độ hai đầu mút: M((x₁ + x₂) : 2; (y₁ + y₂) : 2; (z₁ + z₂) : 2).
Khi bấm máy tính, bạn có thể dùng máy tính Casio online để tính nhanh căn bậc hai và kiểm tra lại các phép tính tọa độ, tránh sai sót ở những phép tính tưởng chừng đơn giản nhất.
Ví dụ 1: Tính vectơ AB và độ dài của nó.
Cho A(1; 2; 3) và B(4; 6; 3).
Bước 1: Tính vectơ AB bằng tọa độ điểm cuối trừ tọa độ điểm đầu: AB = (4 − 1; 6 − 2; 3 − 3) = (3; 4; 0).
Bước 2: Tính độ dài |AB| = √(3² + 4² + 0²) = √(9 + 16 + 0) = √25 = 5.
Vậy AB = (3; 4; 0) và độ dài đoạn AB bằng 5.
Ví dụ 2: Tìm trung điểm của đoạn thẳng.
Cho A(1; 2; 3) và B(4; 6; 3), tìm trung điểm M của đoạn AB.
Bước 1: Hoành độ của M bằng trung bình cộng hoành độ hai đầu mút: (1 + 4) : 2 = 5 : 2.
Bước 2: Tung độ của M là (2 + 6) : 2 = 4.
Bước 3: Cao độ của M là (3 + 3) : 2 = 3.
Vậy trung điểm M có tọa độ (5/2; 4; 3).
3. Tích vô hướng — đo góc và kiểm tra vuông góc
Tích vô hướng là công cụ để đo "mức độ cùng hướng" của hai vectơ: hai vectơ càng cùng hướng thì tích vô hướng càng lớn, hai vectơ vuông góc thì tích vô hướng bằng 0.
Với a = (x₁; y₁; z₁) và b = (x₂; y₂; z₂), tích vô hướng được tính bằng công thức a·b = x₁·x₂ + y₁·y₂ + z₁·z₂ — nhân từng cặp thành phần tương ứng rồi cộng lại.
Công thức này có hai hệ quả quan trọng mà bạn sẽ dùng suốt cả chương.
Thứ nhất, hai vectơ a và b vuông góc với nhau khi và chỉ khi a·b = 0.
Đây là cách kiểm tra vuông góc nhanh nhất trong không gian: thay vì vẽ hình hay chứng minh dài dòng như trong chuyên đề hình học không gian, bạn chỉ cần tính một tổng ba số hạng và xem nó có bằng 0 hay không.
Thứ hai, góc φ giữa hai vectơ a và b được tính bằng công thức cos φ = (a·b) : (|a|·|b|).
Vì cos φ nằm trong khoảng từ −1 tới 1 nên bạn luôn có thể kiểm tra lại kết quả: nếu tính ra cos φ lớn hơn 1 hoặc nhỏ hơn −1 thì chắc chắn đã tính sai ở đâu đó.
Ví dụ 3: Tính tích vô hướng và góc giữa hai vectơ.
Cho a = (1; 2; 3) và b = (4; 5; 6).
Bước 1: Tính tích vô hướng a·b = 1·4 + 2·5 + 3·6 = 4 + 10 + 18 = 32.
Bước 2: Tính độ dài từng vectơ: |a| = √(1 + 4 + 9) = √14, |b| = √(16 + 25 + 36) = √77.
Bước 3: Tính cosin của góc giữa hai vectơ: cos(a, b) = 32 : (√14 · √77) = 32 : √1078 ≈ 0,975.
Bước 4: Từ cos ≈ 0,975, góc giữa hai vectơ khoảng 13° — hai vectơ gần như cùng hướng, điều này hợp lý vì các thành phần của chúng đều dương và tăng dần theo cùng một kiểu.
Vậy a·b = 32 và cos(a, b) ≈ 0,975.
4. Tích có hướng — diện tích và thể tích
Nếu tích vô hướng cho ra một con số thì tích có hướng cho ra một vectơ mới — một vectơ vuông góc với cả hai vectơ ban đầu.
Với a = (x₁; y₁; z₁) và b = (x₂; y₂; z₂), tích có hướng [a, b] được tính bằng công thức [a, b] = (y₁·z₂ − z₁·y₂; z₁·x₂ − x₁·z₂; x₁·y₂ − y₁·x₂).
Tích có hướng có ba ứng dụng lớn.
Thứ nhất, vectơ [a, b] vuông góc với cả a và b, nên nó chính là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa hai vectơ a và b — đây là cầu nối quan trọng để viết phương trình mặt phẳng ở mục sau.
Thứ hai, độ dài của [a, b] bằng diện tích hình bình hành tạo bởi hai vectơ a và b: S = |[a, b]|.
Từ đó, diện tích tam giác ABC bằng một nửa độ dài tích có hướng của hai vectơ AB và AC: S = (1/2)·|[AB, AC]|.
Thứ ba, thể tích khối hộp tạo bởi ba vectơ a, b, c bằng trị tuyệt đối của tích hỗn tạp: V = |[a, b]·c|.
Từ đó, thể tích tứ diện ABCD bằng một phần sáu trị tuyệt đối của tích hỗn tạp: V = (1/6)·|[AB, AC]·AD|.
Một lưu ý quan trọng: tích có hướng đổi dấu khi đổi thứ tự hai vectơ, tức là [b, a] = −[a, b].
Vì vậy khi tính diện tích hay thể tích bạn luôn lấy trị tuyệt đối, còn khi tìm vectơ pháp tuyến thì thứ tự hai vectơ sẽ quyết định hướng của pháp tuyến — nhưng mặt phẳng thì không quan tâm pháp tuyến chỉ lên hay chỉ xuống, nên bạn cứ yên tâm.
Ví dụ 4: Tính tích có hướng của hai vectơ.
Cho a = (1; 2; 3) và b = (4; 5; 6), tính [a, b].
Bước 1: Thành phần thứ nhất: y₁·z₂ − z₁·y₂ = 2·6 − 3·5 = 12 − 15 = −3.
Bước 2: Thành phần thứ hai: z₁·x₂ − x₁·z₂ = 3·4 − 1·6 = 12 − 6 = 6.
Bước 3: Thành phần thứ ba: x₁·y₂ − y₁·x₂ = 1·5 − 2·4 = 5 − 8 = −3.
Vậy [a, b] = (−3; 6; −3).
Kiểm tra lại bằng tính chất vuông góc: tích vô hướng của kết quả với a phải bằng 0, và (−3)·1 + 6·2 + (−3)·3 = −3 + 12 − 9 = 0, đúng.
Tương tự, tích vô hướng với b: (−3)·4 + 6·5 + (−3)·6 = −12 + 30 − 18 = 0, cũng đúng — kết quả của bạn vuông góc với cả hai vectơ ban đầu, như lý thuyết đã nói.
5. Phương trình mặt phẳng
Một mặt phẳng trong không gian được xác định hoàn toàn khi bạn biết một điểm nó đi qua và một vectơ vuông góc với nó — vectơ đó gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
Nếu mặt phẳng đi qua điểm M₀(x₀; y₀; z₀) và có vectơ pháp tuyến n = (A; B; C) thì phương trình của nó là A(x − x₀) + B(y − y₀) + C(z − z₀) = 0.
Khai triển ra, bạn được dạng tổng quát Ax + By + Cz + D = 0, trong đó D = −(A·x₀ + B·y₀ + C·z₀).
Nhìn vào dạng tổng quát, bạn có thể đọc ngay vectơ pháp tuyến: đó chính là bộ ba hệ số (A; B; C) đứng trước x, y, z.
Đây là một trong những "phím tắt" hữu ích nhất của chuyên đề: cho phương trình mặt phẳng, đọc pháp tuyến chỉ mất một giây; cho pháp tuyến và một điểm, viết phương trình cũng chỉ mất vài dòng.
Muốn viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng, bạn tính hai vectơ AB và AC, lấy tích có hướng [AB, AC] làm pháp tuyến, rồi dùng công thức ở đầu mục với một trong ba điểm.
Một thói quen tốt: sau khi viết xong phương trình mặt phẳng, hãy thay tọa độ điểm đã cho vào để kiểm tra — vế trái phải bằng 0.
Thói quen này chỉ tốn vài giây nhưng bắt được gần như mọi lỗi sai dấu và sai số trong lúc khai triển.
Ví dụ 5: Viết phương trình mặt phẳng khi biết điểm đi qua và pháp tuyến.
Viết phương trình mặt phẳng đi qua M(1; 2; 3) và có vectơ pháp tuyến n = (2; −1; 1).
Bước 1: Áp dụng công thức A(x − x₀) + B(y − y₀) + C(z − z₀) = 0 với A = 2, B = −1, C = 1 và M₀ = (1; 2; 3): 2(x − 1) − (y − 2) + (z − 3) = 0.
Bước 2: Khai triển: 2x − 2 − y + 2 + z − 3 = 0.
Bước 3: Rút gọn các hệ số tự do: −2 + 2 − 3 = −3, vậy phương trình là 2x − y + z − 3 = 0.
Kiểm tra lại: thay M(1; 2; 3) vào vế trái, ta được 2·1 − 2 + 3 − 3 = 0, đúng bằng 0 — điểm M thuộc mặt phẳng, phương trình viết đúng.
6. Phương trình đường thẳng
Giống như mặt phẳng cần một điểm và một pháp tuyến, một đường thẳng trong không gian được xác định hoàn toàn khi bạn biết một điểm nó đi qua và một vectơ chỉ phương — vectơ có hướng trùng với hướng của đường thẳng.
Nếu đường thẳng đi qua điểm A(x₀; y₀; z₀) và có vectơ chỉ phương u = (a; b; c) thì phương trình tham số của nó là x = x₀ + a·t, y = y₀ + b·t, z = z₀ + c·t, trong đó t là tham số chạy khắp các số thực.
Nếu cả ba thành phần a, b, c đều khác 0, bạn có thể khử t để được phương trình chính tắc: (x − x₀) : a = (y − y₀) : b = (z − z₀) : c.
Phương trình chính tắc gọn và đẹp, nhưng phương trình tham số mới là dạng bạn dùng nhiều nhất khi giải bài tập, vì nó cho ra tọa độ điểm một cách trực tiếp.
Đường thẳng đi qua hai điểm A và B có vectơ chỉ phương là AB — chỉ cần tính AB rồi viết phương trình tham số với điểm A là xong.
Quan hệ giữa hai đường thẳng cũng đọc được từ chỉ phương: hai đường thẳng song song khi hai chỉ phương cùng phương, vuông góc khi hai chỉ phương vuông góc, tức là tích vô hướng bằng 0.
Nhưng cẩn thận: hai đường thẳng có chỉ phương không cùng phương thì chưa chắc đã cắt nhau — trong không gian, chúng có thể chéo nhau, tức là không song song, không cắt nhau và cũng không cùng nằm trên một mặt phẳng.
Quan hệ giữa đường thẳng và mặt phẳng cũng rất gọn: đường thẳng song song với mặt phẳng khi chỉ phương u vuông góc với pháp tuyến n, tức là u·n = 0; đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khi chỉ phương u cùng phương với pháp tuyến n.
Ví dụ 6: Viết phương trình tham số của đường thẳng.
Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua A(1; 0; 2) và có vectơ chỉ phương u = (1; 2; −1).
Bước 1: Áp dụng công thức x = x₀ + a·t, y = y₀ + b·t, z = z₀ + c·t với (x₀; y₀; z₀) = (1; 0; 2) và (a; b; c) = (1; 2; −1).
Bước 2: Thay số vào: x = 1 + t, y = 0 + 2t, z = 2 − t.
Vậy phương trình tham số của đường thẳng là x = 1 + t, y = 2t, z = 2 − t.
Kiểm tra lại: với t = 0, ta được điểm (1; 0; 2) chính là điểm A đã cho — đường thẳng đi qua A, đúng.
7. Phương trình mặt cầu
Mặt cầu là tập hợp tất cả các điểm trong không gian cách đều một điểm cố định — điểm đó gọi là tâm, khoảng cách chung đó gọi là bán kính.
Nếu mặt cầu có tâm I(a; b; c) và bán kính R thì phương trình của nó là (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = R².
Công thức này thực ra chính là công thức khoảng cách: điểm M(x; y; z) thuộc mặt cầu khi và chỉ khi IM = R, mà IM = √((x − a)² + (y − b)² + (z − c)²), bình phương hai vế là ra phương trình.
Khai triển ra, bạn được dạng tổng quát x² + y² + z² − 2ax − 2by − 2cz + d = 0, trong đó d = a² + b² + c² − R².
Ngược lại, một phương trình dạng x² + y² + z² − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi a² + b² + c² − d > 0, và khi đó tâm là I(a; b; c), bán kính R = √(a² + b² + c² − d).
Điều kiện a² + b² + c² − d > 0 rất hay bị bỏ qua: nếu vế này bằng 0 thì phương trình chỉ còn một điểm duy nhất là tâm, nếu âm thì không có điểm nào thỏa mãn — cả hai trường hợp đều không phải là mặt cầu.
Mặt cầu và mặt phẳng có ba vị trí tương đối: không giao nhau khi khoảng cách từ tâm tới mặt phẳng lớn hơn R, tiếp xúc khi khoảng cách bằng R, và cắt nhau theo một đường tròn khi khoảng cách nhỏ hơn R.
Ví dụ 7: Viết phương trình mặt cầu khi biết tâm và bán kính.
Viết phương trình mặt cầu có tâm I(1; −2; 3) và bán kính R = 5.
Bước 1: Áp dụng công thức (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = R² với (a; b; c) = (1; −2; 3) và R = 5.
Bước 2: Thay số vào: (x − 1)² + (y − (−2))² + (z − 3)² = 5².
Bước 3: Rút gọn: (x − 1)² + (y + 2)² + (z − 3)² = 25.
Vậy phương trình mặt cầu là (x − 1)² + (y + 2)² + (z − 3)² = 25.
Kiểm tra lại: điểm (6; −2; 3) cách tâm I một đoạn bằng 5 theo trục Ox, thay vào vế trái ta được (6 − 1)² + 0 + 0 = 25, đúng bằng vế phải — điểm này nằm trên mặt cầu, phương trình viết đúng.
8. Khoảng cách và góc trong không gian Oxyz
Sau khi đã có phương trình của mặt phẳng, đường thẳng và mặt cầu, phần cuối của lý thuyết là đo: khoảng cách và góc — hai đại lượng mà đề thi hỏi nhiều nhất trong chương này.
Khoảng cách từ điểm M₀(x₀; y₀; z₀) tới mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 được tính bằng công thức d = |A·x₀ + B·y₀ + C·z₀ + D| : √(A² + B² + C²).
Công thức này rất dễ nhớ nếu bạn hiểu ý nghĩa của nó: tử số là "độ lệch" của điểm so với mặt phẳng — thay tọa độ điểm vào vế trái phương trình mặt phẳng rồi lấy trị tuyệt đối; mẫu số là độ dài của vectơ pháp tuyến.
Khoảng cách từ điểm M tới đường thẳng đi qua A với chỉ phương u được tính bằng công thức d = |[u, AM]| : |u|.
Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) có pháp tuyến n₁, n₂ được tính bằng công thức cos φ = |n₁·n₂| : (|n₁|·|n₂|), với φ là góc nhọn từ 0° tới 90°.
Góc giữa hai đường thẳng có chỉ phương u₁, u₂ cũng tính tương tự: cos φ = |u₁·u₂| : (|u₁|·|u₂|).
Riêng góc giữa đường thẳng và mặt phẳng thì dùng sin thay vì cos: nếu đường thẳng có chỉ phương u và mặt phẳng có pháp tuyến n thì sin φ = |u·n| : (|u|·|n|).
Ba công thức góc này đều có trị tuyệt đối ở tử số, vì góc giữa hai mặt phẳng, hai đường thẳng hay đường thẳng với mặt phẳng luôn được lấy là góc nhọn, từ 0° tới 90°.
Ví dụ 8: Tính khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng.
Tính khoảng cách từ điểm M(1; 2; 3) đến mặt phẳng (P): x + 2y + 2z − 6 = 0.
Bước 1: Xác định các hệ số của mặt phẳng: A = 1, B = 2, C = 2, D = −6.
Bước 2: Tính tử số: |A·x₀ + B·y₀ + C·z₀ + D| = |1·1 + 2·2 + 2·3 − 6| = |1 + 4 + 6 − 6| = |5| = 5.
Bước 3: Tính mẫu số: √(A² + B² + C²) = √(1 + 4 + 4) = √9 = 3.
Bước 4: Khoảng cách d = 5 : 3.
Vậy khoảng cách từ M tới mặt phẳng (P) bằng 5/3.
9. Những lỗi sai hay gặp nhất khi làm bài hình học tọa độ Oxyz
Lỗi 1: Lấy tọa độ điểm cuối trừ tọa độ điểm đầu bị ngược.
Vectơ AB bằng tọa độ của B trừ tọa độ của A, nhưng rất nhiều bạn làm ngược thành A trừ B, tức là tính ra vectơ BA thay vì AB.
Hai vectơ này đối nhau: AB = −BA, nên mọi tính toán sau đó — độ dài thì không sao vì trị tuyệt đối giống nhau, nhưng hướng thì ngược hẳn.
Lỗi 2: Nhầm lẫn vectơ pháp tuyến với vectơ chỉ phương.
Mặt phẳng dùng pháp tuyến n, đường thẳng dùng chỉ phương u — hai loại vectơ này có vai trò trái ngược nhau.
Đường thẳng nằm trong mặt phẳng phải có chỉ phương vuông góc với pháp tuyến, tức là u·n = 0, chứ không phải u = n.
Cách tránh: mỗi lần viết phương trình, hãy tự hỏi "vectơ này vuông góc hay song song với hình của mình" trước khi dùng nó.
Lỗi 3: Quên trị tuyệt đối trong công thức khoảng cách và góc.
Khoảng cách không bao giờ âm, góc giữa hai mặt phẳng hay hai đường thẳng không bao giờ tù — vì vậy các công thức này đều có trị tuyệt đối ở tử số.
Nhiều bạn tính khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng ra số âm rồi để nguyên đáp án âm, hoặc tính cosin của góc giữa hai đường thẳng ra số âm rồi kết luận góc tù.
Lỗi 4: Sai dấu khi khai triển phương trình mặt cầu và mặt phẳng.
Mặt cầu tâm I(1; −2; 3) có phương trình (x − 1)² + (y + 2)² + (z − 3)² = R² — dấu cộng trước số 2 xuất hiện vì y − (−2) = y + 2.
Tương tự, mặt phẳng 2(x − 1) − (y − 2) + (z − 3) = 0 khai triển thành 2x − y + z − 3 = 0, trong đó −(y − 2) cho ra −y + 2 chứ không phải −y − 2.
Cách tránh: khai triển chậm rãi từng ngoặc một, và luôn thay tọa độ điểm đã cho vào phương trình cuối cùng để kiểm tra — nếu vế trái không bằng 0 thì chắc chắn đã sai dấu ở đâu đó.
Lỗi 5: Nhầm công thức cosin và sin khi tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Góc giữa hai đường thẳng dùng cos, góc giữa hai mặt phẳng dùng cos, nhưng góc giữa đường thẳng và mặt phẳng lại dùng sin: sin φ = |u·n| : (|u|·|n|).
Nhiều bạn áp dụng cos cho cả ba trường hợp, tính ra một góc rồi kết luận luôn mà không nhận ra góc đó thực ra là góc giữa đường thẳng và pháp tuyến, chứ không phải góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Cách tránh: hãy nhớ theo hình ảnh — pháp tuyến "đứng thẳng" trên mặt phẳng, nên góc giữa đường thẳng và mặt phẳng cộng với góc giữa đường thẳng và pháp tuyến bằng 90°; cứ thấy pháp tuyến là nghĩ tới sin.
10. Bài tập tự luyện — làm rồi mới xem đáp án nhé
Câu 1: Độ dài của vectơ a = (3; 4; 0) bằng bao nhiêu?
A. 5
B. 7
C. 3
D. 12
→ Đáp án: A.
Giải thích: Áp dụng công thức độ dài vectơ |a| = √(x² + y² + z²) = √(3² + 4² + 0²) = √(9 + 16) = √25 = 5, vậy đáp án A đúng.
Đáp án B sai vì 7 là tổng 3 + 4 + 0 — cộng các thành phần thì ra 7, nhưng độ dài vectơ phải tính bằng căn của tổng bình phương, không phải tổng thường.
Đáp án C sai vì 3 chỉ là thành phần x của vectơ, không phải độ dài của cả vectơ.
Đáp án D sai vì 12 không xuất hiện trong phép tính đúng nào: 3² + 4² = 25, và √25 = 5.
Câu 2: Tích vô hướng của a = (2; −1; 3) và b = (1; 2; 1) bằng bao nhiêu?
A. 5
B. 3
C. 0
D. 6
→ Đáp án: B.
Giải thích: Tích vô hướng a·b = 2·1 + (−1)·2 + 3·1 = 2 − 2 + 3 = 3, vậy đáp án B đúng.
Đáp án A sai vì 5 là kết quả khi bạn bỏ qua thành phần thứ hai: 2·1 + 3·1 = 5 — tích vô hướng phải cộng đủ cả ba tích thành phần, bỏ mất (−1)·2 = −2 là sai.
Đáp án C sai vì 0 là giá trị của tích vô hướng khi hai vectơ vuông góc với nhau, mà ở đây tích bằng 3, khác 0 nên hai vectơ không vuông góc.
Đáp án D sai vì 6 là tổng 2 + 1 + 3 của các thành phần vectơ a — tích vô hướng phải nhân từng cặp thành phần tương ứng rồi mới cộng.
Câu 3: Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng 2x − y + 2z − 6 = 0 là vectơ nào?
A. (1; −1; 1)
B. (2; 1; 2)
C. (2; −1; 2)
D. (1; 1; 1)
→ Đáp án: C.
Giải thích: Với mặt phẳng dạng Ax + By + Cz + D = 0, vectơ pháp tuyến là (A; B; C).
Ở đây A = 2, B = −1, C = 2 nên pháp tuyến là (2; −1; 2), đáp án C đúng.
Đáp án A sai vì (1; −1; 1) là kết quả chia các hệ số cho 2 nhưng quên chia hệ số y: −1 : 2 = −1/2 chứ không phải −1.
Đáp án B sai vì (2; 1; 2) lấy sai dấu của hệ số y: trong phương trình là −y nên B = −1 chứ không phải +1.
Đáp án D sai vì (1; 1; 1) là vectơ lấy tất cả các hệ số bằng 1, không liên quan gì tới các hệ số thật 2, −1, 2 trong phương trình.
Câu 4: Điểm nào sau đây thuộc mặt cầu (x − 1)² + y² + z² = 9?
A. (4; 0; 0)
B. (1; 2; 1)
C. (2; 2; 0)
D. (0; 0; 0)
→ Đáp án: A.
Giải thích: Mặt cầu có tâm I(1; 0; 0) và bán kính R = 3.
Thử điểm A(4; 0; 0): (4 − 1)² + 0² + 0² = 9, đúng bằng vế phải nên A thuộc mặt cầu, đáp án A đúng.
Đáp án B sai vì thử B(1; 2; 1) được 0 + 4 + 1 = 5, khác 9 nên B nằm trong mặt cầu.
Đáp án C sai vì thử C(2; 2; 0) được 1 + 4 = 5, khác 9 nên C cũng nằm trong mặt cầu.
Đáp án D sai vì thử D(0; 0; 0) được 1, khác 9 nên D nằm trong mặt cầu, cách tâm một đoạn bằng 1.
Câu 5: Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng x + y + z − 3 = 0 bằng bao nhiêu?
A. 3
B. √3
C. 1
D. 3√3
→ Đáp án: B.
Giải thích: Áp dụng công thức khoảng cách từ điểm M₀(x₀; y₀; z₀) tới mặt phẳng: d = |A·x₀ + B·y₀ + C·z₀ + D| : √(A² + B² + C²).
Với O(0; 0; 0) và mặt phẳng x + y + z − 3 = 0, ta có tử số |0 + 0 + 0 − 3| = 3, mẫu số √(1 + 1 + 1) = √3, vậy d = 3 : √3 = √3, đáp án B đúng.
Đáp án A sai vì 3 chỉ là tử số — nhiều bạn tính xong tử số thì dừng lại và quên chia cho mẫu số √(A² + B² + C²).
Đáp án C sai vì 1 là kết quả khi bạn chia 3 cho 3 thay vì chia cho √3: mẫu số là √(1 + 1 + 1) = √3 chứ không phải 1 + 1 + 1 = 3.
Đáp án D sai vì 3√3 là kết quả khi bạn nhân tử số với mẫu số thay vì chia: 3 · √3 = 3√3, trong khi công thức khoảng cách là chia, không phải nhân.
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | A | B | C | A | B |
11. Câu hỏi thường gặp về hình học tọa độ Oxyz
Hình học tọa độ Oxyz khác gì so với hình học không gian đã học ở lớp 11?
Hình học không gian ở lớp 11 dùng suy luận hình học thuần túy: vẽ hình, chứng minh song song, vuông góc, tính góc và khoảng cách bằng các định lý hình học.
Hình học tọa độ Oxyz ở lớp 12 gắn mỗi điểm với ba con số (x; y; z) rồi biến mọi bài toán hình học thành bài toán tính toán với số.
Bạn có thể ôn lại phần hình học tổng hợp trong chuyên đề hình học không gian trước khi đi sâu vào tọa độ, hai chuyên đề này nối tiếp nhau rất tự nhiên.
Khi nào dùng tích vô hướng, khi nào dùng tích có hướng?
Bạn dùng tích vô hướng khi bài toán hỏi về góc, về vuông góc, hoặc về hình chiếu — vì tích vô hướng cho ra một con số gắn với cosin của góc giữa hai vectơ.
Bạn dùng tích có hướng khi bài toán hỏi về diện tích, thể tích, hoặc khi cần tìm một vectơ vuông góc với hai vectơ cho trước — vì tích có hướng cho ra một vectơ mới vuông góc với cả hai vectơ ban đầu.
Một cách nhớ nhanh: "vô hướng thì ra số, có hướng thì ra vectơ".
Làm sao để không nhầm dấu khi viết phương trình mặt phẳng và mặt cầu?
Bí quyết chỉ có một: sau khi viết xong phương trình, thay ngay tọa độ điểm đã cho vào để kiểm tra.
Với mặt phẳng qua M(1; 2; 3), thay (1; 2; 3) vào vế trái phải được 0; với mặt cầu tâm I(1; −2; 3), thay điểm (6; −2; 3) vào vế trái phải được 25.
Việc kiểm tra này chỉ tốn khoảng mười giây nhưng cứu được rất nhiều điểm số, vì sai dấu là lỗi phổ biến nhất của cả chương.
Phương trình chính tắc và phương trình tham số của đường thẳng khác nhau thế nào?
Hai dạng này mô tả cùng một đường thẳng, chỉ khác cách trình bày.
Phương trình tham số x = x₀ + a·t, y = y₀ + b·t, z = z₀ + c·t cho bạn tọa độ điểm trực tiếp theo tham số t — rất tiện khi cần tìm giao điểm với mặt phẳng hay với đường thẳng khác.
Phương trình chính tắc (x − x₀) : a = (y − y₀) : b = (z − z₀) : c gọn hơn và đọc được ngay điểm đi qua cùng vectơ chỉ phương — rất tiện khi chỉ cần nhận dạng đường thẳng.
Lưu ý nhỏ: phương trình chính tắc chỉ viết được khi cả ba thành phần a, b, c đều khác 0; nếu một thành phần bằng 0 thì bạn phải giữ dạng tham số hoặc viết dạng chính tắc khuyết.
Học hình học tọa độ Oxyz xong thì ôn tiếp chuyên đề nào?
Sau Oxyz, bạn nên ôn tiếp chuyên đề tích phân và nguyên hàm, vì tích phân là công cụ tính thể tích của nhiều khối tròn xoay mà hình học tọa độ đã giúp bạn mô tả bằng phương trình.
12. Kết luận: ba con số mở ra cả không gian
Hình học tọa độ Oxyz bắt đầu từ một ý tưởng đơn giản tới mức khó tin: mỗi điểm trong không gian chỉ cần ba con số (x; y; z) là đủ để xác định.
Từ ba con số ấy, bạn tính được vectơ nối hai điểm, độ dài đoạn thẳng, trung điểm và trọng tâm.
Thêm tích vô hướng, bạn đo được góc và kiểm tra vuông góc; thêm tích có hướng, bạn tính được diện tích, thể tích và tìm được pháp tuyến.
Cuối cùng, khoảng cách và góc chỉ là việc thay số vào công thức — mọi thứ nối với nhau thành một mạch duy nhất, không có công thức nào đứng riêng lẻ.
Đặc biệt, đừng bao giờ bỏ qua bước kiểm tra: thay điểm vào phương trình mặt phẳng phải được 0, tích vô hướng của tích có hướng với hai vectơ gốc phải bằng 0, cosin tính ra phải nằm trong khoảng từ −1 tới 1.
Những lần kiểm tra nhỏ ấy chính là "lưới an toàn" giữ điểm số của bạn trong phòng thi.