Nhân, chia hai lũy thừa cùng cơ số: a^m · a^n = a^(m+n), ví dụ và bài tập

Ngày xưa, có một nhà thông thái đã dạy vua chơi cờ vua. Nhà vua vui lắm, bèn hỏi: “Ngươi muốn được thưởng gì?” Nhà thông thái đáp: “Thần chỉ xin thóc. Ô đầu tiên xin 1 hạt, ô thứ hai xin 2 hạt, ô thứ ba xin 4 hạt, ô thứ tư xin 8 hạt… cứ mỗi ô sau gấp đôi ô trước, cho đến hết 64 ô bàn cờ.” Nhà vua cười lớn: “Chỉ có thế thôi ư, dễ quá!” Nhưng khi quan coi kho tính toán, cả triều đình đều tái mặt: tổng số thóc lên tới khoảng 18 tỉ tỉ hạt, nhiều hơn toàn bộ số thóc cả nước sản xuất trong hàng trăm năm.

Bí mật nằm ở chỗ số hạt tăng theo lũy thừa của 2: ô thứ nhất là 2⁰ = 1 hạt, ô thứ hai là 2¹ = 2 hạt, ô thứ ba là 2² = 4 hạt, ô thứ mười là 2⁹ = 512 hạt… Càng về sau, con số càng phình ra nhanh đến chóng mặt. Và để tính nhanh những phép nhân, phép chia của các lũy thừa như thế, người ta chỉ cần một quy tắc rất gọn: nhân thì cộng số mũ, chia thì trừ số mũ. Bài này sẽ giúp bạn hiểu rõ quy tắc ấy, biết vì sao nó đúng và dùng thành thạo trong mọi bài tập lớp 6.

Nhắc lại: lũy thừa là gì?

Lũy thừa là cách viết gọn của một phép nhân có nhiều thừa số bằng nhau. Với a là số tự nhiên và n là số tự nhiên khác 0, ta viết:

aⁿ = a · a · … · a (n thừa số a)

Trong đó, a được gọi là cơ số, n được gọi là số mũ. Chẳng hạn, 2³ = 2 · 2 · 2 = 8, đọc là “hai mũ ba” hay “lũy thừa bậc ba của hai”. Tương tự, 3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3 = 81, 5² = 5 · 5 = 25, 10³ = 10 · 10 · 10 = 1 000.

Bạn hãy nhớ hai trường hợp đặc biệt rất hay gặp trong bài tập:
a¹ = a với mọi số tự nhiên a, ví dụ 7¹ = 7.
a⁰ = 1 với mọi số tự nhiên a khác 0, ví dụ 9⁰ = 1, 100⁰ = 1. Riêng 0⁰ thì người ta không xét trong chương trình lớp 6.

Vì sao cần viết gọn bằng lũy thừa? Hãy thử viết 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2, bạn sẽ thấy vừa dài vừa dễ đếm nhầm. Viết gọn thành 2¹⁰ thì chỉ còn ba kí tự, lại nhìn một cái là biết ngay có mười thừa số 2. Chính vì thế, lũy thừa xuất hiện khắp nơi: diện tích hình vuông cạnh a là a², thể tích hình lập phương cạnh a là a³, dung lượng bộ nhớ máy tính thường là lũy thừa của 2 như 2¹⁰ = 1 024.

Công thức nhân hai lũy thừa cùng cơ số

Khi nhân hai lũy thừa có cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng các số mũ:

a^m · a^n = a^(m + n)

Vì sao lại như vậy? Hãy nhìn vào một ví dụ cụ thể rồi đếm thừa số. Ta có 3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3 (bốn thừa số 3) và 3² = 3 · 3 (hai thừa số 3). Nhân hai lũy thừa này với nhau, ta được:

3⁴ · 3² = (3 · 3 · 3 · 3) · (3 · 3) = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3

Đếm lại, tích này có 4 + 2 = 6 thừa số 3, tức là bằng 3⁶. Vậy 3⁴ · 3² = 3⁶ = 729. Bạn thấy đấy, số mũ của kết quả (6) chính là tổng của hai số mũ ban đầu (4 + 2). Quy tắc này đúng với mọi cơ số và mọi số mũ tự nhiên, kể cả khi nhân ba, bốn lũy thừa trở lên: a^m · a^n · a^p = a^(m + n + p). Ví dụ, 2³ · 2⁵ · 2² = 2^(3 + 5 + 2) = 2¹⁰ = 1 024.

Một điểm quan trọng cần ghi nhớ: quy tắc chỉ áp dụng khi các lũy thừa có cùng cơ số. Chẳng hạn 2³ · 3³ không thể gộp thành 6⁶ hay 5⁶, vì cơ số 2 và 3 khác nhau. Lúc này ta phải tính riêng từng lũy thừa: 2³ = 8, 3³ = 27, rồi nhân lại 8 · 27 = 216.

Công thức chia hai lũy thừa cùng cơ số

Khi chia hai lũy thừa có cùng cơ số (khác 0), ta giữ nguyên cơ số và lấy số mũ của số bị chia trừ số mũ của số chia:

a^m : a^n = a^(m − n) với a ≠ 0 và m ≥ n

Vì sao lại trừ số mũ? Hãy xem ví dụ 5⁷ : 5³. Viết ra đầy đủ, 5⁷ là tích của bảy thừa số 5, còn 5³ là tích của ba thừa số 5. Khi chia, ba thừa số 5 ở tử số và mẫu số triệt tiêu nhau, còn lại đúng bốn thừa số 5:

5⁷ : 5³ = 5^(7 − 3) = 5⁴ = 625

Kiểm tra lại bằng phép tính thường: 5⁷ = 78 125, 5³ = 125, và 78 125 : 125 = 625, hoàn toàn khớp. Điều kiện m ≥ n là bắt buộc trong chương trình lớp 6, vì nếu số mũ của số chia lớn hơn số mũ của số bị chia, kết quả sẽ là phân số, điều mà ta chưa học tới. Còn khi m = n, ta được a^m : a^m = a⁰ = 1, đúng với quy ước a⁰ = 1 đã nhắc ở trên. Ví dụ, 7⁵ : 7⁵ = 7⁰ = 1, và quả thật một số chia cho chính nó thì bằng 1.

Tóm lại, bạn chỉ cần nhớ một câu thần chú: “Cùng cơ số, nhân thì cộng mũ, chia thì trừ mũ.” Cơ số giữ nguyên, không bao giờ cộng hay trừ cơ số. Nếu bạn muốn kiểm tra nhanh kết quả của mình, hãy dùng máy tính Casio online để bấm lại phép tính và đối chiếu.

Ví dụ 1: Tính cơ bản với công thức gốc

Tính 3⁴ · 3² và 5⁷ : 5³.

Bài giải:
a) 3⁴ · 3² = 3^(4 + 2) = 3⁶ = 729.
Giải thích: hai lũy thừa cùng cơ số 3, nhân thì cộng số mũ: 4 + 2 = 6. Tính giá trị: 3⁶ = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 729. Kiểm tra: 3⁴ = 81, 3² = 9, 81 · 9 = 729, khớp hoàn toàn.
b) 5⁷ : 5³ = 5^(7 − 3) = 5⁴ = 625.
Giải thích: hai lũy thừa cùng cơ số 5, chia thì trừ số mũ: 7 − 3 = 4. Tính giá trị: 5⁴ = 5 · 5 · 5 · 5 = 625. Kiểm tra: 5⁷ = 78 125, 5³ = 125, 78 125 : 125 = 625, khớp hoàn toàn.

Ví dụ 2: Gộp nhiều lũy thừa trong một phép tính

Viết gọn rồi tính giá trị của 2³ · 2⁵ · 2² và 10⁸ : 10² : 10³.

Bài giải:
a) 2³ · 2⁵ · 2² = 2^(3 + 5 + 2) = 2¹⁰ = 1 024.
Giải thích: ba lũy thừa cùng cơ số 2, nhân thì cộng tất cả các số mũ: 3 + 5 + 2 = 10. Tính giá trị: 2¹⁰ = 1 024. Nếu tính tay từng lũy thừa rồi nhân, ta có 8 · 32 · 4 = 1 024, cùng một kết quả nhưng mất nhiều thời gian hơn hẳn.
b) 10⁸ : 10² : 10³ = 10^(8 − 2 − 3) = 10³ = 1 000.
Giải thích: chia liên tiếp thì trừ dần các số mũ: 8 − 2 = 6, rồi 6 − 3 = 3. Kết quả là 10³ = 1 000. Bạn có thể kiểm tra: 10⁸ = 100 000 000, chia cho 10² = 100 được 1 000 000, chia tiếp cho 10³ = 1 000 được 1 000, khớp hoàn toàn.

Ví dụ 3: Tìm số mũ chưa biết

Tìm số tự nhiên x, biết 7^x · 7³ = 7¹⁰ và 9⁸ : 9^x = 9⁵.

Bài giải:
a) 7^x · 7³ = 7¹⁰.
Áp dụng công thức nhân hai lũy thừa cùng cơ số, vế trái bằng 7^(x + 3). Vậy 7^(x + 3) = 7¹⁰, suy ra x + 3 = 10, do đó x = 7.
Thử lại: 7⁷ · 7³ = 7¹⁰, đúng.
b) 9⁸ : 9^x = 9⁵.
Áp dụng công thức chia hai lũy thừa cùng cơ số, vế trái bằng 9^(8 − x). Vậy 9^(8 − x) = 9⁵, suy ra 8 − x = 5, do đó x = 3.
Thử lại: 9⁸ : 9³ = 9⁵, đúng. Dạng bài này rất hay xuất hiện trong đề kiểm tra, vì nó kiểm tra xem bạn có thật sự hiểu quy tắc hay chỉ học vẹt công thức.

Ví dụ 4: Bài toán thực tế — vi khuẩn nhân đôi

Một loại vi khuẩn cứ sau mỗi giờ, số lượng lại tăng gấp đôi. Ban đầu trong ống nghiệm có 100 con vi khuẩn. Hỏi sau 5 giờ, trong ống nghiệm có bao nhiêu con vi khuẩn? (Biết rằng trong 3 giờ đầu, vi khuẩn tăng 2³ lần, và trong 2 giờ tiếp theo, vi khuẩn tăng 2² lần.)

Bài giải:
Sau 3 giờ đầu, số vi khuẩn tăng 2³ = 8 lần.
Trong 2 giờ tiếp theo, số vi khuẩn tăng thêm 2² = 4 lần.
Tổng cộng sau 5 giờ, số vi khuẩn tăng 2³ · 2² = 2^(3 + 2) = 2⁵ = 32 lần.
Số vi khuẩn lúc sau là 100 · 32 = 3 200 con.
Đáp số: 3 200 con vi khuẩn.
Bạn thấy không, thay vì tính lần lượt qua từng giờ (100, 200, 400, 800, 1 600, 3 200), ta chỉ cần một phép nhân lũy thừa là ra ngay đáp số. Đây chính là sức mạnh của lũy thừa trong đời sống: sự tăng trưởng của vi khuẩn, lãi kép ngân hàng, hay dung lượng dữ liệu đều dùng đến nó.

Lũy thừa ở quanh ta: máy tính, tiền gửi và hình học

Lũy thừa không chỉ nằm trong sách giáo khoa. Trong máy tính, dung lượng bộ nhớ được đo bằng lũy thừa của 2: 1 KB bằng 2¹⁰ = 1 024 byte, 1 MB bằng 2²⁰ = 1 048 576 byte, 1 GB bằng 2³⁰ = 1 073 741 824 byte. Đó là lí do ổ cứng 500 GB của bạn chứa được khoảng 500 tỉ byte, và mỗi lần dung lượng tăng gấp đôi thì số mũ lại tăng thêm 10. Trong ngân hàng, lãi kép cũng dùng lũy thừa: gửi 10 000 000 đồng với lãi suất 5% một năm, sau 2 năm số tiền là 10 000 000 · 1,05² = 10 000 000 · 1,1025 = 11 025 000 đồng. Trong hình học, diện tích hình vuông cạnh a là a², thể tích hình lập phương cạnh a là a³: hình vuông cạnh 8 cm có diện tích 8² = 64 cm², hình lập phương cạnh 3 cm có thể tích 3³ = 27 cm³.

Để làm bài nhanh, bạn nên thuộc lòng hai dãy lũy thừa hay gặp nhất. Lũy thừa của 2: 2⁰ = 1, 2¹ = 2, 2² = 4, 2³ = 8, 2⁴ = 16, 2⁵ = 32, 2⁶ = 64, 2⁷ = 128, 2⁸ = 256, 2⁹ = 512, 2¹⁰ = 1 024. Lũy thừa của 10: 10⁰ = 1, 10¹ = 10, 10² = 100, 10³ = 1 000, 10⁴ = 10 000, 10⁵ = 100 000, 10⁶ = 1 000 000. Thuộc hai dãy này, bạn sẽ tính nhẩm được ngay 2⁷ · 2³ = 2¹⁰ = 1 024 hay 10⁵ : 10² = 10³ = 1 000 mà không cần bấm máy. Và khi cần kiểm tra một phép tính lạ, hãy nhớ dùng máy tính Casio online để đối chiếu, đặc biệt với các lũy thừa lớn như 2¹⁵ = 32 768 hay 3⁸ = 6 561.

Lỗi sai thường gặp khi nhân, chia lũy thừa

Dưới đây là bốn lỗi mà học sinh lớp 6 mắc phải nhiều nhất. Bạn hãy đọc kĩ từng lỗi, vì chỉ cần tránh được chúng là bạn đã hơn hẳn nhiều bạn khác rồi.

Lỗi 1: Cộng cả cơ số khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số. Ví dụ sai: 2³ · 2⁴ = 4⁷. Cách đúng: cơ số giữ nguyên là 2, chỉ cộng số mũ: 2³ · 2⁴ = 2⁷ = 128. Kiểm tra: 2³ = 8, 2⁴ = 16, 8 · 16 = 128, khớp. Còn 4⁷ = 16 384, sai hoàn toàn.

Lỗi 2: Nhân các số mũ với nhau thay vì cộng. Ví dụ sai: 3² · 3³ = 3⁶. Cách đúng: 3² · 3³ = 3^(2 + 3) = 3⁵ = 243. Kiểm tra: 3² = 9, 3³ = 27, 9 · 27 = 243, khớp. Còn 3⁶ = 729, sai.

Lỗi 3: Khi chia thì cộng số mũ thay vì trừ. Ví dụ sai: 5⁶ : 5² = 5⁸. Cách đúng: 5⁶ : 5² = 5^(6 − 2) = 5⁴ = 625. Kiểm tra: 5⁶ = 15 625, 5² = 25, 15 625 : 25 = 625, khớp. Còn 5⁸ = 390 625, sai rất xa.

Lỗi 4: Áp dụng công thức cho hai lũy thừa khác cơ số. Ví dụ sai: 2³ · 3² = 6⁵. Cách đúng: khác cơ số thì không gộp được, phải tính riêng: 2³ = 8, 3² = 9, tích bằng 8 · 9 = 72. Còn 6⁵ = 7 776, sai hoàn toàn.

Bài tập tự luyện

Câu 1: Tính 4³ · 4².
A. 4⁵ = 1 024
B. 4⁶ = 4 096
C. 8⁵ = 32 768
D. 16⁵ = 1 048 576

Câu 2: Tính 10⁹ : 10⁴.
A. 10⁵ = 100 000
B. 10¹³ = 10 000 000 000 000
C. 10⁵ = 1 000 000
D. 10⁴ = 10 000

Câu 3: Tìm số tự nhiên x, biết 5^x · 5² = 5⁹.
A. x = 7
B. x = 11
C. x = 4
D. x = 18

Câu 4: Viết gọn rồi tính giá trị của 3 · 3⁴ · 3².
A. 3⁷ = 2 187
B. 3⁶ = 729
C. 9⁷ = 4 782 969
D. 3⁸ = 6 561

Câu 5: Một đàn vi khuẩn tăng gấp đôi mỗi giờ. Ban đầu có 25 con. Hỏi sau 4 giờ có bao nhiêu con vi khuẩn?
A. 400 con
B. 200 con
C. 100 con
D. 800 con

Bảng đáp án

Câu hỏi thường gặp

Câu hỏi 1: Hai lũy thừa khác cơ số có nhân được với nhau không?
Trả lời: Có nhân được, nhưng không dùng được công thức cộng số mũ. Bạn phải tính riêng giá trị từng lũy thừa rồi nhân lại. Ví dụ 2³ · 3² = 8 · 9 = 72. Chỉ khi cùng cơ số mới được cộng số mũ.

Câu hỏi 2: a⁰ bằng bao nhiêu?
Trả lời: a⁰ = 1 với mọi a khác 0. Bạn có thể hiểu qua phép chia: a^m : a^m = a^(m − m) = a⁰, mà một số chia cho chính nó thì bằng 1, nên a⁰ = 1. Ví dụ 5⁰ = 1, 1 000⁰ = 1.

Câu hỏi 3: Số mũ của số chia lớn hơn số mũ của số bị chia thì làm thế nào?
Trả lời: Trong chương trình lớp 6, phép chia đó không thực hiện được dưới dạng lũy thừa với số mũ tự nhiên, vì kết quả sẽ là phân số. Ví dụ 2³ : 2⁵ = 8 : 32 = 1/4, không viết được thành 2 với số mũ tự nhiên. Lên lớp cao hơn bạn sẽ học số mũ âm để viết kết quả này là 2^(−2).

Câu hỏi 4: 2³ · 3³ có bằng 6⁶ không?
Trả lời: Không. 2³ · 3³ = 8 · 27 = 216, còn 6⁶ = 46 656. Đây là lỗi rất phổ biến: nhân cơ số với nhau và nhân số mũ với nhau. Hai lũy thừa khác cơ số thì không gộp được, phải tính riêng từng cái.

Câu hỏi 5: Vì sao nhân lũy thừa thì cộng số mũ mà không nhân số mũ?
Trả lời: Vì số mũ đếm số thừa số. 3⁴ có bốn thừa số 3, 3² có hai thừa số 3, nhân lại thì tổng số thừa số là 4 + 2 = 6, nên kết quả là 3⁶. Nếu nhân số mũ, bạn sẽ được 3⁸, tức là tám thừa số 3, nhiều hơn thực tế. Đếm thừa số là cách chắc chắn nhất để không bao giờ nhầm.

Một mẹo nhỏ cho ngày kiểm tra: trước khi nộp bài, hãy dành một phút kiểm tra lại mọi phép nhân, chia lũy thừa bằng cách đếm thừa số. Viết 2⁵ · 2³ ra giấy nháp thành mười thừa số 2 rồi đếm lại, bạn sẽ biết ngay đáp số phải là 2⁸ chứ không phải 2¹⁵. Với phép chia, hãy thử nhân ngược lại: nếu 10⁷ : 10⁴ = 10³ thì 10³ · 10⁴ phải bằng 10⁷, và quả thật 3 + 4 = 7. Cách kiểm tra ngược này bắt được hầu hết các lỗi cộng nhầm thành nhân, trừ nhầm thành cộng, và chỉ tốn của bạn vài chục giây cho mỗi câu.

Tóm lại, nhân và chia hai lũy thừa cùng cơ số chỉ gói gọn trong một câu: giữ nguyên cơ số, nhân thì cộng số mũ, chia thì trừ số mũ. Nắm chắc câu này, cộng thêm việc đếm thừa số để tự kiểm chứng, bạn sẽ không bao giờ sợ dạng bài lũy thừa nữa. Hãy luyện thêm với năm bài tập ở trên, và khi gặp bài khó hơn như tìm số mũ chưa biết hay bài toán vi khuẩn nhân đôi, bạn sẽ thấy mọi thứ đều quay về đúng một quy tắc duy nhất ấy.