Bạn tung một con xúc xắc hai lần và muốn biết xác suất cả hai lần đều ra mặt 6. Bạn rút hai lá bài liên tiếp từ một bộ bài và muốn biết xác suất cả hai đều là át. Bạn làm xét nghiệm y tế và muốn biết xác suất mình thật sự mắc bệnh khi kết quả dương tính. Tất cả những bài toán này đều có chung một cấu trúc: một sự kiện xảy ra rồi một sự kiện khác xảy ra tiếp theo, và xác suất của cả hai cùng xảy ra bằng tích của hai xác suất thành phần. Đó chính là công thức nhân xác suất — công cụ quan trọng nhất của chương xác suất lớp 12.
Bài này sẽ giúp bạn làm chủ công thức nhân xác suất và xác suất có điều kiện một cách có hệ thống: từ định nghĩa xác suất có điều kiện, công thức nhân cho hai biến cố bất kì, trường hợp đặc biệt khi hai biến cố độc lập, cách vẽ cây xác suất để không bao giờ nhầm, cho tới 4 ví dụ tính từng bước và 5 bài tập trắc nghiệm có đáp án chi tiết. Đây là bài học kết nối trực tiếp với đời sống — từ trò chơi may rủi cho tới xét nghiệm y tế — nên bạn hãy học thật kĩ từng ví dụ.
Công thức nhân xác suất: xác suất có điều kiện là chìa khóa
Cho hai biến cố A và B với P(A) > 0, xác suất có điều kiện của B với điều kiện A đã xảy ra, kí hiệu P(B | A), được định nghĩa bằng công thức: P(B | A) = P(AB) / P(A), trong đó AB là biến cố "cả A và B cùng xảy ra". Ý nghĩa của công thức này rất trực quan: khi bạn đã biết A xảy ra, không gian mẫu thu hẹp lại chỉ còn những kết quả thuận lợi cho A, và xác suất của B được tính lại trong không gian mẫu mới đó. Từ định nghĩa này, bạn suy ra ngay công thức nhân xác suất: P(AB) = P(A) · P(B | A). Công thức này cũng viết được theo chiều ngược lại: P(AB) = P(B) · P(A | B).
Trường hợp đặc biệt quan trọng là khi A và B độc lập với nhau, tức là việc A xảy ra hay không không ảnh hưởng gì đến xác suất của B. Khi đó P(B | A) = P(B), và công thức nhân trở thành dạng đơn giản nhất: P(AB) = P(A) · P(B). Bạn hãy nhớ: độc lập là một giả thiết mạnh, không phải lúc nào cũng đúng. Tung hai con xúc xắc khác nhau là độc lập, nhưng rút hai lá bài liên tiếp không hoàn lại thì không độc lập — vì lá bài thứ nhất đã rút sẽ ảnh hưởng đến xác suất của lá thứ hai. Nhầm lẫn giữa hai trường hợp này là lỗi phổ biến nhất khi làm bài xác suất.
Để không bao giờ nhầm, bạn hãy vẽ cây xác suất. Cây xác suất bắt đầu từ một điểm, rẽ nhánh theo từng biến cố, mỗi nhánh ghi xác suất của biến cố đó với điều kiện các biến cố trước đó đã xảy ra. Xác suất của một đường đi đầy đủ từ gốc đến lá bằng tích các xác suất trên các nhánh của đường đi đó — chính là công thức nhân xác suất. Ví dụ với P(A) = 0,5 và P(B | A) = 0,4, đường đi "A xảy ra rồi B xảy ra" có xác suất bằng 0,5 × 0,4 = 0,2. Cây xác suất còn giúp bạn tính xác suất đầy đủ: P(B) bằng tổng xác suất của mọi đường đi dẫn đến B.
Một ứng dụng nổi tiếng của công thức nhân là công thức Bayes, dùng để "đảo ngược" xác suất có điều kiện: P(A | B) = P(B | A) · P(A) / P(B). Công thức này là cơ sở của các bài toán xét nghiệm y tế: bạn biết tỉ lệ mắc bệnh trong dân số và độ nhạy của xét nghiệm, bạn tính được xác suất một người thật sự mắc bệnh khi xét nghiệm dương tính — và kết quả thường thấp hơn nhiều so với cảm giác ban đầu, vì tỉ lệ mắc bệnh trong dân số rất thấp. Bạn sẽ học kĩ công thức Bayes ở bài sau, nhưng ngay từ bây giờ bạn hãy nhớ: P(A | B) và P(B | A) là hai con số hoàn toàn khác nhau, đừng bao giờ đánh đồng chúng.
Cuối cùng, bạn cần phân biệt rõ công thức nhân với công thức cộng xác suất. Công thức cộng dùng cho biến cố hợp "A hoặc B xảy ra": P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(AB). Công thức nhân dùng cho biến cố giao "cả A và B cùng xảy ra": P(AB) = P(A) · P(B | A). Mẹo nhớ nhanh: "hoặc" thì cộng, "và" thì nhân — giống như quy tắc cộng và quy tắc nhân trong chương tổ hợp mà bạn đã học ở lớp 10. Khi cần kiểm tra lại phép tính, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.
Bốn bài toán mẫu tính từng bước
Ví dụ 1 (dùng đúng số liệu mẫu): Cho P(A) = 0,5 và P(B | A) = 0,4. Tính P(AB).
Bạn áp dụng trực tiếp công thức nhân xác suất: P(AB) = P(A) · P(B | A) = 0,5 × 0,4 = 0,2. Bạn hãy hình dung bằng cây xác suất: từ điểm bắt đầu, nhánh "A xảy ra" có xác suất 0,5; từ đó rẽ tiếp nhánh "B xảy ra" với xác suất 0,4; đường đi đầy đủ "A xảy ra rồi B xảy ra" có xác suất bằng tích hai nhánh là 0,2. Bạn hãy để ý: P(AB) = 0,2 nhỏ hơn cả P(A) = 0,5 và P(B | A) = 0,4 — điều này luôn đúng, vì xác suất của "cả hai cùng xảy ra" không bao giờ vượt quá xác suất của từng biến cố riêng lẻ.
Ví dụ 2 (rút bi không hoàn lại): Một hộp có 5 bi đỏ và 3 bi xanh. Rút ngẫu nhiên 2 bi liên tiếp, không hoàn lại. Tính xác suất cả hai bi đều đỏ.
Bạn gọi A là biến cố "bi thứ nhất đỏ", B là biến cố "bi thứ hai đỏ". Xác suất bi thứ nhất đỏ là P(A) = 5/8. Sau khi đã rút một bi đỏ, hộp còn 4 bi đỏ và 3 bi xanh, tổng cộng 7 bi, nên xác suất bi thứ hai đỏ với điều kiện bi thứ nhất đã đỏ là P(B | A) = 4/7. Áp dụng công thức nhân: P(AB) = (5/8) × (4/7) = 20/56 = 5/14 ≈ 0,357. Bạn hãy để ý: hai lần rút không độc lập, vì P(B | A) = 4/7 khác với P(B) = 5/8 — nếu bạn nhân 5/8 với 5/8 thì sẽ ra đáp án sai. Đây chính là điểm mấu chốt của bài toán rút không hoàn lại.
Ví dụ 3 (hai biến cố độc lập): Tung hai con xúc xắc khác nhau. Tính xác suất cả hai đều ra mặt 6.
Bạn gọi A là biến cố "xúc xắc thứ nhất ra 6", B là biến cố "xúc xắc thứ hai ra 6". Hai con xúc xắc khác nhau nên hai biến cố độc lập: kết quả của con thứ nhất không ảnh hưởng gì đến con thứ hai. Vì vậy P(B | A) = P(B) = 1/6, và P(AB) = P(A) · P(B) = (1/6) × (1/6) = 1/36. Bạn hãy đối chiếu với ví dụ 2: ở đây mỗi lần tung đều có 6 mặt như nhau, không có chuyện "mất đi" một mặt 6 sau lần tung thứ nhất — đó là dấu hiệu nhận biết hai biến cố độc lập. Nếu muốn ôn lại quy tắc nhân trong đếm, bạn hãy xem bài quy tắc nhân.
Ví dụ 4 (xác suất có điều kiện trong thực tế): Một lớp có 40 học sinh, trong đó 25 bạn giỏi Toán. Trong số 25 bạn giỏi Toán, có 10 bạn giỏi Văn. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của lớp. Tính xác suất học sinh đó vừa giỏi Toán vừa giỏi Văn.
Bạn gọi A là biến cố "học sinh giỏi Toán", B là biến cố "học sinh giỏi Văn". Xác suất giỏi Toán là P(A) = 25/40 = 0,625. Trong số các bạn giỏi Toán, tỉ lệ giỏi Văn là P(B | A) = 10/25 = 0,4. Áp dụng công thức nhân: P(AB) = P(A) · P(B | A) = (25/40) × (10/25) = 10/40 = 0,25. Bạn kiểm tra trực tiếp: có 10 bạn vừa giỏi Toán vừa giỏi Văn trong tổng số 40 học sinh, nên xác suất là 10/40 = 0,25 — khớp hoàn toàn. Bạn hãy để ý: P(B | A) = 0,4 là xác suất giỏi Văn trong nhóm giỏi Toán, khác với xác suất giỏi Văn của cả lớp — đừng bao giờ nhầm hai con số này với nhau.
Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Nhân xác suất khi hai biến cố không độc lập mà không dùng xác suất có điều kiện.
Nhiều bạn tính xác suất rút hai bi đỏ liên tiếp là (5/8) × (5/8) mà quên rằng sau lần rút thứ nhất, số bi trong hộp đã thay đổi. Cách tránh: bạn hãy tự hỏi "lần thứ hai có bị ảnh hưởng bởi lần thứ nhất không?" — nếu có thì phải dùng P(B | A), không được dùng P(B).
Lỗi 2: Nhầm P(A | B) với P(B | A).
Nhiều bạn tính P(B | A) = 0,4 rồi kết luận P(A | B) cũng bằng 0,4. Cách tránh: bạn hãy nhớ hai xác suất có điều kiện này là hai con số khác nhau — muốn đổi chiều phải dùng công thức Bayes, không được hoán đổi trực tiếp.
Lỗi 3: Nhầm công thức nhân với công thức cộng.
Nhiều bạn tính xác suất "cả hai cùng xảy ra" bằng cách cộng hai xác suất. Cách tránh: bạn hãy nhớ câu thần chú — "và" thì nhân, "hoặc" thì cộng.
Lỗi 4: Quên rằng P(AB) không bao giờ lớn hơn P(A) hay P(B).
Nhiều bạn tính ra P(AB) = 0,9 trong khi P(A) = 0,5 mà không thấy vô lí. Cách tránh: bạn hãy kiểm tra tính hợp lí — xác suất của "cả hai cùng xảy ra" luôn nhỏ hơn hoặc bằng xác suất của từng biến cố riêng lẻ.
Lỗi 5: Vẽ cây xác suất nhưng ghi sai xác suất trên nhánh thứ hai.
Nhiều bạn ghi P(B) thay vì P(B | A) trên nhánh thứ hai của cây xác suất. Cách tránh: bạn hãy nhớ nhánh thứ hai luôn ghi xác suất có điều kiện — xác suất của biến cố thứ hai với điều kiện biến cố thứ nhất đã xảy ra.
Năm bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ xác định hai biến cố có độc lập với nhau hay không trước khi tính.
Câu 1: Cho P(A) = 0,6 và P(B | A) = 0,5. Tính P(AB).
A. 0,5
B. 0,2
C. 0,3
D. 1,1
Câu 2: Một hộp có 4 bi đỏ và 6 bi xanh. Rút ngẫu nhiên 2 bi liên tiếp, không hoàn lại. Tính xác suất cả hai bi đều xanh.
A. 2/5
B. 1/3
C. 1/2
D. 3/5
Câu 3: Hai biến cố A và B độc lập với nhau, P(A) = 0,4 và P(B) = 0,5. Tính P(AB).
A. 0,9
B. 0,1
C. 0,45
D. 0,2
Câu 4: Cho P(AB) = 0,12 và P(A) = 0,4. Tính P(B | A).
A. 0,3
B. 0,48
C. 0,12
D. 0,4
Câu 5: Gieo một con xúc xắc hai lần độc lập. Tính xác suất lần thứ nhất ra mặt 5 và lần thứ hai ra mặt 6.
A. 1/12
B. 1/6
C. 1/18
D. 1/36
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | C | B | D | A | D |
Giải thích Câu 1 — Đáp án C đúng: Áp dụng công thức nhân: P(AB) = P(A) · P(B | A) = 0,6 × 0,5 = 0,3. Đáp án A sai vì 0,5 là P(B | A), không phải P(AB). Đáp án B sai vì không có cơ sở nào cho ra 0,2. Đáp án D sai vì xác suất không bao giờ lớn hơn 1.
Giải thích Câu 2 — Đáp án B đúng: Gọi A là biến cố "bi thứ nhất xanh", B là biến cố "bi thứ hai xanh". P(A) = 6/10, sau khi rút một bi xanh còn 5 bi xanh trong tổng số 9 bi nên P(B | A) = 5/9. Vậy P(AB) = (6/10) × (5/9) = 30/90 = 1/3. Đáp án A sai vì đó là kết quả khi tính (6/10) × (4/9) — lấy nhầm số bi đỏ còn lại. Đáp án C sai vì đó là kết quả khi tính (6/10) × (5/6). Đáp án D sai vì không có cơ sở nào cho ra 3/5.
Giải thích Câu 3 — Đáp án D đúng: Vì A và B độc lập nên P(AB) = P(A) · P(B) = 0,4 × 0,5 = 0,2. Đáp án A sai vì 0,9 = 0,4 + 0,5 là kết quả của phép cộng, không phải phép nhân. Đáp án B sai vì không có cơ sở nào cho ra 0,1. Đáp án C sai vì 0,45 là kết quả của phép tính khác.
Giải thích Câu 4 — Đáp án A đúng: Từ công thức P(B | A) = P(AB) / P(A), bạn được P(B | A) = 0,12 / 0,4 = 0,3. Đáp án B sai vì 0,48 = 0,12 × 4 là kết quả của phép nhân, không phải phép chia. Đáp án C sai vì 0,12 là P(AB), không phải P(B | A). Đáp án D sai vì 0,4 là P(A).
Giải thích Câu 5 — Đáp án D đúng: Hai lần gieo độc lập, mỗi lần ra một mặt cụ thể có xác suất 1/6, nên P = (1/6) × (1/6) = 1/36. Đáp án A sai vì 1/12 = (1/6) × (1/2) không có cơ sở. Đáp án B sai vì 1/6 là xác suất của một lần gieo. Đáp án C sai vì không có cơ sở nào cho ra 1/18.
Câu hỏi thường gặp về công thức nhân xác suất
Hỏi: Khi nào thì dùng công thức P(AB) = P(A) · P(B)?
Đáp: Chỉ khi A và B độc lập với nhau, tức là việc A xảy ra hay không không ảnh hưởng đến xác suất của B. Nếu hai biến cố không độc lập, bạn phải dùng công thức đầy đủ P(AB) = P(A) · P(B | A).
Hỏi: Làm thế nào để biết hai biến cố có độc lập hay không?
Đáp: Bạn kiểm tra xem kết quả của biến cố thứ nhất có làm thay đổi không gian mẫu hoặc xác suất của biến cố thứ hai hay không. Tung hai con xúc xắc khác nhau là độc lập; rút hai lá bài không hoàn lại là không độc lập; rút có hoàn lại thì độc lập.
Hỏi: P(B | A) và P(A | B) có bằng nhau không?
Đáp: Nhìn chung là không. P(B | A) = P(AB) / P(A) còn P(A | B) = P(AB) / P(B), hai mẫu số khác nhau nên hai kết quả khác nhau, trừ trường hợp đặc biệt P(A) = P(B). Muốn đổi chiều, bạn dùng công thức Bayes.
Hỏi: Cây xác suất có dùng được cho ba biến cố trở lên không?
Đáp: Có, bạn chỉ cần vẽ thêm tầng nhánh cho biến cố thứ ba, thứ tư. Xác suất của một đường đi đầy đủ bằng tích các xác suất trên tất cả các nhánh của đường đi đó — chính là công thức nhân mở rộng: P(ABC) = P(A) · P(B | A) · P(C | AB).
Hỏi: Học công thức nhân xác suất để làm gì trong các bài sau?
Đáp: Công thức nhân xác suất là nền tảng của công thức Bayes, công thức xác suất đầy đủ và phân phối nhị thức — những nội dung quan trọng nhất của chương xác suất lớp 12 và cũng là những bài toán rất hay xuất hiện trong đề thi tốt nghiệp. Nắm chắc bài này, bạn sẽ học các bài sau rất nhanh. Nếu muốn ôn lại cách xác định tâm và bán kính mặt cầu, bạn hãy xem bài công thức xác định tâm và bán kính mặt cầu.
Kết luận
Công thức nhân xác suất chỉ gói gọn trong một đẳng thức: P(AB) = P(A) · P(B | A), với trường hợp đặc biệt P(AB) = P(A) · P(B) khi hai biến cố độc lập. Bạn hãy nhớ ba điều: "và" thì nhân, "hoặc" thì cộng; nhánh thứ hai của cây xác suất luôn ghi xác suất có điều kiện; và xác suất của "cả hai cùng xảy ra" không bao giờ vượt quá xác suất của từng biến cố riêng lẻ. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để tính xác suất của bất kì chuỗi sự kiện nào — từ tung xúc xắc cho tới xét nghiệm y tế.