Một tia laser chiếu xuyên qua căn phòng, một đường bay thẳng của máy bay, một sợi dây căng giữa hai điểm trong không gian — tất cả đều là đường thẳng, và tất cả đều có thể mô tả bằng một phương trình gọn gàng. Khác với mặt phẳng chỉ cần một điểm và một vectơ pháp tuyến, đường thẳng cần một điểm và một vectơ chỉ phương: một điểm để biết nó đi qua đâu, một vectơ để biết nó chạy theo hướng nào. Đó là toàn bộ bí mật của công thức viết phương trình đường thẳng trong không gian.
Bài này sẽ hướng dẫn bạn viết phương trình đường thẳng một cách có hệ thống: từ dạng tham số và dạng chính tắc, cách chuyển đổi giữa hai dạng, cách xử lí trường hợp mẫu số bằng 0, cách tìm đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng, cho tới 4 ví dụ tính từng bước và 5 bài tập trắc nghiệm có đáp án chi tiết. Đây là bài học nền tảng cho mọi bài toán về vị trí tương đối và khoảng cách trong không gian.
Phương trình đường thẳng: một điểm, một vectơ chỉ phương
Đường thẳng d đi qua điểm M₀(x₀; y₀; z₀) và nhận vectơ u = (a; b; c) làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số: x = x₀ + at, y = y₀ + bt, z = z₀ + ct, với t là tham số chạy trên toàn bộ trục số thực. Mỗi giá trị của t cho một điểm trên đường thẳng, và ngược lại mỗi điểm trên đường thẳng ứng với đúng một giá trị t. Khi t = 0, bạn được chính điểm M₀. Đây là dạng phương trình linh hoạt nhất, vì nó luôn viết được cho mọi đường thẳng, không có trường hợp ngoại lệ nào.
Từ dạng tham số, bạn rút t từ mỗi phương trình rồi cho chúng bằng nhau để được dạng chính tắc: (x − x₀)/a = (y − y₀)/b = (z − z₀)/c. Dạng chính tắc gọn gàng và dễ đọc hơn, nhưng nó có một lưu ý quan trọng: nếu một trong ba số a, b, c bằng 0 thì tỉ số tương ứng được hiểu theo quy ước — ví dụ b = 0 thì (y − y₀)/0 được hiểu là y = y₀, tức là mọi điểm trên đường thẳng đều có tung độ bằng y₀. Bạn tuyệt đối không được "chia cho 0" theo nghĩa thông thường, mà phải hiểu đó là cách viết tắt của điều kiện y = y₀. Nếu hai trong ba số a, b, c bằng 0 thì đường thẳng song song với trục tọa độ còn lại — ví dụ a = b = 0 thì đường thẳng song song với trục Oz.
Vậy làm thế nào để tìm vectơ chỉ phương khi đề bài không cho sẵn? Có ba cách thường gặp nhất. Thứ nhất, nếu đường thẳng đi qua hai điểm A và B thì vectơ AB là một vectơ chỉ phương. Thứ hai, nếu đường thẳng song song với một đường thẳng đã biết thì nó nhận cùng vectơ chỉ phương với đường thẳng đó. Thứ ba, nếu đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng thì vectơ chỉ phương của nó là tích có hướng của hai vectơ pháp tuyến, tức là u = [n₁, n₂]. Bạn hãy nhớ: vectơ chỉ phương không duy nhất — mọi vectơ cùng phương với u đều là chỉ phương, nên bạn có thể nhân u với một số khác 0 hoặc rút gọn các tọa độ để làm đẹp số liệu.
Một kĩ năng quan trọng khác là chuyển đổi giữa hai dạng phương trình. Từ dạng chính tắc sang dạng tham số, bạn đặt tỉ số chung bằng t rồi giải ra x, y, z theo t. Từ dạng tham số sang dạng chính tắc, bạn rút t từ từng phương trình rồi cho bằng nhau. Bạn cũng cần biết cách tìm giao điểm của đường thẳng với các mặt phẳng tọa độ: giao với Oxy thì đặt z = 0, giao với Oxz thì đặt y = 0, giao với Oyz thì đặt x = 0, rồi giải ra tham số t và tọa độ giao điểm. Kĩ năng này xuất hiện rất thường xuyên trong các bài toán tìm điểm.
Cuối cùng, bạn cần phân biệt rõ vectơ chỉ phương với vectơ pháp tuyến. Vectơ chỉ phương nằm dọc theo đường thẳng, còn vectơ pháp tuyến vuông góc với mặt phẳng. Một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì vectơ chỉ phương của đường thẳng chính là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng — mối liên hệ này là chìa khóa của nhiều bài toán tổng hợp. Khi cần kiểm tra lại phép tính, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.
Bốn bài toán mẫu tính từng bước
Ví dụ 1 (dùng đúng số liệu mẫu): Viết phương trình đường thẳng qua A(1; 2; 3) và nhận vectơ u = (1; 0; −1) làm vectơ chỉ phương.
Bạn áp dụng trực tiếp công thức dạng chính tắc: (x − 1)/1 = (y − 2)/0 = (z − 3)/(−1). Bạn hãy để ý mẫu số 0 ở tỉ số giữa: theo quy ước, (y − 2)/0 nghĩa là y − 2 = 0, tức là y = 2. Vậy đường thẳng này nằm trong mặt phẳng y = 2. Dạng tham số của nó là: x = 1 + t, y = 2, z = 3 − t. Bạn kiểm tra: với t = 0 được điểm A(1; 2; 3), với t = 1 được điểm (2; 2; 2) — thay vào dạng chính tắc: (2 − 1)/1 = 1, (2 − 2)/0 hiểu là y = 2, (2 − 3)/(−1) = 1 — cả ba đều bằng 1, đúng là thuộc đường thẳng.
Ví dụ 2 (qua hai điểm): Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(1; 0; 2) và B(3; 2; 0).
Trước hết bạn tìm vectơ chỉ phương: AB = (3 − 1; 2 − 0; 0 − 2) = (2; 2; −2). Bạn có thể rút gọn bằng cách chia cho 2 để được vectơ (1; 1; −1) cho đẹp số liệu — vì mọi vectơ cùng phương đều là chỉ phương. Lấy điểm A(1; 0; 2), dạng chính tắc là (x − 1)/1 = y/1 = (z − 2)/(−1). Bạn kiểm tra điểm B: (3 − 1)/1 = 2, 2/1 = 2, (0 − 2)/(−1) = 2 — cả ba tỉ số đều bằng 2, đúng là B thuộc đường thẳng. Dạng tham số là x = 1 + t, y = t, z = 2 − t. Bạn hãy nhớ: khi kiểm tra một điểm có thuộc đường thẳng hay không, bạn chỉ cần thay tọa độ vào dạng chính tắc và xem ba tỉ số có bằng nhau hay không.
Ví dụ 3 (song song với trục tọa độ): Viết phương trình đường thẳng qua M(0; 1; −1) và song song với trục Oz.
Trục Oz có vectơ chỉ phương là k = (0; 0; 1), nên đường thẳng cần tìm cũng nhận (0; 0; 1) làm vectơ chỉ phương. Dạng tham số là: x = 0, y = 1, z = −1 + t. Dạng chính tắc viết theo quy ước là x/0 = (y − 1)/0 = (z + 1)/1, được hiểu là x = 0 và y = 1. Bạn hãy để ý: đường thẳng này là tập hợp các điểm có hoành độ bằng 0 và tung độ bằng 1, chỉ có cao độ z thay đổi — đúng như hình dung về một đường thẳng đứng song song với trục Oz đi qua điểm M(0; 1; −1).
Ví dụ 4 (giao tuyến của hai mặt phẳng): Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng (P): x + y − z = 0 và (Q): x − y + z = 0.
Trước hết bạn tìm vectơ chỉ phương bằng tích có hướng của hai vectơ pháp tuyến: n₁ = (1; 1; −1), n₂ = (1; −1; 1). Tính [n₁, n₂]: tọa độ x là 1 × 1 − (−1) × (−1) = 0; tọa độ y là (−1) × 1 − 1 × 1 = −2; tọa độ z là 1 × (−1) − 1 × 1 = −2. Vậy [n₁, n₂] = (0; −2; −2), rút gọn thành (0; 1; 1). Tiếp theo bạn tìm một điểm thuộc giao tuyến: đặt z = 0, hệ phương trình trở thành x + y = 0 và x − y = 0, giải được x = 0, y = 0, nên điểm O(0; 0; 0) thuộc giao tuyến. Vậy phương trình tham số là x = 0, y = t, z = t. Bạn kiểm tra: điểm (0; 1; 1) thỏa mãn cả hai phương trình mặt phẳng — 0 + 1 − 1 = 0 và 0 − 1 + 1 = 0 — đúng là thuộc giao tuyến. Nếu muốn ôn lại cách viết phương trình mặt phẳng, bạn hãy xem bài công thức viết phương trình mặt phẳng.
Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Chia cho 0 trong dạng chính tắc.
Nhiều bạn thấy (y − 2)/0 thì lúng túng hoặc bỏ qua luôn tỉ số đó. Cách tránh: bạn hãy nhớ quy ước — mẫu số bằng 0 nghĩa là tử số bằng 0, tức là y = 2. Đừng bao giờ thực hiện phép chia cho 0.
Lỗi 2: Dùng vectơ pháp tuyến làm vectơ chỉ phương.
Nhiều bạn lấy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa đường thẳng làm chỉ phương. Cách tránh: bạn hãy nhớ chỉ phương phải nằm dọc theo đường thẳng, còn pháp tuyến vuông góc với mặt phẳng. Khi đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng, chỉ phương là tích có hướng của hai pháp tuyến, không phải một trong hai pháp tuyến.
Lỗi 3: Quên rút gọn vectơ chỉ phương rồi tính sai.
Nhiều bạn giữ nguyên vectơ (2; 2; −2) rồi viết dạng chính tắc (x − 1)/2 = y/2 = (z − 2)/(−2) — đáp án này vẫn đúng, nhưng khi kiểm tra điểm thì dễ nhầm. Cách tránh: bạn hãy rút gọn vectơ chỉ phương về dạng đơn giản nhất ngay từ đầu để số liệu đẹp và dễ kiểm tra.
Lỗi 4: Nhầm dấu khi viết dạng tham số.
Nhiều bạn viết x = 1 − t thay vì x = 1 + t khi vectơ chỉ phương là (1; 0; −1). Cách tránh: bạn hãy viết rõ x = x₀ + a·t với a là tọa độ thứ nhất của vectơ chỉ phương, giữ nguyên dấu của a.
Lỗi 5: Tìm giao điểm với mặt phẳng tọa độ mà quên đặt đúng tọa độ bằng 0.
Nhiều bạn tìm giao với Oxy mà đặt x = 0 thay vì z = 0. Cách tránh: bạn hãy nhớ mặt phẳng Oxy là tập hợp các điểm có z = 0, Oxz là y = 0, Oyz là x = 0.
Năm bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ kiểm tra điểm đã cho bằng cách thay vào dạng chính tắc.
Câu 1: Đường thẳng qua M(1; −1; 2) và nhận vectơ u = (2; 1; −1) làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là
A. (x − 1)/2 = (y + 1)/1 = (z − 2)/(−1)
B. (x − 1)/2 = (y − 1)/1 = (z + 2)/(−1)
C. (x + 1)/2 = (y − 1)/1 = (z − 2)/(−1)
D. (x − 1)/1 = (y + 1)/2 = (z − 2)/(−1)
Câu 2: Đường thẳng (x − 1)/2 = y/3 = (z + 2)/(−1) đi qua điểm nào sau đây?
A. (2; 3; −1)
B. (1; 3; −2)
C. (1; 0; −2)
D. (3; 0; −2)
Câu 3: Đường thẳng đi qua hai điểm A(2; 1; 0) và B(0; 3; 2) có phương trình chính tắc là
A. (x − 2)/1 = (y − 1)/1 = z/1
B. (x − 2)/1 = (y − 1)/(−1) = z/(−1)
C. (x − 2)/2 = (y − 1)/1 = z/(−1)
D. (x + 2)/1 = (y − 1)/(−1) = z/(−1)
Câu 4: Phương trình tham số của đường thẳng qua M(0; 2; 1) và nhận vectơ u = (1; 0; 2) làm vectơ chỉ phương là
A. x = 1 + t, y = 2, z = 2t
B. x = t, y = 2 + t, z = 1 + 2t
C. x = 2t, y = 2, z = 1 + t
D. x = t, y = 2, z = 1 + 2t
Câu 5: Đường thẳng d: x = 1 + 2t, y = −t, z = 3 + t cắt mặt phẳng Oxy tại điểm
A. (1; 0; 3)
B. (−5; 3; 0)
C. (−5; −3; 0)
D. (7; −3; 0)
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | A | C | B | D | B |
Giải thích Câu 1 — Đáp án A đúng: Áp dụng công thức (x − 1)/2 = (y + 1)/1 = (z − 2)/(−1) với điểm M(1; −1; 2) và u = (2; 1; −1). Đáp án B sai vì đã đổi dấu của y₀ và z₀. Đáp án C sai vì đổi dấu của x₀. Đáp án D sai vì hoán đổi a và b trong vectơ chỉ phương.
Giải thích Câu 2 — Đáp án C đúng: Thay điểm (1; 0; −2) vào: (1 − 1)/2 = 0, 0/3 = 0, (−2 + 2)/(−1) = 0 — cả ba tỉ số đều bằng 0. Đáp án A sai vì (2 − 1)/2 = 1/2 nhưng 3/3 = 1, hai tỉ số không bằng nhau. Đáp án B sai vì 3/3 = 1 nhưng (1 − 1)/2 = 0. Đáp án D sai vì (3 − 1)/2 = 1 nhưng 0/3 = 0.
Giải thích Câu 3 — Đáp án B đúng: Vectơ AB = (−2; 2; 2), rút gọn thành (1; −1; −1) bằng cách chia cho −2. Với điểm A(2; 1; 0), dạng chính tắc là (x − 2)/1 = (y − 1)/(−1) = z/(−1). Đáp án A sai vì dấu của y và z trong vectơ chỉ phương phải là âm. Đáp án C sai vì vectơ (2; 1; −1) không cùng phương với AB. Đáp án D sai vì điểm (−2; 1; 0) không phải là A.
Giải thích Câu 4 — Đáp án D đúng: Dạng tham số là x = 0 + 1·t = t, y = 2 + 0·t = 2, z = 1 + 2t. Đáp án A sai vì x₀ phải là 0 chứ không phải 1. Đáp án B sai vì y phải bằng 2 không đổi. Đáp án C sai vì hệ số của t trong z phải là 2 chứ không phải 1.
Giải thích Câu 5 — Đáp án B đúng: Giao với mặt phẳng Oxy thì z = 0, tức là 3 + t = 0, suy ra t = −3. Thay vào: x = 1 + 2 × (−3) = −5, y = −(−3) = 3. Giao điểm là (−5; 3; 0). Đáp án A sai vì đó là điểm ứng với t = 0. Đáp án C sai vì y = −t = 3 chứ không phải −3. Đáp án D sai vì đó là điểm ứng với t = 3.
Câu hỏi thường gặp về phương trình đường thẳng
Hỏi: Một đường thẳng có bao nhiêu vectơ chỉ phương?
Đáp: Vô số. Mọi vectơ cùng phương với một vectơ chỉ phương đều là vectơ chỉ phương của đường thẳng đó. Vì vậy bạn có thể nhân vectơ chỉ phương với một số khác 0 để làm đẹp số liệu mà không làm thay đổi đường thẳng.
Hỏi: Dạng chính tắc có dùng được khi cả ba số a, b, c đều khác 0 không?
Đáp: Có, đó là trường hợp đẹp nhất — ba tỉ số đều viết được bình thường. Chỉ khi một hoặc hai số trong a, b, c bằng 0 thì bạn mới cần dùng quy ước mẫu số bằng 0.
Hỏi: Làm thế nào để biết một điểm có thuộc đường thẳng hay không?
Đáp: Bạn thay tọa độ điểm vào dạng chính tắc và xem ba tỉ số có bằng nhau hay không. Nếu bằng nhau thì điểm thuộc đường thẳng. Với dạng tham số, bạn giải t từ phương trình thứ nhất rồi kiểm tra xem t đó có thỏa mãn hai phương trình còn lại hay không.
Hỏi: Đường thẳng song song với trục Ox thì vectơ chỉ phương là gì?
Đáp: Mọi vectơ dạng (a; 0; 0) với a khác 0, đơn giản nhất là (1; 0; 0). Tương tự, đường thẳng song song với trục Oy nhận vectơ (0; 1; 0), song song với trục Oz nhận vectơ (0; 0; 1).
Hỏi: Học phương trình đường thẳng để làm gì trong các bài sau?
Đáp: Phương trình đường thẳng là nền tảng để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng, vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng, tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng và góc giữa hai đường thẳng. Bạn sẽ dùng nó trong hầu hết các bài toán hình học không gian còn lại của lớp 12. Nếu muốn đi tiếp, bạn hãy xem bài vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian.
Kết luận
Viết phương trình đường thẳng chỉ gói gọn trong một điểm và một vectơ chỉ phương: dạng tham số x = x₀ + at, y = y₀ + bt, z = z₀ + ct và dạng chính tắc (x − x₀)/a = (y − y₀)/b = (z − z₀)/c. Bạn hãy nhớ ba điều: mẫu số bằng 0 nghĩa là tử số bằng 0, qua hai điểm thì lấy vectơ AB làm chỉ phương, và giao tuyến của hai mặt phẳng thì lấy tích có hướng của hai pháp tuyến làm chỉ phương. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để viết phương trình của bất kì đường thẳng nào trong không gian.