Một nhà hàng đưa ra thực đơn gồm 3 món khai vị, 4 món chính và 2 món tráng miệng. Nếu bạn gọi một bữa ăn đầy đủ gồm một món khai vị, một món chính và một món tráng miệng thì có bao nhiêu thực đơn khác nhau bạn có thể chọn? Câu trả lời không phải là 3 + 4 + 2 = 9, mà là 3 × 4 × 2 = 24 thực đơn. Vì sao lại nhân chứ không cộng? Vì bữa ăn của bạn gồm ba công đoạn liên tiếp — chọn khai vị và chọn món chính và chọn tráng miệng — và mỗi lựa chọn ở công đoạn này kết hợp được với mọi lựa chọn ở công đoạn kia. Đây chính là quy tắc nhân, quy tắc đếm thứ hai mà bạn cần làm chủ trong chương trình lớp 10.
Bài này sẽ giúp bạn làm chủ quy tắc nhân một cách có hệ thống: từ định nghĩa công đoạn liên tiếp, cách nhận biết khi nào dùng nhân thay vì cộng, cho tới 4 ví dụ tính từng bước và 5 bài tập trắc nghiệm có đáp án chi tiết. Chỉ cần nhớ câu thần chú "và thì nhân, hoặc thì cộng", bạn sẽ không bao giờ nhầm hai quy tắc đếm cơ bản nữa.
Quy tắc nhân: khi nào nhân, nhân như thế nào?
Quy tắc nhân phát biểu như sau: một công việc được thực hiện qua hai công đoạn liên tiếp, công đoạn thứ nhất có m₁ cách, công đoạn thứ hai có m₂ cách, thì công việc đó có m₁ × m₂ cách thực hiện. Từ khóa quan trọng nhất ở đây là "liên tiếp" — bạn phải làm cả hai công đoạn, công đoạn này xong mới tới công đoạn kia, và mỗi cách ở công đoạn thứ nhất kết hợp được với mọi cách ở công đoạn thứ hai. Ví dụ chọn một bộ trang phục gồm một chiếc áo và một chiếc quần: bạn chọn áo trước có 3 cách, với mỗi chiếc áo bạn lại có 2 cách chọn quần, nên tổng số bộ là 3 × 2 = 6 bộ.
Quy tắc nhân còn mở rộng cho nhiều hơn hai công đoạn: nếu công việc gồm k công đoạn liên tiếp với m₁, m₂, …, mk cách thì tổng số cách là m₁ × m₂ × … × mk. Ví dụ một bữa ăn gồm ba công đoạn — chọn khai vị có 3 cách, chọn món chính có 4 cách, chọn tráng miệng có 2 cách — thì tổng số thực đơn là 3 × 4 × 2 = 24. Bạn hãy để ý: dù có bao nhiêu công đoạn đi nữa, nguyên tắc vẫn không đổi — các công đoạn phải liên tiếp nhau, và bạn phải thực hiện tất cả các công đoạn để hoàn thành công việc.
Một điểm bạn cần lưu ý là quy tắc nhân chỉ dùng khi các công đoạn độc lập với nhau theo nghĩa mỗi cách ở công đoạn trước kết hợp được với mọi cách ở công đoạn sau. Nếu số cách ở công đoạn sau phụ thuộc vào lựa chọn ở công đoạn trước — ví dụ chọn số có hai chữ số khác nhau, sau khi chọn chữ số hàng chục thì chữ số hàng đơn vị chỉ còn ít lựa chọn hơn — thì bạn vẫn dùng quy tắc nhân nhưng phải tính số cách ở mỗi công đoạn một cách cẩn thận. Ví dụ lập số có hai chữ số khác nhau từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5: chữ số hàng chục có 5 cách chọn, chữ số hàng đơn vị còn 4 cách chọn vì không được trùng với chữ số hàng chục, nên tổng số là 5 × 4 = 20 số.
Bốn bài toán mẫu tính từng bước
Ví dụ 1 (dùng đúng số liệu mẫu): Bạn có 3 chiếc áo và 2 chiếc quần. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 1 bộ gồm 1 áo và 1 quần?
Bạn có hai công đoạn liên tiếp: chọn áo có 3 cách, chọn quần có 2 cách. Theo quy tắc nhân, tổng số bộ trang phục là 3 × 2 = 6 bộ. Bạn hãy liệt kê thử: áo đỏ với quần đen, áo đỏ với quần xám, áo xanh với quần đen, áo xanh với quần xám, áo vàng với quần đen, áo vàng với quần xám — đúng 6 bộ, không thừa không thiếu. Khi cần kiểm tra lại phép tính, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.
Ví dụ 2 (ba công đoạn): Một thực đơn có 4 món chính và 3 món tráng miệng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một bữa ăn gồm 1 món chính và 1 món tráng miệng?
Bạn có hai công đoạn liên tiếp: chọn món chính có 4 cách, chọn món tráng miệng có 3 cách. Theo quy tắc nhân, tổng số bữa ăn là 4 × 3 = 12 cách. Bạn hãy để ý: nếu thực đơn thêm một công đoạn nữa, ví dụ 2 loại đồ uống, thì tổng số bữa ăn sẽ là 4 × 3 × 2 = 24 cách — mỗi công đoạn thêm vào đều nhân thêm số cách của nó.
Ví dụ 3 (ba công đoạn): Bạn có 2 cách chọn áo, 3 cách chọn quần và 2 cách chọn giày. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một bộ trang phục đầy đủ?
Bạn có ba công đoạn liên tiếp: chọn áo có 2 cách, chọn quần có 3 cách, chọn giày có 2 cách. Theo quy tắc nhân mở rộng, tổng số bộ trang phục là 2 × 3 × 2 = 12 bộ. Bạn hãy hình dung dưới dạng cây lựa chọn: từ 2 chiếc áo, mỗi chiếc áo có 3 cách chọn quần, mỗi cách chọn quần lại có 2 cách chọn giày — tổng cộng có 2 × 3 × 2 = 12 nhánh lá ở cuối cây.
Ví dụ 4 (chữ số không trùng lặp): Có bao nhiêu số có hai chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4?
Bạn có hai công đoạn liên tiếp: chọn chữ số hàng chục có 4 cách (1, 2, 3 hoặc 4), chọn chữ số hàng đơn vị có 3 cách vì không được trùng với chữ số hàng chục. Theo quy tắc nhân, tổng số là 4 × 3 = 12 số. Bạn hãy liệt kê thử: 12, 13, 14, 21, 23, 24, 31, 32, 34, 41, 42, 43 — đúng 12 số. Bạn hãy chú ý: số cách ở công đoạn thứ hai là 3 chứ không phải 4, vì chữ số hàng đơn vị không được trùng với chữ số hàng chục đã chọn.
Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Dùng quy tắc cộng thay vì quy tắc nhân.
Nhiều bạn thấy 3 áo và 2 quần thì tính 3 + 2 = 5 bộ trang phục. Cách tránh: bạn hãy đọc kĩ đề — chọn một bộ là "áo và quần" nên phải nhân, còn chọn một món là "áo hoặc quần" mới cộng.
Lỗi 2: Quên mất một công đoạn.
Nhiều bạn tính số bộ trang phục gồm áo, quần và giày mà chỉ nhân 2 × 3 = 6, quên mất công đoạn chọn giày. Cách tránh: bạn hãy đếm số công đoạn cần thực hiện trước khi tính, và nhân đủ số cách của tất cả các công đoạn.
Lỗi 3: Không trừ đi các lựa chọn đã dùng.
Nhiều bạn lập số có hai chữ số khác nhau từ 4 chữ số mà tính 4 × 4 = 16, quên rằng chữ số hàng đơn vị không được trùng với chữ số hàng chục. Cách tránh: bạn hãy tính số cách ở mỗi công đoạn sau khi đã trừ đi những lựa chọn không còn dùng được nữa.
Lỗi 4: Nhân khi các công đoạn không liên tiếp.
Nhiều bạn thấy đề cho 3 áo và 2 quần thì nhân ngay thành 6 mà không để ý đề chỉ hỏi số cách chọn một món. Cách tránh: bạn hãy xác định công việc gồm mấy công đoạn — nếu chỉ có một công đoạn duy nhất là chọn một món thì dùng quy tắc cộng, nếu có nhiều công đoạn liên tiếp thì mới dùng quy tắc nhân.
Lỗi 5: Nhầm thứ tự các công đoạn.
Nhiều bạn tính số cách lập số có hai chữ số mà chọn chữ số hàng đơn vị trước rồi mới chọn chữ số hàng chục, dẫn tới đếm sai khi có điều kiện chữ số hàng chục khác 0. Cách tránh: bạn hãy luôn thực hiện các công đoạn theo thứ tự từ công đoạn bị ràng buộc nhiều nhất tới công đoạn ít bị ràng buộc nhất. Nếu muốn ôn lại quy tắc cộng để phân biệt, bạn hãy xem bài quy tắc cộng.
Năm bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ xác định số công đoạn và số cách ở mỗi công đoạn trước khi nhân.
Câu 1: Bạn có 4 chiếc áo và 3 chiếc quần. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 1 bộ gồm 1 áo và 1 quần?
A. 7
B. 12
C. 1
D. 9
Câu 2: Một thực đơn có 3 món khai vị, 4 món chính và 2 món tráng miệng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một bữa ăn gồm 1 món khai vị, 1 món chính và 1 món tráng miệng?
A. 9
B. 12
C. 24
D. 18
Câu 3: Có bao nhiêu số có hai chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5?
A. 25
B. 20
C. 10
D. 15
Câu 4: Từ A đến B có 3 con đường, từ B đến C có 2 con đường. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A đến C qua B?
A. 6
B. 5
C. 3
D. 2
Câu 5: Có 2 cách chọn mũ, 3 cách chọn áo và 4 cách chọn quần. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một bộ gồm mũ, áo và quần?
A. 9
B. 36
C. 12
D. 24
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | B | C | B | A | D |
Giải thích Câu 1 — Đáp án B (12) đúng: Chọn áo có 4 cách, chọn quần có 3 cách, hai công đoạn liên tiếp nên tổng số bộ là 4 × 3 = 12. Đáp án A sai vì 7 = 4 + 3 là số cách chọn một món, không phải một bộ. Đáp án C sai vì 1 là hiệu 4 − 3. Đáp án D sai vì 9 là 3 × 3, bạn đã lấy sai số cách chọn áo.
Giải thích Câu 2 — Đáp án C (24) đúng: Ba công đoạn liên tiếp với 3, 4 và 2 cách nên tổng số bữa ăn là 3 × 4 × 2 = 24. Đáp án A sai vì 9 = 3 + 4 + 2 là tổng số món, không phải số bữa ăn. Đáp án B sai vì 12 = 3 × 4, bạn đã quên công đoạn chọn tráng miệng. Đáp án D sai vì không có cơ sở nào cho ra 18.
Giải thích Câu 3 — Đáp án B (20) đúng: Chữ số hàng chục có 5 cách chọn, chữ số hàng đơn vị còn 4 cách vì không được trùng, tổng số là 5 × 4 = 20. Đáp án A sai vì 25 = 5 × 5 là số cách khi hai chữ số được phép trùng nhau. Đáp án C sai vì 10 = 5 + 5, bạn đã dùng quy tắc cộng. Đáp án D sai vì không có cơ sở nào cho ra 15.
Giải thích Câu 4 — Đáp án A (6) đúng: Đi từ A đến B có 3 cách, đi từ B đến C có 2 cách, hai chặng liên tiếp nên tổng số cách là 3 × 2 = 6. Đáp án B sai vì 5 = 3 + 2 là số cách chọn một chặng, không phải cả hành trình. Đáp án C sai vì 3 chỉ là số cách đi chặng đầu. Đáp án D sai vì 2 chỉ là số cách đi chặng sau.
Giải thích Câu 5 — Đáp án D (24) đúng: Ba công đoạn liên tiếp với 2, 3 và 4 cách nên tổng số bộ là 2 × 3 × 4 = 24. Đáp án A sai vì 9 = 2 + 3 + 4 là tổng số cách chọn một món. Đáp án B sai vì 36 = 3 × 3 × 4, bạn đã lấy sai số cách chọn mũ. Đáp án C sai vì 12 = 2 × 3 × 2, bạn đã lấy sai số cách chọn quần.
Câu hỏi thường gặp về quy tắc nhân
Hỏi: Làm thế nào để biết một công việc gồm mấy công đoạn?
Đáp: Bạn hãy đọc kĩ đề và liệt kê các bước phải làm để hoàn thành công việc. Ví dụ chọn một bộ trang phục đầy đủ gồm mũ, áo và quần là ba công đoạn; lập một số có hai chữ số là hai công đoạn; đi từ A đến C qua B là hai chặng. Mỗi bước phải làm là một công đoạn, và bạn phải làm tất cả các bước mới xong công việc.
Hỏi: Quy tắc nhân có dùng được khi số cách ở công đoạn sau phụ thuộc vào công đoạn trước không?
Đáp: Có, miễn là bạn tính đúng số cách ở mỗi công đoạn. Ví dụ lập số có hai chữ số khác nhau: sau khi chọn chữ số hàng chục, chữ số hàng đơn vị chỉ còn 4 cách thay vì 5, nhưng bạn vẫn nhân 5 × 4 = 20. Quy tắc nhân không yêu cầu các công đoạn độc lập, chỉ yêu cầu bạn đếm đúng số cách ở mỗi công đoạn.
Hỏi: Vì sao chọn một bộ gồm áo và quần lại nhân mà chọn một món lại cộng?
Đáp: Vì chọn một bộ là làm cả hai việc — chọn áo và chọn quần — nên mỗi cách chọn áo kết hợp được với mọi cách chọn quần, tổng số là tích. Còn chọn một món là làm một trong hai việc — chọn áo hoặc chọn quần — nên tổng số là tổng. Bạn hãy nhớ: "và" thì nhân, "hoặc" thì cộng.
Hỏi: Quy tắc nhân có liên quan gì tới tích Descartes không?
Đáp: Có, quy tắc nhân chính là cách đếm số phần tử của tích Descartes của hai tập hợp: nếu A có m₁ phần tử và B có m₂ phần tử thì tích Descartes A × B có m₁ × m₂ phần tử. Mỗi bộ trang phục là một cặp (áo, quần) thuộc tích Descartes của tập áo và tập quần, nên số bộ đúng bằng tích số phần tử của hai tập.
Hỏi: Học quy tắc nhân để làm gì trong các bài sau?
Đáp: Quy tắc nhân là nền tảng để học hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp — các khái niệm đếm quan trọng nhất trong chương trình lớp 10 và lớp 11. Nắm chắc quy tắc nhân, bạn sẽ hiểu vì sao số hoán vị của n phần tử là n! và số chỉnh hợp chập k của n phần tử là n × (n − 1) × … × (n − k + 1). Nếu muốn đi tiếp, bạn hãy xem bài nhị thức Newton.
Kết luận
Quy tắc nhân chỉ gói gọn trong một công thức: m₁ × m₂ × … × mk, với điều kiện công việc gồm k công đoạn liên tiếp và bạn phải thực hiện tất cả các công đoạn. Bạn hãy nhớ ba điều: từ khóa là "và", mỗi công đoạn thêm vào đều nhân thêm số cách của nó, và khi các lựa chọn ở công đoạn sau bị giới hạn bởi công đoạn trước thì phải trừ đi những lựa chọn không còn dùng được. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để đếm số cách thực hiện bất kì công việc nào có nhiều công đoạn liên tiếp — từ việc chọn một bộ trang phục cho tới việc lập một số có hai chữ số khác nhau.