Bạn mở một bài toán và thấy phương trình x² + y² + z² − 2x + 4y − 6z − 2 = 0. Đây có phải là một mặt cầu không? Nếu phải thì tâm ở đâu, bán kính bằng bao nhiêu? Không giống như dạng chính tắc (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = R² cho bạn đọc ngay đáp án, dạng khai triển này giấu tâm và bán kính sau những hệ số — và nhiệm vụ của bạn là "mở khóa" chúng bằng cách đưa về dạng bình phương đủ. Đó chính là nội dung của bài học hôm nay.
Bài này sẽ giúp bạn xác định tâm và bán kính mặt cầu từ phương trình dạng khai triển một cách có hệ thống: từ phương pháp đưa về dạng chính tắc bằng cách nhóm bình phương, điều kiện để một phương trình là phương trình mặt cầu, cách đọc nhanh tâm và bán kính từ các hệ số, cho tới 4 ví dụ tính từng bước và 5 bài tập trắc nghiệm có đáp án chi tiết. Đây là bài học "đọc hiểu" phương trình — học xong, bạn sẽ nhìn một phương trình khai triển và biết ngay nó nói về mặt cầu nào.
Xác định tâm và bán kính: đưa phương trình về dạng bình phương đủ
Phương trình mặt cầu dạng tổng quát là x² + y² + z² − 2ax − 2by − 2cz + d = 0, trong đó I(a; b; c) là tâm và R = √(a² + b² + c² − d) là bán kính, với điều kiện a² + b² + c² − d > 0. Mối liên hệ này xuất phát từ việc khai triển dạng chính tắc: (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = R² cho ra x² + y² + z² − 2ax − 2by − 2cz + (a² + b² + c² − R²) = 0, nên hệ số tự do d chính bằng a² + b² + c² − R². Từ đó, bạn suy ra R² = a² + b² + c² − d.
Trong thực hành, bạn không cần nhớ máy móc mà chỉ cần làm theo hai bước. Bước một: đọc tọa độ tâm từ hệ số của x, y, z — hệ số của x là −2a nên a bằng hệ số của x chia cho −2, tương tự b bằng hệ số của y chia cho −2, c bằng hệ số của z chia cho −2. Ví dụ phương trình x² + y² + z² − 2x + 4y − 6z − 2 = 0 có hệ số của x là −2 nên a = 1, hệ số của y là 4 nên b = −2, hệ số của z là −6 nên c = 3, tâm là I(1; −2; 3). Bước hai: tính bán kính bằng công thức R = √(a² + b² + c² − d), với d là hệ số tự do — ở ví dụ trên, d = −2 nên R = √(1 + 4 + 9 − (−2)) = √16 = 4.
Điều kiện a² + b² + c² − d > 0 là điều kiện để phương trình thực sự là phương trình mặt cầu. Nếu a² + b² + c² − d = 0 thì bán kính bằng 0, phương trình chỉ biểu diễn một điểm duy nhất là tâm I — người ta không coi đó là mặt cầu. Nếu a² + b² + c² − d < 0 thì không có điểm nào thỏa mãn phương trình, vì tổng ba bình phương không thể bằng một số âm. Bạn hãy nhớ: trước khi kết luận tâm và bán kính, luôn kiểm tra điều kiện này — nhiều đề thi cố tình cho phương trình không phải mặt cầu để kiểm tra xem bạn có kiểm tra điều kiện hay không.
Ngoài cách đọc hệ số, bạn còn có thể đưa phương trình về dạng chính tắc bằng phương pháp nhóm bình phương đủ. Với x² − 2x, bạn viết thành (x − 1)² − 1; với y² + 4y, bạn viết thành (y + 2)² − 4; với z² − 6z, bạn viết thành (z − 3)² − 9. Cộng tất cả lại, bạn được (x − 1)² + (y + 2)² + (z − 3)² = 16, đọc ngay tâm I(1; −2; 3) và bán kính R = 4. Phương pháp này dài hơn cách đọc hệ số nhưng giúp bạn hiểu rõ bản chất, và đặc biệt hữu ích khi hệ số của x², y², z² không bằng 1 — lúc đó bạn phải chia cả hai vế cho hệ số chung trước khi nhóm bình phương.
Một trường hợp đặc biệt bạn cần lưu ý: phương trình dạng x² + y² + z² + ex + fy + gz + h = 0 chỉ là phương trình mặt cầu khi hệ số của x², y², z² bằng nhau. Nếu ba hệ số này khác nhau, ví dụ 2x² + y² + z² = 1, thì phương trình biểu diễn một mặt elipxoit chứ không phải mặt cầu. Khi cần kiểm tra lại phép tính, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.
Bốn bài toán mẫu tính từng bước
Ví dụ 1 (dùng đúng số liệu mẫu): Xác định tâm và bán kính của mặt cầu x² + y² + z² − 2x + 4y − 6z − 2 = 0.
Bạn đọc tọa độ tâm từ hệ số: hệ số của x là −2 nên a = (−2)/(−2) = 1; hệ số của y là 4 nên b = 4/(−2) = −2; hệ số của z là −6 nên c = (−6)/(−2) = 3. Vậy tâm là I(1; −2; 3). Hệ số tự do d = −2, nên bán kính R = √(a² + b² + c² − d) = √(1 + 4 + 9 − (−2)) = √16 = 4. Bạn kiểm tra điều kiện: a² + b² + c² − d = 16 > 0, nên đây đúng là phương trình mặt cầu. Bạn cũng có thể kiểm tra bằng cách nhóm bình phương: (x − 1)² − 1 + (y + 2)² − 4 + (z − 3)² − 9 − 2 = 0, tức là (x − 1)² + (y + 2)² + (z − 3)² = 16 — khớp hoàn toàn với kết quả vừa tính.
Ví dụ 2 (đọc nhanh từ hệ số): Xác định tâm và bán kính của mặt cầu x² + y² + z² − 4x + 2y + 4z + 5 = 0.
Bạn đọc tâm: a = (−4)/(−2) = 2, b = 2/(−2) = −1, c = 4/(−2) = −2, nên tâm là I(2; −1; −2). Hệ số tự do d = 5, nên bán kính R = √(4 + 1 + 4 − 5) = √4 = 2. Bạn hãy để ý: hệ số tự do d = 5 là số dương, nên khi tính a² + b² + c² − d bạn phải trừ đi 5 — nhiều bạn quên dấu trừ ở đây và tính nhầm thành √(4 + 1 + 4 + 5) = √14. Bạn kiểm tra bằng cách nhóm bình phương: (x − 2)² − 4 + (y + 1)² − 1 + (z + 2)² − 4 + 5 = 0, tức là (x − 2)² + (y + 1)² + (z + 2)² = 4 — khớp hoàn toàn.
Ví dụ 3 (không phải mặt cầu): Phương trình x² + y² + z² + 2x − 2y + 6 = 0 có phải là phương trình mặt cầu không?
Bạn đọc tâm: a = 2/(−2) = −1, b = (−2)/(−2) = 1, c = 0/(−2) = 0, nên "tâm" giả định là I(−1; 1; 0). Hệ số tự do d = 6, nên a² + b² + c² − d = 1 + 1 + 0 − 6 = −4 < 0. Vì giá trị này âm nên không tồn tại bán kính thực nào thỏa mãn — phương trình không biểu diễn mặt cầu, cũng không biểu diễn hình gì cả. Bạn hãy nhớ: đây là dạng bẫy rất hay gặp trong đề thi — đề cho một phương trình trông giống mặt cầu nhưng thực ra không phải, và đáp án đúng là "không phải mặt cầu".
Ví dụ 4 (tìm tham số): Tìm m để phương trình x² + y² + z² − 2mx + 4y − 2z + 4m − 1 = 0 là phương trình mặt cầu.
Bạn đọc tâm theo m: a = (−2m)/(−2) = m, b = 4/(−2) = −2, c = (−2)/(−2) = 1, nên tâm là I(m; −2; 1). Hệ số tự do d = 4m − 1, nên điều kiện là a² + b² + c² − d = m² + 4 + 1 − (4m − 1) = m² − 4m + 6 > 0. Bạn xét tam thức m² − 4m + 6: biệt thức Δ = 16 − 24 = −8 < 0, hệ số của m² dương, nên tam thức luôn dương với mọi m. Vậy phương trình là mặt cầu với mọi giá trị thực của m. Bạn hãy để ý: đáp án "mọi m" nghe có vẻ lạ nhưng hoàn toàn đúng — không phải bài tìm tham số nào cũng có điều kiện ràng buộc. Nếu muốn ôn lại cách viết phương trình mặt cầu, bạn hãy xem bài công thức viết phương trình mặt cầu.
Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Đọc sai dấu của tọa độ tâm.
Nhiều bạn thấy hệ số của x là −2 thì kết luận a = −2, quên chia cho −2. Cách tránh: bạn hãy nhớ a = (hệ số của x)/(−2) — hệ số −2 cho a = 1, hệ số 4 cho a = −2.
Lỗi 2: Quên trừ hệ số tự do d khi tính bán kính.
Nhiều bạn tính R = √(a² + b² + c²) mà bỏ qua d. Cách tránh: bạn hãy nhớ công thức đầy đủ R = √(a² + b² + c² − d), và chú ý dấu của d — nếu d âm thì trừ đi số âm tức là cộng thêm.
Lỗi 3: Không kiểm tra điều kiện a² + b² + c² − d > 0.
Nhiều bạn tính ra R = √(−4) rồi vẫn kết luận đó là mặt cầu. Cách tránh: bạn hãy luôn kiểm tra điều kiện trước khi kết luận — nếu giá trị trong căn âm thì phương trình không phải mặt cầu.
Lỗi 4: Nhầm lẫn giữa hệ số tự do d và R².
Nhiều bạn thấy phương trình có hệ số tự do −2 thì kết luận R² = 2. Cách tránh: bạn hãy nhớ R² = a² + b² + c² − d, không phải R² = −d hay R² = d.
Lỗi 5: Quên chia hệ số khi hệ số của x², y², z² khác 1.
Nhiều bạn gặp phương trình 2x² + 2y² + 2z² − 4x + 2y − 2 = 0 thì đọc tâm ngay mà không chia cho 2. Cách tránh: bạn hãy chia cả hai vế cho hệ số chung trước, đưa về dạng hệ số bằng 1 rồi mới đọc tâm và bán kính.
Năm bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ kiểm tra điều kiện trước khi kết luận.
Câu 1: Mặt cầu x² + y² + z² − 6x + 8y − 2 = 0 có tâm và bán kính là
A. I(3; −4; 0), R = 3√3
B. I(−3; 4; 0), R = 3√3
C. I(3; −4; 0), R = 5
D. I(3; 4; 0), R = 3√3
Câu 2: Mặt cầu x² + y² + z² + 4x − 6y + 8z − 7 = 0 có tâm và bán kính là
A. I(2; −3; 4), R = 6
B. I(−2; 3; −4), R = 36
C. I(−2; 3; −4), R = 6
D. I(−2; 3; 4), R = 6
Câu 3: Phương trình nào sau đây KHÔNG phải là phương trình mặt cầu?
A. x² + y² + z² − 2x − 4 = 0
B. x² + y² + z² + 2x + 2y + 2z + 3 = 0
C. x² + y² + z² = 4
D. x² + y² + z² − 4x + 4y − 1 = 0
Câu 4: Mặt cầu x² + y² + z² − 2x + 2y − 4z + 1 = 0 có tâm và bán kính là
A. I(−1; 1; −2), R = √5
B. I(1; −1; 2), R = 5
C. I(1; −1; 2), R = √6
D. I(1; −1; 2), R = √5
Câu 5: Mặt cầu x² + y² + z² − 8x + 6y − 10 = 0 có bán kính bằng
A. 6
B. √35
C. 5
D. √45
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | A | C | B | D | B |
Giải thích Câu 1 — Đáp án A đúng: Tâm: a = (−6)/(−2) = 3, b = 8/(−2) = −4, c = 0, nên I(3; −4; 0). Bán kính: R = √(9 + 16 + 0 − (−2)) = √27 = 3√3. Đáp án B sai vì đổi dấu của tọa độ tâm. Đáp án C sai vì quên trừ hệ số tự do: √(9 + 16) = 5. Đáp án D sai vì tung độ của tâm phải là −4.
Giải thích Câu 2 — Đáp án C đúng: Tâm: a = 4/(−2) = −2, b = (−6)/(−2) = 3, c = 8/(−2) = −4, nên I(−2; 3; −4). Bán kính: R = √(4 + 9 + 16 − (−7)) = √36 = 6. Đáp án A sai vì đổi dấu của tọa độ tâm. Đáp án B sai vì bán kính là căn bậc hai của 36, không phải 36. Đáp án D sai vì cao độ của tâm phải là −4.
Giải thích Câu 3 — Đáp án B đúng: Với phương trình B: a = −1, b = −1, c = −1, d = 3, a² + b² + c² − d = 1 + 1 + 1 − 3 = 0, bán kính bằng 0 nên phương trình chỉ biểu diễn một điểm, không phải mặt cầu. Đáp án A là mặt cầu với R = √5. Đáp án C là mặt cầu tâm O, R = 2. Đáp án D là mặt cầu với R = 3.
Giải thích Câu 4 — Đáp án D đúng: Tâm: a = (−2)/(−2) = 1, b = 2/(−2) = −1, c = (−4)/(−2) = 2, nên I(1; −1; 2). Bán kính: R = √(1 + 1 + 4 − 1) = √5. Đáp án A sai vì đổi dấu của tọa độ tâm. Đáp án B sai vì bán kính là √5 chứ không phải 5. Đáp án C sai vì tính nhầm hệ số tự do: √(1 + 1 + 4) = √6 là kết quả khi quên trừ d.
Giải thích Câu 5 — Đáp án B đúng: Tâm: a = (−8)/(−2) = 4, b = 6/(−2) = −3, c = 0, d = −10. Bán kính: R = √(16 + 9 + 0 − (−10)) = √35. Đáp án A sai vì 6 không phải là căn bậc hai của 35. Đáp án C sai vì 5 = √25. Đáp án D sai vì tính nhầm: √(16 + 9 + 10) = √35 chứ không phải √45.
Câu hỏi thường gặp về tâm và bán kính mặt cầu
Hỏi: Vì sao tọa độ tâm lại bằng hệ số chia cho −2?
Đáp: Vì khi khai triển (x − a)² = x² − 2ax + a², hệ số của x là −2a. Do đó, muốn tìm a, bạn lấy hệ số của x chia cho −2. Tương tự với y và z.
Hỏi: Phương trình có hệ số tự do bằng 0 thì bán kính tính thế nào?
Đáp: Bạn tính bình thường: R = √(a² + b² + c² − 0) = √(a² + b² + c²). Ví dụ mặt cầu x² + y² + z² − 2x = 0 có tâm I(1; 0; 0) và bán kính R = 1.
Hỏi: Có thể xác định tâm và bán kính mà không cần nhóm bình phương không?
Đáp: Có, bạn đọc trực tiếp từ hệ số như bài này đã hướng dẫn. Nhóm bình phương chỉ là cách kiểm chứng lại kết quả, hoặc dùng khi hệ số của x², y², z² khác 1.
Hỏi: Mặt cầu đi qua gốc tọa độ thì hệ số tự do bằng bao nhiêu?
Đáp: Bằng 0, vì thay O(0; 0; 0) vào phương trình x² + y² + z² − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 được d = 0. Đây cũng là một cách kiểm tra nhanh khi làm bài.
Hỏi: Học bài này để làm gì trong các bài sau?
Đáp: Xác định tâm và bán kính là bước đầu tiên của mọi bài toán về mặt cầu: xét vị trí tương đối của mặt cầu với mặt phẳng và đường thẳng, viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu, và các bài toán tìm mặt cầu thỏa mãn điều kiện cho trước. Bạn sẽ dùng kĩ năng này trong suốt phần còn lại của chương. Nếu muốn ôn lại công thức nhân xác suất, bạn hãy xem bài công thức nhân xác suất, xác suất có điều kiện.
Kết luận
Xác định tâm và bán kính mặt cầu từ phương trình dạng khai triển chỉ gói gọn trong hai bước: đọc tọa độ tâm bằng cách lấy hệ số của x, y, z chia cho −2, rồi tính bán kính bằng công thức R = √(a² + b² + c² − d). Bạn hãy nhớ ba điều: luôn kiểm tra điều kiện a² + b² + c² − d > 0 trước khi kết luận, chú ý dấu của hệ số tự do d, và chia hệ số chung trước khi đọc nếu hệ số của x², y², z² khác 1. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để "đọc" bất kì phương trình mặt cầu dạng khai triển nào trong đề thi.