Bạn đã bao giờ tự hỏi làm thế nào người ta mô tả một bức tường, một mặt bàn hay một tấm bảng trong không gian ba chiều bằng một phương trình duy nhất chưa? Chỉ cần biết một điểm nằm trên mặt phẳng đó và một vectơ vuông góc với nó, bạn có thể viết ra phương trình của cả mặt phẳng — gọn gàng, chính xác và dùng được cho mọi bài toán hình học không gian lớp 12. Đó chính là sức mạnh của công thức viết phương trình mặt phẳng, một trong những công thức bạn sẽ gặp nhiều nhất trong chương phương pháp tọa độ trong không gian.
Bài này sẽ hướng dẫn bạn viết phương trình mặt phẳng một cách có hệ thống: từ công thức qua một điểm và vectơ pháp tuyến, cách tìm vectơ pháp tuyến khi chỉ biết ba điểm, cho tới 4 ví dụ tính từng bước và 5 bài tập trắc nghiệm có đáp án chi tiết. Nắm chắc bài này, bạn sẽ thấy các bài về đường thẳng, mặt cầu và góc trong không gian đều trở nên dễ thở hơn rất nhiều.
Phương trình mặt phẳng: chỉ cần một điểm và một vectơ pháp tuyến
Một mặt phẳng trong không gian được xác định duy nhất khi bạn biết một điểm M(x₀; y₀; z₀) thuộc mặt phẳng và một vectơ pháp tuyến n = (A; B; C) vuông góc với mặt phẳng đó. Khi đó, một điểm M(x; y; z) bất kì thuộc mặt phẳng khi và chỉ khi vectơ MM₀ vuông góc với n, tức là tích vô hướng của chúng bằng 0. Từ điều kiện này ta có công thức: A(x − x₀) + B(y − y₀) + C(z − z₀) = 0. Đây là dạng phương trình mặt phẳng đi qua điểm M₀ và nhận n làm vectơ pháp tuyến.
Khai triển công thức trên, bạn được dạng tổng quát của phương trình mặt phẳng: Ax + By + Cz + D = 0, trong đó D = −(Ax₀ + By₀ + Cz₀). Ba số A, B, C không đồng thời bằng 0 — vì nếu cả ba đều bằng 0 thì vectơ n là vectơ không, không thể làm pháp tuyến. Ngược lại, mọi phương trình dạng Ax + By + Cz + D = 0 với A² + B² + C² > 0 đều là phương trình của một mặt phẳng nào đó, và vectơ n = (A; B; C) chính là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ấy.
Vậy làm thế nào để tìm vectơ pháp tuyến khi đề bài không cho sẵn? Có ba cách thường gặp nhất. Thứ nhất, nếu mặt phẳng song song với một mặt phẳng đã biết thì nó nhận cùng vectơ pháp tuyến với mặt phẳng đó. Thứ hai, nếu mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C thì vectơ pháp tuyến là tích có hướng của hai vectơ AB và AC, tức là n = [AB, AC]. Thứ ba, nếu mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng thì nó nhận vectơ chỉ phương của đường thẳng đó làm vectơ pháp tuyến. Bạn hãy nhớ: vectơ pháp tuyến không duy nhất — mọi vectơ cùng phương với n đều là pháp tuyến, nên bạn có thể nhân n với một số khác 0 để làm đẹp số liệu.
Một số trường hợp đặc biệt bạn nên thuộc lòng. Mặt phẳng Oxy có phương trình z = 0, mặt phẳng Oxz có phương trình y = 0, mặt phẳng Oyz có phương trình x = 0. Mặt phẳng song song với mặt phẳng Oxy có dạng z = c, song song với Oxz có dạng y = c, song song với Oyz có dạng x = c. Mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O thì hệ số tự do D bằng 0. Và mặt phẳng cắt ba trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c khác 0 có phương trình đoạn chắn rất đẹp: x/a + y/b + z/c = 1.
Cuối cùng, bạn cần phân biệt rõ vectơ pháp tuyến với vectơ chỉ phương. Vectơ pháp tuyến vuông góc với mặt phẳng, còn vectơ chỉ phương nằm trong mặt phẳng hoặc song song với nó. Nhầm lẫn hai khái niệm này là lỗi phổ biến nhất khi viết phương trình mặt phẳng — và cũng là lỗi dễ tránh nhất nếu bạn luôn tự hỏi: "vectơ này có vuông góc với mặt phẳng không, hay nó nằm trong mặt phẳng?" Khi cần kiểm tra lại phép tính, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.
Bốn bài toán mẫu tính từng bước
Ví dụ 1 (dùng đúng số liệu mẫu): Viết phương trình mặt phẳng qua M(1; 0; 0) và nhận vectơ n = (2; 3; 4) làm vectơ pháp tuyến.
Bạn áp dụng trực tiếp công thức A(x − x₀) + B(y − y₀) + C(z − z₀) = 0 với A = 2, B = 3, C = 4 và x₀ = 1, y₀ = 0, z₀ = 0. Thay số: 2(x − 1) + 3(y − 0) + 4(z − 0) = 0, tức là 2(x − 1) + 3y + 4z = 0. Khai triển: 2x − 2 + 3y + 4z = 0, hay 2x + 3y + 4z − 2 = 0. Bạn kiểm tra lại: điểm M(1; 0; 0) thỏa mãn 2 × 1 + 0 + 0 − 2 = 0, đúng là thuộc mặt phẳng. Đây là dạng bài cơ bản nhất — chỉ cần thay số đúng là xong.
Ví dụ 2 (qua ba điểm): Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(1; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 3).
Trước hết bạn tìm hai vectơ nằm trong mặt phẳng: AB = (−1; 2; 0) và AC = (−1; 0; 3). Vectơ pháp tuyến là tích có hướng n = [AB, AC]. Tính từng tọa độ: nₓ = 2 × 3 − 0 × 0 = 6; nᵧ = 0 × (−1) − (−1) × 3 = 3; n_z = (−1) × 0 − 2 × (−1) = 2. Vậy n = (6; 3; 2). Bạn kiểm tra: n · AB = 6 × (−1) + 3 × 2 + 2 × 0 = 0, và n · AC = 6 × (−1) + 3 × 0 + 2 × 3 = 0 — đúng là vuông góc với cả hai vectơ. Lấy điểm A(1; 0; 0), phương trình là 6(x − 1) + 3y + 2z = 0, tức là 6x + 3y + 2z − 6 = 0. Kiểm tra: B thỏa mãn 0 + 6 + 0 − 6 = 0, C thỏa mãn 0 + 0 + 6 − 6 = 0. Bạn cũng có thể dùng công thức đoạn chắn: x/1 + y/2 + z/3 = 1, nhân hai vế với 6 cũng được 6x + 3y + 2z = 6 — khớp hoàn toàn.
Ví dụ 3 (song song với mặt phẳng tọa độ): Viết phương trình mặt phẳng qua M(2; −1; 3) và song song với mặt phẳng Oxy.
Mặt phẳng Oxy có vectơ pháp tuyến là k = (0; 0; 1). Vì mặt phẳng cần tìm song song với Oxy nên nó nhận cùng vectơ pháp tuyến (0; 0; 1). Áp dụng công thức với điểm M(2; −1; 3): 0(x − 2) + 0(y + 1) + 1(z − 3) = 0, tức là z − 3 = 0, hay z = 3. Bạn hãy để ý: mọi điểm trên mặt phẳng này đều có cao độ z = 3, đúng như hình dung về một mặt phẳng nằm ngang ở độ cao 3. Tổng quát hơn, mặt phẳng qua M(x₀; y₀; z₀) song song với Oxy luôn có phương trình z = z₀ — bạn nhớ mẹo này để làm nhanh các bài tương tự.
Ví dụ 4 (mặt phẳng trung trực): Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A(1; 2; 3) và B(3; 2; 1).
Mặt phẳng trung trực đi qua trung điểm I của AB và vuông góc với AB. Trung điểm I có tọa độ ((1 + 3)/2; (2 + 2)/2; (3 + 1)/2) = (2; 2; 2). Vectơ AB = (2; 0; −2) chính là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng trung trực. Áp dụng công thức: 2(x − 2) + 0(y − 2) − 2(z − 2) = 0, tức là 2x − 2z = 0, hay x − z = 0. Bạn kiểm tra: điểm A cho 1 − 3 = −2, điểm B cho 3 − 1 = 2 — hai điểm nằm về hai phía đối xứng của mặt phẳng, còn trung điểm I cho 2 − 2 = 0, đúng là thuộc mặt phẳng. Bạn hãy nhớ: mặt phẳng trung trực là tập hợp các điểm cách đều A và B, nên mọi bài toán "tìm điểm cách đều hai điểm cho trước" đều đưa về mặt phẳng này. Nếu muốn xem cách viết phương trình đường thẳng trong không gian, bạn hãy đọc bài công thức viết phương trình đường thẳng.
Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Dùng vectơ chỉ phương làm vectơ pháp tuyến.
Nhiều bạn thấy đề cho vectơ AB thì lấy ngay AB làm pháp tuyến. Cách tránh: bạn hãy nhớ pháp tuyến phải vuông góc với mặt phẳng, còn AB nằm trong mặt phẳng. Khi mặt phẳng đi qua ba điểm, pháp tuyến là tích có hướng [AB, AC], không phải AB.
Lỗi 2: Quên kiểm tra ba điểm có thẳng hàng hay không.
Nhiều bạn tính tích có hướng của ba điểm thẳng hàng thì được vectơ không, rồi lúng túng không biết làm tiếp. Cách tránh: bạn hãy kiểm tra trước — nếu AB và AC cùng phương thì ba điểm thẳng hàng, không xác định được duy nhất một mặt phẳng, đề bài sẽ cho thêm điều kiện khác.
Lỗi 3: Nhầm dấu của hệ số tự do D.
Nhiều bạn viết 2(x − 1) + 3y + 4z = 0 rồi khai triển thành 2x + 3y + 4z + 2 = 0, quên đổi dấu −2. Cách tránh: bạn hãy thay tọa độ điểm M₀ vào phương trình cuối cùng để kiểm tra — nếu M₀ không thỏa mãn thì chắc chắn bạn đã sai dấu ở đâu đó.
Lỗi 4: Lấy nhầm vectơ pháp tuyến khi mặt phẳng song song với mặt phẳng cho trước.
Nhiều bạn lấy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): 2x − y + z + 1 = 0 là (2; 1; 1) mà quên dấu trừ của y. Cách tránh: bạn hãy đọc kĩ từng hệ số — pháp tuyến của Ax + By + Cz + D = 0 là (A; B; C), giữ nguyên dấu của từng số.
Lỗi 5: Viết phương trình mặt phẳng qua gốc tọa độ mà còn giữ hệ số tự do khác 0.
Nhiều bạn viết mặt phẳng qua O(0; 0; 0) thành x + 2y + 3z + 1 = 0. Cách tránh: bạn hãy nhớ mặt phẳng qua gốc tọa độ thì D = 0, vì thay (0; 0; 0) vào Ax + By + Cz + D = 0 được D = 0 ngay. Thay điểm O vào để kiểm tra là thói quen tốt cho mọi bài.
Năm bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ thay điểm đã cho vào phương trình cuối cùng để kiểm tra.
Câu 1: Mặt phẳng qua M(2; 1; −1) và nhận vectơ n = (1; −2; 3) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là
A. x − 2y + 3z + 3 = 0
B. x − 2y + 3z − 3 = 0
C. x + 2y − 3z + 3 = 0
D. x − 2y + 3z − 1 = 0
Câu 2: Mặt phẳng (P): 2x − y + 2z + 5 = 0 có một vectơ pháp tuyến là
A. (2; −1; 2)
B. (1; −2; 2)
C. (2; 1; −2)
D. (1; 2; −2)
Câu 3: Mặt phẳng qua O(0; 0; 0) và song song với mặt phẳng (Q): x + 2y − z + 4 = 0 có phương trình là
A. x + 2y − z + 4 = 0
B. x + 2y − z = 0
C. x − 2y + z = 0
D. 2x + y − z = 0
Câu 4: Mặt phẳng đi qua ba điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1) có phương trình là
A. x + y + z + 1 = 0
B. x + y + z − 1 = 0
C. x − y − z − 1 = 0
D. 2x + y + z − 1 = 0
Câu 5: Mặt phẳng (P): x + 2y + 2z − 6 = 0 cắt trục Oz tại điểm nào?
A. (0; 0; 3)
B. (0; 0; 6)
C. (3; 0; 0)
D. (0; 3; 0)
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | A | A | B | B | A |
Giải thích Câu 1 — Đáp án A đúng: Áp dụng công thức: 1(x − 2) − 2(y − 1) + 3(z + 1) = 0, khai triển được x − 2 − 2y + 2 + 3z + 3 = 0, tức là x − 2y + 3z + 3 = 0. Đáp án B sai vì hệ số tự do phải là +3 chứ không phải −3. Đáp án C sai vì đã đổi dấu của y và z trong vectơ pháp tuyến. Đáp án D sai vì hệ số tự do tính sai.
Giải thích Câu 2 — Đáp án A đúng: Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng Ax + By + Cz + D = 0 là (A; B; C), ở đây là (2; −1; 2). Đáp án B sai vì đã hoán đổi hệ số của x và y. Đáp án C sai vì đổi dấu của y. Đáp án D sai vì đổi cả vị trí lẫn dấu của các hệ số.
Giải thích Câu 3 — Đáp án B đúng: Mặt phẳng cần tìm song song với (Q) nên nhận cùng vectơ pháp tuyến (1; 2; −1), lại đi qua gốc tọa độ nên D = 0, phương trình là x + 2y − z = 0. Đáp án A sai vì đó chính là (Q) dịch chuyển — mặt phẳng qua gốc tọa độ không thể có D = 4. Đáp án C sai vì đổi dấu của y và z. Đáp án D sai vì hệ số của x và y bị hoán đổi.
Giải thích Câu 4 — Đáp án B đúng: Dùng công thức đoạn chắn: x/1 + y/1 + z/1 = 1, tức là x + y + z − 1 = 0. Đáp án A sai vì dấu của hệ số tự do ngược lại — thay A(1; 0; 0) vào được 2 ≠ 0. Đáp án C sai vì đổi dấu của y và z. Đáp án D sai vì hệ số của x phải là 1.
Giải thích Câu 5 — Đáp án A đúng: Điểm trên trục Oz có dạng (0; 0; z). Thay x = 0, y = 0 vào phương trình: 2z − 6 = 0, suy ra z = 3, giao điểm là (0; 0; 3). Đáp án B sai vì quên chia cho 2. Đáp án C sai vì đó là giao điểm với trục Ox (cho y = z = 0 thì x = 6, không phải 3). Đáp án D sai vì đó là giao điểm với trục Oy.
Câu hỏi thường gặp về phương trình mặt phẳng
Hỏi: Một mặt phẳng có bao nhiêu vectơ pháp tuyến?
Đáp: Vô số. Mọi vectơ cùng phương với một vectơ pháp tuyến đều là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó. Vì vậy khi làm bài, bạn có thể nhân vectơ pháp tuyến với một số khác 0 để làm đẹp số liệu mà không làm thay đổi mặt phẳng.
Hỏi: Làm thế nào để biết một điểm có thuộc mặt phẳng hay không?
Đáp: Bạn thay tọa độ của điểm vào phương trình mặt phẳng. Nếu vế trái bằng 0 thì điểm thuộc mặt phẳng, nếu khác 0 thì điểm không thuộc mặt phẳng. Đây cũng là cách kiểm tra nhanh nhất xem bạn có viết sai phương trình hay không.
Hỏi: Mặt phẳng đi qua ba điểm thẳng hàng có xác định được không?
Đáp: Không. Ba điểm thẳng hàng chỉ xác định một đường thẳng, có vô số mặt phẳng đi qua đường thẳng đó. Đề bài phải cho thêm một điều kiện nữa, ví dụ mặt phẳng song song với một đường thẳng khác, thì mới xác định được duy nhất.
Hỏi: Phương trình đoạn chắn dùng được khi nào?
Đáp: Khi mặt phẳng cắt cả ba trục tọa độ tại các điểm khác gốc tọa độ, tức là a, b, c đều khác 0. Nếu mặt phẳng đi qua gốc tọa độ hoặc song song với một trục thì không dùng được công thức đoạn chắn.
Hỏi: Học phương trình mặt phẳng để làm gì trong các bài sau?
Đáp: Phương trình mặt phẳng là nền tảng của cả chương hình học không gian lớp 12. Bạn sẽ dùng nó để viết phương trình đường thẳng, xét vị trí tương đối, tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng và giải các bài toán về mặt cầu. Nắm chắc bài này, các bài sau sẽ nhẹ nhàng hơn rất nhiều. Nếu muốn đi tiếp, bạn hãy xem bài công thức viết phương trình mặt cầu.
Kết luận
Viết phương trình mặt phẳng chỉ gói gọn trong một công thức: A(x − x₀) + B(y − y₀) + C(z − z₀) = 0, với điều kiện bạn phải có đúng một điểm thuộc mặt phẳng và một vectơ pháp tuyến. Bạn hãy nhớ ba điều: pháp tuyến vuông góc với mặt phẳng, qua ba điểm thì lấy tích có hướng làm pháp tuyến, và luôn thay điểm đã cho vào phương trình cuối cùng để kiểm tra. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để viết phương trình của bất kì mặt phẳng nào — từ mặt phẳng qua ba điểm cho tới mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng.