Sáng nay bạn đứng trước tủ quần áo với 3 chiếc áo và 2 chiếc quần, đang phân vân không biết nên mặc gì đi học. Nếu hôm nay bạn chỉ cần chọn một món duy nhất — hoặc một chiếc áo, hoặc một chiếc quần — thì bạn có tất cả bao nhiêu lựa chọn? Câu trả lời rất đơn giản: 3 + 2 = 5 cách. Nghe thì hiển nhiên, nhưng đằng sau phép cộng giản dị này là một quy tắc đếm nền tảng của toán học tổ hợp, được dùng trong mọi bài toán đếm từ đơn giản đến phức tạp trong chương trình lớp 10.
Bài này sẽ giúp bạn làm chủ quy tắc cộng một cách có hệ thống: từ định nghĩa phương án rời nhau, cách nhận biết khi nào dùng cộng thay vì nhân, cho tới 4 ví dụ tính từng bước và 5 bài tập trắc nghiệm có đáp án chi tiết. Chỉ cần nhớ câu thần chú "hoặc thì cộng, và thì nhân", bạn sẽ không bao giờ nhầm hai quy tắc đếm cơ bản nữa.
Quy tắc cộng: khi nào cộng, cộng như thế nào?
Quy tắc cộng phát biểu như sau: một công việc có thể thực hiện theo hai phương án rời nhau, phương án thứ nhất có n₁ cách, phương án thứ hai có n₂ cách, thì công việc đó có n₁ + n₂ cách thực hiện. Từ khóa quan trọng nhất ở đây là "rời nhau" — hai phương án không được có cách nào chung, và công việc chỉ cần thực hiện theo một trong hai phương án là xong. Ví dụ chọn một món đồ trong tủ có 3 áo và 2 quần: hai phương án "chọn áo" và "chọn quần" rời nhau hoàn toàn, nên tổng số cách là 3 + 2 = 5.
Quy tắc cộng còn mở rộng cho nhiều hơn hai phương án: nếu công việc có thể thực hiện theo k phương án rời nhau với n₁, n₂, …, nk cách thì tổng số cách là n₁ + n₂ + … + nk. Ví dụ một cửa hàng có 4 quyển sách Toán, 5 quyển sách Văn và 3 quyển sách Anh, chọn một quyển bất kì thì có 4 + 5 + 3 = 12 cách. Bạn hãy để ý: dù có bao nhiêu phương án đi nữa, nguyên tắc vẫn không đổi — các phương án phải rời nhau, và bạn chỉ chọn một phương án duy nhất để thực hiện công việc.
Một điểm bạn cần lưu ý là quy tắc cộng chỉ dùng khi các phương án là "hoặc" — làm phương án này hoặc phương án kia, không phải làm cả hai. Nếu công việc yêu cầu làm cả hai việc liên tiếp, ví dụ chọn một chiếc áo và một chiếc quần để mặc thành một bộ, thì bạn phải dùng quy tắc nhân chứ không phải quy tắc cộng. Cách phân biệt nhanh nhất là đọc kĩ đề bài: nếu đề dùng từ "hoặc" thì cộng, nếu đề dùng từ "và" thì nhân. Nhiều bạn mất điểm vì áp dụng nhầm hai quy tắc này, nên bạn hãy tập thói quen gạch chân từ "hoặc" hoặc "và" trong đề trước khi tính.
Bốn bài toán mẫu tính từng bước
Ví dụ 1 (dùng đúng số liệu mẫu): Bạn có 3 chiếc áo và 2 chiếc quần. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 1 món đồ để mặc?
Bạn có hai phương án rời nhau: chọn một chiếc áo có 3 cách, chọn một chiếc quần có 2 cách. Theo quy tắc cộng, tổng số cách chọn một món đồ là 3 + 2 = 5 cách. Bạn hãy liệt kê thử: áo đỏ, áo xanh, áo vàng, quần đen, quần xám — đúng 5 lựa chọn, không thừa không thiếu. Khi cần kiểm tra lại phép tính, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.
Ví dụ 2 (ba phương án): Một giá sách có 4 quyển sách Toán, 5 quyển sách Văn và 3 quyển sách Tiếng Anh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 1 quyển sách?
Bạn có ba phương án rời nhau: chọn sách Toán có 4 cách, chọn sách Văn có 5 cách, chọn sách Anh có 3 cách. Theo quy tắc cộng mở rộng, tổng số cách là 4 + 5 + 3 = 12 cách. Bạn hãy để ý: dù có ba phương án, bạn vẫn chỉ cộng đơn giản như với hai phương án, không có gì khác biệt về cách làm.
Ví dụ 3 (đường đi rời nhau): Từ nhà đến trường có 3 đường bộ và 2 đường thủy, các đường này không giao nhau. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ nhà đến trường?
Bạn có hai phương án rời nhau: đi bằng đường bộ có 3 cách, đi bằng đường thủy có 2 cách. Theo quy tắc cộng, tổng số cách đi là 3 + 2 = 5 cách. Bạn hãy chú ý điều kiện "các đường không giao nhau" trong đề — đó chính là cách đề bài nói rằng hai phương án rời nhau, và chỉ khi đó bạn mới được cộng. Nếu có một con đường vừa đi bộ vừa đi thuyền được thì hai phương án không còn rời nhau nữa.
Ví dụ 4 (chọn người, không trùng lặp): Một lớp có 6 học sinh giỏi Toán và 4 học sinh giỏi Văn, không có học sinh nào giỏi cả hai môn. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 1 học sinh giỏi để khen thưởng?
Bạn có hai phương án rời nhau: chọn học sinh giỏi Toán có 6 cách, chọn học sinh giỏi Văn có 4 cách. Theo quy tắc cộng, tổng số cách là 6 + 4 = 10 cách. Bạn hãy chú ý điều kiện "không có học sinh nào giỏi cả hai môn" — nếu có một bạn giỏi cả Toán lẫn Văn thì hai phương án không rời nhau, bạn sẽ đếm trùng bạn đó hai lần, và đáp án đúng phải trừ đi số học sinh trùng lặp.
Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Dùng quy tắc nhân thay vì quy tắc cộng.
Nhiều bạn thấy 3 áo và 2 quần thì tính 3 × 2 = 6 cách chọn một món. Cách tránh: bạn hãy đọc kĩ đề — chọn một món là "hoặc áo hoặc quần" nên phải cộng, còn chọn một bộ gồm áo và quần mới là "áo và quần" nên mới nhân.
Lỗi 2: Cộng khi các phương án không rời nhau.
Nhiều bạn thấy lớp có 6 học sinh giỏi Toán và 4 học sinh giỏi Văn thì cộng ngay thành 10 mà không để ý có 2 bạn giỏi cả hai môn. Cách tránh: bạn hãy kiểm tra xem hai phương án có phần chung hay không; nếu có phần chung thì phải trừ đi số phần tử chung, nếu không sẽ đếm trùng.
Lỗi 3: Quên mất một phương án.
Nhiều bạn đếm số cách chọn sách Toán và sách Văn mà quên mất giá sách còn có sách Tiếng Anh. Cách tránh: bạn hãy liệt kê tất cả các phương án có thể thực hiện công việc trước khi cộng, và đếm số phương án để chắc chắn không bỏ sót.
Lỗi 4: Cộng cả những cách không thực hiện được công việc.
Nhiều bạn tính số cách chọn một món đồ mà cộng cả những chiếc áo đã rách không mặc được. Cách tránh: bạn hãy chỉ đếm những cách thực sự thực hiện được công việc, loại bỏ những lựa chọn không hợp lệ ngay từ đầu.
Lỗi 5: Nhầm lẫn giữa "chọn 1" và "chọn nhiều".
Nhiều bạn thấy đề hỏi "chọn 1 món" mà lại tính số cách chọn 2 món. Cách tránh: bạn hãy đọc kĩ số lượng cần chọn trong đề — quy tắc cộng trong bài này chỉ áp dụng cho việc chọn một đối tượng duy nhất theo một trong các phương án. Nếu muốn ôn lại quy tắc nhân để phân biệt, bạn hãy xem bài quy tắc nhân.
Năm bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ kiểm tra các phương án có rời nhau hay không trước khi cộng.
Câu 1: Bạn có 5 cây bút xanh và 3 cây bút đỏ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 1 cây bút?
A. 15
B. 8
C. 2
D. 5
Câu 2: Có 7 cách đi xe máy và 5 cách đi xe đạp đến trường. Hỏi có bao nhiêu cách đi đến trường?
A. 12
B. 35
C. 2
D. 7
Câu 3: Có 6 quả cam và 4 quả táo. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 1 quả?
A. 24
B. 2
C. 10
D. 6
Câu 4: Một lớp có 8 học sinh nam và 12 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 1 học sinh làm lớp trưởng?
A. 96
B. 8
C. 12
D. 20
Câu 5: Có 3 loại bánh và 2 loại kẹo. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 1 món ăn vặt?
A. 6
B. 5
C. 1
D. 3
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | B | A | C | D | B |
Giải thích Câu 1 — Đáp án B (8) đúng: Chọn bút xanh có 5 cách, chọn bút đỏ có 3 cách, hai phương án rời nhau nên tổng số cách là 5 + 3 = 8. Đáp án A sai vì 15 = 5 × 3 là số cách chọn một bộ gồm một bút xanh và một bút đỏ, không phải chọn một cây bút. Đáp án C sai vì 2 là hiệu 5 − 3. Đáp án D sai vì 5 chỉ là số cách chọn bút xanh.
Giải thích Câu 2 — Đáp án A (12) đúng: Đi xe máy có 7 cách, đi xe đạp có 5 cách, tổng số cách đi đến trường là 7 + 5 = 12. Đáp án B sai vì 35 = 7 × 5 là số cách đi xe máy rồi đi xe đạp, không phải chọn một phương tiện. Đáp án C sai vì 2 là hiệu 7 − 5. Đáp án D sai vì 7 chỉ là số cách đi xe máy.
Giải thích Câu 3 — Đáp án C (10) đúng: Chọn cam có 6 cách, chọn táo có 4 cách, tổng số cách là 6 + 4 = 10. Đáp án A sai vì 24 = 6 × 4 là số cách chọn một cặp gồm một quả cam và một quả táo. Đáp án B sai vì 2 là hiệu 6 − 4. Đáp án D sai vì 6 chỉ là số cách chọn cam.
Giải thích Câu 4 — Đáp án D (20) đúng: Chọn học sinh nam có 8 cách, chọn học sinh nữ có 12 cách, tổng số cách là 8 + 12 = 20. Đáp án A sai vì 96 = 8 × 12 là số cách chọn một cặp gồm một nam và một nữ. Đáp án B sai vì 8 chỉ là số cách chọn nam. Đáp án C sai vì 12 chỉ là số cách chọn nữ.
Giải thích Câu 5 — Đáp án B (5) đúng: Chọn bánh có 3 cách, chọn kẹo có 2 cách, tổng số cách là 3 + 2 = 5. Đáp án A sai vì 6 = 3 × 2 là số cách chọn một cặp gồm một loại bánh và một loại kẹo. Đáp án C sai vì 1 là hiệu 3 − 2. Đáp án D sai vì 3 chỉ là số cách chọn bánh.
Câu hỏi thường gặp về quy tắc cộng
Hỏi: Làm thế nào để biết hai phương án có rời nhau hay không?
Đáp: Bạn hãy kiểm tra xem có cách nào vừa thuộc phương án này vừa thuộc phương án kia hay không. Nếu không có cách chung nào thì hai phương án rời nhau và bạn được cộng. Nếu có cách chung thì hai phương án không rời nhau, bạn phải trừ đi số cách chung để không đếm trùng.
Hỏi: Quy tắc cộng có dùng được cho nhiều hơn hai phương án không?
Đáp: Có, quy tắc cộng mở rộng cho k phương án rời nhau: tổng số cách là n₁ + n₂ + … + nk. Ví dụ chọn một quyển sách trong giá có 4 quyển Toán, 5 quyển Văn và 3 quyển Anh thì có 4 + 5 + 3 = 12 cách. Bạn chỉ cần cộng tất cả các phương án lại với nhau.
Hỏi: Vì sao chọn một bộ gồm áo và quần lại không dùng quy tắc cộng?
Đáp: Vì chọn một bộ là công việc gồm hai công đoạn liên tiếp — chọn áo và chọn quần — chứ không phải chọn một trong hai phương án. Khi công việc gồm nhiều công đoạn liên tiếp, bạn phải dùng quy tắc nhân: 3 áo × 2 quần = 6 bộ. Đây chính là điểm khác biệt cốt lõi giữa hai quy tắc đếm.
Hỏi: Quy tắc cộng có liên quan gì tới tập hợp không?
Đáp: Có, quy tắc cộng chính là cách đếm số phần tử của hợp hai tập hợp rời nhau: nếu A có n₁ phần tử, B có n₂ phần tử và A giao B là tập rỗng thì hợp của A và B có n₁ + n₂ phần tử. Hiểu được mối liên hệ này, bạn sẽ thấy quy tắc cộng không phải là một công thức lạ mà là một hệ quả tự nhiên của lí thuyết tập hợp.
Hỏi: Học quy tắc cộng để làm gì trong các bài sau?
Đáp: Quy tắc cộng là một trong hai quy tắc đếm cơ bản, cùng với quy tắc nhân, tạo thành nền tảng của toàn bộ chương tổ hợp — xác suất trong chương trình lớp 10 và lớp 11. Nắm chắc hai quy tắc này, bạn sẽ giải được các bài toán về hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp và nhị thức Newton. Nếu muốn đi tiếp, bạn hãy xem bài nhị thức Newton.
Kết luận
Quy tắc cộng chỉ gói gọn trong một công thức: n₁ + n₂ + … + nk, với điều kiện các phương án phải rời nhau và công việc chỉ cần thực hiện theo một phương án duy nhất. Bạn hãy nhớ ba điều: từ khóa là "hoặc", các phương án phải rời nhau, và nếu đề dùng từ "và" thì bạn phải chuyển sang quy tắc nhân. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để đếm số cách thực hiện bất kì công việc nào có nhiều phương án rời nhau — từ việc chọn một chiếc áo buổi sáng cho tới việc chọn một học sinh làm lớp trưởng.