Một quả bóng, một bong bóng xà phòng, một hành tinh — tất cả đều có dạng mặt cầu, và tất cả đều có thể mô tả bằng một phương trình duy nhất chỉ với bốn con số: ba tọa độ của tâm và một bán kính. Đó là vẻ đẹp của phương trình mặt cầu: từ một hình khối tưởng chừng phức tạp, bạn chỉ cần biết tâm ở đâu và bán kính bằng bao nhiêu là viết được ngay phương trình. Bài học hôm nay sẽ hướng dẫn bạn làm điều đó, cùng với các dạng bài mở rộng như mặt cầu đường kính và mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng.
Bài này sẽ giúp bạn viết phương trình mặt cầu một cách có hệ thống: từ dạng chính tắc khi biết tâm và bán kính, cách tìm bán kính từ đường kính hoặc từ khoảng cách đến mặt phẳng tiếp xúc, cách viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm, cho tới 4 ví dụ tính từng bước và 5 bài tập trắc nghiệm có đáp án chi tiết. Đây là bài học ngắn gọn nhưng rất "được điểm" trong đề thi, vì vậy bạn hãy học thật chắc từng dạng.
Phương trình mặt cầu: biết tâm và bán kính là viết được ngay
Mặt cầu tâm I(a; b; c), bán kính R là tập hợp các điểm M(x; y; z) trong không gian sao cho khoảng cách IM bằng R. Vì IM = √((x − a)² + (y − b)² + (z − c)²), nên điều kiện IM = R tương đương với phương trình: (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = R². Đây là dạng chính tắc của phương trình mặt cầu, và nó cho bạn thấy ngay tâm và bán kính chỉ bằng cách đọc các con số trong phương trình: tâm là (a; b; c), bán kính là căn bậc hai của vế phải.
Vậy làm thế nào để tìm bán kính khi đề bài không cho sẵn? Có ba cách thường gặp nhất. Thứ nhất, nếu đề cho đường kính AB thì tâm là trung điểm của AB và bán kính bằng một nửa độ dài AB. Thứ hai, nếu mặt cầu tiếp xúc với một mặt phẳng thì bán kính bằng khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng đó — ví dụ mặt cầu tâm I(x₀; y₀; z₀) tiếp xúc với mặt phẳng Oxy thì bán kính bằng |z₀|, tiếp xúc với Oxz thì bằng |y₀|, tiếp xúc với Oyz thì bằng |x₀|. Thứ ba, nếu mặt cầu đi qua một điểm M cho trước thì bán kính bằng khoảng cách từ tâm đến M, tức là R = IM.
Một dạng bài quan trọng khác là viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm không đồng phẳng A, B, C, D. Cách làm chuẩn là giả sử mặt cầu có dạng x² + y² + z² − 2ax − 2by − 2cz + d = 0, thay tọa độ bốn điểm vào để được hệ bốn phương trình bốn ẩn a, b, c, d, rồi giải hệ. Sau khi có a, b, c, d, bạn đọc ngay tâm I(a; b; c) và bán kính R = √(a² + b² + c² − d). Cách này tuy dài nhưng rất chắc chắn, và nó cũng là cầu nối sang bài xác định tâm và bán kính từ phương trình dạng khai triển mà bạn sẽ học ngay sau bài này.
Bạn cũng cần biết cách nhận ra một phương trình có phải là phương trình mặt cầu hay không. Khai triển dạng chính tắc, bạn được dạng tổng quát: x² + y² + z² − 2ax − 2by − 2cz + d = 0, trong đó d = a² + b² + c² − R². Một phương trình dạng x² + y² + z² + ex + fy + gz + h = 0 là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi hệ số của x², y², z² bằng nhau (và khác 0) đồng thời a² + b² + c² − d > 0, với a = −e/2, b = −f/2, c = −g/2, d = h. Nếu a² + b² + c² − d = 0 thì phương trình chỉ biểu diễn một điểm, nếu nhỏ hơn 0 thì không biểu diễn hình gì cả.
Cuối cùng, bạn hãy nhớ mối liên hệ giữa mặt cầu và mặt phẳng: một mặt phẳng cắt mặt cầu theo một đường tròn, tiếp xúc với mặt cầu tại một điểm, hoặc không có điểm chung nào — tùy thuộc vào việc khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng nhỏ hơn, bằng hay lớn hơn bán kính. Khi mặt phẳng cắt mặt cầu, bán kính của đường tròn giao tuyến là r = √(R² − d²), trong đó d là khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng. Khi cần kiểm tra lại phép tính, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.
Bốn bài toán mẫu tính từng bước
Ví dụ 1 (dùng đúng số liệu mẫu): Viết phương trình mặt cầu tâm I(1; 2; 3), bán kính R = 5.
Bạn áp dụng trực tiếp công thức (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = R² với a = 1, b = 2, c = 3 và R = 5. Thay số: (x − 1)² + (y − 2)² + (z − 3)² = 5², tức là (x − 1)² + (y − 2)² + (z − 3)² = 25. Bạn kiểm tra: điểm (6; 2; 3) cách tâm một khoảng bằng 5 theo trục x, thay vào vế trái được (6 − 1)² + 0 + 0 = 25, đúng là thuộc mặt cầu. Bạn hãy để ý: vế phải là R² = 25 chứ không phải R = 5 — quên bình phương bán kính là lỗi rất phổ biến.
Ví dụ 2 (tâm tại gốc tọa độ): Viết phương trình mặt cầu tâm O(0; 0; 0), bán kính R = 3.
Áp dụng công thức với a = b = c = 0: (x − 0)² + (y − 0)² + (z − 0)² = 3², tức là x² + y² + z² = 9. Đây là dạng đơn giản nhất của phương trình mặt cầu — tập hợp các điểm cách gốc tọa độ một khoảng bằng 3. Bạn hãy nhớ: mặt cầu tâm O, bán kính R luôn có phương trình x² + y² + z² = R², và đây cũng là cách nhanh nhất để kiểm tra xem một điểm có thuộc mặt cầu hay không.
Ví dụ 3 (mặt cầu đường kính): Viết phương trình mặt cầu có đường kính AB với A(1; 2; 3) và B(5; 2; 3).
Trước hết bạn tìm tâm là trung điểm của AB: I = ((1 + 5)/2; (2 + 2)/2; (3 + 3)/2) = (3; 2; 3). Bán kính bằng một nửa độ dài AB: AB = √((5 − 1)² + (2 − 2)² + (3 − 3)²) = √16 = 4, nên R = 2. Phương trình mặt cầu là (x − 3)² + (y − 2)² + (z − 3)² = 4. Bạn kiểm tra: điểm A cho (1 − 3)² + 0 + 0 = 4, điểm B cho (5 − 3)² + 0 + 0 = 4 — cả hai đều thuộc mặt cầu, đúng như mong đợi vì AB là đường kính. Bạn hãy nhớ: với bài toán đường kính, tâm luôn là trung điểm, bán kính luôn bằng một nửa độ dài đoạn thẳng.
Ví dụ 4 (mặt cầu tiếp xúc): Viết phương trình mặt cầu tâm I(1; −1; 2) và tiếp xúc với mặt phẳng Oxy.
Vì mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng Oxy nên bán kính bằng khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng Oxy, tức là bằng giá trị tuyệt đối của cao độ của tâm: R = |z_I| = |2| = 2. Phương trình mặt cầu là (x − 1)² + (y + 1)² + (z − 2)² = 4. Bạn kiểm tra: tiếp điểm là hình chiếu của I lên mặt phẳng Oxy, tức là điểm (1; −1; 0); thay vào vế trái: (1 − 1)² + (−1 + 1)² + (0 − 2)² = 4, đúng là thuộc mặt cầu. Tổng quát hơn, mặt cầu tâm I(x₀; y₀; z₀) tiếp xúc với mặt phẳng Oxz thì R = |y₀|, tiếp xúc với mặt phẳng Oyz thì R = |x₀|. Nếu muốn xem cách xác định tâm và bán kính từ phương trình dạng khai triển, bạn hãy đọc bài công thức xác định tâm và bán kính mặt cầu.
Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Quên bình phương bán kính.
Nhiều bạn viết (x − 1)² + (y − 2)² + (z − 3)² = 5 thay vì = 25 khi R = 5. Cách tránh: bạn hãy nhớ vế phải là R², luôn bình phương bán kính trước khi viết.
Lỗi 2: Nhầm dấu của tọa độ tâm.
Nhiều bạn viết tâm I(1; −1; 2) thành (x + 1)² + (y − 1)² + (z + 2)². Cách tránh: bạn hãy nhớ công thức là (x − a)² — với a = 1 thì là (x − 1)², với a = −1 thì là (x + 1)². Viết rõ phép trừ rồi mới thay số.
Lỗi 3: Lấy độ dài AB làm bán kính thay vì một nửa.
Nhiều bạn viết mặt cầu đường kính AB với R = AB. Cách tránh: bạn hãy nhớ đường kính gấp đôi bán kính — tâm là trung điểm, bán kính bằng AB/2.
Lỗi 4: Tính sai khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng tiếp xúc.
Nhiều bạn lấy R = z₀ mà quên giá trị tuyệt đối, hoặc lấy nhầm tọa độ. Cách tránh: bạn hãy nhớ mặt cầu tiếp xúc với Oxy thì R = |z₀|, với Oxz thì R = |y₀|, với Oyz thì R = |x₀|.
Lỗi 5: Nhầm lẫn giữa phương trình mặt cầu và phương trình đường tròn.
Nhiều bạn viết mặt cầu trong không gian mà chỉ có hai số hạng, ví dụ (x − 1)² + (y − 2)² = 25. Cách tránh: bạn hãy nhớ mặt cầu trong không gian Oxyz luôn có ba số hạng (x, y và z) — thiếu một số hạng là sai ngay.
Năm bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ bình phương bán kính và kiểm tra dấu của tọa độ tâm.
Câu 1: Mặt cầu tâm I(2; −1; 0), bán kính R = 3 có phương trình là
A. (x − 2)² + (y + 1)² + z² = 9
B. (x + 2)² + (y − 1)² + z² = 9
C. (x − 2)² + (y − 1)² + z² = 9
D. (x − 2)² + (y + 1)² + z² = 3
Câu 2: Mặt cầu (x − 1)² + (y − 2)² + (z − 3)² = 16 có tâm và bán kính là
A. I(−1; −2; −3), R = 4
B. I(1; 2; 3), R = 16
C. I(1; 2; 3), R = 4
D. I(1; 2; 3), R = 8
Câu 3: Mặt cầu có đường kính AB với A(0; 0; 0) và B(2; 0; 0) có phương trình là
A. x² + y² + z² = 1
B. (x − 1)² + y² + z² = 1
C. (x − 2)² + y² + z² = 4
D. (x − 1)² + y² + z² = 4
Câu 4: Điểm nào sau đây thuộc mặt cầu (x − 1)² + y² + z² = 9?
A. (1; 4; 0)
B. (0; 0; 0)
C. (1; 0; 4)
D. (4; 0; 0)
Câu 5: Mặt cầu tâm I(0; 1; −2) và đi qua điểm A(0; 1; 1) có phương trình là
A. x² + (y − 1)² + (z + 2)² = 3
B. x² + (y − 1)² + (z + 2)² = 9
C. x² + (y + 1)² + (z − 2)² = 9
D. x² + (y − 1)² + (z + 2)² = 27
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | A | C | B | D | B |
Giải thích Câu 1 — Đáp án A đúng: Áp dụng công thức: (x − 2)² + (y + 1)² + (z − 0)² = 3² = 9. Đáp án B sai vì đổi dấu của tọa độ tâm. Đáp án C sai vì (y − 1)² ứng với tâm có tung độ bằng 1, không phải −1. Đáp án D sai vì vế phải phải là 9 chứ không phải 3.
Giải thích Câu 2 — Đáp án C đúng: Tâm là I(1; 2; 3), bán kính R = √16 = 4. Đáp án A sai vì đổi dấu của tọa độ tâm. Đáp án B sai vì bán kính là căn bậc hai của 16, không phải 16. Đáp án D sai vì √16 = 4 chứ không phải 8.
Giải thích Câu 3 — Đáp án B đúng: Tâm là trung điểm của AB: I(1; 0; 0); bán kính R = AB/2 = 2/2 = 1. Phương trình là (x − 1)² + y² + z² = 1. Đáp án A sai vì tâm phải là (1; 0; 0) chứ không phải gốc tọa độ. Đáp án C sai vì tâm và bán kính đều sai. Đáp án D sai vì bán kính phải là 1 chứ không phải 2.
Giải thích Câu 4 — Đáp án D đúng: Thay điểm (4; 0; 0) vào: (4 − 1)² + 0 + 0 = 9, thỏa mãn phương trình. Đáp án A sai vì (1 − 1)² + 16 + 0 = 16 ≠ 9. Đáp án B sai vì (0 − 1)² + 0 + 0 = 1 ≠ 9. Đáp án C sai vì (1 − 1)² + 0 + 16 = 16 ≠ 9.
Giải thích Câu 5 — Đáp án B đúng: Bán kính R = IA = √((0 − 0)² + (1 − 1)² + (1 + 2)²) = √9 = 3, nên vế phải là 9. Phương trình là x² + (y − 1)² + (z + 2)² = 9. Đáp án A sai vì vế phải phải là 9 chứ không phải 3. Đáp án C sai vì đổi dấu của tọa độ tâm. Đáp án D sai vì 27 không phải là bình phương của 3.
Câu hỏi thường gặp về phương trình mặt cầu
Hỏi: Làm thế nào để đọc nhanh tâm và bán kính từ phương trình mặt cầu?
Đáp: Bạn nhìn vào dạng (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = R²: tâm là (a; b; c), bán kính là căn bậc hai của vế phải. Chú ý dấu: (x + 1)² nghĩa là a = −1, (y − 2)² nghĩa là b = 2.
Hỏi: Mặt cầu có thể có bán kính bằng 0 không?
Đáp: Về mặt hình học, R = 0 thì mặt cầu suy biến thành một điểm duy nhất là tâm. Trong chương trình phổ thông, người ta thường không coi đó là mặt cầu mà coi phương trình không biểu diễn mặt cầu.
Hỏi: Phương trình x² + y² + z² = 9 và (x − 1)² + (y − 2)² + (z − 3)² = 25 khác nhau ở điểm nào?
Đáp: Phương trình thứ nhất có tâm tại gốc tọa độ O và bán kính 3, phương trình thứ hai có tâm tại I(1; 2; 3) và bán kính 5. Cả hai đều là mặt cầu, chỉ khác nhau vị trí tâm và độ lớn bán kính.
Hỏi: Làm thế nào để viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm?
Đáp: Bạn giả sử mặt cầu có dạng x² + y² + z² − 2ax − 2by − 2cz + d = 0, thay tọa độ bốn điểm vào để được hệ bốn phương trình bốn ẩn a, b, c, d, rồi giải hệ. Bốn điểm phải không đồng phẳng thì hệ mới có nghiệm duy nhất.
Hỏi: Học phương trình mặt cầu để làm gì trong các bài sau?
Đáp: Phương trình mặt cầu là cơ sở để học vị trí tương đối của mặt cầu với mặt phẳng và đường thẳng, bài toán mặt cầu tiếp xúc và các bài toán cực trị hình học không gian. Bạn sẽ gặp lại nó trong nhiều bài toán tổng hợp cuối chương. Nếu muốn ôn lại cách viết phương trình mặt phẳng, bạn hãy xem bài công thức viết phương trình mặt phẳng.
Kết luận
Viết phương trình mặt cầu chỉ gói gọn trong một công thức: (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = R², với điều kiện bạn phải biết tâm I(a; b; c) và bán kính R. Bạn hãy nhớ ba điều: luôn bình phương bán kính, tâm là trung điểm khi biết đường kính, và bán kính bằng khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng khi mặt cầu tiếp xúc. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để viết phương trình của bất kì mặt cầu nào — từ mặt cầu tâm tại gốc tọa độ cho tới mặt cầu đi qua bốn điểm.