Độ dài liên quan đến trung điểm của một đoạn thẳng

Bạn có một thanh sô-cô-la dài và muốn chia đều cho hai người bạn thân. Bạn sẽ làm gì? Bạn gấp đôi thanh sô-cô-la lại, đánh dấu nếp gấp ở chính giữa, rồi bẻ ra — hai nửa bằng nhau hoàn hảo, không ai thiệt hơn ai. Nếp gấp ở chính giữa đó, trong ngôn ngữ toán học, được gọi là trung điểm. Bài viết này sẽ giúp bạn hiểu trung điểm của đoạn thẳng là gì, vì sao nó phải thỏa mãn đến hai điều kiện chứ không phải một, và công thức MA = MB = AB ÷ 2 sẽ giúp bạn tính nhanh đến mức nào. Đây là một trong những khái niệm đẹp nhất của hình học lớp 6 — vì nó nói về sự công bằng: chia đôi một cách chính xác, không thiên vị bên nào.

Trong chương trình Toán 6 bộ "Kết nối tri thức với cuộc sống" (Bài 35: Trung điểm của đoạn thẳng), trung điểm xuất hiện ngay sau bài học về điểm nằm giữa — và không phải ngẫu nhiên. Trung điểm chính là trường hợp đặc biệt nhất của điểm nằm giữa: điểm nằm giữa mà còn cách đều hai đầu mút. Nếu bạn đã nắm chắc bài trước về AM + MB = AB thì bài này sẽ rất nhẹ nhàng, vì mọi công thức của trung điểm đều được xây dựng trên công thức đó. Học xong bài này, bạn sẽ biết cách xác định trung điểm bằng thước kẻ, bằng cách gấp giấy, và biết cách dùng trung điểm để giải những bài toán mà thoạt nhìn tưởng như rất khó.

1. Chia đôi thanh sô-cô-la: trung điểm là điểm chính giữa

Hãy quay lại với thanh sô-cô-la. Bạn gấp đôi nó lại sao cho hai đầu mút trùng khít lên nhau, rồi vuốt nhẹ để tạo nếp gấp. Mở ra, bạn thấy nếp gấp nằm ở chính giữa thanh sô-cô-la — điểm đó chia thanh sô-cô-la thành hai nửa bằng nhau. Trong hình học, nếu thanh sô-cô-la là đoạn thẳng AB thì nếp gấp đó chính là trung điểm M của đoạn thẳng AB.

Định nghĩa đầy đủ như sau: trung điểm M của đoạn thẳng AB là điểm nằm giữa hai điểm A, B và cách đều hai điểm A, B (MA = MB). Bạn hãy đọc kĩ định nghĩa này, vì nó có hai điều kiện — và cả hai đều bắt buộc. Điều kiện thứ nhất: M nằm giữa A và B. Điều kiện thứ hai: MA = MB, tức là M cách đều hai đầu mút. Thiếu một trong hai điều kiện thì M không phải là trung điểm.

Vì sao cần đến hai điều kiện? Bạn hãy nghĩ thế này: một điểm nằm giữa A và B thì có thể ở gần A hơn hoặc gần B hơn — ví dụ M cách A 4 cm, cách B 6 cm thì M vẫn nằm giữa A và B, nhưng hai nửa không bằng nhau, chia như vậy thì một người được nhiều sô-cô-la hơn người kia — không công bằng! Ngược lại, một điểm cách đều A và B (MA = MB) nhưng nằm ngoài đoạn thẳng AB thì cũng không phải trung điểm — ví dụ điểm M nằm trên đường trung trực của AB thì MA = MB nhưng M không nằm trên đoạn AB. Chỉ khi cả hai điều kiện cùng đúng thì M mới là trung điểm. Đây là điểm khác biệt quan trọng nhất giữa "điểm nằm giữa" và "trung điểm" mà bạn phải nhớ kĩ.

Một tính chất nữa rất đáng nhớ: mỗi đoạn thẳng chỉ có duy nhất một trung điểm. Bạn thử nghĩ xem: trên đoạn thẳng AB chỉ có đúng một điểm chia nó thành hai nửa bằng nhau — điểm đó ở chính giữa, không thể có điểm thứ hai nào cũng ở chính giữa được. Tính chất duy nhất này giúp bạn yên tâm rằng khi tìm trung điểm, đáp số chỉ có một mà thôi.

2. Công thức MA = MB = AB ÷ 2 — ba con số, một phép chia

Từ định nghĩa, ta suy ra công thức quan trọng nhất của bài: nếu M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì MA = MB = AB ÷ 2. Nói bằng lời: mỗi nửa của đoạn thẳng bằng một nửa độ dài cả đoạn thẳng. Công thức này có được là nhờ kết hợp hai điều đã biết: M nằm giữa A và B nên AM + MB = AB, mà MA = MB nên AB = MA + MA = 2 × MA, suy ra MA = AB ÷ 2.

Bạn hãy thử với con số cụ thể: đoạn thẳng AB dài 12 cm, M là trung điểm của AB. Áp dụng công thức: MA = MB = 12 ÷ 2 = 6 cm. Đây chính là ví dụ gốc của bài. Bạn thấy không, chỉ một phép chia cho 2 là ra ngay cả hai đoạn — đơn giản hơn nhiều so với việc đo từng đoạn bằng thước.

Công thức này cũng dùng được theo chiều ngược lại: nếu bạn biết MA = MB và M nằm giữa A và B thì AB = MA + MB = 2 × MA. Ví dụ: M là trung điểm của AB, MA = 5 cm thì AB = 5 + 5 = 10 cm. Nhờ vậy mà chỉ cần biết một trong ba độ dài MA, MB, AB là bạn tính được hai độ dài còn lại — vì MA và MB luôn bằng nhau và bằng một nửa AB.

Bạn cũng có thể nhớ công thức này bằng hình ảnh thanh sô-cô-la: cả thanh dài 12 cm, gấp đôi lại thì mỗi nửa dài 6 cm. Hoặc nhớ bằng câu nói: "trung điểm chia đôi đoạn thẳng". Mỗi khi gặp bài toán về trung điểm, bạn hãy tự hỏi: "mình đã chia cho 2 chưa?" — câu hỏi này sẽ cứu bạn khỏi rất nhiều lỗi sai.

3. Cách vẽ trung điểm: thước kẻ và gấp giấy

Biết công thức rồi, bạn còn cần biết cách vẽ trung điểm trên giấy. Có hai cách, cách nào cũng dễ làm.

Cách 1: Dùng thước kẻ đo.
Bước 1: Đo độ dài đoạn thẳng AB. Ví dụ AB = 10 cm.
Bước 2: Tính một nửa độ dài: 10 ÷ 2 = 5 cm.
Bước 3: Đặt thước dọc theo đoạn AB, đánh dấu điểm M cách A 5 cm (hoặc cách B 5 cm). Điểm M đó chính là trung điểm của AB.
Cách này chính xác và dùng được cho mọi đoạn thẳng, kể cả khi bạn không được gấp giấy. Đây cũng là cách mà các bài tập trong sách giáo khoa thường yêu cầu.

Cách 2: Gấp giấy.
Bước 1: Vẽ đoạn thẳng AB trên một tờ giấy.
Bước 2: Gấp tờ giấy sao cho điểm A trùng khít lên điểm B.
Bước 3: Vuốt nhẹ để tạo nếp gấp, mở ra — nếp gấp cắt đoạn AB tại điểm M, đó chính là trung điểm.
Cách này rất trực quan và giúp bạn hiểu vì sao trung điểm lại chia đôi đoạn thẳng: khi gấp đôi, hai nửa chồng khít lên nhau nên chúng bằng nhau. Trong lớp học, thầy cô thường cho bạn làm cách này trước để cảm nhận, rồi mới dạy cách dùng thước kẻ.

Bạn có thể kiểm tra lại trung điểm mình vừa vẽ bằng cách đo MA và MB: nếu hai đoạn bằng nhau và cộng lại bằng AB thì điểm đó đúng là trung điểm. Thói quen kiểm tra này chỉ tốn vài giây nhưng giúp bạn tự tin hơn rất nhiều khi làm bài kiểm tra.

4. Bốn ví dụ tính từng bước

Ví dụ 1 (cơ bản): Cho đoạn thẳng AB dài 12 cm. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Tính độ dài các đoạn thẳng MA và MB.
Đây là ví dụ gốc của bài. Vì M là trung điểm của AB nên MA = MB = AB ÷ 2.
Thay số vào: MA = MB = 12 ÷ 2 = 6 cm.
Vậy MA = 6 cm và MB = 6 cm. Bạn thấy đấy, một phép chia cho 2 là xong cả hai đoạn — không cần đo đạc gì thêm.

Ví dụ 2 (tìm đoạn lớn): Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Biết MA = 5 cm. Tính độ dài đoạn thẳng AB và MB.
Vì M là trung điểm của AB nên MB = MA = 5 cm.
Độ dài đoạn thẳng AB là AB = MA + MB = 5 + 5 = 10 cm. (Hoặc tính nhanh: AB = 2 × MA = 2 × 5 = 10 cm.)
Vậy AB = 10 cm và MB = 5 cm. Bài này dạy bạn cách dùng ngược công thức: biết một nửa thì nhân đôi ra cả đoạn.

Ví dụ 3 (chứng minh một điểm là trung điểm): Cho đoạn thẳng AB dài 6 cm. Trên tia AB lấy điểm M sao cho AM = 3 cm. Hỏi điểm M có là trung điểm của đoạn thẳng AB không? Vì sao?
Đây là bài tập trong sách giáo khoa, và nó kiểm tra cả hai điều kiện của trung điểm.
Bước 1: Kiểm tra M có nằm giữa A và B không. Trên tia AB có AM = 3 cm nhỏ hơn AB = 6 cm, nên điểm M nằm giữa hai điểm A và B.
Bước 2: Tính MB. Vì M nằm giữa A và B nên AM + MB = AB, suy ra MB = AB − AM = 6 − 3 = 3 cm.
Bước 3: So sánh AM và MB. Ta có AM = 3 cm = MB, tức là M cách đều A và B.
Kết luận: M nằm giữa A và B và MA = MB, nên M là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Bài này cho thấy quy trình chứng minh trung điểm chuẩn gồm hai bước: chứng tỏ điểm nằm giữa, rồi chứng tỏ hai đoạn bằng nhau. Thiếu một bước thì chưa đủ kết luận.

Ví dụ 4 (nâng cao): Cho đoạn thẳng AB dài 8 cm. Điểm M nằm giữa A và B sao cho AM = 5 cm, MB = 3 cm. Gọi C là trung điểm của đoạn thẳng AM, D là trung điểm của đoạn thẳng MB. Tính độ dài đoạn thẳng CD.
Đây là dạng bài nâng cao hay xuất hiện trong đề kiểm tra, nhưng bạn đừng sợ — chỉ cần làm từng bước một.
Bước 1: Tính CM. Vì C là trung điểm của AM nên CM = AM ÷ 2 = 5 ÷ 2 = 2,5 cm.
Bước 2: Tính MD. Vì D là trung điểm của MB nên MD = MB ÷ 2 = 3 ÷ 2 = 1,5 cm.
Bước 3: Vì C nằm trên đoạn AM và D nằm trên đoạn MB, mà M nằm giữa C và D, nên CD = CM + MD = 2,5 + 1,5 = 4 cm.
Vậy đoạn thẳng CD dài 4 cm. Bạn có nhận ra điều thú vị không? CD = 4 cm đúng bằng một nửa AB (8 ÷ 2 = 4). Thật ra với bất kì vị trí nào của M trên AB, đoạn CD nối hai trung điểm luôn bằng một nửa AB — vì CD = AM ÷ 2 + MB ÷ 2 = (AM + MB) ÷ 2 = AB ÷ 2. Đây là một tính chất đẹp mà bạn có thể dùng để kiểm tra nhanh đáp số của mình.

5. Những lỗi sai thường gặp — và cách tránh

Lỗi 1: Chỉ kiểm tra một điều kiện rồi kết luận là trung điểm.
Nhiều bạn thấy MA = MB là kết luận ngay M là trung điểm, quên mất M còn phải nằm giữa A và B. Hoặc thấy M nằm giữa A và B là kết luận ngay M là trung điểm, quên mất MA phải bằng MB. Cách tránh: mỗi khi chứng minh trung điểm, hãy viết ra cả hai điều kiện rồi kiểm tra từng điều kiện một — "M nằm giữa A, B chưa? MA có bằng MB không?" — đủ cả hai mới kết luận.

Lỗi 2: Quên chia cho 2 khi tính MA, MB.
Cho AB = 12 cm, hỏi MA bằng bao nhiêu, nhiều bạn trả lời 12 cm. Sai! Vì MA chỉ là một nửa của AB, nên MA = 12 ÷ 2 = 6 cm. Cách tránh: mỗi khi thấy chữ "trung điểm", hãy viết ngay "÷ 2" vào giấy nháp. Chữ "trung điểm" và phép chia cho 2 luôn đi cùng nhau.

Lỗi 3: Nhầm trung điểm với điểm nằm giữa.
Nhiều bạn dùng hai khái niệm này thay thế cho nhau. Bạn hãy nhớ: trung điểm là điểm nằm giữa đặc biệt — nằm giữa mà còn cách đều hai đầu. Mọi trung điểm đều là điểm nằm giữa, nhưng điểm nằm giữa chưa chắc là trung điểm. Ví dụ AB = 10 cm, AM = 4 cm, MB = 6 cm thì M nằm giữa A và B nhưng không phải trung điểm, vì 4 khác 6.

Lỗi 4: Tính AB bằng MA mà quên nhân đôi.
Biết MA = 5 cm, hỏi AB bằng bao nhiêu, nhiều bạn trả lời 5 cm. Sai! Vì AB gấp đôi MA, nên AB = 5 × 2 = 10 cm. Cách tránh: nhớ rằng AB là cả đoạn thẳng, MA chỉ là một nửa — muốn tìm cả đoạn thì phải nhân đôi một nửa.

Lỗi 5: Nhầm lẫn khi điểm M nằm ngoài đoạn thẳng.
Có những bài cho MA = MB = 5 cm rồi hỏi M có phải trung điểm của AB không, nhưng M lại nằm ngoài đoạn AB (ví dụ M nằm trên đường trung trực của AB). Khi đó dù MA = MB nhưng M không nằm giữa A và B nên không phải trung điểm. Cách tránh: luôn kiểm tra điều kiện "nằm giữa" trước — vẽ hình ra là thấy ngay M có nằm trên đoạn AB hay không.

6. Bài tập tự luyện

Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ kiểm tra cả hai điều kiện của trung điểm trong mỗi bài.

Câu 1: Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Biết AB = 14 cm. Độ dài đoạn thẳng MA là bao nhiêu?
A. 7 cm
B. 14 cm
C. 28 cm
D. 5 cm

Câu 2: Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng MN. Biết MI = 9 cm. Độ dài đoạn thẳng MN là bao nhiêu?
A. 4,5 cm
B. 9 cm
C. 18 cm
D. 27 cm

Câu 3: Cho đoạn thẳng AB dài 10 cm. Điểm C nằm giữa A và B sao cho AC = 5 cm. Hỏi điểm C có phải là trung điểm của đoạn thẳng AB không?
A. Có, vì C nằm giữa A, B và AC = CB = 5 cm
B. Không, vì C không nằm giữa A và B
C. Không, vì AC khác CB
D. Không kết luận được

Câu 4: Điểm O là trung điểm của đoạn thẳng XY. Biết XO = 6 cm. Độ dài đoạn thẳng YO là bao nhiêu?
A. 12 cm
B. 3 cm
C. 6 cm
D. 18 cm

Câu 5: Đoạn thẳng EF dài 16 cm. Gọi G là trung điểm của đoạn thẳng EF. Hỏi EG + GF bằng bao nhiêu?
A. 8 cm
B. 16 cm
C. 32 cm
D. 4 cm

Giải thích Câu 1 — Đáp án A (7 cm) đúng: Vì M là trung điểm của AB nên MA = AB ÷ 2 = 14 ÷ 2 = 7 cm. Đáp án B (14 cm) sai vì lấy MA bằng cả AB, quên chia cho 2. Đáp án C (28 cm) sai vì lấy 14 × 2 = 28 — nhân đôi nhầm khi phải chia đôi. Đáp án D (5 cm) sai vì không có phép tính nào từ 14 cho ra 5.

Giải thích Câu 2 — Đáp án C (18 cm) đúng: Vì I là trung điểm của MN nên MN = 2 × MI = 2 × 9 = 18 cm. Đáp án A (4,5 cm) sai vì lấy 9 ÷ 2 = 4,5 — chia đôi nhầm khi phải nhân đôi. Đáp án B (9 cm) sai vì lấy MN bằng MI, quên rằng MI chỉ là một nửa của MN. Đáp án D (27 cm) sai vì lấy 9 × 3 = 27, không có căn cứ nào.

Giải thích Câu 3 — Đáp án A đúng: Vì C nằm giữa A và B nên AC + CB = AB, suy ra CB = AB − AC = 10 − 5 = 5 cm. Ta có AC = 5 cm = CB, tức là C nằm giữa A, B và cách đều A, B, nên C là trung điểm của AB. Đáp án B sai vì đề bài đã cho C nằm giữa A và B. Đáp án C sai vì AC = CB = 5 cm, hai đoạn bằng nhau. Đáp án D sai vì đã đủ cả hai điều kiện để kết luận.

Giải thích Câu 4 — Đáp án C (6 cm) đúng: Vì O là trung điểm của XY nên YO = XO = 6 cm — hai nửa của đoạn thẳng thì bằng nhau. Đáp án A (12 cm) sai vì lấy 6 × 2 = 12 — đó là độ dài cả đoạn XY, không phải YO. Đáp án B (3 cm) sai vì lấy 6 ÷ 2 = 3 — chia đôi nhầm một nửa. Đáp án D (18 cm) sai vì lấy 6 × 3 = 18, không có căn cứ nào.

Giải thích Câu 5 — Đáp án B (16 cm) đúng: Vì G là trung điểm của EF nên EG = GF = 16 ÷ 2 = 8 cm. Vậy EG + GF = 8 + 8 = 16 cm — đúng bằng độ dài EF, vì G nằm giữa E và F nên EG + GF = EF. Đáp án A (8 cm) sai vì đó là độ dài một nửa EG, không phải tổng hai nửa. Đáp án C (32 cm) sai vì lấy 16 × 2 = 32 — nhân đôi nhầm. Đáp án D (4 cm) sai vì lấy 16 ÷ 4 = 4, không có căn cứ nào.

7. Câu hỏi thường gặp

Hỏi: Một đoạn thẳng có bao nhiêu trung điểm?
Đáp: Chỉ có duy nhất một trung điểm. Vì trên đoạn thẳng AB chỉ có đúng một điểm chia nó thành hai nửa bằng nhau — điểm ở chính giữa. Nếu có hai điểm cùng là trung điểm thì cả hai đều phải ở chính giữa, tức là chúng trùng nhau. Tính chất duy nhất này giúp bạn yên tâm rằng bài toán tìm trung điểm chỉ có một đáp số.

Hỏi: Điểm nằm giữa có phải lúc nào cũng là trung điểm không?
Đáp: Không. Điểm nằm giữa chỉ cần ở giữa hai đầu mút, còn trung điểm còn phải cách đều hai đầu mút nữa. Ví dụ AB = 10 cm, điểm M nằm giữa A và B với AM = 4 cm, MB = 6 cm thì M là điểm nằm giữa nhưng không phải trung điểm, vì 4 khác 6. Chỉ khi AM = MB = 5 cm thì M mới là trung điểm.

Hỏi: Làm thế nào để chứng minh một điểm là trung điểm?
Đáp: Bạn chứng minh hai điều: thứ nhất, điểm đó nằm giữa hai đầu mút của đoạn thẳng; thứ hai, điểm đó cách đều hai đầu mút (hai đoạn bằng nhau). Đủ cả hai điều kiện thì kết luận là trung điểm. Thiếu một điều kiện thì chưa đủ. Bạn hãy làm theo đúng thứ tự này trong mọi bài chứng minh.

Hỏi: Có thể xác định trung điểm mà không cần thước kẻ không?
Đáp: Được, bằng cách gấp giấy: gấp tờ giấy sao cho hai đầu mút A và B trùng khít lên nhau, nếp gấp cắt đoạn AB tại đâu thì đó là trung điểm. Cách này dựa trên tính chất hai nửa chồng khít lên nhau thì bằng nhau. Trong thực tế, người thợ may, thợ mộc cũng hay dùng cách gấp đôi để tìm điểm giữa của một tấm vải hay một thanh gỗ.

Hỏi: Trung điểm có ứng dụng gì ngoài bài tập trong sách?
Đáp: Rất nhiều. Khi chia đều một thanh kẹo cho hai người, khi tìm điểm giữa của một cây cầu, khi xác định tâm của một hình tròn (tâm là trung điểm của mọi đường kính), hay trong hình bình hành — hai đường chéo của hình bình hành cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Trung điểm là một trong những khái niệm hình học được dùng nhiều nhất trong đời sống và trong các bài toán sau này.

8. Kết luận

Trung điểm M của đoạn thẳng AB là điểm nằm giữa A, B và cách đều A, B — hai điều kiện, thiếu một cũng không được — và công thức của nó chỉ có một phép chia: MA = MB = AB ÷ 2. Bạn đã học cách vẽ trung điểm bằng thước kẻ và bằng cách gấp giấy, cách chứng minh một điểm là trung điểm qua hai bước, và cả tính chất đẹp rằng đoạn nối hai trung điểm của AM và MB luôn bằng một nửa AB. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để xử lí mọi bài toán về trung điểm trong chương trình lớp 6 — từ những bài tính độ dài đơn giản đến những bài chứng minh hai bước. Và khi gặp các hình phức tạp hơn, bạn sẽ thấy trung điểm xuất hiện ở khắp nơi: hai đường chéo của hình bình hành cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, như bạn có thể xem lại trong bài chu vi, diện tích hình bình hành. Khi cần kiểm tra nhanh các phép chia cho 2 hay tính toán độ dài, bạn luôn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn đối chiếu kết quả của mình.