Bạn đã biết khoảng tứ phân vị đo độ phân tán bằng cách nhìn vào một nửa dữ liệu ở giữa. Nhưng nếu muốn dùng tất cả các số liệu để đo độ phân tán, bạn cần một con số khác: phương sai và độ lệch chuẩn. Đây là hai đại lượng xuất hiện trong hầu hết các bài toán thống kê của Toán 12, từ việc đánh giá độ ổn định của một dây chuyền sản xuất cho tới việc so sánh kết quả học tập của hai lớp. Nắm chắc chúng, bạn sẽ đọc được rất nhiều điều từ một bảng số liệu tưởng như khô khan.
Bài này sẽ giúp bạn làm chủ phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm một cách có hệ thống: từ giá trị đại diện của mỗi nhóm, cách tính số trung bình, công thức phương sai s², cho tới độ lệch chuẩn s bằng căn bậc hai của phương sai. Bạn sẽ làm 4 ví dụ tính từng bước và 5 bài tập trắc nghiệm có đáp án chi tiết. Chỉ cần nhớ s² bằng trung bình của bình phương độ lệch so với số trung bình, bạn sẽ tính đúng mọi bài toán dạng này.
Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là gì?
Với mẫu số liệu ghép nhóm, mỗi nhóm được đại diện bởi một số duy nhất gọi là giá trị đại diện, kí hiệu là xᵢ, bằng trung bình cộng của đầu trái và đầu phải của nhóm đó. Ví dụ nhóm [0; 5) có giá trị đại diện là 2,5, nhóm [5; 10) có giá trị đại diện là 7,5, nhóm [10; 15) có giá trị đại diện là 12,5. Toàn bộ các công thức thống kê của mẫu ghép nhóm đều dùng giá trị đại diện thay cho các số liệu thật, vì vậy giá trị đại diện là bước đầu tiên và quan trọng nhất. Nếu bạn tính sai giá trị đại diện thì mọi kết quả sau đó đều sai theo.
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là x̄, được tính bằng tổng của tích tần số với giá trị đại diện của từng nhóm, rồi chia cho cỡ mẫu N: x̄ bằng tổng nᵢ nhân xᵢ chia cho N. Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là s², đo mức độ phân tán trung bình quanh số trung bình: s² bằng tổng nᵢ nhân với mở ngoặc xᵢ trừ x̄ đóng ngoặc bình phương, rồi chia cho N. Nói cách khác, bạn lấy từng giá trị đại diện trừ đi số trung bình, bình phương hiệu đó, nhân với tần số của nhóm, cộng tất cả lại rồi chia cho tổng số quan sát. Độ lệch chuẩn, kí hiệu là s, bằng căn bậc hai của phương sai: s bằng căn bậc hai của s². Độ lệch chuẩn có cùng đơn vị với số liệu gốc nên dễ hiểu hơn phương sai rất nhiều: nếu số liệu là điểm kiểm tra thì s cũng tính bằng điểm, còn phương sai s² tính bằng điểm bình phương, một đơn vị khó hình dung.
Bạn hãy nhớ ý nghĩa thực tế của độ lệch chuẩn: s càng nhỏ thì các số liệu càng tập trung sát số trung bình, s càng lớn thì các số liệu càng phân tán. Một dây chuyền sản xuất có độ lệch chuẩn nhỏ nghĩa là sản phẩm đồng đều, một lớp học có độ lệch chuẩn điểm thi nhỏ nghĩa là trình độ học sinh đồng đều. Ngoài ra, phương sai và độ lệch chuẩn còn có hai tính chất rất hay dùng: nếu cộng thêm cùng một số vào mọi số liệu thì số trung bình tăng thêm số đó nhưng phương sai và độ lệch chuẩn không đổi, còn nếu nhân mọi số liệu với một số k thì số trung bình và độ lệch chuẩn cùng nhân với trị tuyệt đối của k, còn phương sai nhân với k bình phương. Hai tính chất này giúp bạn kiểm tra nhanh kết quả và giải nhiều bài toán mà không cần tính lại từ đầu.
Bốn bài toán mẫu tính từng bước
Ví dụ 1 (dùng đúng số liệu mẫu): Một mẫu số liệu ghép nhóm có ba nhóm: [0; 5) với tần số 3, [5; 10) với tần số 7, [10; 15) với tần số 2. Tính số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu đó.
Trước hết, giá trị đại diện của ba nhóm lần lượt là 2,5, 7,5 và 12,5. Cỡ mẫu N bằng 3 cộng 7 cộng 2 và bằng 12. Số trung bình x̄ bằng mở ngoặc 3 nhân 2,5 cộng 7 nhân 7,5 cộng 2 nhân 12,5 đóng ngoặc chia 12, tức là 85 chia 12 và xấp xỉ 7,08. Tiếp theo, phương sai s² bằng mở ngoặc 3 nhân với mở ngoặc 2,5 trừ 7,08 đóng ngoặc bình phương, cộng 7 nhân với mở ngoặc 7,5 trừ 7,08 đóng ngoặc bình phương, cộng 2 nhân với mở ngoặc 12,5 trừ 7,08 đóng ngoặc bình phương, đóng ngoặc chia 12. Tính từng phần: 3 nhân 20,9764 bằng 62,9292; 7 nhân 0,1764 bằng 1,2348; 2 nhân 29,3764 bằng 58,7528. Cộng lại được 122,9168, chia 12 được s² xấp xỉ 10,24. Cuối cùng, độ lệch chuẩn s bằng căn bậc hai của 10,24 và xấp xỉ 3,20. Khi cần kiểm tra lại phép tính, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.
Ví dụ 2 (cỡ mẫu lớn hơn): Thời gian làm bài tập về nhà của 30 học sinh được ghép nhóm: [30; 40) phút: 5 học sinh, [40; 50) phút: 12 học sinh, [50; 60) phút: 10 học sinh, [60; 70) phút: 3 học sinh. Tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu.
Giá trị đại diện của bốn nhóm lần lượt là 35, 45, 55 và 65 phút. Số trung bình x̄ bằng mở ngoặc 5 nhân 35 cộng 12 nhân 45 cộng 10 nhân 55 cộng 3 nhân 65 đóng ngoặc chia 30, tức là 1460 chia 30 và xấp xỉ 48,67 phút. Phương sai s² bằng tổng các tích tần số với bình phương độ lệch chia cho 30: 5 nhân với mở ngoặc 35 trừ 48,67 đóng ngoặc bình phương bằng 934,3445; 12 nhân với mở ngoặc 45 trừ 48,67 đóng ngoặc bình phương bằng 161,6268; 10 nhân với mở ngoặc 55 trừ 48,67 đóng ngoặc bình phương bằng 400,689; 3 nhân với mở ngoặc 65 trừ 48,67 đóng ngoặc bình phương bằng 800,0067. Cộng lại được 2296,667, chia 30 được s² xấp xỉ 76,56. Vậy độ lệch chuẩn s bằng căn bậc hai của 76,56 và xấp xỉ 8,75 phút. Kết quả cho thấy thời gian làm bài của các học sinh chênh lệch nhau khá nhiều quanh mức trung bình gần 49 phút.
Ví dụ 3 (so sánh hai mẫu): Mẫu A là mẫu ở ví dụ 1 với độ lệch chuẩn s xấp xỉ 3,20. Mẫu B có ba nhóm [0; 5): 4, [5; 10): 4, [10; 15): 4. Mẫu nào phân tán hơn?
Tính cho mẫu B: số trung bình x̄ bằng mở ngoặc 4 nhân 2,5 cộng 4 nhân 7,5 cộng 4 nhân 12,5 đóng ngoặc chia 12, tức là 90 chia 12 và bằng 7,5. Phương sai s² bằng mở ngoặc 4 nhân với mở ngoặc 2,5 trừ 7,5 đóng ngoặc bình phương, cộng 4 nhân với mở ngoặc 7,5 trừ 7,5 đóng ngoặc bình phương, cộng 4 nhân với mở ngoặc 12,5 trừ 7,5 đóng ngoặc bình phương, đóng ngoặc chia 12, tức là 200 chia 12 và xấp xỉ 16,67. Độ lệch chuẩn của mẫu B bằng căn bậc hai của 16,67 và xấp xỉ 4,08. Vì 4,08 lớn hơn 3,20 nên mẫu B phân tán hơn mẫu A, dù hai mẫu có số trung bình gần bằng nhau. Bạn hãy để ý: mẫu B phân bố đều trên cả ba nhóm nên dữ liệu trải rộng hơn, còn mẫu A tập trung nhiều ở nhóm giữa nên độ lệch chuẩn nhỏ hơn.
Ví dụ 4 (dùng tính chất biến đổi): Với mẫu số liệu ở ví dụ 1 có s² xấp xỉ 10,24 và s xấp xỉ 3,20, nếu nhân mọi số liệu với 2 thì phương sai và độ lệch chuẩn mới bằng bao nhiêu?
Khi nhân mọi số liệu với 2, số trung bình mới bằng 2 nhân 7,08 và bằng 14,16, độ lệch chuẩn mới bằng 2 nhân 3,20 và bằng 6,40, phương sai mới bằng 2 bình phương nhân 10,24, tức là 4 nhân 10,24 và bằng 40,96. Bạn không cần tính lại từ đầu vì tính chất biến đổi đã cho sẵn kết quả. Ngược lại, nếu cộng thêm 5 vào mọi số liệu thì số trung bình tăng lên 12,08 nhưng phương sai và độ lệch chuẩn giữ nguyên 10,24 và 3,20, vì việc dịch chuyển toàn bộ dữ liệu không làm thay đổi mức độ phân tán của chúng.
Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Dùng đầu mút của nhóm thay vì giá trị đại diện.
Nhiều bạn lấy đầu trái hoặc đầu phải của nhóm làm xᵢ, chẳng hạn lấy 5 thay vì 7,5 cho nhóm [5; 10). Cách tránh: bạn hãy nhớ giá trị đại diện luôn bằng trung bình cộng của hai đầu mút, tức là xᵢ bằng đầu trái cộng đầu phải rồi chia 2.
Lỗi 2: Quên chia cho cỡ mẫu N khi tính phương sai.
Nhiều bạn tính xong tổng nᵢ nhân với mở ngoặc xᵢ trừ x̄ đóng ngoặc bình phương rồi dừng lại, quên chia cho N. Cách tránh: bạn hãy viết công thức đầy đủ s² bằng tổng chia cho N, và kiểm tra lại bằng cách ước lượng: phương sai thường có cùng bậc độ lớn với bình phương độ lệch chuẩn mà bạn cảm nhận được.
Lỗi 3: Nhầm phương sai với độ lệch chuẩn.
Nhiều bạn tính ra s² bằng 10,24 rồi trả lời độ lệch chuẩn là 10,24, quên lấy căn bậc hai. Cách tránh: bạn hãy nhớ s bằng căn bậc hai của s², và độ lệch chuẩn luôn có cùng đơn vị với số liệu gốc, còn phương sai có đơn vị là bình phương của đơn vị gốc.
Lỗi 4: Tính số trung bình sai vì quên nhân với tần số.
Nhiều bạn cộng các giá trị đại diện rồi chia cho số nhóm, chẳng hạn lấy mở ngoặc 2,5 cộng 7,5 cộng 12,5 đóng ngoặc chia 3 bằng 7,5 thay vì 7,08. Cách tránh: bạn hãy nhớ x̄ là trung bình có trọng số, mỗi giá trị đại diện phải nhân với tần số của nhóm đó trước khi cộng lại và chia cho tổng tần số N.
Lỗi 5: So sánh phương sai của hai mẫu có đơn vị khác nhau.
Nhiều bạn kết luận mẫu có phương sai 100 phân tán hơn mẫu có phương sai 10, dù hai mẫu đo bằng hai đơn vị khác nhau. Cách tránh: bạn chỉ so sánh phương sai hoặc độ lệch chuẩn khi hai mẫu có cùng đơn vị đo; nếu khác đơn vị, bạn hãy dùng hệ số biến thiên bằng s chia cho x̄ rồi nhân 100%. Nếu muốn ôn lại một cách đo độ phân tán khác, bạn hãy xem bài khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm.
Năm bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ tính giá trị đại diện trước, rồi mới tính số trung bình và phương sai.
Câu 1: Mẫu số liệu ghép nhóm có ba nhóm: [0; 5) tần số 3, [5; 10) tần số 7, [10; 15) tần số 2. Giá trị đại diện của nhóm [5; 10) bằng
A. 5
B. 7,5
C. 10
D. 2,5
Câu 2: Số trung bình x̄ của mẫu số liệu ở câu 1 xấp xỉ bằng
A. 7,08
B. 7,5
C. 6,5
D. 8
Câu 3: Phương sai s² của mẫu số liệu ở câu 1 xấp xỉ bằng
A. 10,24
B. 3,20
C. 7,08
D. 12,5
Câu 4: Độ lệch chuẩn s của mẫu số liệu ở câu 1 xấp xỉ bằng
A. 10,24
B. 3,20
C. 7,08
D. 1,75
Câu 5: Nếu cộng thêm 2 đơn vị vào mọi số liệu của một mẫu thì độ lệch chuẩn của mẫu đó thay đổi như thế nào?
A. Tăng thêm 2
B. Không đổi
C. Tăng thêm 4
D. Giảm đi 2
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | B | A | A | B | B |
Giải thích Câu 1 — Đáp án B (7,5) đúng: Giá trị đại diện bằng trung bình cộng của hai đầu mút, tức là mở ngoặc 5 cộng 10 đóng ngoặc chia 2 và bằng 7,5. Đáp án A sai vì 5 là đầu trái của nhóm. Đáp án C sai vì 10 là đầu phải của nhóm. Đáp án D sai vì 2,5 là giá trị đại diện của nhóm [0; 5).
Giải thích Câu 2 — Đáp án A (7,08) đúng: x̄ bằng mở ngoặc 3 nhân 2,5 cộng 7 nhân 7,5 cộng 2 nhân 12,5 đóng ngoặc chia 12, tức là 85 chia 12 và xấp xỉ 7,08. Đáp án B sai vì 7,5 là trung bình cộng đơn thuần của ba giá trị đại diện, không tính tới tần số. Đáp án C và D sai vì không có cơ sở tính toán nào cho ra hai số đó.
Giải thích Câu 3 — Đáp án A (10,24) đúng: s² bằng tổng nᵢ nhân với mở ngoặc xᵢ trừ x̄ đóng ngoặc bình phương chia cho 12, tính ra xấp xỉ 10,24. Đáp án B sai vì 3,20 là độ lệch chuẩn, không phải phương sai. Đáp án C sai vì 7,08 là số trung bình. Đáp án D sai vì 12,5 là giá trị đại diện của nhóm cuối.
Giải thích Câu 4 — Đáp án B (3,20) đúng: Độ lệch chuẩn s bằng căn bậc hai của phương sai, tức là căn bậc hai của 10,24 và xấp xỉ 3,20. Đáp án A sai vì 10,24 là phương sai. Đáp án C sai vì 7,08 là số trung bình. Đáp án D sai vì 1,75 không liên quan tới dữ liệu đã cho.
Giải thích Câu 5 — Đáp án B (Không đổi) đúng: Cộng cùng một số vào mọi số liệu chỉ dịch chuyển toàn bộ dữ liệu, khoảng cách giữa các số liệu với nhau không thay đổi nên độ lệch chuẩn giữ nguyên. Đáp án A sai vì cộng 2 làm số trung bình tăng 2, không phải độ lệch chuẩn. Đáp án C sai vì 4 không có cơ sở nào. Đáp án D sai vì độ lệch chuẩn không giảm khi cộng thêm một hằng số.
Câu hỏi thường gặp về phương sai và độ lệch chuẩn
Hỏi: Vì sao phải dùng giá trị đại diện thay cho số liệu thật?
Đáp: Vì khi dữ liệu đã ghép nhóm, ta không còn biết từng số liệu cụ thể nằm ở đâu trong nhóm. Giá trị đại diện là điểm giữa của nhóm, được coi là ước lượng tốt nhất cho mọi số liệu trong nhóm đó. Mọi công thức thống kê của mẫu ghép nhóm đều dựa trên giả định này, nên kết quả tính được cũng là giá trị ước lượng.
Hỏi: Phương sai và độ lệch chuẩn khác nhau như thế nào?
Đáp: Phương sai s² là trung bình của bình phương các độ lệch, còn độ lệch chuẩn s là căn bậc hai của phương sai. Phương sai tiện cho tính toán lí thuyết, nhưng đơn vị của nó là bình phương đơn vị gốc nên khó diễn giải. Độ lệch chuẩn có cùng đơn vị với số liệu gốc nên dễ hiểu và hay được dùng để nhận xét thực tế hơn.
Hỏi: Độ lệch chuẩn bằng 0 có nghĩa là gì?
Đáp: Độ lệch chuẩn bằng 0 khi và chỉ khi mọi số liệu trong mẫu đều bằng nhau, tức là bằng đúng số trung bình. Khi đó không có sự phân tán nào cả. Trong thực tế, điều này rất hiếm gặp, thường chỉ xảy ra khi dữ liệu được làm tròn hoặc khi mẫu chỉ có một giá trị duy nhất.
Hỏi: Cộng hoặc nhân một hằng số ảnh hưởng tới phương sai như thế nào?
Đáp: Cộng thêm một hằng số c vào mọi số liệu thì phương sai và độ lệch chuẩn không đổi. Nhân mọi số liệu với k thì độ lệch chuẩn nhân với trị tuyệt đối của k, còn phương sai nhân với k bình phương. Bạn hãy nhớ hai tính chất này vì chúng xuất hiện rất thường xuyên trong các bài tập trắc nghiệm.
Hỏi: Khi nào nên dùng độ lệch chuẩn, khi nào nên dùng khoảng tứ phân vị?
Đáp: Bạn dùng độ lệch chuẩn khi dữ liệu phân bố tương đối đều và không có giá trị ngoại lệ, vì nó tận dụng mọi số liệu trong mẫu. Bạn dùng khoảng tứ phân vị khi dữ liệu có giá trị ngoại lệ hoặc phân bố lệch, vì nó chỉ dựa vào một nửa số liệu ở giữa nên ổn định hơn. Trong nhiều bài toán, người ta trình bày cả hai để có cái nhìn đầy đủ.
Kết luận
Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm được tính từ giá trị đại diện của từng nhóm: số trung bình x̄ bằng tổng nᵢ nhân xᵢ chia cho N, phương sai s² bằng tổng nᵢ nhân với mở ngoặc xᵢ trừ x̄ đóng ngoặc bình phương chia cho N, độ lệch chuẩn s bằng căn bậc hai của s². Bạn hãy nhớ ba điều: tính đúng giá trị đại diện trước khi tính bất cứ thứ gì, luôn chia cho cỡ mẫu N, và lấy căn bậc hai khi đề hỏi độ lệch chuẩn. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để tính và nhận xét độ phân tán của bất kì mẫu số liệu ghép nhóm nào — từ điểm thi của một lớp cho tới thời gian sản xuất của một dây chuyền.