Hai bức tường đối diện trong căn phòng của bạn song song với nhau, còn bức tường bên cạnh thì vuông góc với cả hai. Làm thế nào để kiểm tra điều đó bằng phương trình, không cần đo đạc? Câu trả lời nằm ở hai vectơ pháp tuyến: chỉ cần nhìn vào chúng, bạn biết ngay hai mặt phẳng song song, vuông góc hay cắt nhau theo một góc nào đó. Đó là nội dung của bài học hôm nay — điều kiện song song, vuông góc của hai mặt phẳng.
Bài này sẽ giúp bạn xét vị trí tương đối của hai mặt phẳng một cách có hệ thống: từ điều kiện song song và vuông góc qua vectơ pháp tuyến, cách phân biệt song song với trùng nhau, công thức tính góc giữa hai mặt phẳng, cho tới 4 ví dụ tính từng bước và 5 bài tập trắc nghiệm có đáp án chi tiết. Đây là bài học ngắn nhưng rất hay xuất hiện trong đề thi, vì vậy bạn hãy học thật kĩ từng điều kiện.
Điều kiện song song, vuông góc: nhìn vào hai vectơ pháp tuyến
Cho hai mặt phẳng (P): A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0 và (Q): A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0, với các vectơ pháp tuyến lần lượt là n₁ = (A₁; B₁; C₁) và n₂ = (A₂; B₂; C₂). Vị trí tương đối của hai mặt phẳng hoàn toàn được quyết định bởi hai vectơ này. Hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau khi và chỉ khi n₁ và n₂ cùng phương, tức là tồn tại số k khác 0 sao cho n₂ = k·n₁, hay A₁/A₂ = B₁/B₂ = C₁/C₂. Hai mặt phẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi n₁ vuông góc với n₂, tức là tích vô hướng của chúng bằng 0: A₁A₂ + B₁B₂ + C₁C₂ = 0.
Điểm tinh tế nhất ở đây là phân biệt song song với trùng nhau. Khi n₁ và n₂ cùng phương, hai mặt phẳng hoặc song song, hoặc trùng nhau — muốn biết là trường hợp nào, bạn phải so sánh thêm tỉ số của hệ số tự do. Nếu A₁/A₂ = B₁/B₂ = C₁/C₂ = D₁/D₂ thì hai mặt phẳng trùng nhau, vì hai phương trình chỉ khác nhau một thừa số nhân. Nếu A₁/A₂ = B₁/B₂ = C₁/C₂ ≠ D₁/D₂ thì hai mặt phẳng song song và phân biệt. Bạn hãy nhớ: chỉ nhìn ba tỉ số đầu mà kết luận "song song" là chưa đủ — nhiều bạn mất điểm oan ở chính chỗ này.
Khi hai mặt phẳng không song song và không vuông góc, chúng cắt nhau theo một đường thẳng và tạo thành một góc. Góc giữa hai mặt phẳng được định nghĩa là góc giữa hai vectơ pháp tuyến của chúng, lấy giá trị từ 0° đến 90°, với công thức: cos φ = |n₁ · n₂| / (|n₁| × |n₂|), tức là cos φ = |A₁A₂ + B₁B₂ + C₁C₂| / (√(A₁² + B₁² + C₁²) × √(A₂² + B₂² + C₂²)). Dấu giá trị tuyệt đối ở tử số bảo đảm góc φ luôn là góc nhọn hoặc góc vuông. Bạn hãy để ý: công thức này cho φ = 0° khi hai mặt phẳng song song và φ = 90° khi hai mặt phẳng vuông góc, hoàn toàn nhất quán với hai điều kiện ở trên.
Một trường hợp đặc biệt rất hay gặp là các mặt phẳng tọa độ. Mặt phẳng Oxy (z = 0) vuông góc với mặt phẳng Oxz (y = 0) và với mặt phẳng Oyz (x = 0), vì các vectơ pháp tuyến (0; 0; 1), (0; 1; 0), (1; 0; 0) đôi một vuông góc với nhau. Ngược lại, mặt phẳng song song với Oxy có dạng z = c luôn song song với mọi mặt phẳng dạng z = d. Bạn hãy ghi nhớ các cặp mặt phẳng tọa độ này, vì chúng xuất hiện rất thường xuyên trong các bài toán góc và khoảng cách.
Cuối cùng, bạn cần biết cách tìm tham số m để hai mặt phẳng thỏa mãn một điều kiện cho trước — dạng bài rất phổ biến trong đề kiểm tra. Với điều kiện song song, bạn đặt tỉ lệ các hệ số bằng nhau rồi giải phương trình tìm m, sau đó kiểm tra thêm tỉ số D để loại trường hợp trùng nhau nếu đề yêu cầu song song phân biệt. Với điều kiện vuông góc, bạn đặt tích vô hướng bằng 0 rồi giải phương trình — thường là phương trình bậc nhất hoặc bậc hai theo m. Khi cần kiểm tra lại phép tính, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.
Bốn bài toán mẫu tính từng bước
Ví dụ 1 (dùng đúng số liệu mẫu): Xét vị trí tương đối của hai mặt phẳng có vectơ pháp tuyến n₁ = (1; 2; 3) và n₂ = (2; 4; 6).
Bạn nhận thấy n₂ = (2; 4; 6) = 2 × (1; 2; 3) = 2n₁, tức là hai vectơ pháp tuyến cùng phương. Vì vậy hai mặt phẳng song song với nhau hoặc trùng nhau. Muốn phân biệt, bạn cần biết thêm hệ số tự do D của hai phương trình: nếu tỉ số D₁/D₂ cũng bằng 2 thì hai mặt phẳng trùng nhau, nếu khác 2 thì song song phân biệt. Bạn hãy nhớ: chỉ từ hai vectơ pháp tuyến thì chưa thể kết luận "song song" một cách chắc chắn — đáp án đầy đủ là "song song hoặc trùng nhau".
Ví dụ 2 (vuông góc): Chứng minh hai mặt phẳng (P): x + 2y + 3z − 1 = 0 và (Q): 2x − y + 5 = 0 vuông góc với nhau.
Bạn lấy hai vectơ pháp tuyến: n₁ = (1; 2; 3) và n₂ = (2; −1; 0). Tính tích vô hướng: n₁ · n₂ = 1 × 2 + 2 × (−1) + 3 × 0 = 2 − 2 + 0 = 0. Vì tích vô hướng bằng 0 nên hai vectơ pháp tuyến vuông góc với nhau, suy ra hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Bạn hãy để ý: mặt phẳng (Q) không có số hạng z, tức là hệ số C₂ = 0, nhưng điều đó không ảnh hưởng gì — bạn vẫn tính tích vô hướng bình thường với C₂ = 0.
Ví dụ 3 (tìm tham số): Tìm m để mặt phẳng (P): x + my + z − 1 = 0 song song với mặt phẳng (Q): 2x + 2y + 2z + 3 = 0.
Điều kiện song song là các tỉ số hệ số bằng nhau: 1/2 = m/2 = 1/2. Từ m/2 = 1/2, bạn được m = 1. Bây giờ bạn kiểm tra tỉ số D: D₁/D₂ = (−1)/3 = −1/3, khác với 1/2, nên hai mặt phẳng song song phân biệt, không trùng nhau. Vậy đáp án là m = 1. Bạn hãy nhớ bước kiểm tra D này: nếu đề bài chỉ hỏi "song song" mà không nói "phân biệt" thì m = 1 vẫn đúng, nhưng nếu đề yêu cầu song song phân biệt thì bạn bắt buộc phải kiểm tra tỉ số D.
Ví dụ 4 (góc giữa hai mặt phẳng): Tính góc giữa hai mặt phẳng (P): x + y + z − 1 = 0 và (Q): x + y − z = 0.
Bạn lấy hai vectơ pháp tuyến: n₁ = (1; 1; 1) và n₂ = (1; 1; −1). Tích vô hướng: n₁ · n₂ = 1 × 1 + 1 × 1 + 1 × (−1) = 1. Độ dài: |n₁| = √(1 + 1 + 1) = √3, |n₂| = √(1 + 1 + 1) = √3. Áp dụng công thức: cos φ = |1| / (√3 × √3) = 1/3. Vậy góc giữa hai mặt phẳng là φ = arccos(1/3) ≈ 70,53°. Bạn hãy để ý: vì cos φ = 1/3 khác 0 nên hai mặt phẳng không vuông góc, và vì cos φ khác 1 nên chúng không song song — chúng cắt nhau theo một góc khoảng 70,53°. Nếu muốn ôn lại cách viết phương trình mặt phẳng, bạn hãy xem bài công thức viết phương trình mặt phẳng.
Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Kết luận "song song" mà không kiểm tra tỉ số D.
Nhiều bạn thấy ba tỉ số A, B, C bằng nhau thì kết luận ngay hai mặt phẳng song song, trong khi thực ra chúng có thể trùng nhau. Cách tránh: bạn hãy luôn so sánh thêm D₁/D₂ — bằng nhau thì trùng, khác nhau thì song song.
Lỗi 2: Nhầm điều kiện vuông góc với điều kiện song song.
Nhiều bạn thấy tích vô hướng bằng 0 thì kết luận song song, hoặc thấy vectơ cùng phương thì kết luận vuông góc. Cách tránh: bạn hãy nhớ câu thần chú — cùng phương thì song song hoặc trùng, tích vô hướng bằng 0 thì vuông góc.
Lỗi 3: Quên dấu giá trị tuyệt đối trong công thức góc.
Nhiều bạn tính cos φ = (n₁ · n₂) / (|n₁| × |n₂|) mà không lấy giá trị tuyệt đối, rồi ra góc tù lớn hơn 90°. Cách tránh: bạn hãy nhớ góc giữa hai mặt phẳng luôn lấy từ 0° đến 90°, nên tử số phải có dấu giá trị tuyệt đối.
Lỗi 4: Chia tỉ số khi mẫu bằng 0.
Nhiều bạn viết A₁/A₂ = B₁/B₂ = C₁/C₂ mà không để ý A₂ = 0. Cách tránh: bạn hãy kiểm tra điều kiện cùng phương bằng tích có hướng [n₁, n₂] = 0, hoặc so sánh bằng cách nhân chéo A₁B₂ = A₂B₁ thay vì chia.
Lỗi 5: Tính sai độ dài vectơ pháp tuyến trong công thức góc.
Nhiều bạn tính |n| = √(A + B + C) mà quên bình phương, hoặc quên căn bậc hai. Cách tránh: bạn hãy viết rõ |n₁| = √(A₁² + B₁² + C₁²) từng bước, đừng tính nhẩm khi số liệu phức tạp.
Năm bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ kiểm tra cả tỉ số D trước khi kết luận song song hay trùng nhau.
Câu 1: Hai mặt phẳng (P): 2x + y − z + 1 = 0 và (Q): 4x + 2y − 2z + 3 = 0 có vị trí tương đối là
A. Song song
B. Trùng nhau
C. Vuông góc
D. Cắt nhau
Câu 2: Hai mặt phẳng (P): x − y + z = 0 và (Q): x + y − z = 0 có vị trí tương đối là
A. Song song
B. Vuông góc
C. Cắt nhau nhưng không vuông góc
D. Trùng nhau
Câu 3: Hai mặt phẳng (P): 2x − 3y + z − 5 = 0 và (Q): x + 2y + 4z + 1 = 0 có vị trí tương đối là
A. Song song
B. Vuông góc
C. Trùng nhau
D. Cắt nhau nhưng không vuông góc
Câu 4: Hai mặt phẳng (P): x + y + z − 2 = 0 và (Q): 2x + 2y + 2z − 4 = 0 có vị trí tương đối là
A. Song song
B. Trùng nhau
C. Vuông góc
D. Cắt nhau
Câu 5: Góc giữa hai mặt phẳng Oyz (x = 0) và Oxz (y = 0) bằng
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | A | C | B | B | D |
Giải thích Câu 1 — Đáp án A đúng: n₁ = (2; 1; −1), n₂ = (4; 2; −2) = 2n₁ nên hai vectơ cùng phương. Tỉ số D: D₁/D₂ = 1/3, khác với tỉ số A là 2/4 = 1/2, nên hai mặt phẳng song song phân biệt. Đáp án B sai vì tỉ số D không bằng tỉ số A. Đáp án C sai vì tích vô hướng bằng 8 + 2 + 2 = 12 ≠ 0. Đáp án D sai vì hai mặt phẳng không có điểm chung nào.
Giải thích Câu 2 — Đáp án C đúng: n₁ = (1; −1; 1), n₂ = (1; 1; −1). Tích vô hướng bằng 1 − 1 − 1 = −1 ≠ 0 nên không vuông góc. Các tỉ số 1/1, −1/1, 1/(−1) không bằng nhau nên không song song. Vậy hai mặt phẳng cắt nhau nhưng không vuông góc. Đáp án A sai vì vectơ pháp tuyến không cùng phương. Đáp án B sai vì tích vô hướng khác 0. Đáp án D sai vì hai phương trình không tỉ lệ với nhau.
Giải thích Câu 3 — Đáp án B đúng: n₁ = (2; −3; 1), n₂ = (1; 2; 4). Tích vô hướng bằng 2 × 1 + (−3) × 2 + 1 × 4 = 2 − 6 + 4 = 0, nên hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Đáp án A sai vì các tỉ số 2/1, −3/2, 1/4 không bằng nhau. Đáp án C sai vì hai phương trình không tỉ lệ. Đáp án D sai vì tích vô hướng bằng 0, tức là vuông góc.
Giải thích Câu 4 — Đáp án B đúng: Các tỉ số A₁/A₂ = B₁/B₂ = C₁/C₂ = D₁/D₂ = 1/2, tức là phương trình thứ hai chỉ là phương trình thứ nhất nhân với 2, nên hai mặt phẳng trùng nhau. Đáp án A sai vì tỉ số D bằng tỉ số A, không phải khác nhau. Đáp án C sai vì tích vô hướng bằng 2 + 2 + 2 = 6 ≠ 0. Đáp án D sai vì trùng nhau là trường hợp đặc biệt, không phải cắt nhau.
Giải thích Câu 5 — Đáp án D đúng: Mặt phẳng Oyz có vectơ pháp tuyến (1; 0; 0), mặt phẳng Oxz có vectơ pháp tuyến (0; 1; 0). Tích vô hướng bằng 0 nên góc giữa hai mặt phẳng bằng 90°. Đáp án A, B, C đều sai vì cos φ = 0 chỉ cho φ = 90°.
Câu hỏi thường gặp về điều kiện song song, vuông góc của hai mặt phẳng
Hỏi: Hai mặt phẳng song song thì có bao giờ cắt nhau không?
Đáp: Không. Hai mặt phẳng song song phân biệt không có điểm chung nào. Nếu chúng có một điểm chung thì chúng phải trùng nhau. Đây là điểm khác biệt với hai đường thẳng trong không gian, vì hai đường thẳng có thể chéo nhau mà không song song cũng không cắt nhau.
Hỏi: Vì sao phải kiểm tra tỉ số D khi xét song song?
Đáp: Vì ba tỉ số A, B, C bằng nhau chỉ cho biết hai vectơ pháp tuyến cùng phương, tức là hai mặt phẳng hoặc song song, hoặc trùng nhau. Chỉ khi so sánh thêm tỉ số D bạn mới phân biệt được hai trường hợp này.
Hỏi: Góc giữa hai mặt phẳng có bao giờ lớn hơn 90° không?
Đáp: Không, theo định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng luôn lấy giá trị từ 0° đến 90°. Nếu bạn tính được góc giữa hai vectơ pháp tuyến lớn hơn 90° thì góc giữa hai mặt phẳng là phần bù của nó, tức là 180° trừ đi góc đó — công thức có dấu giá trị tuyệt đối đã tự động xử lí điều này.
Hỏi: Hai mặt phẳng vuông góc thì giao tuyến của chúng như thế nào?
Đáp: Hai mặt phẳng vuông góc cắt nhau theo một đường thẳng, và đường thẳng đó vuông góc với cả hai vectơ pháp tuyến. Vectơ chỉ phương của giao tuyến chính là tích có hướng [n₁, n₂] của hai vectơ pháp tuyến.
Hỏi: Học bài này để làm gì trong các bài sau?
Đáp: Điều kiện song song, vuông góc của hai mặt phẳng là chìa khóa để xét vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng, tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song và giải các bài toán về góc trong không gian. Bạn sẽ gặp lại các điều kiện này rất nhiều lần trong chương trình lớp 12. Nếu muốn đi tiếp, bạn hãy xem bài công thức viết phương trình đường thẳng.
Kết luận
Vị trí tương đối của hai mặt phẳng chỉ gói gọn trong hai vectơ pháp tuyến: cùng phương thì song song hoặc trùng nhau, tích vô hướng bằng 0 thì vuông góc, còn lại thì cắt nhau theo một góc tính bằng công thức cos φ = |n₁ · n₂| / (|n₁| × |n₂|). Bạn hãy nhớ ba điều: luôn kiểm tra tỉ số D trước khi kết luận song song hay trùng nhau, luôn lấy giá trị tuyệt đối trong công thức góc, và đừng bao giờ chia tỉ số khi mẫu số bằng 0. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để xét vị trí tương đối của bất kì cặp mặt phẳng nào trong đề thi.