Lũy thừa với số mũ tự nhiên: a^n, ví dụ và bài tập

Lấy một tờ giấy A4 trên bàn học của bạn, gấp đôi nó lại một lần. Bây giờ tờ giấy có 2 lớp. Gấp đôi lần nữa, bạn được 4 lớp. Gấp lần thứ ba, 8 lớp. Lần thứ tư, 16 lớp. Lần thứ năm, 32 lớp. Chỉ sau năm lần gấp, một tờ giấy mỏng dính đã biến thành một chồng dày 32 lớp, và nếu bạn còn gấp được nữa thì con số sẽ còn phình ra nhanh đến mức khó tin: lần thứ sáu là 64 lớp, lần thứ bảy là 128 lớp, lần thứ mười là 1 024 lớp. Bạn không cần đếm từng lớp một, cũng không cần viết dài dòng 2 × 2 × 2 × 2 × 2, vì toán học đã có một cách viết gọn gàng cho đúng kiểu nhân lặp đi lặp lại này. Cách viết ấy có tên là lũy thừa.

Trong bài này, chúng ta sẽ cùng làm quen với lũy thừa với số mũ tự nhiên, đúng như chương trình Toán 6, bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống. Bạn sẽ biết cơ số là gì, số mũ là gì, vì sao a¹ bằng a mà a⁰ lại bằng 1, cách nhân và chia hai lũy thừa cùng cơ số, rồi luyện tập qua bốn ví dụ tính từng bước, năm bài tập trắc nghiệm có giải thích cặn kẽ và phần hỏi đáp nhanh. Học xong bài này, mỗi lần gặp một phép nhân có nhiều thừa số giống nhau, bạn sẽ viết gọn nó trong một nốt nhạc và tính ra kết quả mà không sợ đếm nhầm.

Lũy thừa là gì?

Lũy thừa là cách viết gọn của một phép nhân có nhiều thừa số bằng nhau. Thay vì viết 2 × 2 × 2 × 2 × 2, người ta viết gọn thành 2⁵. Thay vì viết 3 × 3 × 3 × 3, người ta viết gọn thành 3⁴. Con số nhỏ viết ở phía trên bên phải cho biết có bao nhiêu thừa số giống nhau trong phép nhân đó, và chính con số nhỏ ấy làm cho cách viết này vừa ngắn vừa rõ ràng.

Định nghĩa đầy đủ như sau: lũy thừa bậc n của số a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a. Kí hiệu là aⁿ, đọc là "a mũ n" hoặc "lũy thừa bậc n của a". Công thức tổng quát là aⁿ = a × a × ... × a, trong đó có n thừa số a, với n là số tự nhiên khác 0. Hãy đọc thật chậm công thức này, vì nó là chìa khóa của toàn bộ bài học: muốn tính một lũy thừa, bạn chỉ cần nhân các thừa số giống nhau lại với nhau, đếm đúng số thừa số là xong.

Ví dụ, 2⁵ có nghĩa là tích của 5 thừa số 2: 2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32. Tính từng bước cho chắc: 2 × 2 = 4, 4 × 2 = 8, 8 × 2 = 16, 16 × 2 = 32. Vậy 2⁵ = 32. Tương tự, 3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 = 81, tính từng bước: 3 × 3 = 9, 9 × 3 = 27, 27 × 3 = 81. Bạn thấy đấy, lũy thừa không phải là một phép toán xa lạ nào cả, nó chỉ là phép nhân quen thuộc được viết gọn lại mà thôi.

Vì sao chúng ta cần lũy thừa? Hãy thử tưởng tượng bạn phải viết 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 trong một bài toán. Dãy nhân dài dằng dặc ấy vừa tốn chỗ, vừa dễ đếm nhầm thừa số, vừa khó đọc. Viết gọn thành 2¹⁰ thì chỉ còn ba kí tự, nhìn một cái là biết ngay có mười thừa số 2. Trong đời sống, lũy thừa xuất hiện ở khắp nơi: diện tích hình vuông, thể tích hình lập phương, sự nhân đôi của vi khuẩn, dung lượng bộ nhớ máy tính, lãi kép trong ngân hàng, tất cả đều dùng đến lũy thừa. Học tốt bài này hôm nay chính là bạn đang chuẩn bị cho rất nhiều bài toán của các lớp sau.

Cơ số và số mũ

Trong kí hiệu aⁿ, số a được gọi là cơ số, số n được gọi là số mũ. Cơ số là số được nhân lặp đi lặp lại, còn số mũ cho biết cơ số được nhân với chính nó bao nhiêu lần. Hai thành phần này có vai trò hoàn toàn khác nhau, và bạn tuyệt đối không được đổi chỗ chúng cho nhau. Ví dụ, trong 2⁵, cơ số là 2, số mũ là 5, nghĩa là có 5 thừa số 2 nhân với nhau, kết quả là 32. Nhưng trong 5², cơ số là 5, số mũ là 2, nghĩa là chỉ có 2 thừa số 5 nhân với nhau, kết quả là 25. Cùng hai chữ số 2 và 5, chỉ đổi vai trò cơ số và số mũ cho nhau mà kết quả đã khác hẳn: 32 và 25. Đây là một trong những điểm dễ nhầm nhất của bài học, và chúng ta sẽ còn gặp lại nó trong ví dụ so sánh ở phần sau.

Cách đọc lũy thừa cũng có những tên gọi riêng mà bạn nên nhớ:
a² đọc là "a bình phương" hoặc "a mũ hai".
a³ đọc là "a lập phương" hoặc "a mũ ba".
a⁴ đọc là "a mũ bốn", a⁵ đọc là "a mũ năm", cứ thế tiếp tục.
Ví dụ: 5² đọc là "năm bình phương", bằng 25. 4³ đọc là "bốn lập phương", bằng 64, vì 4 × 4 × 4 = 64. 10³ đọc là "mười mũ ba", bằng 1 000.

Tên gọi "bình phương" và "lập phương" không phải đặt ra cho vui. Bình phương gắn với hình vuông: diện tích hình vuông cạnh a chính là a × a, tức là a². Lập phương gắn với hình lập phương: thể tích hình lập phương cạnh a chính là a × a × a, tức là a³. Khi học hình học ở các bài sau, bạn sẽ thấy hai cái tên này xuất hiện liên tục. Còn bây giờ, chỉ cần nhớ: mũ 2 là bình phương, mũ 3 là lập phương, các mũ khác thì đọc là "mũ" kèm theo số.

Một lưu ý nhỏ nhưng rất quan trọng: số mũ trong chương trình lớp 6 là số tự nhiên. Cơ số ở đây cũng thường là số tự nhiên. Khi bạn viết aⁿ, hãy luôn tự hỏi hai câu: cơ số là số nào, và có bao nhiêu thừa số như thế. Trả lời được hai câu hỏi đó thì bạn đã nắm được một nửa bài học rồi.

Các trường hợp đặc biệt cần nhớ

Có bốn trường hợp đặc biệt của lũy thừa mà bạn phải thuộc lòng, vì chúng xuất hiện trong hầu hết các bài kiểm tra. Bốn trường hợp này không cần tính toán dài dòng, chỉ cần nhớ quy ước và hiểu vì sao lại như vậy.

Trường hợp thứ nhất: a¹ = a với mọi số a. Lũy thừa bậc một của một số chính là số đó, vì tích chỉ có một thừa số a thì đương nhiên bằng a. Ví dụ: 7¹ = 7, 15¹ = 15, 100¹ = 100. Trường hợp này quá hiển nhiên nên nhiều bạn hay quên mất, nhưng khi làm bài tập bạn sẽ gặp nó, ví dụ như khi viết gọn 5 × 5 × 5 × 5 × 5 thành 5⁵ thì không có gì khó, nhưng viết gọn một số 9 đứng một mình thành 9¹ thì nhiều bạn lại lúng túng. Hãy nhớ: số mũ 1 có nghĩa là chỉ có một thừa số, nên kết quả chính là cơ số.

Trường hợp thứ hai: a⁰ = 1 với a ≠ 0. Đây là một quy ước của toán học, và là trường hợp dễ gây bất ngờ nhất: bất kì số nào khác 0, mũ 0 cũng bằng 1. Ví dụ: 5⁰ = 1, 9⁰ = 1, 100⁰ = 1, 2 026⁰ = 1. Vì sao lại quy ước như vậy? Bạn có thể hiểu một cách đơn giản qua phép chia lũy thừa cùng cơ số mà chúng ta sẽ học ở phần sau: a³ : a³ = a³⁻³ = a⁰, mà một số chia cho chính nó thì bằng 1, nên a⁰ phải bằng 1 thì mọi công thức mới khớp nhau. Điều kiện a ≠ 0 là bắt buộc, vì số 0 chia cho 0 không có nghĩa. Riêng 0⁰ thì ở lớp 6 chúng ta không xét, bạn chỉ cần nhớ là không có đáp án nào cho 0⁰ trong chương trình lớp 6.

Trường hợp thứ ba: 1ⁿ = 1 với mọi số mũ tự nhiên n. Một nhân với một bao nhiêu lần cũng vẫn bằng một. Ví dụ: 1⁵ = 1, 1¹⁰ = 1, 1¹⁰⁰ = 1. Trường hợp này rất dễ, nhưng nó hay xuất hiện trong các câu hỏi đánh lừa, kiểu như "1¹⁰⁰ bằng bao nhiêu, 100 hay 1?". Đáp án là 1, vì 1 × 1 × 1 × ... × 1 thì dù nhân bao nhiêu lần cũng vẫn là 1.

Trường hợp thứ tư: 0ⁿ = 0 với mọi số mũ tự nhiên n ≥ 1. Số 0 nhân với 0 bao nhiêu lần cũng vẫn bằng 0. Ví dụ: 0³ = 0 × 0 × 0 = 0, 0⁷ = 0, 0¹⁰ = 0. Lưu ý điều kiện n ≥ 1, tức là số mũ phải ít nhất bằng 1. Trường hợp n = 0, tức là 0⁰, như đã nói ở trên, lớp 6 không xét. Bốn trường hợp đặc biệt này bạn nên viết ra giấy và dán ở góc học tập cho đến khi thuộc hẳn: a¹ = a, a⁰ = 1 (với a ≠ 0), 1ⁿ = 1, 0ⁿ = 0 (với n ≥ 1).

Riêng hai trường hợp bình phương và lập phương, bạn nên thuộc lòng bảng lũy thừa của các số nhỏ, vì chúng sẽ giúp bạn tính nhẩm rất nhanh:
1² = 1, 2² = 4, 3² = 9, 4² = 16, 5² = 25, 6² = 36, 7² = 49, 8² = 64, 9² = 81, 10² = 100.
1³ = 1, 2³ = 8, 3³ = 27, 4³ = 64, 5³ = 125, 6³ = 216, 7³ = 343, 8³ = 512, 9³ = 729, 10³ = 1 000.
Hãy kiểm tra lại vài số trong bảng này bằng tay: 6² = 6 × 6 = 36, đúng. 7³ = 7 × 7 × 7 = 49 × 7 = 343, đúng. 8³ = 8 × 8 × 8 = 64 × 8 = 512, đúng. Thuộc bảng này, bạn sẽ làm bài tập trắc nghiệm nhanh hơn hẳn, vì đa số các câu hỏi trong đề lớp 6 đều xoay quanh các số này.

Nhân, chia hai lũy thừa cùng cơ số

Sau khi đã hiểu lũy thừa là gì, chúng ta đến với hai công thức quan trọng nhất của bài học: nhân và chia hai lũy thừa cùng cơ số. Hai công thức này giúp bạn tính nhanh mà không cần viết dài dòng tất cả các thừa số ra giấy. Nhưng nhớ kĩ một điều kiện tiên quyết: hai lũy thừa phải CÙNG cơ số thì mới áp dụng được. Nếu cơ số khác nhau, ví dụ 2³ × 3², thì không có công thức gọn nào cả, bạn phải tính từng lũy thừa rồi nhân kết quả lại với nhau.

Công thức nhân: khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng các số mũ. Công thức tổng quát là aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. Vì sao lại như vậy? Hãy viết dài ra sẽ thấy ngay: a³ × a² = (a × a × a) × (a × a) = a × a × a × a × a, tức là có tất cả 3 + 2 = 5 thừa số a, nên kết quả là a⁵. Số mũ cộng lại chính là tổng số thừa số sau khi gộp hai nhóm lại với nhau. Ví dụ bằng số: 2³ × 2² = 2³⁺² = 2⁵ = 32. Kiểm tra bằng cách tính trực tiếp: 2³ = 8, 2² = 4, 8 × 4 = 32, khớp hoàn toàn. Một ví dụ nữa: 5² × 5³ = 5²⁺³ = 5⁵ = 3 125, kiểm tra: 5² = 25, 5³ = 125, 25 × 125 = 3 125, đúng. Công thức này còn áp dụng được cho nhiều hơn hai lũy thừa: aᵐ × aⁿ × aᵖ = aᵐ⁺ⁿ⁺ᵖ, cứ cộng hết các số mũ lại.

Công thức chia: khi chia hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và trừ các số mũ. Công thức tổng quát là aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, với điều kiện a ≠ 0 và m ≥ n. Vì sao lại trừ? Hãy viết dài ra: a⁵ : a² = (a × a × a × a × a) : (a × a), rút gọn hai thừa số a ở tử và mẫu, còn lại ba thừa số a, tức là a³, mà 3 = 5 − 2. Ví dụ bằng số: 2⁵ : 2² = 2⁵⁻² = 2³ = 8. Kiểm tra: 2⁵ = 32, 2² = 4, 32 : 4 = 8, đúng. Một ví dụ nữa: 3⁴ : 3¹ = 3⁴⁻¹ = 3³ = 27. Kiểm tra: 3⁴ = 81, 3¹ = 3, 81 : 3 = 27, đúng.

Hai điều kiện của phép chia bạn phải nhớ thật kĩ. Thứ nhất, cơ số a phải khác 0, vì không thể chia cho 0. Thứ hai, số mũ của số bị chia phải lớn hơn hoặc bằng số mũ của số chia, tức là m ≥ n, vì trong chương trình lớp 6 chúng ta chưa học lũy thừa với số mũ âm. Khi m = n, công thức chia cho ra a⁰, và đây chính là lí do vì sao người ta quy ước a⁰ = 1: ví dụ 5³ : 5³ = 5³⁻³ = 5⁰, mà một số chia cho chính nó bằng 1, nên 5⁰ = 1. Bạn thấy không, các công thức trong bài này liên kết chặt chẽ với nhau, hiểu được mối liên hệ ấy thì bạn sẽ nhớ lâu hơn là học vẹt từng công thức riêng lẻ.

Để ghi nhớ hai công thức này, bạn có thể dùng câu thần chú: "Nhân thì cộng mũ, chia thì trừ mũ, cơ số giữ nguyên". Nhưng đừng quên phần quan trọng nhất: chỉ cộng hoặc trừ số mũ khi hai lũy thừa CÙNG cơ số. Nếu bạn gặp 2³ × 3³ thì không được viết thành 6⁶ hay 2⁶ hay 3⁶ gì cả, mà phải tính riêng 2³ = 8, 3³ = 27, rồi 8 × 27 = 216. Tương tự, 2⁵ : 3² cũng không áp dụng được công thức trừ mũ. Khi nhắc tới phép cộng và phép nhân số tự nhiên, bạn có thể xem lại bài về tính chất phép cộng số tự nhiên tại https://classon.edu.vn/tin-tuc/cong-thuc-tinh-chat-phep-cong-so-tu-nhien và bài về tính chất phép nhân số tự nhiên tại https://classon.edu.vn/tin-tuc/cong-thuc-tinh-chat-phep-nhan-so-tu-nhien, còn quy tắc chia hết và chia có dư thì xem tại https://classon.edu.vn/tin-tuc/cong-thuc-phep-chia-het-va-phep-chia-co-du, vì các tính chất đó là nền tảng để bạn hiểu vì sao các công thức lũy thừa lại đúng.

Ví dụ 1: Tính 2⁵ và 3⁴

Đây là ví dụ gốc của bài học, và cũng là dạng bài tập cơ bản nhất: cho một lũy thừa, hãy tính giá trị của nó. Cách làm duy nhất là viết lũy thừa thành tích các thừa số bằng nhau rồi nhân từng bước, không được vội vàng nhảy cóc.

Tính 2⁵. Số mũ là 5, nghĩa là có 5 thừa số 2: 2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2. Nhân từng bước: 2 × 2 = 4, 4 × 2 = 8, 8 × 2 = 16, 16 × 2 = 32. Vậy 2⁵ = 32. Bạn hãy đếm lại số thừa số 2 trong phép nhân: đúng 5 thừa số, không thừa không thiếu. Nếu bạn chỉ viết 4 thừa số thì kết quả sẽ là 16, sai ngay, vì thế bước đếm thừa số là bước quan trọng nhất.

Tính 3⁴. Số mũ là 4, nghĩa là có 4 thừa số 3: 3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3. Nhân từng bước: 3 × 3 = 9, 9 × 3 = 27, 27 × 3 = 81. Vậy 3⁴ = 81. Một mẹo nhỏ khi tính: bạn có thể nhóm hai thừa số đầu lại với nhau trước, 3 × 3 = 9, rồi nhân tiếp 9 × 3 = 27, 27 × 3 = 81, như vậy phép nhân sẽ nhẹ nhàng hơn là nhân dồn một lúc. Sau khi tính xong, hãy kiểm tra lại bằng cách đọc to: "ba mũ bốn bằng tám mươi mốt", nghe có hợp lí không? Ba nhân với chính nó bốn lần, mỗi lần tăng gấp ba, từ 3 lên 9, lên 27, lên 81, đúng là một dãy tăng nhanh, nên 81 là đáp án hợp lí.

Ví dụ 2: Viết gọn tích thành lũy thừa

Dạng bài ngược lại với ví dụ 1 cũng rất hay gặp: cho một tích các thừa số bằng nhau, hãy viết gọn thành lũy thừa, rồi tính giá trị nếu đề yêu cầu. Cách làm là đếm xem có bao nhiêu thừa số giống nhau, số đó chính là số mũ, còn thừa số được lặp lại chính là cơ số.

Viết gọn 5 × 5 × 5 × 5. Đếm số thừa số 5: có 4 thừa số. Vậy 5 × 5 × 5 × 5 = 5⁴. Tính giá trị: 5⁴ = 5 × 5 × 5 × 5, nhân từng bước: 5 × 5 = 25, 25 × 5 = 125, 125 × 5 = 625. Vậy 5⁴ = 625. Kiểm tra bằng một cách khác: 5² = 25, 5⁴ = 5² × 5² = 25 × 25 = 625, khớp hoàn toàn. Cách kiểm tra này dùng công thức nhân hai lũy thừa cùng cơ số, và nó cho thấy các công thức trong bài luôn hỗ trợ lẫn nhau.

Thêm một ví dụ nữa với cơ số 10: 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000. Nhân từng bước: 10 × 10 = 100, 100 × 10 = 1 000. Vậy 10³ = 1 000. Lũy thừa của 10 có một đặc điểm rất đẹp mà chúng ta sẽ tìm hiểu kĩ ở phần sau: 10³ có đúng ba chữ số 0. Còn bây giờ, bạn hãy tự luyện thêm: viết gọn 7 × 7 × 7 thành 7³, viết gọn 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 thành 2⁶, rồi tính 7³ = 343 và 2⁶ = 64 để kiểm tra tay nghề của mình.

Ví dụ 3: Tìm số chưa biết và so sánh hai lũy thừa

Ví dụ này gộp hai dạng bài nâng cao hơn một chút: tìm số chưa biết trong một đẳng thức có lũy thừa, và so sánh hai lũy thừa với nhau. Cả hai dạng đều dựa trên một nguyên tắc chung: muốn biết một lũy thừa bằng bao nhiêu, hãy tính giá trị của nó ra rồi mới kết luận.

Tìm x, biết x² = 64. Đây là dạng bài tìm cơ số khi biết số mũ và kết quả. Ta cần tìm số nào bình phương lên bằng 64. Thử với các số trong bảng bình phương đã học: 7² = 49, chưa đủ; 8² = 8 × 8 = 64, đúng rồi; 9² = 81, vượt quá. Vậy x = 8. Đáp án này có thể kiểm tra lại ngay: thay x = 8 vào đẳng thức ban đầu, 8² = 64, đúng. Trong chương trình lớp 6, chúng ta chỉ tìm số tự nhiên, nên đáp án duy nhất là x = 8. Lên các lớp cao hơn bạn sẽ biết còn một đáp án nữa, nhưng ở lớp 6 thì x = 8 là đủ.

So sánh 2⁵ và 5². Nhiều bạn nhìn vào sẽ đoán ngay 5² lớn hơn vì cơ số 5 lớn hơn cơ số 2, nhưng đoán như vậy là sai. Cách làm đúng là tính từng lũy thừa ra rồi mới so sánh: 2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32, còn 5² = 5 × 5 = 25. Vì 32 lớn hơn 25 nên 2⁵ lớn hơn 5². Bài học rút ra ở đây rất quan trọng: không được so sánh lũy thừa bằng cách so sánh cơ số hay số mũ một cách riêng lẻ, vì cơ số lớn chưa chắc lũy thừa đã lớn, số mũ lớn cũng chưa chắc lũy thừa đã lớn. Chỉ có tính ra giá trị cụ thể rồi so sánh hai số tự nhiên với nhau mới là cách làm chắc chắn. Nếu muốn luyện thêm, bạn hãy thử so sánh 3³ và 2⁵: 3³ = 27, 2⁵ = 32, nên 2⁵ lớn hơn 3³, một lần nữa số mũ lớn đã thắng cơ số lớn.

Ví dụ 4: Lũy thừa trong đời sống — gấp giấy và vi khuẩn nhân đôi

Lũy thừa không chỉ nằm trong sách vở, nó mô tả những thứ tăng trưởng gấp đôi, gấp ba trong đời sống thật. Ví dụ gấp giấy ở đầu bài chính là một minh họa hoàn hảo, và bây giờ chúng ta sẽ tính nó một cách đầy đủ.

Một tờ giấy gấp đôi 5 lần thì có bao nhiêu lớp giấy? Mỗi lần gấp đôi, số lớp giấy tăng gấp đôi. Ban đầu có 1 lớp. Sau lần gấp thứ nhất có 2 lớp, tức là 2¹ = 2. Sau lần gấp thứ hai có 4 lớp, tức là 2² = 4. Sau lần gấp thứ ba có 8 lớp, tức là 2³ = 8. Sau lần gấp thứ tư có 16 lớp, tức là 2⁴ = 16. Sau lần gấp thứ năm có 32 lớp, tức là 2⁵ = 32. Vậy sau 5 lần gấp đôi, tờ giấy có 2⁵ = 32 lớp. Bạn có thể thử gấp thật một tờ giấy mỏng và đếm, nhưng đến lần gấp thứ bảy, thứ tám thì tờ giấy sẽ dày và cứng đến mức bạn không gấp nổi nữa, dù trên giấy tờ thì 2⁷ = 128 và 2⁸ = 256. Đó là lí do vì sao không ai gấp được một tờ giấy quá bảy lần trong thực tế, dù về mặt toán học thì số lớp vẫn cứ tăng gấp đôi sau mỗi lần gấp.

Một ví dụ thực tế khác: vi khuẩn nhân đôi mỗi giờ. Giả sử ban đầu có 1 con vi khuẩn, cứ sau mỗi giờ mỗi con lại tách thành 2 con. Sau 1 giờ có 2¹ = 2 con, sau 2 giờ có 2² = 4 con, sau 3 giờ có 2³ = 8 con, sau 4 giờ có 2⁴ = 16 con, sau 5 giờ có 2⁵ = 32 con. Vậy sau 5 giờ, từ 1 con vi khuẩn ban đầu sẽ thành 2⁵ = 32 con. Chỉ sau 10 giờ, con số đã là 2¹⁰ = 1 024 con, và sau 20 giờ là 2²⁰ = 1 048 576 con, hơn một triệu con từ một con ban đầu. Đây chính là lí do vì sao vi khuẩn lây lan nhanh đến thế, và vì sao các bác sĩ luôn nhắc chúng ta rửa tay và ăn chín uống sôi. Toán học của lũy thừa giúp chúng ta hiểu được tốc độ tăng trưởng theo cấp số nhân, một khái niệm mà bạn sẽ còn gặp lại rất nhiều trong môn Sinh học và trong đời sống.

Nếu bạn muốn tính nhanh các lũy thừa trong những bài toán thực tế như thế này, máy tính Casio sẽ là trợ thủ đắc lực: chỉ cần bấm phím lũy thừa là có ngay kết quả, không cần nhân tay từng bước. Bạn có thể tìm hiểu cách dùng máy tính Casio để tính lũy thừa và nhiều phép toán khác tại https://classon.edu.vn/may-tinh-casio, nơi có hướng dẫn chi tiết cho từng dòng máy. Nhưng nhớ rằng máy tính chỉ là công cụ hỗ trợ, còn hiểu bản chất lũy thừa là gì thì vẫn phải nhờ chính bạn học kĩ bài này.

Lũy thừa của 10

Lũy thừa của 10 là một trường hợp đặc biệt rất đẹp và rất hữu ích, vì hệ đếm của chúng ta là hệ thập phân, tức là đếm theo cơ số 10. Quy tắc rất đơn giản: 10ⁿ là số 1 tiếp theo là n chữ số 0. Ví dụ: 10¹ = 10, có một chữ số 0. 10² = 100, có hai chữ số 0. 10³ = 1 000, có ba chữ số 0. 10⁴ = 10 000, có bốn chữ số 0. 10⁵ = 100 000, có năm chữ số 0. 10⁶ = 1 000 000, một triệu, có sáu chữ số 0. Bạn có thể kiểm chứng bằng cách nhân tay: 10⁴ = 10 × 10 × 10 × 10 = 100 × 100 = 10 000, đúng là số 1 và bốn chữ số 0.

Vì sao quy tắc này đúng? Mỗi lần nhân thêm một thừa số 10 là bạn thêm một chữ số 0 vào cuối số đang có. Bắt đầu từ 1, nhân với 10 một lần được 10, nhân lần nữa được 100, nhân lần nữa được 1 000, cứ thế số chữ số 0 tăng lên đúng bằng số lần nhân, tức là đúng bằng số mũ. Nhờ quy tắc này, bạn có thể đọc và viết các số lớn rất nhanh: một tỉ là 10⁹, tức là số 1 và chín chữ số 0. Trong các bài toán về dân số, khoảng cách giữa các hành tinh hay dung lượng dữ liệu, người ta thường viết số lớn dưới dạng lũy thừa của 10 cho gọn, ví dụ khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời khoảng 150 triệu ki-lô-mét, tức là 150 × 10⁶ ki-lô-mét.

Một ứng dụng nữa của lũy thừa của 10 là viết một số tự nhiên dưới dạng tổng các lũy thừa của 10, hay còn gọi là tách số theo giá trị của từng chữ số. Ví dụ: 2 345 = 2 × 1 000 + 3 × 100 + 4 × 10 + 5 = 2 × 10³ + 3 × 10² + 4 × 10¹ + 5 × 10⁰. Cách viết này cho thấy rõ cấu tạo của hệ thập phân: mỗi chữ số đứng ở một hàng tương ứng với một lũy thừa của 10. Khi bạn hiểu được điều này, việc đọc số, viết số và so sánh các số lớn sẽ trở nên dễ dàng hơn rất nhiều.

Lỗi sai thường gặp

Lũy thừa là bài học mà học sinh hay mắc lỗi nhất trong chương trình số học lớp 6, vì các lỗi đều rất "hợp lí" nếu nhìn thoáng qua. Dưới đây là năm lỗi kinh điển, mỗi lỗi đều kèm theo giải thích vì sao sai và cách sửa đúng. Bạn hãy đọc kĩ từng lỗi, vì rất có thể chính bạn cũng từng mắc một trong số đó.

Lỗi thứ nhất: 2⁵ = 2 × 5 = 10. Đây là lỗi kinh điển nhất, gần như bạn nào cũng từng mắc ít nhất một lần. Người mắc lỗi này đã nhầm lũy thừa với phép nhân cơ số với số mũ: thấy 2⁵ thì nhân 2 với 5. Nhưng định nghĩa của lũy thừa nói rõ: 2⁵ là tích của 5 thừa số 2, tức là 2 × 2 × 2 × 2 × 2, chứ không phải 2 × 5. Tính đúng: 2 × 2 = 4, 4 × 2 = 8, 8 × 2 = 16, 16 × 2 = 32. Vậy 2⁵ = 32, chứ không phải 10. Cách tránh lỗi này: mỗi lần thấy lũy thừa, hãy đọc to thành lời, "hai mũ năm là năm thừa số hai nhân với nhau", rồi mới bắt đầu tính.

Lỗi thứ hai: 3² = 6. Người mắc lỗi này cũng nhầm giống lỗi thứ nhất, chỉ khác con số: thấy 3² thì nhân 3 với 2 được 6. Nhưng 3² có nghĩa là 3 × 3, tức là hai thừa số 3 nhân với nhau, kết quả là 9. Tính đúng: 3² = 3 × 3 = 9. Bạn hãy nhớ: số mũ cho biết có bao nhiêu thừa số, chứ không phải là một thừa số để nhân cùng cơ số. Nếu bạn còn hay nhầm, hãy viết dài phép nhân ra giấy trong những bài đầu tiên, viết đủ số thừa số rồi mới nhân, đừng tính nhẩm trong đầu khi chưa quen.

Lỗi thứ ba: a⁰ = 0. Nhiều bạn nghĩ rằng mũ 0 thì kết quả phải bằng 0, vì số 0 gợi cảm giác "không có gì". Nhưng quy ước của toán học là a⁰ = 1 với a ≠ 0, ví dụ 5⁰ = 1, 9⁰ = 1, 100⁰ = 1. Lí do đã giải thích ở phần trường hợp đặc biệt: a³ : a³ = a⁰, mà một số chia cho chính nó bằng 1, nên a⁰ phải bằng 1 thì công thức chia lũy thừa mới đúng trong mọi trường hợp. Cách nhớ: mũ 0 không có nghĩa là "không còn gì", mà có nghĩa là "không nhân thêm thừa số nào, còn lại số 1". Đây là một quy ước, bạn chỉ cần thuộc lòng là được, đừng cố suy luận theo cảm tính.

Lỗi thứ tư: 2³ × 2² = 2⁶. Người mắc lỗi này đã nhân hai số mũ với nhau thay vì cộng chúng lại: 3 × 2 = 6. Nhưng công thức nhân hai lũy thừa cùng cơ số nói rõ là CỘNG số mũ, vì khi gộp hai nhóm thừa số lại thì tổng số thừa số là tổng của hai số mũ. Tính đúng: 2³ × 2² = 2³⁺² = 2⁵ = 32. Kiểm tra bằng cách tính trực tiếp: 2³ = 8, 2² = 4, 8 × 4 = 32, khớp hoàn toàn. Còn nếu làm theo cách sai thì 2⁶ = 64, gấp đôi đáp án đúng, sai rất xa. Cách tránh lỗi: nhớ câu thần chú "nhân thì cộng mũ, chia thì trừ mũ", và luôn viết dấu cộng giữa hai số mũ trước khi tính.

Lỗi thứ năm: 5² = 10. Lỗi này giống hệt lỗi thứ hai, chỉ đổi con số: thấy 5² thì nhân 5 với 2 được 10. Nhưng 5² = 5 × 5 = 25, vì số mũ 2 có nghĩa là có hai thừa số 5. Tính đúng: 5 × 5 = 25. Bạn có thể tự kiểm tra bằng hình vuông: một hình vuông cạnh 5 ô thì có diện tích 25 ô vuông nhỏ, chứ không phải 10 ô. Nếu bạn mắc lỗi này trong bài kiểm tra, hãy bình tĩnh viết dài phép nhân ra: 5² = 5 × 5 = 25, chỉ mất thêm vài giây mà chắc chắn đúng.

Bài tập tự luyện

Năm câu trắc nghiệm dưới đây giúp bạn kiểm tra xem mình đã nắm vững lũy thừa hay chưa. Hãy làm từng câu một cách nghiêm túc: tính ra giấy, chọn đáp án, rồi mới đối chiếu với bảng đáp án và đọc phần giải thích cặn kẽ sau đó. Đừng chỉ nhìn đáp án rồi bỏ qua phần giải thích, vì phần giải thích mới là nơi bạn học được nhiều nhất.

Câu 1: 2⁶ = ?
A. 12
B. 32
C. 64
D. 36

Câu 2: 3³ = ?
A. 9
B. 27
C. 18
D. 81

Câu 3: 7 × 7 × 7 viết dưới dạng lũy thừa là:
A. 7³
B. 3⁷
C. 7 × 3
D. 21

Câu 4: 5² × 5³ = ?
A. 5⁵
B. 5⁶
C. 25⁵
D. 5¹

Câu 5: Số nào bằng 1 000?
A. 10²
B. 10³
C. 10⁴
D. 2¹⁰

Câu 1: Đáp án đúng là C, 2⁶ = 64. Tính từng bước: 2⁶ là tích của 6 thừa số 2, tức là 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2. Nhân dồn: 2 × 2 = 4, 4 × 2 = 8, 8 × 2 = 16, 16 × 2 = 32, 32 × 2 = 64. Đáp án A là 12, sai vì 12 = 2 × 6, tức là đã nhầm lũy thừa với phép nhân cơ số với số mũ, lỗi kinh điển nhất của bài này. Đáp án B là 32, sai vì 32 = 2⁵, tức là chỉ nhân có 5 thừa số 2 thay vì 6 thừa số, thiếu một thừa số. Đáp án D là 36, sai vì 36 = 6², tức là đã đổi chỗ cơ số và số mũ cho nhau.

Câu 2: Đáp án đúng là B, 3³ = 27. Tính từng bước: 3³ là tích của 3 thừa số 3, tức là 3 × 3 × 3 = 9 × 3 = 27. Đáp án A là 9, sai vì 9 = 3², tức là chỉ có 2 thừa số 3 thay vì 3 thừa số, hoặc cũng có thể hiểu là 9 = 3 × 3, thiếu một thừa số 3. Đáp án C là 18, sai vì 18 = 3 × 6 hay 2 × 9, không liên quan gì đến 3³, có thể là kết quả của việc nhân nhầm 3 × 3 × 2. Đáp án D là 81, sai vì 81 = 3⁴, tức là có tới 4 thừa số 3 thay vì 3 thừa số, thừa một thừa số.

Câu 3: Đáp án đúng là A, 7³. Tích 7 × 7 × 7 có 3 thừa số 7, nên cơ số là 7 và số mũ là 3, viết gọn thành 7³. Đáp án B là 3⁷, sai vì đã đổi chỗ cơ số và số mũ: 3⁷ có nghĩa là 7 thừa số 3 nhân với nhau, bằng 2 187, hoàn toàn khác với 7 × 7 × 7 = 343. Đáp án C là 7 × 3, sai vì 7 × 3 chỉ là một phép nhân hai số, bằng 21, chứ không phải là tích của ba thừa số 7. Đáp án D là 21, sai vì 21 = 7 × 3, tức là đã nhân cơ số với số mũ, lỗi kinh điển đã gặp ở câu 1.

Câu 4: Đáp án đúng là A, 5⁵. Áp dụng công thức nhân hai lũy thừa cùng cơ số: giữ nguyên cơ số 5 và cộng các số mũ, 2 + 3 = 5, nên 5² × 5³ = 5⁵. Kiểm tra bằng cách tính trực tiếp: 5² = 25, 5³ = 125, 25 × 125 = 3 125, mà 5⁵ = 3 125, khớp hoàn toàn. Đáp án B là 5⁶, sai vì đã nhân hai số mũ với nhau, 2 × 3 = 6, trong khi công thức đúng là cộng số mũ. Đáp án C là 25⁵, sai vì đã nhân hai cơ số với nhau rồi giữ nguyên số mũ, trong khi công thức đúng là giữ nguyên cơ số và cộng số mũ. Đáp án D là 5¹, sai vì đã trừ hai số mũ, 3 − 2 = 1, trong khi phép trừ số mũ chỉ dùng cho phép chia, không dùng cho phép nhân.

Câu 5: Đáp án đúng là B, 10³ = 1 000. Theo quy tắc lũy thừa của 10, 10³ là số 1 tiếp theo là ba chữ số 0, tức là 1 000. Kiểm tra bằng cách nhân tay: 10 × 10 × 10 = 100 × 10 = 1 000, đúng. Đáp án A là 10², sai vì 10² = 100, chỉ có hai chữ số 0, thiếu một chữ số 0 so với 1 000. Đáp án C là 10⁴, sai vì 10⁴ = 10 000, có bốn chữ số 0, thừa một chữ số 0 so với 1 000. Đáp án D là 2¹⁰, sai một cách rất "nguy hiểm" vì 2¹⁰ = 1 024, rất gần với 1 000 nhưng không bằng 1 000, lệch đúng 24 đơn vị. Nhiều bạn nhớ mang máng rằng 2¹⁰ xấp xỉ 1 000 nên chọn nhầm, hãy nhớ kĩ: 2¹⁰ = 1 024, còn số đúng bằng 1 000 là 10³.

Hỏi đáp nhanh

0⁰ có xác định không? Ở lớp 6, 0⁰ không được xét. Bạn chỉ cần nhớ rằng công thức 0ⁿ = 0 chỉ áp dụng khi n ≥ 1, còn a⁰ = 1 chỉ áp dụng khi a ≠ 0. Trường hợp 0⁰ rơi vào cả hai điều kiện loại trừ cùng một lúc, nên chương trình lớp 6 không đưa ra đáp án cho nó. Nếu gặp câu hỏi này trong bài kiểm tra, đáp án đúng là "không xét" hoặc "không xác định trong chương trình lớp 6".

a¹ bằng bao nhiêu? a¹ = a với mọi số a. Lũy thừa bậc một của một số chính là số đó, vì tích chỉ có một thừa số a thì đương nhiên bằng a. Ví dụ: 7¹ = 7, 15¹ = 15, 100¹ = 100. Đây là trường hợp đơn giản nhất, nhưng bạn đừng quên nó khi làm bài tập viết gọn, ví dụ viết gọn số 9 đứng một mình thành lũy thừa thì đáp án là 9¹.

a⁰ bằng bao nhiêu? a⁰ = 1 với a ≠ 0. Bất kì số nào khác 0, mũ 0 cũng bằng 1. Ví dụ: 5⁰ = 1, 9⁰ = 1, 100⁰ = 1. Đây là một quy ước của toán học để công thức chia hai lũy thừa cùng cơ số luôn đúng, kể cả khi hai số mũ bằng nhau. Điều kiện a ≠ 0 là bắt buộc, vì 0⁰ không được xét ở lớp 6.

Bình phương và lập phương là gì? Bình phương của số a là a², tức là a × a, gắn với diện tích hình vuông cạnh a. Lập phương của số a là a³, tức là a × a × a, gắn với thể tích hình lập phương cạnh a. Ví dụ: 5² = 25 đọc là "năm bình phương", 4³ = 64 đọc là "bốn lập phương". Hai tên gọi này xuất phát từ hình học, và bạn sẽ gặp lại chúng rất nhiều khi học về diện tích và thể tích.

Lũy thừa của 10 có dạng như thế nào? 10ⁿ là số 1 tiếp theo là n chữ số 0. Ví dụ: 10² = 100, 10³ = 1 000, 10⁴ = 10 000, 10⁶ = 1 000 000. Quy tắc này giúp bạn viết và đọc các số lớn rất nhanh, và nó là cơ sở của cách viết số trong hệ thập phân: mỗi chữ số trong một số tự nhiên tương ứng với một lũy thừa của 10.

Lũy thừa với số mũ tự nhiên, suy cho cùng, chỉ là một cách viết gọn của phép nhân có nhiều thừa số bằng nhau. Nhưng chính cách viết gọn ấy lại mở ra cả một thế giới: từ tờ giấy gấp đôi năm lần thành 32 lớp, từ một con vi khuẩn thành 32 con sau năm giờ, từ những phép nhân dài dằng dặc thành những công thức ngắn gọn aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ và aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ. Bạn hãy thuộc lòng định nghĩa aⁿ, bốn trường hợp đặc biệt a¹ = a, a⁰ = 1, 1ⁿ = 1, 0ⁿ = 0, và hai công thức nhân chia cùng cơ số, rồi luyện tập thường xuyên với bảng bình phương và lập phương của các số từ 1 đến 10. Khi nào bạn tính được 2⁵ = 32 mà không cần viết dài ra giấy, so sánh được 2⁵ với 5² mà không cần đoán mò, và không bao giờ nhầm 2⁵ với 2 × 5 nữa, thì khi đó bạn đã thực sự nắm vững bài học này. Chúc bạn học tốt, và hẹn gặp lại ở những bài toán lũy thừa khó hơn trong các bài tiếp theo.