Hai lớp 12A và 12B cùng làm một bài kiểm tra Toán, điểm trung bình của hai lớp đều là 7,2. Vậy hai lớp học đều nhau sao? Chưa chắc. Nếu điểm của lớp 12A tập trung quanh 7, còn điểm của lớp 12B trải dài từ 2 tới 10, thì dù trung bình bằng nhau, mức độ đồng đều của hai lớp hoàn toàn khác nhau. Muốn nhìn ra sự khác biệt đó, bạn cần những con số đo độ phân tán, và hai con số đầu tiên bạn sẽ gặp trong chương trình Toán 12 là khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm.
Bài này sẽ giúp bạn làm chủ hai công thức đó một cách có hệ thống: khoảng biến thiên R cho bạn biết toàn bộ dữ liệu trải rộng bao nhiêu, còn khoảng tứ phân vị ΔQ cho bạn biết một nửa dữ liệu ở giữa trải rộng bao nhiêu. Bạn sẽ học cách tính Q₁, Q₃ cho mẫu số liệu ghép nhóm, làm 4 ví dụ tính từng bước và 5 bài tập trắc nghiệm có đáp án chi tiết. Chỉ cần nhớ R bằng đầu phải nhóm cuối trừ đầu trái nhóm đầu, và ΔQ bằng Q₃ trừ Q₁, bạn sẽ không bao giờ nhầm hai khái niệm này nữa.
Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị là gì?
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là R, được tính bằng hiệu số giữa đầu phải của nhóm cuối cùng và đầu trái của nhóm đầu tiên: R bằng đầu phải của nhóm cuối trừ đầu trái của nhóm đầu. Ví dụ một mẫu số liệu được ghép thành các nhóm [0; 5), [5; 10), [10; 15), [15; 20) thì R bằng 20 trừ 0, tức là bằng 20. Bạn hãy để ý: vì dữ liệu đã được ghép nhóm nên ta không biết giá trị lớn nhất và nhỏ nhất thật sự, ta chỉ biết chúng nằm trong nhóm đầu và nhóm cuối, vì vậy R của mẫu ghép nhóm chỉ là một giá trị ước lượng của khoảng biến thiên thật. Dù vậy, R vẫn rất hữu ích: R càng lớn thì dữ liệu càng phân tán, R càng nhỏ thì dữ liệu càng tập trung.
Khoảng tứ phân vị đo độ phân tán của một nửa dữ liệu ở giữa, nên nó ít bị ảnh hưởng bởi các giá trị quá lớn hay quá nhỏ ở hai đầu. Để tính khoảng tứ phân vị, trước hết bạn cần ba tứ phân vị Q₁, Q₂, Q₃. Với mẫu số liệu ghép nhóm có cỡ mẫu n, vị trí của Q₁ ứng với số thứ tự n chia 4, vị trí của Q₂ ứng với số thứ tự n chia 2, vị trí của Q₃ ứng với số thứ tự 3n chia 4. Bạn tìm nhóm chứa vị trí đó bằng cách cộng dồn tần số từ nhóm đầu tiên, rồi dùng công thức: Q₁ bằng a cộng với mở ngoặc n chia 4 trừ C đóng ngoặc chia cho f rồi nhân với h. Trong đó a là đầu trái của nhóm chứa Q₁, C là tần số tích lũy của các nhóm đứng trước nhóm chứa Q₁, f là tần số của nhóm chứa Q₁, h là độ dài của nhóm đó. Công thức tính Q₃ hoàn toàn tương tự, chỉ thay n chia 4 bằng 3n chia 4. Cuối cùng, khoảng tứ phân vị ΔQ bằng Q₃ trừ Q₁.
Bạn hãy nhớ ý nghĩa của ba tứ phân vị: khoảng một phần tư số liệu nhỏ hơn hoặc bằng Q₁, khoảng một nửa số liệu nhỏ hơn hoặc bằng Q₂ (Q₂ chính là trung vị), khoảng ba phần tư số liệu nhỏ hơn hoặc bằng Q₃. Như vậy khoảng từ Q₁ tới Q₃ chứa khoảng 50% số liệu ở giữa, và ΔQ chính là độ rộng của khoảng đó. Một mẫu số liệu có ΔQ nhỏ nghĩa là một nửa dữ liệu ở giữa tập trung sát nhau, còn ΔQ lớn nghĩa là ngay cả phần dữ liệu ở giữa cũng trải rộng. Khi so sánh độ phân tán của hai mẫu số liệu, bạn nên dùng ΔQ thay vì R, vì R chỉ phụ thuộc vào hai đầu mút nên rất nhạy với giá trị bất thường, còn ΔQ dựa vào phần dữ liệu ở giữa nên ổn định hơn nhiều.
Bốn bài toán mẫu tính từng bước
Ví dụ 1 (dùng đúng số liệu mẫu): Một mẫu số liệu được ghép nhóm từ 0 đến 20, với các nhóm [0; 5), [5; 10), [10; 15), [15; 20). Tính khoảng biến thiên R của mẫu số liệu đó.
Nhóm đầu tiên bắt đầu từ 0, nhóm cuối cùng kết thúc ở 20, nên khoảng biến thiên R bằng đầu phải của nhóm cuối trừ đầu trái của nhóm đầu, tức là R bằng 20 trừ 0 và bằng 20. Bạn hãy để ý: đáp án không phụ thuộc vào tần số của từng nhóm, chỉ phụ thuộc vào hai đầu mút của toàn bộ mẫu. Khi cần kiểm tra lại phép tính, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.
Ví dụ 2 (tính đủ R, Q₁, Q₃, ΔQ): Chiều cao của 40 học sinh được ghép nhóm như sau: [150; 155): 4 học sinh, [155; 160): 10 học sinh, [160; 165): 14 học sinh, [165; 170): 8 học sinh, [170; 175): 4 học sinh. Tính khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị.
Trước hết, khoảng biến thiên R bằng 175 trừ 150 và bằng 25 cm. Tiếp theo, cỡ mẫu n bằng 40, vị trí của Q₁ là 40 chia 4 bằng 10. Cộng dồn tần số: nhóm đầu có 4, tới nhóm thứ hai là 14, nên vị trí thứ 10 nằm trong nhóm [155; 160). Áp dụng công thức, Q₁ bằng 155 cộng với mở ngoặc 10 trừ 4 đóng ngoặc chia 10 rồi nhân 5, tức là 155 cộng 3 và bằng 158 cm. Vị trí của Q₃ là 3 nhân 40 chia 4 bằng 30. Cộng dồn tần số: 4, 14, 28, 36, nên vị trí thứ 30 nằm trong nhóm [165; 170). Q₃ bằng 165 cộng với mở ngoặc 30 trừ 28 đóng ngoặc chia 8 rồi nhân 5, tức là 165 cộng 1,25 và bằng 166,25 cm. Vậy khoảng tứ phân vị ΔQ bằng 166,25 trừ 158 và bằng 8,25 cm. Kết quả cho thấy một nửa học sinh ở giữa có chiều cao trải trong khoảng rộng 8,25 cm, trong khi toàn bộ mẫu trải rộng tới 25 cm.
Ví dụ 3 (nhóm có độ dài khác 5): Điểm kiểm tra của 30 học sinh được ghép nhóm: [0; 2): 2 học sinh, [2; 4): 5 học sinh, [4; 6): 10 học sinh, [6; 8): 8 học sinh, [8; 10): 5 học sinh. Tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu.
Cỡ mẫu n bằng 30, vị trí của Q₁ là 30 chia 4 bằng 7,5. Cộng dồn tần số: 2, 7, 17, nên vị trí 7,5 nằm trong nhóm [4; 6). Q₁ bằng 4 cộng với mở ngoặc 7,5 trừ 7 đóng ngoặc chia 10 rồi nhân 2, tức là 4 cộng 0,1 và bằng 4,1 điểm. Vị trí của Q₃ là 3 nhân 30 chia 4 bằng 22,5. Cộng dồn tần số: 2, 7, 17, 25, nên vị trí 22,5 nằm trong nhóm [6; 8). Q₃ bằng 6 cộng với mở ngoặc 22,5 trừ 17 đóng ngoặc chia 8 rồi nhân 2, tức là 6 cộng 1,375 và bằng 7,375 điểm. Vậy ΔQ bằng 7,375 trừ 4,1 và bằng 3,275 điểm. Bạn hãy để ý: vị trí 7,5 và 22,5 không phải số nguyên, nhưng công thức vẫn áp dụng bình thường, vì công thức nội suy tuyến tính trong nhóm không yêu cầu vị trí phải là số nguyên.
Ví dụ 4 (so sánh hai mẫu): Lớp 12B cũng có 40 học sinh, chiều cao được ghép nhóm đều nhau: mỗi nhóm [150; 155), [155; 160), [160; 165), [165; 170), [170; 175) đều có 8 học sinh. So sánh độ phân tán chiều cao của hai lớp 12A ở ví dụ 2 và 12B.
Khoảng biến thiên của lớp 12B cũng bằng 175 trừ 150 và bằng 25 cm, bằng đúng R của lớp 12A, nên nếu chỉ nhìn R thì hai lớp phân tán như nhau. Nhưng tính khoảng tứ phân vị thì khác: vị trí Q₁ là 10, cộng dồn 8, 16 nên Q₁ thuộc nhóm [155; 160) và bằng 155 cộng với mở ngoặc 10 trừ 8 đóng ngoặc chia 8 rồi nhân 5, tức là 156,25 cm. Vị trí Q₃ là 30, cộng dồn 8, 16, 24, 32 nên Q₃ thuộc nhóm [165; 170) và bằng 165 cộng với mở ngoặc 30 trừ 24 đóng ngoặc chia 8 rồi nhân 5, tức là 168,75 cm. Vậy ΔQ của lớp 12B bằng 168,75 trừ 156,25 và bằng 12,5 cm, lớn hơn hẳn ΔQ bằng 8,25 cm của lớp 12A. Kết luận: chiều cao của lớp 12B phân tán hơn lớp 12A, dù hai lớp có cùng khoảng biến thiên. Đây chính là lí do bạn nên dùng khoảng tứ phân vị khi so sánh độ phân tán.
Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Tính R bằng giá trị lớn nhất trừ giá trị nhỏ nhất trong bảng tần số.
Nhiều bạn lấy số liệu trong bảng rồi trừ lung tung mà quên rằng dữ liệu đã ghép nhóm, ta không còn biết giá trị lớn nhất và nhỏ nhất thật sự. Cách tránh: bạn hãy lấy đầu phải của nhóm cuối cùng trừ đầu trái của nhóm đầu tiên, đó mới là công thức đúng của R cho mẫu ghép nhóm.
Lỗi 2: Nhầm vị trí của Q₁ và Q₃.
Nhiều bạn lấy vị trí n chia 4 cho Q₃ và 3n chia 4 cho Q₁, hoặc lấy n chia 4 cho cả hai. Cách tránh: bạn hãy nhớ thứ tự Q₁, Q₂, Q₃ ứng với các vị trí n chia 4, n chia 2, 3n chia 4 theo đúng thứ tự tăng dần.
Lỗi 3: Quên trừ tần số tích lũy C trong công thức nội suy.
Nhiều bạn viết Q₁ bằng a cộng với n chia 4 chia f rồi nhân h, bỏ mất số C. Cách tránh: bạn hãy viết đủ công thức Q₁ bằng a cộng với mở ngoặc n chia 4 trừ C đóng ngoặc chia f nhân h, trong đó C là tổng tần số của tất cả các nhóm đứng trước nhóm chứa Q₁.
Lỗi 4: Xác định sai nhóm chứa tứ phân vị vì cộng dồn tần số sai.
Nhiều bạn cộng dồn nhầm hoặc so sánh vị trí với tần số của nhóm thay vì tần số tích lũy. Cách tránh: bạn hãy lập hẳn một cột tần số tích lũy rồi mới tìm nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng vị trí cần tìm.
Lỗi 5: Nhầm khoảng tứ phân vị với khoảng biến thiên.
Nhiều bạn tính ΔQ bằng giá trị lớn nhất trừ giá trị nhỏ nhất, tức là tính R chứ không phải ΔQ. Cách tránh: bạn hãy nhớ ΔQ bằng Q₃ trừ Q₁, tức là độ rộng của khoảng chứa 50% số liệu ở giữa, còn R bằng đầu phải nhóm cuối trừ đầu trái nhóm đầu, tức là độ rộng của toàn bộ mẫu. Nếu muốn hiểu sâu hơn về cách đo độ phân tán bằng một con số khác, bạn hãy xem bài phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm.
Năm bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ xác định đúng nhóm chứa tứ phân vị trước khi áp dụng công thức nội suy.
Câu 1: Một mẫu số liệu được ghép thành các nhóm [0; 5), [5; 10), [10; 15), [15; 20). Khoảng biến thiên R của mẫu số liệu đó bằng
A. 15
B. 20
C. 25
D. 5
Câu 2: Mẫu số liệu có các nhóm [10; 20): 5, [20; 30): 8, [30; 40): 7 (cỡ mẫu n bằng 20). Tứ phân vị thứ nhất Q₁ thuộc nhóm nào?
A. [10; 20)
B. [20; 30)
C. [30; 40)
D. Không xác định được
Câu 3: Với mẫu số liệu ở câu 2, giá trị của Q₁ bằng
A. 15
B. 20
C. 25
D. 18
Câu 4: Một mẫu số liệu có Q₁ bằng 158 và Q₃ bằng 166,25. Khoảng tứ phân vị ΔQ của mẫu số liệu đó bằng
A. 8,25
B. 8,5
C. 24,25
D. 324,25
Câu 5: Mẫu số liệu ghép nhóm gồm các nhóm [2; 6), [6; 10), [10; 14). Khoảng biến thiên R của mẫu số liệu đó bằng
A. 12
B. 8
C. 14
D. 2
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | B | A | B | A | A |
Giải thích Câu 1 — Đáp án B (20) đúng: Nhóm đầu bắt đầu từ 0, nhóm cuối kết thúc ở 20, nên R bằng 20 trừ 0 và bằng 20. Đáp án A sai vì 15 là độ dài của ba nhóm đầu cộng lại, không phải khoảng biến thiên. Đáp án C sai vì 25 không xuất hiện trong dữ liệu. Đáp án D sai vì 5 chỉ là độ dài của một nhóm.
Giải thích Câu 2 — Đáp án A ([10; 20)) đúng: Cỡ mẫu n bằng 20, vị trí của Q₁ là 20 chia 4 bằng 5. Nhóm đầu tiên [10; 20) có tần số 5, tức là chứa các vị trí từ 1 tới 5, nên vị trí thứ 5 nằm trong nhóm đầu tiên. Đáp án B sai vì nhóm [20; 30) chứa các vị trí từ 6 tới 13. Đáp án C sai vì nhóm [30; 40) chứa các vị trí từ 14 tới 20. Đáp án D sai vì vị trí của Q₁ hoàn toàn xác định được.
Giải thích Câu 3 — Đáp án B (20) đúng: Q₁ bằng 10 cộng với mở ngoặc 5 trừ 0 đóng ngoặc chia 5 rồi nhân 10, tức là 10 cộng 10 và bằng 20. Đáp án A sai vì 15 là giá trị đại diện của nhóm đầu, không phải tứ phân vị. Đáp án C sai vì 25 không phải kết quả của công thức. Đáp án D sai vì 18 không có cơ sở tính toán nào.
Giải thích Câu 4 — Đáp án A (8,25) đúng: Khoảng tứ phân vị ΔQ bằng Q₃ trừ Q₁, tức là 166,25 trừ 158 và bằng 8,25. Đáp án B sai vì 8,5 là kết quả làm tròn sai. Đáp án C sai vì 24,25 không liên quan tới hai tứ phân vị đã cho. Đáp án D sai vì 324,25 là tích của hai số, không phải hiệu của chúng.
Giải thích Câu 5 — Đáp án A (12) đúng: Nhóm đầu bắt đầu từ 2, nhóm cuối kết thúc ở 14, nên R bằng 14 trừ 2 và bằng 12. Đáp án B sai vì 8 chỉ là hiệu của hai đầu mút liên tiếp. Đáp án C sai vì 14 là đầu phải của nhóm cuối, không phải khoảng biến thiên. Đáp án D sai vì 2 là đầu trái của nhóm đầu.
Câu hỏi thường gặp về khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị
Hỏi: Vì sao khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm chỉ là giá trị ước lượng?
Đáp: Vì khi ghép nhóm, ta chỉ biết mỗi số liệu nằm trong một khoảng nào đó mà không biết giá trị chính xác của nó. Giá trị nhỏ nhất thật sự có thể lớn hơn đầu trái của nhóm đầu, và giá trị lớn nhất thật sự có thể nhỏ hơn đầu phải của nhóm cuối, nên R tính theo đầu mút nhóm chỉ là ước lượng của khoảng biến thiên thật.
Hỏi: Công thức tính Q₁, Q₃ cho mẫu ghép nhóm được hiểu như thế nào?
Đáp: Công thức giả định các số liệu phân bố đều trong nhóm chứa tứ phân vị, rồi nội suy tuyến tính theo tỉ lệ. Ví dụ vị trí cần tìm nằm ở giữa nhóm thì giá trị nội suy cũng nằm ở giữa nhóm. Đó là lí do công thức có dạng đầu trái của nhóm cộng với một phần của độ dài nhóm, tỉ lệ đúng bằng phần vị trí còn thiếu chia cho tần số của nhóm.
Hỏi: Khoảng tứ phân vị dùng để làm gì ngoài việc đo độ phân tán?
Đáp: Khoảng tứ phân vị còn dùng để phát hiện giá trị ngoại lệ. Một số liệu được coi là ngoại lệ nếu nó nhỏ hơn Q₁ trừ 1,5 lần ΔQ hoặc lớn hơn Q₃ cộng 1,5 lần ΔQ. Quy tắc này rất hay gặp trong các bài toán thực tế khi bạn cần loại bỏ những số liệu bất thường trước khi phân tích tiếp.
Hỏi: Khi nào nên dùng R và khi nào nên dùng ΔQ để so sánh hai mẫu?
Đáp: Bạn nên dùng ΔQ khi muốn so sánh độ phân tán một cách ổn định, vì ΔQ chỉ dựa vào một nửa số liệu ở giữa nên không bị ảnh hưởng bởi vài giá trị quá lớn hay quá nhỏ. Bạn dùng R khi muốn biết toàn bộ dữ liệu trải rộng bao nhiêu, chẳng hạn khi kiểm tra xem một dây chuyền sản xuất có cho ra sản phẩm nằm trong giới hạn cho phép hay không.
Hỏi: R và ΔQ có đơn vị gì?
Đáp: Cả hai đều có cùng đơn vị với số liệu gốc. Nếu số liệu là chiều cao tính bằng cm thì R và ΔQ cũng tính bằng cm, nếu số liệu là điểm kiểm tra thì R và ΔQ tính bằng điểm. Vì vậy bạn không thể so sánh trực tiếp R của hai mẫu có đơn vị khác nhau, chẳng hạn chiều cao tính bằng cm với cân nặng tính bằng kg.
Kết luận
Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị là hai công cụ đầu tiên giúp bạn đo độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm: R bằng đầu phải của nhóm cuối trừ đầu trái của nhóm đầu, cho bạn biết toàn bộ dữ liệu trải rộng bao nhiêu; ΔQ bằng Q₃ trừ Q₁, cho bạn biết một nửa dữ liệu ở giữa trải rộng bao nhiêu. Bạn hãy nhớ ba điều: xác định đúng nhóm chứa tứ phân vị bằng tần số tích lũy, áp dụng đủ công thức nội suy với số C, và dùng ΔQ thay vì R khi so sánh độ phân tán của hai mẫu. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để tính và nhận xét độ phân tán của bất kì mẫu số liệu ghép nhóm nào — từ điểm kiểm tra của một lớp cho tới chiều cao của cả một khối học sinh.