Công thức tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và giá trị ngoại lệ

Cuối giờ thể dục, thầy giáo đọc lên chiều cao của năm bạn trong tổ: 152, 160, 165, 170 và 178 xăng-ti-mét. Cả tổ ồ lên vì bạn cao nhất hơn bạn thấp nhất tới 26 xăng-ti-mét. Nhưng chỉ một con số 26 thì chưa kể hết câu chuyện: bốn bạn đầu chỉ chênh nhau vài xăng-ti-mét, còn bạn 178 thì đứng tách hẳn ra khỏi nhóm. Muốn tả đúng một tập số liệu, bạn cần nhiều hơn một con số trung bình. Bạn cần biết cả lớp trải dài bao nhiêu, phần giữa của lớp tập trung trong khoảng nào, và có bạn nào đứng quá xa phần còn lại hay không. Đó chính là việc của ba công thức trong bài này: khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và cách nhận ra giá trị ngoại lệ.

Trong chương trình Toán 10, bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống dạy ba khái niệm này trong cùng một chủ đề về các số đặc trưng đo độ phân tán của mẫu số liệu. Khoảng biến thiên cho bạn thấy toàn bộ mẫu trải dài từ đâu tới đâu. Khoảng tứ phân vị cho bạn thấy nửa giữa của mẫu, tức là 50 phần trăm số liệu ở giữa, trải dài bao nhiêu. Còn quy tắc 1,5 lần khoảng tứ phân vị cho bạn một tiêu chuẩn rõ ràng để gọi một giá trị là ngoại lệ, thay vì chỉ cảm thấy nó có vẻ lạ. Bài viết này sẽ dẫn bạn đi từ định nghĩa tới từng phép tính, với bốn ví dụ tính tay đầy đủ, năm lỗi sai mà học sinh hay mắc nhất, năm bài tập tự luyện có giải thích cặn kẽ và phần hỏi đáp cuối bài.

Ba con số kể hết câu chuyện của một mẫu số liệu

Giả sử bạn có một mẫu số liệu đã sắp xếp từ nhỏ tới lớn, với giá trị nhỏ nhất là xmin và giá trị lớn nhất là xmax. Khoảng biến thiên của mẫu, kí hiệu là R, được tính bằng hiệu của hai giá trị ở hai đầu: R bằng xmax trừ xmin. Đây là con số đơn giản nhất để đo độ phân tán: mẫu càng trải rộng thì R càng lớn. Nhưng R cũng là con số nhạy cảm nhất, vì chỉ cần một giá trị cực đoan ở một đầu là R phình to ngay, dù phần lớn số liệu vẫn tập trung chặt với nhau. Vì vậy người ta cần thêm một thước đo bền hơn, ít bị một vài giá trị lạ làm lệch, đó là khoảng tứ phân vị.

Để tính khoảng tứ phân vị, trước hết bạn cần hai tứ phân vị Q1 và Q3. Tứ phân vị thứ nhất Q1 là số mà khoảng một phần tư số liệu nhỏ hơn nó, còn tứ phân vị thứ ba Q3 là số mà khoảng ba phần tư số liệu nhỏ hơn nó. Nói một cách thực hành, bạn sắp xếp mẫu từ nhỏ tới lớn, tìm trung vị Me để chia mẫu thành hai nửa, rồi Q1 là trung vị của nửa dưới và Q3 là trung vị của nửa trên. Khi số lượng số liệu là lẻ, trung vị không tính vào hai nửa. Khi số lượng là chẵn, bạn chia mẫu thành hai nửa bằng nhau rồi lấy trung vị mỗi nửa. Khoảng tứ phân vị, kí hiệu là ΔQ, được tính bằng Q3 trừ Q1. Vì ΔQ chỉ nhìn vào 50 phần trăm số liệu ở giữa, nó không bị các giá trị ở hai đầu kéo lệch, nên người ta dùng nó để đo độ phân tán một cách vững chắc hơn khoảng biến thiên.

Khi đã có Q1, Q3 và ΔQ, bạn có thể xét xem mẫu có giá trị ngoại lệ hay không. Một giá trị x được gọi là ngoại lệ nếu nó nhỏ hơn Q1 trừ 1,5 lần ΔQ, hoặc lớn hơn Q3 cộng 1,5 lần ΔQ. Hai con số Q1 trừ 1,5ΔQ và Q3 cộng 1,5ΔQ được gọi là hai ngưỡng ngoại lệ, hay còn gọi là hàng rào dưới và hàng rào trên. Bất kì giá trị nào nằm ngoài hai hàng rào này đều bị coi là ngoại lệ, tức là nó đứng quá xa phần giữa của mẫu và có thể là số liệu ghi sai, hoặc là một trường hợp đặc biệt thật sự cần xem xét riêng. Con số 1,5 ở đây là một quy ước thống kê đã được dùng rộng rãi: nó đủ lớn để không gắn nhãn ngoại lệ cho những giá trị chỉ hơi lệch, nhưng đủ nhỏ để bắt được những giá trị thật sự tách khỏi đám đông.

Bạn hãy nhớ ba công thức này theo một trình tự làm bài duy nhất: bước một, sắp xếp mẫu từ nhỏ tới lớn rồi đọc xmin và xmax để tính R; bước hai, tìm Q1 và Q3 để tính ΔQ; bước ba, tính hai ngưỡng Q1 trừ 1,5ΔQ và Q3 cộng 1,5ΔQ rồi so sánh từng giá trị trong mẫu với hai ngưỡng đó. Trình tự này không bao giờ thay đổi, dù mẫu có năm số hay năm mươi số. Nếu bạn tính R trước rồi mới loay hoay tìm Q1, bạn sẽ làm việc có hệ thống và ít nhầm lẫn hơn nhiều. Khi cần kiểm tra lại phép nhân với 1,5, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ tính nhanh, nhưng bạn vẫn nên tự nhẩm một lần để chắc chắn mình hiểu mình đang tính gì.

Một điểm nữa bạn cần nắm rõ là vì sao khoảng tứ phân vị lại quan trọng hơn khoảng biến thiên trong nhiều tình huống thực tế. Hãy tưởng tượng điểm kiểm tra của một lớp có 30 học sinh, trong đó 29 bạn đạt từ 6 tới 9 điểm, còn một bạn đạt 1 điểm vì hôm đó ốm. Khoảng biến thiên của lớp này là 8 điểm, nghe như lớp học rất phân hóa, nhưng thực tế 29 trên 30 bạn học khá đồng đều. Khoảng tứ phân vị của lớp này có thể chỉ là 1 điểm, và nó kể đúng sự thật hơn: phần giữa của lớp rất tập trung, chỉ có một giá trị ngoại lệ ở phía dưới. Đó là lí do các bài toán trong sách giáo khoa thường yêu cầu tính cả R và ΔQ, rồi hỏi thêm về giá trị ngoại lệ: ba con số cùng nhau mới cho một bức tranh đầy đủ. Bạn cũng sẽ gặp lại cách nghĩ này khi học công thức phương sai và độ lệch chuẩn, nơi người ta đo độ phân tán bằng một cách khác nữa.

Bốn mẫu số liệu, bốn lần tính tay

Ví dụ 1 (dùng đúng số liệu mẫu): Cho mẫu số liệu 2, 3, 5, 7, 11. Tính khoảng biến thiên R, khoảng tứ phân vị ΔQ và xét xem mẫu có giá trị ngoại lệ hay không.
Mẫu đã sắp xếp từ nhỏ tới lớn là 2, 3, 5, 7, 11. Giá trị nhỏ nhất xmin bằng 2 và giá trị lớn nhất xmax bằng 11, nên khoảng biến thiên R bằng 11 trừ 2 bằng 9. Tiếp theo, trung vị của mẫu là số đứng giữa, tức là 5, vì mẫu có năm số. Tứ phân vị thứ nhất Q1 là 3 và tứ phân vị thứ ba Q3 là 7, theo cách xác định tứ phân vị trong sách giáo khoa. Vậy khoảng tứ phân vị ΔQ bằng 7 trừ 3 bằng 4. Hai ngưỡng ngoại lệ là Q1 trừ 1,5ΔQ bằng 3 trừ 6 bằng trừ 3, và Q3 cộng 1,5ΔQ bằng 7 cộng 6 bằng 13. Mọi giá trị trong mẫu, từ 2 tới 11, đều nằm trong khoảng từ trừ 3 tới 13, nên mẫu này không có giá trị ngoại lệ. Kết quả cuối cùng: R bằng 9, ΔQ bằng 4, không có giá trị ngoại lệ.

Ví dụ 2: Cho mẫu số liệu 4, 6, 8, 10, 12, 14. Tính R, ΔQ và xét giá trị ngoại lệ.
Mẫu đã sắp xếp sẵn, xmin bằng 4 và xmax bằng 14, nên R bằng 14 trừ 4 bằng 10. Mẫu có sáu số nên trung vị là trung bình của hai số giữa, tức là 8 cộng 10 chia 2 bằng 9. Nửa dưới gồm 4, 6, 8, trung vị của nửa này là 6, nên Q1 bằng 6. Nửa trên gồm 10, 12, 14, trung vị của nửa này là 12, nên Q3 bằng 12. Khoảng tứ phân vị ΔQ bằng 12 trừ 6 bằng 6. Hai ngưỡng ngoại lệ là 6 trừ 1,5 nhân 6 bằng 6 trừ 9 bằng trừ 3, và 12 cộng 1,5 nhân 6 bằng 12 cộng 9 bằng 21. Mọi giá trị từ 4 tới 14 đều nằm giữa trừ 3 và 21, nên mẫu không có giá trị ngoại lệ. Bạn hãy để ý mẫu này rất đều, các số cách nhau đúng 2 đơn vị, nên Q1 và Q3 đều rơi đúng vào một giá trị có sẵn trong mẫu, và ΔQ bằng 6 phản ánh đúng sự trải đều của các số.

Ví dụ 3: Cho mẫu số liệu 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 100. Tính R, ΔQ và xét giá trị ngoại lệ.
Mẫu đã sắp xếp, xmin bằng 1 và xmax bằng 100, nên R bằng 100 trừ 1 bằng 99. Đây là một khoảng biến thiên rất lớn, nhưng bạn đừng vội kết luận mẫu phân tán mạnh, vì gần như toàn bộ độ lớn này đến từ một số duy nhất là 100. Trung vị của mẫu có chín số là số đứng giữa, tức là 5. Nửa dưới gồm 1, 2, 3, 4, trung vị của nửa này là trung bình của 2 và 3, tức là 2,5, nên Q1 bằng 2,5. Nửa trên gồm 6, 7, 8, 100, trung vị của nửa này là trung bình của 7 và 8, tức là 7,5, nên Q3 bằng 7,5. Khoảng tứ phân vị ΔQ bằng 7,5 trừ 2,5 bằng 5. Hai ngưỡng ngoại lệ là 2,5 trừ 1,5 nhân 5 bằng 2,5 trừ 7,5 bằng trừ 5, và 7,5 cộng 1,5 nhân 5 bằng 7,5 cộng 7,5 bằng 15. Giá trị 100 lớn hơn 15 nên 100 là giá trị ngoại lệ, còn tám giá trị còn lại đều nằm trong khoảng từ trừ 5 tới 15. Ví dụ này cho thấy rõ sức mạnh của ΔQ: khoảng biến thiên 99 kể câu chuyện của một số duy nhất, còn ΔQ bằng 5 kể đúng câu chuyện của tám số còn lại.

Ví dụ 4: Cho mẫu số liệu 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22. Tính R, ΔQ và xét giá trị ngoại lệ.
Mẫu đã sắp xếp, xmin bằng 10 và xmax bằng 22, nên R bằng 22 trừ 10 bằng 12. Mẫu có bảy số nên trung vị là số đứng giữa, tức là 16. Nửa dưới gồm 10, 12, 14, trung vị của nửa này là 12, nên Q1 bằng 12. Nửa trên gồm 18, 20, 22, trung vị của nửa này là 20, nên Q3 bằng 20. Khoảng tứ phân vị ΔQ bằng 20 trừ 12 bằng 8. Hai ngưỡng ngoại lệ là 12 trừ 1,5 nhân 8 bằng 12 trừ 12 bằng 0, và 20 cộng 1,5 nhân 8 bằng 20 cộng 12 bằng 32. Mọi giá trị từ 10 tới 22 đều nằm giữa 0 và 32, nên mẫu không có giá trị ngoại lệ. Bạn hãy chú ý ngưỡng dưới ở đây đúng bằng 0, một con số tròn đẹp, nhưng điều đó không có nghĩa là giá trị 0 sẽ là ngoại lệ: một giá trị chỉ là ngoại lệ khi nó nhỏ hơn 0 một cách thật sự, còn bản thân ngưỡng 0 thì không thuộc về mẫu này.

Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh

Lỗi 1: Quên sắp xếp mẫu từ nhỏ tới lớn trước khi tìm xmin, xmax, Q1 và Q3.
Nhiều bạn cầm đề bài cho dãy số lộn xộn như 7, 2, 11, 3, 5 rồi lấy ngay số đầu tiên làm xmin và số cuối cùng làm xmax, tính ra R sai hoàn toàn. Cách tránh: bạn hãy viết lại mẫu theo thứ tự tăng dần ngay dòng đầu tiên của bài giải, rồi mới đọc xmin và xmax từ hai đầu của dãy đã sắp xếp. Thói quen này tốn chưa tới mười giây nhưng cứu bạn khỏi gần như mọi lỗi sai về sau, vì Q1 và Q3 cũng chỉ có nghĩa khi mẫu đã được sắp xếp.

Lỗi 2: Tính khoảng tứ phân vị bằng Q3 cộng Q1 thay vì Q3 trừ Q1.
Một số bạn nhớ mang máng công thức có Q3 và Q1 rồi cộng hai số lại, ví dụ Q1 bằng 3 và Q3 bằng 7 thì viết ΔQ bằng 10. Cách tránh: bạn hãy nhớ chữ khoảng trong tên gọi khoảng tứ phân vị, khoảng thì luôn là hiệu của hai đầu, giống như khoảng biến thiên là xmax trừ xmin. Bạn viết rõ dòng ΔQ bằng Q3 trừ Q1 rồi mới thay số, và kiểm tra nhanh rằng ΔQ luôn nhỏ hơn hoặc bằng R, vì phần giữa của mẫu không thể trải rộng hơn toàn bộ mẫu.

Lỗi 3: Nhân 1,5 với Q3 hoặc Q1 thay vì nhân với ΔQ.
Lỗi này rất phổ biến: bạn tính ngưỡng trên là Q3 cộng 1,5 nhân Q3, hoặc ngưỡng dưới là Q1 trừ 1,5 nhân Q1. Cách tránh: bạn hãy tính ΔQ trước, khoanh tròn con số ΔQ đó, rồi mọi phép tính ngưỡng đều dùng đúng con số đã khoanh. Bạn viết hẳn hai dòng riêng: ngưỡng dưới bằng Q1 trừ 1,5 nhân ΔQ, ngưỡng trên bằng Q3 cộng 1,5 nhân ΔQ. Hai dòng này viết rõ ràng ra giấy sẽ giúp bạn không bao giờ nhầm hệ số 1,5 đi nhân với số khác.

Lỗi 4: Kết luận một giá trị là ngoại lệ chỉ vì nó lớn nhất hoặc nhỏ nhất trong mẫu.
Nhiều bạn thấy giá trị lớn nhất thì gọi ngay là ngoại lệ, dù nó vẫn nằm trong hai ngưỡng. Cách tránh: bạn hãy nhớ giá trị lớn nhất chỉ là ngoại lệ khi nó vượt quá ngưỡng trên Q3 cộng 1,5ΔQ, và giá trị nhỏ nhất chỉ là ngoại lệ khi nó nhỏ hơn ngưỡng dưới Q1 trừ 1,5ΔQ. Trong ví dụ 1, giá trị 11 là lớn nhất nhưng vẫn nhỏ hơn ngưỡng 13 nên không phải ngoại lệ. Bạn luôn so sánh với ngưỡng rồi mới kết luận, không kết luận bằng cảm giác.

Lỗi 5: Nhầm lẫn Q1 với trung vị của toàn bộ mẫu.
Một số bạn lấy trung vị Me làm Q1, hoặc lấy Q1 làm trung vị, rồi tính ΔQ sai từ đầu. Cách tránh: bạn hãy nhớ mẫu được chia thành ba điểm chia: Q1 chia mẫu ở vị trí một phần tư, trung vị chia ở vị trí một nửa, Q3 chia ở vị trí ba phần tư. Bạn tìm trung vị trước để chia mẫu thành hai nửa, rồi Q1 là trung vị của nửa dưới và Q3 là trung vị của nửa trên. Vẽ một trục số nhỏ, đánh dấu ba điểm Q1, Me, Q3 theo thứ tự từ trái sang phải, bạn sẽ thấy rõ ba điểm này khác nhau và không thể thay thế cho nhau.

Năm bài tập tự luyện

Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ ba công thức: R bằng xmax trừ xmin, ΔQ bằng Q3 trừ Q1, ngoại lệ là giá trị nhỏ hơn Q1 trừ 1,5ΔQ hoặc lớn hơn Q3 cộng 1,5ΔQ.

Câu 1: Cho mẫu số liệu 5, 9, 12, 15, 21. Khoảng biến thiên R của mẫu bằng bao nhiêu?
A. 16
B. 14
C. 21
D. 5

Câu 2: Cho mẫu số liệu có Q1 bằng 4 và Q3 bằng 13. Khoảng tứ phân vị ΔQ bằng bao nhiêu?
A. 17
B. 4
C. 9
D. 13

Câu 3: Cho mẫu số liệu có Q1 bằng 10, Q3 bằng 20. Giá trị nào sau đây là giá trị ngoại lệ của mẫu?
A. 35
B. 40
C. 5
D. Không có giá trị ngoại lệ

Câu 4: Cho mẫu số liệu 1, 5, 9, 13, 17. Khoảng biến thiên R của mẫu bằng bao nhiêu?
A. 18
B. 17
C. 15
D. 16

Câu 5: Cho mẫu số liệu có Q1 bằng 6, Q3 bằng 18. Giá trị nào sau đây là giá trị ngoại lệ của mẫu?
A. −15
B. 0
C. 20
D. 30

Giải thích Câu 1 — Đáp án A (16) đúng: Giá trị nhỏ nhất xmin bằng 5 và giá trị lớn nhất xmax bằng 21, nên R bằng 21 trừ 5 bằng 16. Đáp án B (14) sai vì 14 là hiệu của 21 trừ 7, một phép trừ không có trong bài. Đáp án C (21) sai vì đó là giá trị lớn nhất xmax, bạn đã quên trừ đi xmin. Đáp án D (5) sai vì đó là giá trị nhỏ nhất xmin, không phải khoảng biến thiên.

Giải thích Câu 2 — Đáp án C (9) đúng: Khoảng tứ phân vị ΔQ bằng Q3 trừ Q1, tức là 13 trừ 4 bằng 9. Đáp án A (17) sai vì 17 là tổng của 13 cộng 4, bạn đã cộng thay vì trừ. Đáp án B (4) sai vì đó là Q1, không phải hiệu của hai tứ phân vị. Đáp án D (13) sai vì đó là Q3, bạn đã lấy một đầu mút thay cho cả khoảng.

Giải thích Câu 3 — Đáp án B (40) đúng: Khoảng tứ phân vị ΔQ bằng 20 trừ 10 bằng 10. Ngưỡng trên là 20 cộng 1,5 nhân 10 bằng 20 cộng 15 bằng 35, ngưỡng dưới là 10 trừ 1,5 nhân 10 bằng 10 trừ 15 bằng trừ 5. Giá trị 40 lớn hơn ngưỡng trên 35 nên là ngoại lệ. Đáp án A (35) sai vì 35 đúng bằng ngưỡng trên, mà một giá trị chỉ là ngoại lệ khi lớn hơn ngưỡng, không phải bằng ngưỡng. Đáp án C (5) sai vì 5 lớn hơn ngưỡng dưới trừ 5 nên không phải ngoại lệ. Đáp án D sai vì mẫu có một giá trị ngoại lệ là 40.

Giải thích Câu 4 — Đáp án D (16) đúng: Giá trị nhỏ nhất xmin bằng 1 và giá trị lớn nhất xmax bằng 17, nên R bằng 17 trừ 1 bằng 16. Đáp án A (18) sai vì 18 là tổng của 17 cộng 1, bạn đã cộng thay vì trừ. Đáp án B (17) sai vì đó là giá trị lớn nhất xmax, bạn đã quên trừ đi xmin. Đáp án C (15) sai vì 15 là hiệu của 17 trừ 2, một phép trừ sai số bị trừ.

Giải thích Câu 5 — Đáp án A (−15) đúng: Khoảng tứ phân vị ΔQ bằng 18 trừ 6 bằng 12. Ngưỡng dưới là 6 trừ 1,5 nhân 12 bằng 6 trừ 18 bằng trừ 12, ngưỡng trên là 18 cộng 1,5 nhân 12 bằng 18 cộng 18 bằng 36. Giá trị trừ 15 nhỏ hơn ngưỡng dưới trừ 12 nên là ngoại lệ. Đáp án B (0) sai vì 0 nằm giữa trừ 12 và 36 nên không phải ngoại lệ. Đáp án C (20) sai vì 20 cũng nằm trong khoảng từ trừ 12 tới 36. Đáp án D (30) sai vì 30 nhỏ hơn ngưỡng trên 36 nên vẫn chưa phải ngoại lệ.

Những câu hỏi hay gặp khi xét giá trị ngoại lệ

Hỏi: Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị khác nhau ở điểm nào?
Đáp: Khoảng biến thiên R dùng hai giá trị ở hai đầu của mẫu nên rất nhạy với giá trị cực đoan, còn khoảng tứ phân vị ΔQ chỉ dùng 50 phần trăm số liệu ở giữa nên bền hơn nhiều. Bạn dùng R khi muốn biết toàn bộ mẫu trải dài bao nhiêu, và dùng ΔQ khi muốn biết phần giữa của mẫu tập trung ra sao mà không bị một vài giá trị lạ làm lệch.

Hỏi: Một mẫu số liệu có thể có nhiều hơn một giá trị ngoại lệ không?
Đáp: Có, hoàn toàn có thể. Quy tắc 1,5ΔQ xét từng giá trị một so với hai ngưỡng, nên mẫu có thể có hai, ba hay nhiều giá trị ngoại lệ ở cả hai phía. Ví dụ mẫu 1, 2, 3, 4, 5, 100, 200 có hai giá trị ngoại lệ là 100 và 200 vì cả hai đều vượt ngưỡng trên. Bạn đừng dừng lại sau khi tìm được một giá trị ngoại lệ mà hãy kiểm tra hết mọi giá trị trong mẫu.

Hỏi: Vì sao hệ số trong quy tắc ngoại lệ lại là 1,5 mà không phải 2 hay 3?
Đáp: Con số 1,5 là một quy ước thống kê do nhà thống kê John Tukey đề xuất, và sách giáo khoa Toán 10 dùng đúng quy ước này. Với mẫu có phân phối gần chuẩn, hai ngưỡng Q1 trừ 1,5ΔQ và Q3 cộng 1,5ΔQ bao lấy khoảng 99,3 phần trăm số liệu, nên chỉ những giá trị thật sự hiếm mới bị gắn nhãn ngoại lệ. Nếu dùng hệ số 3 thì gần như không bao giờ bắt được ngoại lệ, còn dùng hệ số 1 thì quá nhiều giá trị bình thường bị gắn nhãn sai.

Hỏi: Giá trị ngoại lệ có nên xóa khỏi mẫu khi tính trung bình không?
Đáp: Không nên xóa một cách tùy tiện. Bạn cần tìm hiểu vì sao giá trị đó lại lệch: nếu đó là lỗi ghi chép, ví dụ ghi nhầm 100 thay vì 10, thì bạn sửa hoặc loại bỏ sau khi xác minh; nếu đó là một trường hợp thật, ví dụ một học sinh đạt điểm tuyệt đối trong khi cả lớp điểm thấp, thì bạn giữ lại và báo cáo riêng. Việc xóa ngoại lệ mà không có lí do sẽ làm méo mó bức tranh thật của số liệu.

Hỏi: Học xong ba công thức này thì dùng vào bài nào tiếp theo?
Đáp: Bạn sẽ dùng Q1, Q3 và ΔQ ngay trong bài vẽ biểu đồ hộp, vì biểu đồ hộp vẽ đúng năm con số xmin, Q1, trung vị, Q3 và xmax, đồng thời đánh dấu các giá trị ngoại lệ bằng dấu chấm riêng. Sau đó bạn sẽ gặp lại cách nghĩ về độ phân tán khi học phương sai và độ lệch chuẩn, nơi người ta đo sự phân tán bằng khoảng cách tới giá trị trung bình thay vì bằng các tứ phân vị.

Kết luận

Khoảng biến thiên R bằng xmax trừ xmin cho bạn biết toàn bộ mẫu trải dài bao nhiêu, khoảng tứ phân vị ΔQ bằng Q3 trừ Q1 cho bạn biết 50 phần trăm số liệu ở giữa tập trung ra sao, và hai ngưỡng Q1 trừ 1,5ΔQ cùng Q3 cộng 1,5ΔQ cho bạn một tiêu chuẩn rõ ràng để nhận ra giá trị ngoại lệ. Bạn hãy nhớ trình tự ba bước: sắp xếp mẫu, tính R rồi tính ΔQ, cuối cùng so sánh từng giá trị với hai ngưỡng. Làm xong bốn ví dụ và năm bài tập trong bài này, bạn đã đủ tự tin để mô tả bất kì mẫu số liệu nào bằng ba con số, phát hiện giá trị ngoại lệ một cách có căn cứ, và không còn bị một con số cực đoan đánh lừa về cả một tập số liệu.