Bạn gửi tiết kiệm với lãi suất kép, và muốn biết sau bao nhiêu năm thì số tiền gấp đôi. Bạn theo dõi lượng thuốc trong cơ thể giảm dần theo thời gian, và muốn biết khi nào nó xuống dưới ngưỡng an toàn. Cả hai câu hỏi đều có dạng "lớn hơn bao nhiêu" hay "nhỏ hơn bao nhiêu" — đó chính là bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit. Khác với phương trình chỉ cho một đáp số duy nhất, bất phương trình cho bạn cả một khoảng nghiệm, và chỉ cần nhầm chiều bất đẳng thức một lần là cả khoảng nghiệm đảo ngược hoàn toàn.
Bài này sẽ hướng dẫn bạn giải bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit một cách có hệ thống: từ quy tắc giữ nguyên hay đổi chiều bất đẳng thức tùy theo cơ số lớn hơn 1 hay nhỏ hơn 1, cách đưa về cùng cơ số, cách xử lí điều kiện xác định của bất phương trình lôgarit, cho tới 4 ví dụ tính từng bước và 5 bài tập trắc nghiệm có đáp án chi tiết. Đây là dạng bài xuất hiện đều đặn trong đề thi tốt nghiệp, nên bạn hãy học thật chắc.
Nghiệm của bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit: cơ số quyết định chiều
Bất phương trình mũ là bất phương trình mà ẩn số nằm ở số mũ, dạng tổng quát là a mũ f(x) > a mũ g(x) hoặc các dạng so sánh khác. Cách giải cơ bản là đưa hai vế về cùng một cơ số rồi so sánh hai số mũ — nhưng có một điểm mấu chốt: chiều của bất đẳng thức có giữ nguyên hay không phụ thuộc vào cơ số. Nếu cơ số a > 1, hàm số mũ đồng biến nên bất đẳng thức giữ nguyên chiều: a mũ f(x) > a mũ g(x) tương đương với f(x) > g(x). Nếu 0 < a < 1, hàm số mũ nghịch biến nên bất đẳng thức đổi chiều: a mũ f(x) > a mũ g(x) tương đương với f(x) < g(x).
Bạn hãy hình dung bằng một ví dụ đơn giản: 2ˣ > 8. Viết 8 = 2³, bất phương trình trở thành 2ˣ > 2³. Vì cơ số 2 lớn hơn 1 nên bạn giữ nguyên chiều: x > 3. Ngược lại, (1/2)ˣ > 4. Viết 4 = (1/2) mũ (−2), bất phương trình trở thành (1/2)ˣ > (1/2) mũ (−2). Vì cơ số 1/2 nhỏ hơn 1 nên bạn đổi chiều: x < −2. Hai bài toán nhìn gần giống nhau nhưng cho kết quả ngược chiều nhau hoàn toàn — chỉ vì cơ số khác nhau.
Bất phương trình lôgarit là bất phương trình mà ẩn số nằm dưới dấu lôgarit, dạng tổng quát là logₐf(x) > logₐg(x) hoặc logₐf(x) > b. Cách giải cũng dựa vào tính đơn điệu: nếu a > 1, hàm lôgarit đồng biến nên logₐf(x) > logₐg(x) tương đương với f(x) > g(x); nếu 0 < a < 1, hàm lôgarit nghịch biến nên bất đẳng thức đổi chiều, f(x) < g(x). Nhưng có một điều kiện bạn tuyệt đối không được quên: cả f(x) và g(x) đều phải dương, tức là f(x) > 0 và g(x) > 0. Nhiều bạn giải đúng phần so sánh nhưng quên điều kiện này nên nhận thêm nghiệm lạ.
Với bất phương trình logₐf(x) > b, bạn viết b dưới dạng logₐ(a mũ b) rồi so sánh như trên. Ví dụ log₂(x − 1) > 2 thì bạn viết 2 = log₂4, bất phương trình trở thành log₂(x − 1) > log₂4. Vì cơ số 2 lớn hơn 1 nên x − 1 > 4, tức là x > 5, kết hợp với điều kiện x − 1 > 0 thì nghiệm là x > 5. Một mẹo nhỏ: khi đã có f(x) > g(x) và g(x) > 0 thì f(x) > 0 tự động thỏa mãn, nên bạn chỉ cần kiểm tra một điều kiện — giống như khi giải phương trình lôgarit hai vế. Khi cần kiểm tra lại phép tính, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.
Bốn bài toán mẫu tính từng bước
Ví dụ 1 (dùng đúng số liệu mẫu): Giải bất phương trình 2ˣ > 8 và bất phương trình (1/2)ˣ > 4.
Với bất phương trình 2ˣ > 8, bạn viết 8 = 2³ nên bất phương trình trở thành 2ˣ > 2³. Vì cơ số 2 > 1 nên giữ nguyên chiều: x > 3. Vậy tập nghiệm là (3; +∞). Với bất phương trình (1/2)ˣ > 4, bạn viết 4 = (1/2) mũ (−2) nên bất phương trình trở thành (1/2)ˣ > (1/2) mũ (−2). Vì cơ số 1/2 < 1 nên đổi chiều: x < −2. Vậy tập nghiệm là (−∞; −2). Bạn hãy để ý: hai bất phương trình đều có dấu > nhưng cho hai khoảng nghiệm ngược nhau — tất cả chỉ vì cơ số một bên lớn hơn 1, một bên nhỏ hơn 1.
Ví dụ 2 (bất phương trình lôgarit cơ số lớn hơn 1): Giải bất phương trình log₂(x − 1) > 2.
Điều kiện xác định là x − 1 > 0, tức là x > 1. Viết 2 = log₂4, bất phương trình trở thành log₂(x − 1) > log₂4. Vì cơ số 2 > 1 nên giữ nguyên chiều: x − 1 > 4, tức là x > 5. Kết hợp với điều kiện x > 1, bạn được tập nghiệm là (5; +∞). Bạn kiểm tra lại bằng một giá trị cụ thể: x = 6 thì log₂(6 − 1) = log₂5 ≈ 2,32 > 2, đúng là nghiệm; còn x = 3 thì log₂2 = 1 < 2, không phải nghiệm.
Ví dụ 3 (bất phương trình lôgarit cơ số nhỏ hơn 1): Giải bất phương trình log_(1/2)(x + 2) < 1.
Điều kiện xác định là x + 2 > 0, tức là x > −2. Viết 1 = log_(1/2)(1/2), bất phương trình trở thành log_(1/2)(x + 2) < log_(1/2)(1/2). Vì cơ số 1/2 < 1 nên đổi chiều: x + 2 > 1/2, tức là x > −3/2. Kết hợp với điều kiện x > −2, bạn được tập nghiệm là (−3/2; +∞). Bạn hãy để ý: dấu < ban đầu sau khi đổi chiều đã thành dấu > — nếu bạn quên đổi chiều thì sẽ ra đáp án sai hoàn toàn là (−2; −3/2), một khoảng không tồn tại vì −2 < −3/2.
Ví dụ 4 (bất phương trình mũ chứa ẩn phụ): Giải bất phương trình 4ˣ − 2ˣ − 2 < 0.
Bạn đặt t = 2ˣ với điều kiện t > 0. Bất phương trình trở thành t² − t − 2 < 0, tức là (t − 2)(t + 1) < 0, nghiệm là −1 < t < 2. Kết hợp với điều kiện t > 0, bạn được 0 < t < 2, tức là 0 < 2ˣ < 2. Bất đẳng thức bên trái luôn đúng, bất đẳng thức bên phải cho x < 1. Vậy tập nghiệm là (−∞; 1). Bạn hãy nhớ: khi đặt ẩn phụ, bạn phải giải bất phương trình theo t trước, rồi mới đổi trở lại x — và đừng quên điều kiện t > 0 có thể làm thu hẹp khoảng nghiệm. Nếu muốn ôn lại cách giải phương trình mũ và phương trình lôgarit, bạn hãy xem bài nghiệm của phương trình mũ, phương trình lôgarit.
Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Quên đổi chiều bất đẳng thức khi cơ số nhỏ hơn 1.
Đây là lỗi phổ biến nhất. Nhiều bạn giải (1/2)ˣ > 4 thành x > −2, trong khi đáp án đúng là x < −2. Cách tránh: bạn hãy luôn hỏi "cơ số lớn hơn 1 hay nhỏ hơn 1?" trước khi viết bước so sánh số mũ — và viết nhắc ngay bên cạnh: "a < 1 nên đổi chiều".
Lỗi 2: Quên điều kiện xác định của bất phương trình lôgarit.
Nhiều bạn giải log₂(x − 1) > 2 ra x > 5 mà không viết điều kiện x > 1. Trong ví dụ này kết quả không đổi, nhưng với bài log_(1/2)(x + 2) < 1 mà quên điều kiện thì bạn sẽ không biết phải giao với khoảng nào. Cách tránh: bạn hãy viết điều kiện xác định ngay dòng đầu tiên, giống như khi giải phương trình lôgarit.
Lỗi 3: Đổi chiều hai lần hoặc không đổi chiều lần nào.
Nhiều bạn vừa đổi chiều khi bỏ lôgarit, vừa đổi chiều khi chuyển vế, cuối cùng ra chiều sai. Cách tránh: bạn hãy thực hiện từng bước một cách riêng biệt — đổi chiều chỉ xảy ra đúng một lần, tại bước bỏ cơ số hoặc bỏ lôgarit, các bước chuyển vế sau đó giữ nguyên chiều.
Lỗi 4: Nhầm lẫn giữa bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit.
Nhiều bạn giải 2ˣ > 8 bằng cách lấy log hai vế rồi viết x > log₂8 = 3 — cách này đúng nhưng dài; ngược lại, có bạn giải log₂x > 3 bằng cách viết x > 2³ = 8 — cũng đúng. Vấn đề nảy sinh khi bạn lẫn lộn hai cách và viết log₂x > 3 thành x > log₂3. Cách tránh: bạn hãy nhớ công thức đối ngẫu — logₐx > b thì x > a mũ b, còn aˣ > b thì x > logₐb.
Lỗi 5: Kết luận tập nghiệm mà không giao với điều kiện.
Nhiều bạn giải ra x > −3/2 rồi kết luận ngay tập nghiệm là (−3/2; +∞) mà quên mất điều kiện x > −2 — trong ví dụ 3 thì kết quả trùng nhau, nhưng có bài điều kiện sẽ cắt bớt một phần nghiệm. Cách tránh: bạn hãy luôn viết dòng cuối cùng là giao của khoảng nghiệm với điều kiện xác định.
Năm bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ kiểm tra cơ số trước khi quyết định giữ nguyên hay đổi chiều bất đẳng thức.
Câu 1: Tập nghiệm của bất phương trình 3ˣ > 27 là
A. (3; +∞)
B. (−∞; 3)
C. [3; +∞)
D. (−∞; 3]
Câu 2: Tập nghiệm của bất phương trình (1/3)ˣ < 9 là
A. (−2; +∞)
B. (−∞; −2)
C. (2; +∞)
D. (−∞; 2)
Câu 3: Tập nghiệm của bất phương trình log₂x > 4 là
A. (16; +∞)
B. (0; 16)
C. [16; +∞)
D. (4; +∞)
Câu 4: Tập nghiệm của bất phương trình log_(1/2)x > 2 là
A. (0; 1/4)
B. (1/4; +∞)
C. (0; 4)
D. (4; +∞)
Câu 5: Tập nghiệm của bất phương trình 2 mũ (x + 1) ≤ 16 là
A. (−∞; 3]
B. [3; +∞)
C. (−∞; 4]
D. [4; +∞)
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | A | A | A | A | A |
Giải thích Câu 1 — Đáp án A đúng: Viết 27 = 3³, bất phương trình trở thành 3ˣ > 3³. Cơ số 3 > 1 nên giữ nguyên chiều: x > 3, tập nghiệm (3; +∞). Đáp án B sai vì đó là khoảng ngược chiều. Đáp án C sai vì tại x = 3 thì 3³ = 27, không thỏa mãn dấu > nên 3 không được bao gồm. Đáp án D sai vì vừa ngược chiều vừa bao gồm 3.
Giải thích Câu 2 — Đáp án A đúng: Viết 9 = (1/3) mũ (−2), bất phương trình trở thành (1/3)ˣ < (1/3) mũ (−2). Cơ số 1/3 < 1 nên đổi chiều: x > −2, tập nghiệm (−2; +∞). Đáp án B sai vì quên đổi chiều. Đáp án C sai vì 9 = 3² chứ không phải (1/3)². Đáp án D sai vì vừa sai số mũ vừa quên đổi chiều.
Giải thích Câu 3 — Đáp án A đúng: Điều kiện x > 0. Viết 4 = log₂16, bất phương trình trở thành log₂x > log₂16. Cơ số 2 > 1 nên giữ nguyên chiều: x > 16, tập nghiệm (16; +∞). Đáp án B sai vì đó là khoảng mà log₂x < 4. Đáp án C sai vì tại x = 16 thì log₂16 = 4, không thỏa mãn dấu >. Đáp án D sai vì nhầm 4 là giá trị của x thay vì của lôgarit.
Giải thích Câu 4 — Đáp án A đúng: Điều kiện x > 0. Viết 2 = log_(1/2)(1/4), bất phương trình trở thành log_(1/2)x > log_(1/2)(1/4). Cơ số 1/2 < 1 nên đổi chiều: x < 1/4. Kết hợp với điều kiện x > 0, tập nghiệm là (0; 1/4). Đáp án B sai vì quên đổi chiều. Đáp án C sai vì 4 = (1/2) mũ (−2) chứ không phải (1/2)². Đáp án D sai vì vừa quên đổi chiều vừa sai số.
Giải thích Câu 5 — Đáp án A đúng: Viết 16 = 2⁴, bất phương trình trở thành 2 mũ (x + 1) ≤ 2⁴. Cơ số 2 > 1 nên giữ nguyên chiều: x + 1 ≤ 4, tức là x ≤ 3, tập nghiệm (−∞; 3]. Đáp án B sai vì ngược chiều. Đáp án C sai vì quên trừ 1 khi giải x + 1 ≤ 4. Đáp án D sai vì vừa ngược chiều vừa sai số.
Câu hỏi thường gặp về nghiệm của bất phương trình mũ, bất phương trình lôgarit
Hỏi: Vì sao cơ số nhỏ hơn 1 lại làm đổi chiều bất đẳng thức?
Đáp: Vì hàm số mũ với cơ số nhỏ hơn 1 là hàm nghịch biến: x càng lớn thì aˣ càng nhỏ. Khi hai lũy thừa so sánh với nhau, thứ tự của chúng ngược với thứ tự của số mũ — giống như khi bạn nhân hai vế của bất đẳng thức với một số âm thì phải đổi chiều.
Hỏi: Bất phương trình 2ˣ > 0 có tập nghiệm là gì?
Đáp: Là toàn bộ tập số thực ℝ, vì 2ˣ luôn dương với mọi x. Đây là trường hợp đặc biệt: khi vế phải không dương, bất phương trình mũ dạng aˣ > b với b ≤ 0 luôn đúng với mọi x.
Hỏi: Giải bất phương trình lôgarit có cần đặt điều kiện xác định không?
Đáp: Có, bắt buộc. Biểu thức dưới dấu lôgarit phải dương thì bất phương trình mới có nghĩa. Bạn đặt điều kiện trước, giải bất phương trình, rồi giao kết quả với điều kiện để được tập nghiệm cuối cùng.
Hỏi: Làm thế nào để nhớ nhanh khi nào đổi chiều, khi nào giữ nguyên?
Đáp: Bạn chỉ cần nhớ một câu: "cơ số lớn hơn 1 thì giữ nguyên, cơ số nhỏ hơn 1 thì đổi chiều". Câu này đúng cho cả bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit, vì cả hai đều dựa trên tính đơn điệu của hàm số.
Hỏi: Bất phương trình mũ có dùng được phương pháp đặt ẩn phụ không?
Đáp: Có, giống như phương trình mũ. Khi gặp dạng 4ˣ − 2ˣ − 2 < 0, bạn đặt t = 2ˣ với t > 0 để đưa về bất phương trình bậc hai theo t, giải xong rồi đổi trở lại x. Nhớ giao với điều kiện t > 0 trước khi kết luận.
Kết luận
Giải bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit chỉ gói gọn trong một nguyên tắc duy nhất: cơ số lớn hơn 1 thì giữ nguyên chiều bất đẳng thức, cơ số nhỏ hơn 1 thì đổi chiều. Bạn hãy nhớ ba điều: luôn kiểm tra cơ số trước khi so sánh số mũ, luôn đặt điều kiện xác định khi giải bất phương trình lôgarit, và luôn giao khoảng nghiệm với điều kiện ở bước cuối cùng. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để giải bất kì bất phương trình mũ hay bất phương trình lôgarit cơ bản nào trong đề thi.