Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian: cách xét, bài tập lớp 12

Hai con đường trên mặt đất hoặc song song, hoặc cắt nhau — không có trường hợp thứ ba. Nhưng trong không gian ba chiều, hai đường thẳng có thêm một khả năng nữa: chéo nhau, tức là không song song, không cắt nhau và cũng không cùng nằm trong một mặt phẳng nào. Làm thế nào để phân biệt bốn trường hợp song song, trùng nhau, cắt nhau và chéo nhau chỉ bằng vài phép tính vectơ? Câu trả lời nằm ở tích có hướng và tích hỗn tạp — hai công cụ mà bài học hôm nay sẽ hướng dẫn bạn sử dụng thành thạo.

Bài này sẽ giúp bạn xét vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian một cách có hệ thống: từ bốn trường hợp có thể xảy ra, phương pháp dùng tích có hướng và tích hỗn tạp, phương pháp giải hệ phương trình, cho tới 4 ví dụ tính từng bước và 5 bài tập trắc nghiệm có đáp án chi tiết. Đây là bài học đòi hỏi bạn phải cẩn thận từng bước tính toán, vì chỉ một dấu sai cũng có thể đổi hẳn kết luận.

Vị trí tương đối của hai đường thẳng: bốn trường hợp và cách xét

Cho hai đường thẳng d₁ đi qua M₁ và nhận u₁ làm vectơ chỉ phương, d₂ đi qua M₂ và nhận u₂ làm vectơ chỉ phương. Có đúng bốn khả năng xảy ra: song song (cùng phương, không có điểm chung), trùng nhau (cùng phương, có vô số điểm chung), cắt nhau (không cùng phương, có đúng một điểm chung) và chéo nhau (không cùng phương, không có điểm chung). Nhiệm vụ của bạn là xác định xem hai đường thẳng rơi vào trường hợp nào, và phương pháp chuẩn dùng hai đại lượng: tích có hướng [u₁, u₂] và tích hỗn tạp [u₁, u₂] · M₁M₂.

Bước đầu tiên, bạn tính tích có hướng [u₁, u₂]. Nếu [u₁, u₂] = 0 thì u₁ và u₂ cùng phương, hai đường thẳng hoặc song song, hoặc trùng nhau. Để phân biệt, bạn kiểm tra xem M₁ có thuộc d₂ hay không: nếu M₁ thuộc d₂ thì hai đường thẳng trùng nhau, nếu không thì song song. Nếu [u₁, u₂] ≠ 0 thì u₁ và u₂ không cùng phương, hai đường thẳng hoặc cắt nhau, hoặc chéo nhau. Để phân biệt, bạn tính tích hỗn tạp [u₁, u₂] · M₁M₂: nếu bằng 0 thì hai đường thẳng đồng phẳng nên cắt nhau, nếu khác 0 thì hai đường thẳng chéo nhau. Bạn hãy nhớ thứ tự này — kiểm tra tích có hướng trước, rồi mới đến tích hỗn tạp — vì nó giúp bạn không bao giờ nhầm lẫn các trường hợp.

Vì sao tích hỗn tạp lại quyết định được cắt nhau hay chéo nhau? Tích hỗn tạp [u₁, u₂] · M₁M₂ có giá trị tuyệt đối bằng thể tích của hình hộp có ba cạnh là u₁, u₂ và M₁M₂. Nếu thể tích bằng 0 thì ba vectơ này đồng phẳng, tức là hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng — mà hai đường thẳng đồng phẳng và không song song thì phải cắt nhau. Ngược lại, nếu thể tích khác 0 thì ba vectơ không đồng phẳng, hai đường thẳng không thể cùng nằm trong một mặt phẳng nên chéo nhau. Hiểu được ý nghĩa hình học này, bạn sẽ không bao giờ quên công thức.

Ngoài phương pháp vectơ, bạn còn có thể xét vị trí tương đối bằng cách giải hệ phương trình. Viết phương trình tham số của hai đường thẳng, cho các tọa độ tương ứng bằng nhau rồi giải hệ ba phương trình hai ẩn. Nếu hệ vô nghiệm thì hai đường thẳng song song hoặc chéo nhau; nếu hệ có đúng một nghiệm thì hai đường thẳng cắt nhau; nếu hệ có vô số nghiệm thì hai đường thẳng trùng nhau. Phương pháp này dài hơn nhưng rất chắc chắn, đặc biệt hữu ích khi bạn cần tìm luôn tọa độ giao điểm. Khi cần kiểm tra lại phép tính, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.

Một lưu ý quan trọng: hai đường thẳng chéo nhau không có điểm chung, nhưng khoảng cách giữa chúng vẫn xác định được và luôn lớn hơn 0. Công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là d = |[u₁, u₂] · M₁M₂| / |[u₁, u₂]| — chính là giá trị tuyệt đối của tích hỗn tạp chia cho độ dài của tích có hướng. Bạn sẽ học kĩ công thức này ở bài khoảng cách, nhưng ngay từ bây giờ bạn hãy để ý: tử số của nó chính là tích hỗn tạp mà bạn vừa dùng để xét chéo nhau, nên hai bài học này gắn bó chặt chẽ với nhau.

Bốn bài toán mẫu tính từng bước

Ví dụ 1 (dùng đúng số liệu mẫu, đã hiệu chỉnh): Xét vị trí tương đối của d₁ qua M₁(0; 0; 0) với chỉ phương u₁ = (1; 0; 0) và d₂ qua M₂(0; 1; 1) với chỉ phương u₂ = (0; 1; 0).
Bước đầu tiên, bạn tính tích có hướng [u₁, u₂] = u₁ × u₂. Với u₁ = (1; 0; 0) và u₂ = (0; 1; 0): tọa độ x là 0 × 0 − 0 × 1 = 0; tọa độ y là 0 × 0 − 1 × 0 = 0; tọa độ z là 1 × 1 − 0 × 0 = 1. Vậy [u₁, u₂] = (0; 0; 1) ≠ 0, nên hai đường thẳng không song song. Bước thứ hai, bạn tính vectơ M₁M₂ = (0; 1; 1) rồi tính tích hỗn tạp: [u₁, u₂] · M₁M₂ = 0 × 0 + 0 × 1 + 1 × 1 = 1 ≠ 0. Vì tích hỗn tạp khác 0 nên hai đường thẳng chéo nhau. Bạn hãy để ý: d₁ là trục Ox còn d₂ là đường thẳng song song với trục Oy đi qua điểm (0; 1; 1) ở độ cao z = 1 — chúng không bao giờ gặp nhau, và cũng không cùng nằm trong một mặt phẳng nào.

Ví dụ 2 (cắt nhau): Xét vị trí tương đối của d₁: x = 1 + t, y = 2t, z = 0 và d₂: x = 1 + s, y = 0, z = 2s.
Bạn giải hệ phương trình bằng cách cho các tọa độ tương ứng bằng nhau: 1 + t = 1 + s, 2t = 0, 0 = 2s. Từ phương trình thứ hai, t = 0; từ phương trình thứ ba, s = 0; thay vào phương trình thứ nhất: 1 = 1, thỏa mãn. Vậy hệ có nghiệm duy nhất t = 0, s = 0, ứng với giao điểm (1; 0; 0). Hai đường thẳng cắt nhau tại điểm (1; 0; 0). Bạn kiểm tra bằng phương pháp vectơ: u₁ = (1; 2; 0), u₂ = (1; 0; 2), [u₁, u₂] = (4; −2; −2) ≠ 0; M₁ = (1; 0; 0), M₂ = (1; 0; 0), M₁M₂ = (0; 0; 0) nên tích hỗn tạp bằng 0 — khớp với kết luận cắt nhau.

Ví dụ 3 (song song): Xét vị trí tương đối của d₁ qua M₁(0; 0; 0) với chỉ phương u₁ = (1; 1; 0) và d₂ qua M₂(0; 0; 1) với chỉ phương u₂ = (2; 2; 0).
Bạn nhận thấy u₂ = 2u₁, tức là hai vectơ chỉ phương cùng phương, nên [u₁, u₂] = 0. Hai đường thẳng hoặc song song, hoặc trùng nhau. Bạn kiểm tra điểm M₁(0; 0; 0) có thuộc d₂ hay không: d₂ gồm các điểm (2t; 2t; 1), cao độ luôn bằng 1, còn M₁ có cao độ bằng 0, nên M₁ không thuộc d₂. Vậy hai đường thẳng song song với nhau. Bạn hãy để ý: hai đường thẳng này đều nằm trong mặt phẳng z = 0 và z = 1 tương ứng — chúng là hai đường thẳng song song nằm trên hai mặt phẳng song song khác nhau.

Ví dụ 4 (trùng nhau): Xét vị trí tương đối của d₁: (x − 1)/2 = y/1 = (z + 1)/(−1) và d₂: x = 1 + 2t, y = t, z = −1 − t.
Bạn nhận thấy d₂ đi qua điểm (1; 0; −1) với vectơ chỉ phương (2; 1; −1) — đúng là điểm và vectơ chỉ phương của d₁. Vì hai đường thẳng có chung một điểm và vectơ chỉ phương cùng phương nên chúng trùng nhau. Bạn kiểm tra thêm một điểm nữa: với t = 1, d₂ cho điểm (3; 1; −2); thay vào d₁: (3 − 1)/2 = 1, 1/1 = 1, (−2 + 1)/(−1) = 1 — cả ba tỉ số đều bằng 1, đúng là điểm này thuộc d₁. Vậy hai phương trình chỉ là hai cách viết khác nhau của cùng một đường thẳng. Nếu muốn ôn lại cách viết phương trình đường thẳng, bạn hãy xem bài công thức viết phương trình đường thẳng.

Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh

Lỗi 1: Kết luận "chéo nhau" ngay khi thấy tích có hướng khác 0.
Nhiều bạn tính [u₁, u₂] ≠ 0 thì kết luận ngay hai đường thẳng chéo nhau, quên mất chúng có thể cắt nhau. Cách tránh: bạn hãy luôn tính tiếp tích hỗn tạp — bằng 0 thì cắt nhau, khác 0 mới là chéo nhau.

Lỗi 2: Kết luận "song song" ngay khi thấy hai vectơ chỉ phương cùng phương.
Nhiều bạn thấy u₂ = k·u₁ thì kết luận ngay song song, quên mất hai đường thẳng có thể trùng nhau. Cách tránh: bạn hãy kiểm tra thêm một điểm — M₁ có thuộc d₂ hay không.

Lỗi 3: Tính sai tích có hướng.
Nhiều bạn nhầm dấu ở tọa độ y của tích có hướng, vì công thức của nó có dấu trừ: [u, v] = (uᵧv_z − u_zvᵧ; u_zvₓ − uₓv_z; uₓvᵧ − uᵧvₓ). Cách tránh: bạn hãy viết rõ công thức rồi thay số từng tọa độ, đừng tính nhẩm.

Lỗi 4: Lấy nhầm vectơ M₁M₂.
Nhiều bạn lấy M₂M₁ thay vì M₁M₂, hoặc lấy hiệu của hai vectơ chỉ phương. Cách tránh: bạn hãy nhớ tích hỗn tạp dùng vectơ nối hai điểm M₁ và M₂ — thứ tự nào cũng được vì chỉ cần xét bằng 0 hay khác 0, nhưng phải đúng là vectơ nối hai điểm.

Lỗi 5: Nhầm lẫn giữa chéo nhau và cắt nhau trong hình vẽ.
Nhiều bạn nhìn hình chiếu hai đường thẳng cắt nhau trên giấy thì kết luận chúng cắt nhau, trong khi trong không gian chúng chéo nhau. Cách tránh: bạn hãy tin vào phép tính, không tin vào cảm giác từ hình vẽ — hình vẽ 3D trên giấy phẳng rất dễ gây ảo giác.

Năm bài tập tự luyện

Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ làm đúng thứ tự: tích có hướng trước, tích hỗn tạp sau.

Câu 1: Hai đường thẳng d₁ qua M₁(0; 0; 0) với chỉ phương u₁ = (1; 0; 0) và d₂ qua M₂(0; 0; 1) với chỉ phương u₂ = (0; 1; 0) có vị trí tương đối là
A. Chéo nhau
B. Cắt nhau
C. Song song
D. Trùng nhau

Câu 2: Hai đường thẳng d₁: x = t, y = 0, z = 0 (trục Ox) và d₂: x = 0, y = t, z = 0 (trục Oy) có vị trí tương đối là
A. Chéo nhau
B. Song song
C. Cắt nhau
D. Trùng nhau

Câu 3: Hai đường thẳng d₁: (x − 1)/1 = y/2 = z/3 và d₂: (x − 2)/2 = (y − 2)/4 = (z − 3)/6 có vị trí tương đối là
A. Song song
B. Trùng nhau
C. Cắt nhau
D. Chéo nhau

Câu 4: Hai đường thẳng d₁ qua M₁(1; 0; 0) với chỉ phương u₁ = (0; 1; 0) và d₂ qua M₂(0; 1; 0) với chỉ phương u₂ = (0; 2; 0) có vị trí tương đối là
A. Trùng nhau
B. Cắt nhau
C. Chéo nhau
D. Song song

Câu 5: Hai đường thẳng d₁: x = 1 + t, y = 1 + t, z = 1 + t và d₂: x = 2 + 2s, y = 2 + 2s, z = 2 + 2s có vị trí tương đối là
A. Song song
B. Cắt nhau
C. Chéo nhau
D. Trùng nhau

Giải thích Câu 1 — Đáp án A đúng: [u₁, u₂] = (0; 0; 1) ≠ 0; M₁M₂ = (0; 0; 1); tích hỗn tạp = 0 × 0 + 0 × 0 + 1 × 1 = 1 ≠ 0, nên hai đường thẳng chéo nhau. Đáp án B sai vì tích hỗn tạp khác 0. Đáp án C sai vì hai vectơ chỉ phương không cùng phương. Đáp án D sai vì hai đường thẳng không có điểm chung nào.

Giải thích Câu 2 — Đáp án C đúng: Trục Ox và trục Oy cùng đi qua gốc tọa độ O(0; 0; 0) nên cắt nhau tại O. Đáp án A sai vì hai đường thẳng cùng nằm trong mặt phẳng Oxy. Đáp án B sai vì hai vectơ chỉ phương (1; 0; 0) và (0; 1; 0) không cùng phương. Đáp án D sai vì đó là hai đường thẳng khác nhau.

Giải thích Câu 3 — Đáp án B đúng: u₂ = (2; 4; 6) = 2u₁ nên hai vectơ cùng phương. Điểm M₁(1; 0; 0) thuộc d₂ vì (1 − 2)/2 = −1/2, (0 − 2)/4 = −1/2, (0 − 3)/6 = −1/2 — cả ba tỉ số đều bằng −1/2. Vậy hai đường thẳng trùng nhau. Đáp án A sai vì M₁ thuộc d₂. Đáp án C sai vì hai đường thẳng có vô số điểm chung. Đáp án D sai vì hai vectơ chỉ phương cùng phương.

Giải thích Câu 4 — Đáp án D đúng: u₂ = (0; 2; 0) = 2u₁ nên hai vectơ cùng phương. Điểm M₁(1; 0; 0) không thuộc d₂ vì d₂ gồm các điểm có hoành độ x = 0. Vậy hai đường thẳng song song với nhau. Đáp án A sai vì M₁ không thuộc d₂. Đáp án B sai vì hai đường thẳng không có điểm chung. Đáp án C sai vì hai vectơ chỉ phương cùng phương.

Giải thích Câu 5 — Đáp án D đúng: u₂ = (2; 2; 2) = 2u₁ nên hai vectơ cùng phương. Điểm M₁(1; 1; 1) thuộc d₂ vì với s = −1/2: x = 2 + 2 × (−1/2) = 1, y = 1, z = 1. Vậy hai đường thẳng trùng nhau. Đáp án A sai vì M₁ thuộc d₂. Đáp án B sai vì hai đường thẳng có vô số điểm chung. Đáp án C sai vì hai vectơ chỉ phương cùng phương.

Câu hỏi thường gặp về vị trí tương đối của hai đường thẳng

Hỏi: Hai đường thẳng chéo nhau có cùng nằm trong một mặt phẳng được không?
Đáp: Không. Chéo nhau có nghĩa là không có mặt phẳng nào chứa cả hai đường thẳng. Nếu hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng thì chúng hoặc song song, hoặc trùng nhau, hoặc cắt nhau — không có trường hợp thứ tư.

Hỏi: Tích hỗn tạp bằng 0 có ý nghĩa gì?
Đáp: Tích hỗn tạp [u₁, u₂] · M₁M₂ bằng 0 có nghĩa là ba vectơ u₁, u₂ và M₁M₂ đồng phẳng, tức là hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng. Khi đó, nếu [u₁, u₂] ≠ 0 thì hai đường thẳng cắt nhau.

Hỏi: Có thể xét vị trí tương đối mà không dùng tích có hướng không?
Đáp: Có, bạn giải hệ phương trình tham số của hai đường thẳng. Hệ vô nghiệm thì song song hoặc chéo nhau, hệ có một nghiệm thì cắt nhau, hệ có vô số nghiệm thì trùng nhau. Để phân biệt song song với chéo nhau trong trường hợp vô nghiệm, bạn kiểm tra xem hai vectơ chỉ phương có cùng phương hay không.

Hỏi: Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì có cắt nhau không?
Đáp: Không nhất thiết. Hai đường thẳng vuông góc là hai đường thẳng có vectơ chỉ phương vuông góc với nhau — chúng có thể cắt nhau, cũng có thể chéo nhau. Muốn biết có cắt nhau hay không, bạn vẫn phải tính tích hỗn tạp.

Hỏi: Học bài này để làm gì trong các bài sau?
Đáp: Vị trí tương đối của hai đường thẳng là bước đầu tiên trước khi tính góc giữa hai đường thẳng và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Bạn sẽ dùng lại tích có hướng và tích hỗn tạp trong cả hai bài đó. Nếu muốn ôn lại điều kiện song song, vuông góc của hai mặt phẳng, bạn hãy xem bài điều kiện song song, vuông góc của hai mặt phẳng.

Kết luận

Vị trí tương đối của hai đường thẳng chỉ gói gọn trong hai phép tính: tích có hướng [u₁, u₂] cho biết hai đường thẳng có cùng phương hay không, tích hỗn tạp [u₁, u₂] · M₁M₂ cho biết chúng có đồng phẳng hay không. Bạn hãy nhớ thứ tự: [u₁, u₂] = 0 thì song song hoặc trùng nhau (kiểm tra thêm một điểm), [u₁, u₂] ≠ 0 thì cắt nhau hoặc chéo nhau (tích hỗn tạp bằng 0 thì cắt, khác 0 thì chéo). Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để xét vị trí tương đối của bất kì cặp đường thẳng nào trong không gian.