Chuyên đề Hàm số mũ và logarit Toán 11: lý thuyết, công thức, bài tập

Năm bạn mười tuổi, mẹ gửi vào sổ tiết kiệm 10 triệu đồng với lãi suất 6 phần trăm một năm.
Năm sau, số tiền trong sổ không chỉ tăng thêm 600 nghìn đồng tiền lãi của 10 triệu ban đầu, mà tiền lãi của năm trước cũng bắt đầu sinh lãi.
Cứ thế, năm này chồng lên năm trước, số tiền lớn dần theo một quy luật mà cộng trừ nhân chia thông thường khó mô tả gọn: mỗi năm, số tiền được nhân với cùng một số 1,06.
Sau 5 năm, phép nhân ấy lặp lại 5 lần, và sau 10 năm, con số cuối cùng lớn hơn nhiều so với cảm giác ban đầu của bạn.
Quy luật nhân lặp đi lặp lại cùng một số ấy chính là hàm số mũ, và nó xuất hiện ở khắp nơi trong đời sống, không chỉ trong sổ tiết kiệm.

Hãy nhìn ra ngoài cửa sổ lớp học.
Dân số một thành phố tăng khoảng 2 phần trăm mỗi năm thì sau 30 năm sẽ đông gấp gần 2 lần, vì mỗi năm dân số mới lại bằng dân số cũ nhân với 1,02.
Một tin đồn lan trên mạng xã hội cũng vậy: mỗi người kể cho 3 người khác, 3 người ấy mỗi người lại kể cho 3 người nữa, chỉ sau vài lượt chia sẻ, số người biết tin đã lên tới hàng nghìn.
Ngược lại, một mẫu gỗ cổ chôn dưới đất mất dần cacbon-14 theo thời gian, cứ 5.730 năm lượng cacbon-14 còn lại chỉ còn một nửa.
Muốn biết mẫu gỗ ấy bao nhiêu tuổi, các nhà khảo cổ phải làm phép tính ngược lại: từ lượng còn lại suy ra thời gian đã trôi qua.
Phép tính ngược ấy chính là logarit, người bạn song sinh không thể tách rời của hàm số mũ.

Chuyên đề này sẽ cùng bạn đi hết một vòng trọn vẹn của chương 6, Toán 11, sách Kết nối tri thức với cuộc sống.
Bạn sẽ ôn lại lũy thừa với số mũ thực, hiểu rõ hàm số mũ và hàm số logarit là gì, thuộc lòng các công thức logarit hay dùng nhất, rồi học cách giải phương trình và bất phương trình mũ, logarit theo từng dạng quen thuộc.
Cuối cùng, bạn sẽ thấy những công thức tưởng như khô khan ấy giải thích được lãi kép, sự tăng trưởng dân số, tuổi của mẫu gỗ cổ, độ chua của dung dịch và cả độ mạnh của một trận động đất.
Cứ đọc chậm, tính theo từng ví dụ, và đừng bỏ qua 5 câu tự luyện ở cuối bài, vì đó mới là lúc kiến thức thực sự trở thành của bạn.
Khi cần bấm máy tính nhanh để kiểm tra một lũy thừa hay một logarit, bạn có thể dùng máy tính Casio online ngay trên trình duyệt, không cần mang theo máy tính cầm tay.

1. Lũy thừa với số mũ thực — ôn lại nền tảng

Trước khi học hàm số mũ, bạn cần chắc chắn mình đã nắm vững lũy thừa, vì mọi tính chất của hàm số mũ đều bắt nguồn từ tính chất của lũy thừa.
Với a là số thực dương và n là số nguyên dương, aⁿ nghĩa là nhân a với chính nó n lần, ví dụ 2⁵ bằng 32.
Với số mũ nguyên âm, a⁻ⁿ bằng 1 chia cho aⁿ, ví dụ 2⁻³ bằng 1 phần 8.
Với số mũ 0, quy ước a⁰ bằng 1 với mọi a khác 0.
Với số mũ hữu tỉ, a mũ 1 phần 2 là căn bậc hai của a, còn a mũ 2 phần 3 là căn bậc ba của a rồi bình phương lên.
Với số mũ thực bất kì, chẳng hạn 2 mũ căn 2, sách giáo khoa định nghĩa bằng giới hạn của dãy lũy thừa với số mũ hữu tỉ tiến dần tới căn 2, và bạn chỉ cần nhớ rằng mọi quy tắc tính lũy thừa quen thuộc vẫn giữ nguyên.

Có 5 tính chất lũy thừa bạn phải thuộc lòng, vì chúng sẽ được dùng đi dùng lại trong cả chuyên đề này.
Thứ nhất, khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng số mũ: aᵐ nhân aⁿ bằng aᵐ⁺ⁿ.
Thứ hai, khi chia hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và trừ số mũ: aᵐ chia aⁿ bằng aᵐ⁻ⁿ, với a khác 0.
Thứ ba, lũy thừa của một lũy thừa thì nhân các số mũ với nhau: (aᵐ)ⁿ bằng aᵐⁿ.
Thứ tư, lũy thừa của một tích bằng tích các lũy thừa: (a nhân b)ⁿ bằng aⁿ nhân bⁿ.
Thứ năm, lũy thừa của một thương bằng thương các lũy thừa: (a chia b)ⁿ bằng aⁿ chia bⁿ, với b khác 0.
Một điểm cần nhớ kỹ là lũy thừa với cơ số dương luôn cho kết quả dương: dù số mũ là bao nhiêu, 2ˣ luôn lớn hơn 0, nên phương trình kiểu 2ˣ bằng trừ 3 hay 5ˣ bằng 0 là vô nghiệm ngay từ đầu.

2. Hàm số mũ — định nghĩa và đồ thị

Hàm số mũ là hàm số có dạng y bằng aˣ, trong đó a là số thực dương khác 1 và x là biến số thực.
Ví dụ y bằng 2ˣ, y bằng 3ˣ, y bằng (1 phần 2)ˣ và y bằng 10ˣ đều là hàm số mũ, còn y bằng x² không phải hàm số mũ, vì ở đó biến x nằm ở cơ số, còn số mũ là số 2 cố định.
Sự khác nhau này rất quan trọng: trong hàm số lũy thừa, biến số nằm dưới, còn trong hàm số mũ, biến số nằm trên, và chính vị trí của x quyết định toàn bộ tính chất của hàm số.
Tập xác định của hàm số mũ là toàn bộ tập số thực, vì với mọi x thực, aˣ đều tính được.
Tập giá trị của hàm số mũ là khoảng từ 0 tới dương vô cùng, vì aˣ luôn dương.
Đồ thị của hàm số mũ luôn đi qua điểm (0; 1), vì a⁰ bằng 1 với mọi a, và luôn nằm phía trên trục hoành, không bao giờ chạm xuống trục hoành.

Tính đơn điệu của hàm số mũ phụ thuộc vào cơ số a, và đây là điều bạn phải phân biệt thật rõ.
Khi a lớn hơn 1, hàm số y bằng aˣ đồng biến trên toàn bộ tập số thực: x càng lớn thì aˣ càng lớn.
Hãy nhìn đồ thị y bằng 2ˣ trong ảnh bìa: tại x bằng 0, y bằng 1; tại x bằng 1, y bằng 2; tại x bằng 2, y bằng 4; càng sang phải, đường cong càng dốc lên, tăng ngày càng nhanh.
Khi 0 nhỏ hơn a nhỏ hơn 1, hàm số y bằng aˣ nghịch biến: x càng lớn thì aˣ càng nhỏ, ví dụ y bằng (1 phần 2)ˣ tại x bằng 1 thì bằng 1 phần 2, tại x bằng 2 thì bằng 1 phần 4.
Hai trường hợp này trái ngược nhau hoàn toàn, nên khi giải bất phương trình mũ, bạn bắt buộc phải hỏi trước: cơ số lớn hơn 1 hay nhỏ hơn 1, vì câu trả lời sẽ quyết định chiều của bất đẳng thức.
Một điểm thú vị nữa là đồ thị của y bằng 2ˣ và đồ thị của y bằng (1 phần 2)ˣ đối xứng nhau qua trục tung, vì (1 phần 2)ˣ bằng 2⁻ˣ.

3. Hàm số logarit — định nghĩa và đồ thị

Logarit ra đời để trả lời một câu hỏi rất tự nhiên: muốn 2 mũ bao nhiêu thì được 8?
Câu trả lời là 3, vì 2³ bằng 8, và người ta viết log₂8 bằng 3, đọc là logarit cơ số 2 của 8 bằng 3.
Định nghĩa chính thức như sau: cho a là số thực dương khác 1 và M là số thực dương, số thực α sao cho a mũ α bằng M được gọi là logarit cơ số a của M, kí hiệu logₐM.
Nói cách khác, logₐM bằng α khi và chỉ khi a mũ α bằng M.
Ví dụ log₂32 bằng 5 vì 2⁵ bằng 32; log₃27 bằng 3 vì 3³ bằng 27; log₁₀100 bằng 2 vì 10² bằng 100; log₅1 bằng 0 vì 5⁰ bằng 1.
Bạn cần nhớ hai logarit đặc biệt: logarit cơ số 10 gọi là logarit thập phân, kí hiệu log hay lg, và logarit cơ số e gọi là logarit tự nhiên, kí hiệu ln, trong đó e là số vô tỉ khoảng 2,71828.

Hàm số logarit là hàm số có dạng y bằng logₐx, trong đó a là số thực dương khác 1.
Tập xác định của hàm số logarit là khoảng từ 0 tới dương vô cùng, vì chỉ có số dương mới có logarit, không có logarit của số âm hay của số 0.
Tập giá trị của hàm số logarit là toàn bộ tập số thực, vì logarit có thể bằng bất cứ số thực nào, âm hay dương.
Đồ thị của hàm số logarit luôn đi qua điểm (1; 0), vì logₐ1 bằng 0 với mọi a, và luôn nằm phía bên phải trục tung.
Về tính đơn điệu, hàm số logarit đồng biến khi a lớn hơn 1 và nghịch biến khi 0 nhỏ hơn a nhỏ hơn 1, giống hệt quy luật của hàm số mũ.
Mối quan hệ đẹp nhất của chương này là hàm số mũ và hàm số logarit cùng cơ số là hai hàm số ngược nhau, và đồ thị của chúng đối xứng nhau qua đường thẳng y bằng x.

Ví dụ 2: Đồ thị y = 2ˣ đi qua (0; 1), (1; 2), (2; 4), (−1; 1/2); y = log₂x đi qua (1; 0), (2; 1), (4; 2); hai đồ thị đối xứng qua đường thẳng y = x.
Với y bằng 2ˣ: thay x bằng 0 được y bằng 1, thay x bằng 1 được y bằng 2, thay x bằng 2 được y bằng 4, thay x bằng trừ 1 được y bằng 2⁻¹, tức 1 phần 2.
Với y bằng log₂x: thay x bằng 1 được y bằng 0 vì 2⁰ bằng 1, thay x bằng 2 được y bằng 1 vì 2¹ bằng 2, thay x bằng 4 được y bằng 2 vì 2² bằng 4.
Nhận xét: mỗi điểm (a; b) trên đồ thị mũ đều có điểm đối xứng (b; a) trên đồ thị logarit, đúng như tính chất hai đồ thị đối xứng nhau qua đường thẳng y bằng x, vì y bằng log₂x khi và chỉ khi 2 mũ y bằng x, tức là x và y đổi vai trò cho nhau.

4. Các công thức logarit phải thuộc lòng

Nếu cả chương này chỉ được nhớ một bảng công thức duy nhất, đó chính là bảng công thức logarit dưới đây.
Với a là cơ số dương khác 1, M và N là các số dương, α là số thực bất kì, ta có logₐ1 bằng 0, vì a⁰ bằng 1, và logₐa bằng 1, vì a¹ bằng a.
Ta có a mũ logₐM bằng M, vì logarit chính là số mũ cần tìm để a lũy thừa lên được M, và logₐ của a mũ α bằng α.
Bốn công thức này đều là hệ quả trực tiếp của định nghĩa logarit, nên bạn không cần học vẹt mà chỉ cần hiểu định nghĩa là suy ra được.
Trong bài thi, bốn công thức này xuất hiện nhiều nhất ở các câu trắc nghiệm nhanh, nơi chỉ cần một bước biến đổi là ra đáp án.

Ba quy tắc tính logarit sau đây giúp bạn tách một logarit phức tạp thành các logarit đơn giản, hoặc gộp nhiều logarit thành một.
Quy tắc thứ nhất: logarit của một tích bằng tổng các logarit, tức logₐ(M nhân N) bằng logₐM cộng logₐN.
Quy tắc thứ hai: logarit của một thương bằng hiệu các logarit, tức logₐ(M chia N) bằng logₐM trừ logₐN.
Quy tắc thứ ba: logarit của một lũy thừa thì đưa số mũ ra ngoài, tức logₐ(M mũ α) bằng α nhân logₐM.
Ba quy tắc này là bản dịch sang ngôn ngữ logarit của ba tính chất lũy thừa ở mục 1, vì logarit và lũy thừa là hai phép toán ngược nhau.
Ngoài ra, bạn cần nhớ công thức đổi cơ số: logₐM bằng log_b M chia log_b a, với b là cơ số dương khác 1 tùy ý, thường chọn b bằng 10 hoặc b bằng e để bấm máy tính, vì máy tính Casio chỉ có phím log cơ số 10 và phím ln.

Ví dụ 1: log₂48 − log₂3 = log₂(48 : 3) = log₂16 = 4.
Bước 1: hai logarit có cùng cơ số 2, nên dùng quy tắc logarit của một thương bằng hiệu các logarit theo chiều ngược lại: log₂48 trừ log₂3 bằng log₂ của 48 chia 3.
Bước 2: tính 48 chia 3 bằng 16, nên biểu thức trở thành log₂16.
Bước 3: tìm số mũ để 2 lũy thừa lên được 16, đó là 4 vì 2⁴ bằng 16, nên log₂16 bằng 4.
Kiểm tra ngược: 2⁴ bằng 16, đúng, vậy đáp án 4 là chính xác.
Lỗi thường gặp ở dạng bài này là học sinh cộng hai logarit lại thành log₂51, hoặc trừ hai số trong logarit thành log₂45, cả hai đều sai vì quy tắc cộng trừ logarit áp dụng cho phép nhân chia bên trong, không phải phép cộng trừ bên trong.

5. Phương trình mũ — các dạng thường gặp

Phương trình mũ cơ bản có dạng aˣ bằng b, với a là số dương khác 1 và b là số dương, và nghiệm của nó là x bằng logₐb.
Ví dụ phương trình 2ˣ bằng 32 có nghiệm x bằng log₂32 bằng 5, vì 2⁵ bằng 32.
Nếu b nhỏ hơn hoặc bằng 0, phương trình aˣ bằng b vô nghiệm, vì aˣ luôn dương, không bao giờ bằng 0 hay bằng số âm.
Đây là điểm nhiều bạn quên nhất: thấy phương trình mũ là vội vàng lấy logarit hai vế mà không kiểm tra vế phải có dương hay không.
Dạng thường gặp nhất là đưa về cùng cơ số: biến đổi cả hai vế thành lũy thừa cùng cơ số a, rồi cho hai số mũ bằng nhau, vì hàm số mũ là đơn điệu nên nếu aˣ bằng aʸ thì x bằng y.
Khi gặp cơ số khác nhau, bạn hãy nghĩ tới việc phân tích các số thành thừa số nguyên tố: 4 là 2², 8 là 2³, 9 là 3², 27 là 3³, 25 là 5², 125 là 5³.

Ví dụ 3: Giải 3ˣ⁺¹ = 27 → 3ˣ⁺¹ = 3³ → x + 1 = 3 → x = 2.
Bước 1: nhận ra vế phải 27 viết được thành lũy thừa cơ số 3, vì 3³ bằng 27, nên phương trình trở thành 3 mũ x cộng 1 bằng 3³.
Bước 2: hai vế cùng cơ số 3, cho hai số mũ bằng nhau, được x cộng 1 bằng 3, suy ra x bằng 2.
Bước 3: thử lại bằng cách thay x bằng 2 vào phương trình ban đầu: vế trái là 3 mũ 2 cộng 1, tức 3³, bằng 27, bằng vế phải, vậy nghiệm x bằng 2 là đúng.
Bài này tuy ngắn nhưng chứa đủ ba bước chuẩn của dạng đưa về cùng cơ số: viết vế phải thành lũy thừa, cho số mũ bằng nhau, thử lại.

Dạng thứ hai hay gặp là đặt ẩn phụ: khi phương trình chứa a²ˣ, aˣ và một số hạng tự do, bạn đặt t bằng aˣ, với điều kiện t lớn hơn 0, rồi giải phương trình bậc hai theo t.
Ví dụ phương trình 4ˣ trừ 3 nhân 2ˣ cộng 2 bằng 0 thì viết 4ˣ thành (2ˣ)², đặt t bằng 2ˣ, được t² trừ 3t cộng 2 bằng 0, giải ra t bằng 1 hoặc t bằng 2.
Với t bằng 1, tức 2ˣ bằng 1, được x bằng 0; với t bằng 2, tức 2ˣ bằng 2, được x bằng 1, vậy phương trình có hai nghiệm 0 và 1.
Điều kiện t lớn hơn 0 là bắt buộc phải ghi, vì nếu giải phương trình bậc hai ra t âm, bạn phải loại nghiệm đó, do 2ˣ không bao giờ âm.
Dạng thứ ba là logarit hóa hai vế: khi hai vế có cơ số khác nhau và không đưa về cùng cơ số được, bạn lấy logarit hai vế theo cùng một cơ số, ví dụ phương trình 2ˣ bằng 3 thì lấy logarit cơ số 2 hai vế, được x bằng log₂3, khoảng 1,585.

6. Phương trình logarit — các dạng thường gặp

Phương trình logarit cơ bản có dạng logₐx bằng b, với a là số dương khác 1, và nghiệm của nó là x bằng a mũ b.
Ví dụ log₂x bằng 3 thì x bằng 2³ bằng 8; log₃x bằng trừ 2 thì x bằng 3⁻² bằng 1 phần 9.
Khác với phương trình mũ, phương trình logarit luôn có một bước mà bạn không được phép bỏ qua: đặt điều kiện cho biểu thức trong logarit phải lớn hơn 0.
Vì logarit chỉ xác định với số dương, nên mọi phương trình logarit đều phải bắt đầu bằng điều kiện, và mọi nghiệm tìm được đều phải đối chiếu lại với điều kiện này trước khi kết luận.
Đây cũng là nơi nhiều bạn mất điểm oan nhất: giải đúng các bước biến đổi nhưng quên loại nghiệm không thỏa mãn điều kiện.

Ví dụ 4: Giải log₃(2x − 1) = 2 → 2x − 1 = 9 → x = 5; kiểm tra điều kiện 2x − 1 > 0: 2·5 − 1 = 9 > 0, nhận.
Bước 1: đặt điều kiện cho biểu thức trong logarit phải lớn hơn 0, tức 2x trừ 1 lớn hơn 0, suy ra x lớn hơn 1 phần 2.
Bước 2: dùng định nghĩa logarit để đưa phương trình về dạng mũ: log₃(2x trừ 1) bằng 2 nghĩa là 2x trừ 1 bằng 3², tức bằng 9.
Bước 3: giải phương trình bậc nhất 2x trừ 1 bằng 9, được 2x bằng 10, suy ra x bằng 5.
Bước 4: đối chiếu với điều kiện x lớn hơn 1 phần 2, nghiệm x bằng 5 thỏa mãn, nên nhận; thử lại: log₃ của 2 nhân 5 trừ 1, tức log₃9, bằng 2 vì 3² bằng 9, đúng.
Bài này là mẫu chuẩn cho mọi phương trình logarit cơ bản: điều kiện trước, mũ hóa sau, đối chiếu cuối cùng.

Dạng thường gặp nhất là đưa về cùng cơ số rồi cho hai biểu thức trong logarit bằng nhau: nếu logₐM bằng logₐN thì M bằng N, với điều kiện M và N đều dương.
Ví dụ phương trình log₃x cộng log₃(x trừ 2) bằng 1 thì dùng quy tắc logarit của một tích để gộp thành log₃ của x nhân (x trừ 2) bằng 1, suy ra x nhân (x trừ 2) bằng 3, giải phương trình bậc hai được x bằng 3 hoặc x bằng trừ 1.
Điều kiện là x lớn hơn 2, nên loại x bằng trừ 1, chỉ nhận x bằng 3.
Dạng thứ hai là đặt ẩn phụ: phương trình log₂²x trừ 3 nhân log₂x cộng 2 bằng 0, đặt t bằng log₂x, được t bằng 1 hoặc t bằng 2, suy ra x bằng 2 hoặc x bằng 4.
Ở dạng này, ẩn phụ t không cần điều kiện dương, vì logarit có thể âm, nhưng ẩn x thì vẫn phải thỏa mãn điều kiện x lớn hơn 0.

7. Bất phương trình mũ và logarit

Bất phương trình mũ và logarit khó hơn phương trình ở một điểm duy nhất nhưng rất quan trọng: chiều của bất đẳng thức có đổi hay không phụ thuộc vào cơ số lớn hơn 1 hay nhỏ hơn 1.
Với hàm số mũ, khi a lớn hơn 1, hàm số đồng biến nên aˣ lớn hơn aʸ khi và chỉ khi x lớn hơn y, chiều bất đẳng thức giữ nguyên.
Khi 0 nhỏ hơn a nhỏ hơn 1, hàm số nghịch biến nên aˣ lớn hơn aʸ khi và chỉ khi x nhỏ hơn y, chiều bất đẳng thức đổi ngược.
Quy tắc này cũng đúng y hệt với hàm số logarit: khi a lớn hơn 1, logₐM lớn hơn logₐN khi và chỉ khi M lớn hơn N; khi 0 nhỏ hơn a nhỏ hơn 1 thì thứ tự bị đảo ngược.
Bạn có thể nhớ bằng hình ảnh đồ thị: đồ thị đi lên thì thứ tự được giữ nguyên, đồ thị đi xuống thì thứ tự bị đảo ngược.
Trong phòng thi, cứ 10 bạn sai bất phương trình mũ và logarit thì có tới 7 bạn sai vì quên đổi chiều khi cơ số nhỏ hơn 1.

Ví dụ 5: Giải (1/2)ˣ > 1/8 → (1/2)ˣ > (1/2)³ → x < 3 (cơ số nhỏ hơn 1 nên đổi chiều bất đẳng thức).
Bước 1: vế phải 1 phần 8 viết được thành lũy thừa cơ số 1 phần 2, vì (1 phần 2)³ bằng 1 phần 8, nên bất phương trình trở thành (1 phần 2)ˣ lớn hơn (1 phần 2)³.
Bước 2: cơ số 1 phần 2 nhỏ hơn 1, hàm số mũ nghịch biến, nên khi bỏ cơ số, chiều bất đẳng thức phải đổi ngược: x nhỏ hơn 3.
Bước 3: thử lại bằng hai giá trị cụ thể, x bằng 2 và x bằng 4.
Với x bằng 2, (1 phần 2)² bằng 1 phần 4, lớn hơn 1 phần 8, thỏa mãn, và 2 nhỏ hơn 3, đúng.
Với x bằng 4, (1 phần 2)⁴ bằng 1 phần 16, nhỏ hơn 1 phần 8, không thỏa mãn, và 4 không nhỏ hơn 3, đúng.

Với bất phương trình logarit, bạn có thêm một việc phải làm trước tiên: đặt điều kiện cho biểu thức trong logarit phải lớn hơn 0, giống như khi giải phương trình logarit.
Ví dụ bất phương trình log₂(x trừ 1) lớn hơn 1 thì điều kiện là x lớn hơn 1.
Cơ số 2 lớn hơn 1 nên giữ chiều: x trừ 1 lớn hơn 2¹, tức lớn hơn 2, suy ra x lớn hơn 3, kết hợp với điều kiện được nghiệm cuối cùng là x lớn hơn 3.
Ví dụ bất phương trình log₃(2x cộng 1) nhỏ hơn hoặc bằng 2 thì điều kiện là x lớn hơn trừ 1 phần 2.
Cơ số 3 lớn hơn 1 nên giữ chiều: 2x cộng 1 nhỏ hơn hoặc bằng 9, suy ra x nhỏ hơn hoặc bằng 4, giao với điều kiện được trừ 1 phần 2 nhỏ hơn x nhỏ hơn hoặc bằng 4.
Nghiệm cuối cùng luôn là giao của điều kiện và kết quả biến đổi, nên bạn đừng bao giờ quên bước giao nghiệm này.

8. Ứng dụng thực tế: lãi kép, tăng trưởng, phân rã, pH, động đất

Lãi kép là ứng dụng gần gũi nhất của hàm số mũ, và cũng là ứng dụng mà bạn có thể kiểm chứng ngay bằng sổ tiết kiệm của gia đình.
Công thức lãi kép là số tiền sau n kì bằng số tiền gốc nhân với (1 cộng lãi suất mỗi kì) mũ n, viết là A bằng P nhân (1 cộng r) mũ n.
Ở đây P là số tiền gửi ban đầu, r là lãi suất mỗi kì, n là số kì gửi, và A là tổng số tiền nhận được cả gốc lẫn lãi.
Điều làm nên sức mạnh của lãi kép là tiền lãi của kì trước được cộng vào gốc để tính lãi cho kì sau, nên số tiền tăng theo hàm mũ chứ không tăng đều theo từng năm.
Nếu gửi 100 triệu đồng với lãi suất 6 phần trăm một năm, sau 1 năm bạn có 106 triệu, sau 2 năm có khoảng 112,36 triệu, và khoảng cách giữa các năm cứ lớn dần lên.
Tăng trưởng dân số cũng tuân theo công thức tương tự: một thành phố có 1 triệu dân, tăng 2 phần trăm mỗi năm, sau 10 năm dân số là 1 triệu nhân (1,02)¹⁰, khoảng 1,219 triệu dân.

Ví dụ 6: Lãi kép: gửi 100 triệu đồng, lãi 6%/năm, sau 5 năm được 100·(1,06)⁵ ≈ 133,82 triệu đồng.
Bước 1: xác định các số liệu trong công thức lãi kép: tiền gốc P bằng 100 triệu đồng, lãi suất r bằng 6 phần trăm, tức 0,06, số năm n bằng 5.
Bước 2: thay vào công thức A bằng P nhân (1 cộng r) mũ n, được A bằng 100 nhân (1,06)⁵ triệu đồng.
Bước 3: tính (1,06)⁵ theo từng bước: (1,06)² bằng 1,1236; (1,06)⁴ bằng 1,1236 nhân 1,1236, bằng 1,26247696; nhân thêm một lần 1,06 được 1,3382255776.
Bước 4: nhân với 100 được A khoảng 133,82 triệu đồng, tức tiền lãi sau 5 năm là khoảng 33,82 triệu đồng.
Kiểm tra ngược bằng máy tính Casio online: bấm 1,06, phím lũy thừa, 5, được 1,3382255776, nhân 100 được 133,82255776, làm tròn thành 133,82, khớp với kết quả tính tay.

Ví dụ 7: Cacbon-14 có chu kì bán rã 5.730 năm; mẫu còn lại 25% lượng ban đầu → đã qua 2 chu kì → khoảng 11.460 năm.
Bước 1: nhớ định nghĩa chu kì bán rã là thời gian để một nửa lượng chất phóng xạ ban đầu phân rã hết, với cacbon-14, chu kì này là 5.730 năm, một con số đã được đo đạc và công nhận rộng rãi.
Bước 2: sau 1 chu kì, lượng còn lại là 1 phần 2, tức 50 phần trăm; sau 2 chu kì, lượng còn lại là 1 phần 2 nhân 1 phần 2, tức 1 phần 4, bằng 25 phần trăm.
Bước 3: mẫu gỗ còn lại đúng 25 phần trăm lượng cacbon-14 ban đầu, tức 1 phần 4, nên mẫu đã trải qua đúng 2 chu kì bán rã.
Bước 4: nhân 2 chu kì với 5.730 năm mỗi chu kì, được 11.460 năm, đó là tuổi ước tính của mẫu gỗ.
Kiểm tra ngược: sau 5.730 năm còn 50 phần trăm, sau 11.460 năm còn 25 phần trăm, khớp hoàn toàn với số liệu đã cho.

Thang đo pH và thang đo động đất Richter là hai ví dụ đẹp nhất cho thấy logarit giúp con người đo những đại lượng trải dài trên nhiều cấp độ.
Độ pH của một dung dịch được định nghĩa là trừ logarit cơ số 10 của nồng độ ion hiđro, viết là pH bằng trừ log của nồng độ H⁺.
Vì vậy, dung dịch có pH bằng 3 thì nồng độ ion hiđro gấp 10 lần dung dịch có pH bằng 4, và gấp 100 lần dung dịch có pH bằng 5, dù các số pH chỉ chênh nhau 1 và 2 đơn vị.
Nước tinh khiết có pH khoảng 7, nước chanh có pH khoảng 2 tới 3, nước xà phòng có pH khoảng 9 tới 10, và mỗi đơn vị pH chênh lệch là một lần gấp 10 lần nồng độ.

Ví dụ 8: Thang Richter dùng logarit cơ số 10: động đất mạnh 6 độ có biên độ sóng gấp 10 lần động đất 5 độ.
Bước 1: nhớ định nghĩa độ Richter M bằng logarit cơ số 10 của tỉ số giữa biên độ sóng ghi được và biên độ chuẩn, tức M bằng log₁₀ của A chia A₀.
Bước 2: với trận động đất 6 độ, ta có 6 bằng log₁₀ của A₆ chia A₀, suy ra A₆ chia A₀ bằng 10⁶.
Bước 3: với trận động đất 5 độ, ta có 5 bằng log₁₀ của A₅ chia A₀, suy ra A₅ chia A₀ bằng 10⁵.
Bước 4: lấy tỉ số A₆ chia A₅ bằng 10⁶ chia 10⁵, bằng 10, tức biên độ sóng của trận 6 độ gấp 10 lần biên độ sóng của trận 5 độ.
Bước 5: lưu ý thêm rằng năng lượng giải phóng chênh lệch còn lớn hơn nhiều, khoảng 31,6 lần, nhưng riêng về biên độ sóng thì tỉ số đúng là 10 lần.
Ví dụ này cho thấy vì sao một trận động đất 6 độ gây thiệt hại lớn hơn hẳn trận 5 độ, dù hai con số chỉ chênh nhau 1 đơn vị: thang đo là logarit, nên chênh 1 độ nghĩa là gấp 10 lần biên độ.

Ngoài 5 ứng dụng trên, hàm số mũ và logarit còn xuất hiện trong rất nhiều lĩnh vực khác mà bạn sẽ gặp khi lên đại học.
Trong âm nhạc, cao độ của các nốt nhạc tăng theo hàm mũ với cơ số là căn bậc 12 của 2, vì mỗi nửa cung cao hơn nốt trước một tỉ lệ cố định.
Trong tài chính, mô hình tăng trưởng liên tục dùng số e, với công thức A bằng P nhân e mũ rt, là phiên bản tinh vi hơn của công thức lãi kép mà bạn vừa học.
Trong sinh học, sự phân rã của thuốc trong cơ thể cũng tuân theo hàm mũ, giúp bác sĩ tính được sau bao lâu thì lượng thuốc còn lại một nửa và khi nào cần uống liều tiếp theo.
Bạn không cần nhớ hết các ứng dụng này, chỉ cần nhớ một điều: bất cứ khi nào một đại lượng thay đổi theo tỉ lệ phần trăm cố định mỗi đơn vị thời gian, đằng sau nó luôn là một hàm số mũ, và khi cần tính ngược thời gian hay tỉ lệ, bạn sẽ cần tới logarit.
Để ôn lại toàn bộ các hàm số đã học từ đầu cấp ba tới nay, bạn có thể xem lại chuyên đề hàm số, còn khi muốn thấy hàm mũ và logarit được dùng cùng đạo hàm ra sao, hãy đọc thêm chuyên đề đạo hàm và ứng dụng và chuyên đề lượng giác.

9. Những lỗi sai hay gặp nhất khi làm bài hàm số mũ và logarit

Lỗi 1: Quên đặt điều kiện cho biểu thức trong logarit phải lớn hơn 0.
Đây là lỗi mất điểm nhiều nhất trong cả chương, vì nó xuất hiện trong gần như mọi phương trình và bất phương trình logarit.
Nhiều bạn giải phương trình log₂(x trừ 3) bằng 4, ra x bằng 19, rồi kết luận ngay mà không kiểm tra điều kiện x trừ 3 lớn hơn 0.
Trong ví dụ này, x bằng 19 thỏa mãn nên đáp án vẫn đúng, nhưng nếu phương trình cho ra x bằng 2, bạn phải loại vì 2 trừ 3 bằng trừ 1, không có logarit.
Cách khắc phục rất đơn giản: viết dòng điều kiện ngay dưới đề bài, trước khi làm bất cứ phép biến đổi nào, và khoanh tròn nó lại để cuối bài còn nhớ đối chiếu.

Lỗi 2: Quên đổi chiều bất đẳng thức khi cơ số nhỏ hơn 1.
Khi giải bất phương trình (1 phần 2)ˣ lớn hơn 1 phần 8, nhiều bạn viết 1 phần 8 thành (1 phần 2)³ rồi kết luận x lớn hơn 3, giữ nguyên chiều như khi cơ số lớn hơn 1.
Đáp án đúng phải là x nhỏ hơn 3, như ví dụ 5 đã phân tích, vì hàm số mũ với cơ số nhỏ hơn 1 là hàm nghịch biến.
Lỗi này cũng xảy ra y hệt với bất phương trình logarit cơ số nhỏ hơn 1.
Cách khắc phục là mỗi khi thấy cơ số là một phân số nhỏ hơn 1, bạn hãy viết ngay bên cạnh dòng chữ đổi chiều, rồi mới làm tiếp.
Một cách kiểm tra nhanh là thay một số cụ thể vào bất phương trình gốc, ví dụ thay x bằng 0 hoặc x bằng 2, xem đáp án của bạn có thỏa mãn hay không.

Lỗi 3: Nhầm lẫn giữa logarit của một tổng với tổng các logarit.
Quy tắc logₐ(M nhân N) bằng logₐM cộng logₐN chỉ đúng với phép nhân bên trong, không có quy tắc tương tự cho phép cộng bên trong.
Nhiều bạn viết log₂(8 cộng 4) bằng log₂8 cộng log₂4, tức bằng 3 cộng 2 bằng 5, trong khi đáp án đúng là log₂12, khoảng 3,585, vì 8 cộng 4 bằng 12 chứ không phải 32.
Ngược lại, cũng có bạn viết log₂8 cộng log₂4 thành log₂12, trong khi đáp án đúng là log₂ của 8 nhân 4, tức log₂32, bằng 5.
Cách nhớ là hãy đọc to câu thần chú: logarit biến phép nhân thành phép cộng, biến phép chia thành phép trừ, và không làm gì được với phép cộng trừ bên trong.

Lỗi 4: Nhầm hàm số mũ với hàm số lũy thừa khi đọc đồ thị và tìm tập xác định.
Hàm số y bằng x² có tập xác định là toàn bộ tập số thực và đồ thị là một parabol, còn hàm số y bằng 2ˣ cũng có tập xác định là toàn bộ tập số thực nhưng đồ thị là một đường cong tăng ngày càng nhanh, hoàn toàn khác parabol.
Ngược lại, hàm số y bằng log₂x có tập xác định chỉ là các số dương, còn hàm số y bằng căn bậc hai của x cũng chỉ xác định với x không âm, nhưng hai hàm này có đồ thị và tính chất khác hẳn nhau.
Nhiều bạn khi gặp y bằng log₂(x trừ 1) lại đi tìm điều kiện x trừ 1 khác 0 như với phân thức, trong khi điều kiện đúng phải là x trừ 1 lớn hơn 0.
Cách khắc phục là mỗi khi gặp một hàm số, bạn hãy hỏi ba câu: biến x nằm ở đâu, cơ số là bao nhiêu, và biểu thức trong logarit hay dưới dấu căn là gì, rồi mới viết tập xác định.

Lỗi 5: Bỏ qua bước thử lại và kết luận nghiệm mà không kiểm tra.
Nhiều bạn giải xong phương trình mũ hay logarit là khoanh đáp án ngay, trong khi chỉ cần thay nghiệm vừa tìm được vào phương trình gốc là có thể phát hiện lỗi sai số mũ, lỗi đổi chiều hay lỗi điều kiện.
Ví dụ giải phương trình 3ˣ bằng 81 mà ra x bằng 3 thì thay lại thấy 3³ bằng 27, khác 81, nên biết ngay mình sai và sửa thành x bằng 4.
Ví dụ giải phương trình log₂x bằng 3 mà ra x bằng 6 thì thay lại thấy log₂6 khoảng 2,585, khác 3, nên biết ngay đáp án đúng phải là x bằng 8.
Thử lại chỉ tốn khoảng 10 giây mỗi bài, nhưng trong bài thi tự luận, nó là lưới an toàn cuối cùng trước khi bạn nộp bài.

10. Bài tập tự luyện — làm rồi mới xem đáp án nhé

Câu 1: log₂32 bằng bao nhiêu?
A. 5
B. 4
C. 6
D. 16
→ Đáp án: A. 5.
Giải thích: log₂32 là số mũ để 2 lũy thừa lên được 32, mà 2⁵ bằng 32, nên log₂32 bằng 5, đáp án A đúng.
Đáp án B sai vì 2⁴ chỉ bằng 16, chưa tới 32.
Đáp án C sai vì 2⁶ bằng 64, đã vượt quá 32.
Đáp án D sai vì 16 là kết quả của 2⁴, không phải là số mũ cần tìm, nhiều bạn nhầm giữa giá trị của lũy thừa và số mũ của logarit ở câu này.

Câu 2: 3ˣ = 81 thì x bằng bao nhiêu?
A. 3
B. 4
C. 5
D. 9
→ Đáp án: B. 4.
Giải thích: 81 viết được thành 3⁴ vì 3 nhân 3 nhân 3 nhân 3 bằng 81, nên phương trình trở thành 3ˣ bằng 3⁴, suy ra x bằng 4, đáp án B đúng.
Đáp án A sai vì 3³ chỉ bằng 27, chưa tới 81.
Đáp án C sai vì 3⁵ bằng 243, đã vượt quá 81.
Đáp án D sai vì 9 là 3², không liên quan tới số mũ cần tìm, nhiều bạn thấy 81 là 9² nên vội chọn 9 mà quên rằng cơ số ở đây là 3 chứ không phải 9.

Câu 3: log₃9 + log₃27 bằng bao nhiêu?
A. 5
B. 6
C. 4
D. 15
→ Đáp án: A. 5.
Giải thích: log₃9 bằng 2 vì 3² bằng 9, log₃27 bằng 3 vì 3³ bằng 27, cộng lại được 2 cộng 3 bằng 5, đáp án A đúng.
Đáp án B sai vì 6 là kết quả của 2 nhân 3, mà ở đây hai logarit cộng nhau chứ không nhân nhau.
Đáp án C sai vì 4 không phải tổng đúng của 2 và 3.
Đáp án D sai vì 15 là kết quả của 3 nhân 5, một phép tính không có căn cứ nào trong bài.

Câu 4: log₂(x − 1) = 3 thì x bằng bao nhiêu?
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
→ Đáp án: C. 9.
Giải thích: theo định nghĩa logarit, log₂(x trừ 1) bằng 3 nghĩa là x trừ 1 bằng 2³, tức bằng 8, suy ra x bằng 9, đáp án C đúng.
Kiểm tra điều kiện: x trừ 1 bằng 8, lớn hơn 0, thỏa mãn, nên nhận nghiệm x bằng 9.
Đáp án A sai vì với x bằng 7, x trừ 1 bằng 6, log₂6 khoảng 2,585, không bằng 3.
Đáp án B sai vì với x bằng 8, x trừ 1 bằng 7, log₂7 khoảng 2,807, không bằng 3, nhiều bạn quên cộng 1 nên chọn 8.
Đáp án D sai vì với x bằng 10, x trừ 1 bằng 9, log₂9 khoảng 3,17, không bằng 3.

Câu 5: 2²ˣ = 16 thì x bằng bao nhiêu?
A. 1
B. 2
C. 4
D. 8
→ Đáp án: B. 2.
Giải thích: 16 viết được thành 2⁴, nên phương trình trở thành 2²ˣ bằng 2⁴, cho hai số mũ bằng nhau được 2x bằng 4, suy ra x bằng 2, đáp án B đúng.
Đáp án A sai vì với x bằng 1, 2²ˣ bằng 2², bằng 4, không bằng 16.
Đáp án C sai vì với x bằng 4, 2²ˣ bằng 2⁸, bằng 256, đã vượt xa 16, nhiều bạn thấy 16 là 2⁴ nên vội chọn 4 mà quên rằng số mũ là 2x chứ không phải x.
Đáp án D sai vì với x bằng 8, 2²ˣ bằng 2¹⁶, bằng 65.536, hoàn toàn không bằng 16.

11. Câu hỏi thường gặp về hàm số mũ và logarit

Hàm số mũ và hàm số logarit khác nhau ở điểm nào?
Hàm số mũ có dạng y bằng aˣ, biến x nằm ở số mũ, tập xác định là toàn bộ tập số thực, tập giá trị là các số dương, đồ thị luôn đi qua điểm (0; 1) và nằm phía trên trục hoành.
Hàm số logarit có dạng y bằng logₐx, biến x nằm trong logarit, tập xác định chỉ là các số dương, tập giá trị là toàn bộ tập số thực, đồ thị luôn đi qua điểm (1; 0) và nằm phía bên phải trục tung.
Hai hàm số này là hai hàm ngược nhau khi cùng cơ số, đồ thị của chúng đối xứng nhau qua đường thẳng y bằng x.

Vì sao logarit chỉ xác định với số dương?
Vì logarit được định nghĩa từ lũy thừa: logₐM là số mũ để a lũy thừa lên được M, mà a là số dương nên a lũy thừa với bất cứ số mũ nào cũng cho kết quả dương.
Không có số mũ nào để 2 lũy thừa lên được trừ 4 hay được 0, nên không có log₂ của trừ 4 và không có log₂ của 0.
Chính vì vậy, mọi bài toán chứa logarit đều phải bắt đầu bằng điều kiện biểu thức trong logarit lớn hơn 0.

Khi nào cần đổi chiều bất đẳng thức trong bài mũ và logarit?
Bạn đổi chiều bất đẳng thức khi cơ số a thỏa mãn 0 nhỏ hơn a nhỏ hơn 1, vì khi đó hàm số mũ và hàm số logarit đều nghịch biến, thứ tự bị đảo ngược.
Khi a lớn hơn 1, hàm số đồng biến, thứ tự được giữ nguyên, bạn giữ nguyên chiều bất đẳng thức.
Ví dụ (1 phần 2)ˣ lớn hơn (1 phần 2)³ thì x nhỏ hơn 3, còn 2ˣ lớn hơn 2³ thì x lớn hơn 3, hai bài giống hệt nhau chỉ khác cơ số mà đáp án ngược nhau hoàn toàn.

Có bấm máy tính được logarit cơ số 2 hay cơ số 3 không?
Có, bằng cách dùng công thức đổi cơ số: log₂x bằng log x chia log 2, trong đó log là logarit cơ số 10 có sẵn trên máy tính, hoặc bằng ln x chia ln 2.
Ví dụ log₂32 bấm thành log 32 chia log 2, được 5, còn log₃27 bấm thành log 27 chia log 3, được 3.
Trên máy tính Casio online, bạn cũng có thể nhập trực tiếp logarit với cơ số tùy ý bằng phím log có ô nhập cơ số, rất tiện khi kiểm tra đáp án.

Học chương hàm số mũ và logarit để làm gì trong đời sống?
Chương này giúp bạn hiểu lãi kép khi gửi tiết kiệm hay vay tiền, ước tính dân số và sự lây lan dịch bệnh, xác định tuổi cổ vật bằng cacbon-14, đọc thang pH của dung dịch và hiểu vì sao động đất 6 độ mạnh gấp 10 lần động đất 5 độ.
Ngoài ra, hàm số mũ và logarit là nền tảng của nhiều ngành học sau này: tài chính dùng lãi kép liên tục với số e, tin học dùng logarit cơ số 2 để đo độ phức tạp thuật toán, âm nhạc dùng hàm mũ để chia cao độ các nốt nhạc.
Nói cách khác, đây là một trong những chương Toán có nhiều ứng dụng thực tế nhất ở cấp trung học phổ thông.

12. Kết luận: học hàm số mũ và logarit sao cho chắc

Đi hết chuyên đề này, bạn đã có trong tay toàn bộ bức tranh của chương 6, Toán 11: lũy thừa với số mũ thực là nền tảng, hàm số mũ và hàm số logarit là hai nhân vật chính ngược nhau, các công thức logarit là công cụ tính toán, phương trình và bất phương trình là nơi vận dụng, còn lãi kép, tăng trưởng, phân rã, pH và động đất là những ứng dụng cho thấy Toán học gắn với đời sống ra sao.
Bạn hãy nhớ 5 điều cốt lõi sau đây: lũy thừa cơ số dương luôn dương; đồ thị mũ đi qua (0; 1), đồ thị logarit đi qua (1; 0); hai đồ thị cùng cơ số đối xứng nhau qua đường thẳng y bằng x; cộng logarit thì nhân số trong, trừ logarit thì chia số trong; và cơ số nhỏ hơn 1 thì đổi chiều bất đẳng thức.

Thói quen học hiệu quả nhất cho chương này là mỗi ngày làm 5 bài, mỗi bài thử lại bằng cách thay nghiệm vào đề gốc, và mỗi tuần vẽ lại một lần hai đồ thị y bằng 2ˣ và y bằng log₂x với 3 điểm mốc của mỗi đồ thị.
Khi gặp bài khó, đừng vội xem đáp án: hãy hỏi mình đang ở dạng nào, đưa về cùng cơ số, đặt ẩn phụ hay logarit hóa, rồi viết điều kiện ra giấy trước khi biến đổi.
Nếu bạn làm đúng 5 câu tự luyện ở mục 10 mà không cần xem đáp án, bạn đã sẵn sàng cho bài kiểm tra chương 6.
Nếu còn sai 1 tới 2 câu, hãy đọc lại phần giải thích cặn kẽ của câu đó và làm lại sau một ngày, vì kiến thức chỉ thực sự chắc khi bạn làm đúng lần thứ hai mà không cần nhìn lại.
Chúc bạn học tốt, và khi cần ôn lại các hàm số đã học hay chuẩn bị cho chương đạo hàm, hãy xem lại chuyên đề hàm số và chuyên đề đạo hàm và ứng dụng, hai chuyên đề sẽ đồng hành cùng bạn trong suốt học kì này.