Sáng nay bạn bước lên cân điện tử trong phòng tắm, màn hình hiện 52,4 kg. Bạn bước xuống, bước lên lại, lần này nó hiện 52,5 kg. Cơ thể bạn có nặng thêm 0,1 kg chỉ trong vài giây không? Dĩ nhiên là không. Con số bạn đọc được không phải là khối lượng thật của bạn, mà chỉ là một số gần đúng mà cái cân đo được. Mọi phép đo trong đời sống đều như vậy: thước kẻ, đồng hồ bấm giờ, nhiệt kế, cân điện tử — không có dụng cụ nào cho bạn con số chính xác tuyệt đối. Bài này sẽ giúp bạn trả lời ba câu hỏi mà bất kì ai làm việc với số liệu đo đạc cũng phải biết: số bạn đo được lệch khỏi số thật bao nhiêu, mức lệch đó có đáng kể hay không, và làm sao để biết một phép đo đủ chính xác để tin tưởng.
Trong chương trình Toán 10, ba khái niệm sai số tuyệt đối, sai số tương đối và độ chính xác chính là bộ công cụ để trả lời ba câu hỏi đó. Sai số tuyệt đối cho bạn biết khoảng lệch tính bằng đơn vị đo, sai số tương đối cho bạn biết khoảng lệch đó lớn hay nhỏ so với chính giá trị đang đo, còn độ chính xác cho bạn biết số thật đang nằm trong khoảng nào quanh số đo được. Ba khái niệm này nghe có vẻ khô khan, nhưng chúng xuất hiện trong mọi lĩnh vực: bác sĩ đọc kết quả xét nghiệm, kĩ sư đo chiều dài một cây cầu, thủ kho cân một bao hàng, hay đơn giản là bạn xem đồng hồ để biết mình còn bao nhiêu phút trước giờ vào lớp. Nắm chắc ba công thức trong bài này, bạn sẽ không bao giờ còn lúng túng khi đề thi hỏi về sai số nữa.
Sai số bắt đầu từ đâu: số đúng và số gần đúng
Trước khi nói đến sai số, bạn cần phân biệt hai khái niệm nền tảng: số đúng và số gần đúng. Số đúng, kí hiệu là ā, là giá trị thật sự của đại lượng cần đo, chẳng hạn như chiều dài thật của một cái bàn hay khối lượng thật của một quả cân. Số gần đúng, kí hiệu là a, là giá trị mà bạn đo được hoặc tính được, chẳng hạn như con số hiện trên màn hình cân hay trên thước dây. Trong thực tế, bạn gần như không bao giờ biết chính xác số đúng là bao nhiêu, vì mọi dụng cụ đo đều có giới hạn. Bạn chỉ biết số gần đúng của mình đang ở gần số đúng, và nhiệm vụ của bạn là đánh giá xem nó gần đến mức nào.
Sai số tuyệt đối của số gần đúng a, kí hiệu là Δa, được định nghĩa bằng công thức Δa = |ā − a|, tức là giá trị tuyệt đối của hiệu giữa số đúng và số gần đúng. Dấu giá trị tuyệt đối ở đây rất quan trọng: nó đảm bảo sai số tuyệt đối luôn là một số không âm, cho dù số đúng lớn hơn hay nhỏ hơn số gần đúng. Bạn hãy hình dung trên trục số: sai số tuyệt đối chính là khoảng cách giữa hai điểm a và ā, mà khoảng cách thì không bao giờ âm. Nếu bạn đo được 10 mà số đúng là 10,2 thì sai số tuyệt đối bằng 0,2; nếu bạn đo được 10,2 mà số đúng là 10 thì sai số tuyệt đối vẫn bằng 0,2. Hai trường hợp lệch về hai phía khác nhau nhưng có cùng một sai số tuyệt đối, vì khoảng cách thì như nhau.
Tuy nhiên, chỉ biết sai số tuyệt đối thôi thì chưa đủ để đánh giá một phép đo có tốt hay không. Bạn hãy so sánh hai phép đo: phép đo thứ nhất lệch 0,2 khi đo một vật dài 10, phép đo thứ hai cũng lệch 0,2 nhưng khi đo một vật dài 1000. Cả hai đều có sai số tuyệt đối bằng 0,2, nhưng phép đo thứ hai tốt hơn rất nhiều, vì mức lệch 0,2 chẳng đáng là bao so với 1000, trong khi nó lại khá lớn so với 10. Để so sánh công bằng, người ta dùng sai số tương đối, kí hiệu là δa, được tính bằng công thức δa = Δa / |ā|, và thường được viết dưới dạng phần trăm. Sai số tương đối càng nhỏ thì phép đo càng chính xác, vì vậy khi so sánh hai phép đo khác nhau, bạn luôn phải nhìn vào sai số tương đối chứ không phải sai số tuyệt đối.
Trong thực tế, bạn thường không biết số đúng ā, nên bạn cũng không tính được chính xác sai số tuyệt đối Δa. Khi đó, người ta dùng độ chính xác d, là một số dương mà nhà sản xuất dụng cụ hoặc người đo cam kết rằng sai số tuyệt đối không vượt quá nó, tức là Δa ≤ d. Từ đó, bạn suy ra số đúng ā phải nằm trong khoảng [a − d; a + d], nghĩa là a − d ≤ ā ≤ a + d. Ví dụ, một cái thước có độ chính xác 0,05 cm, bạn đo được một đoạn thẳng dài 5,25 cm thì chiều dài thật của nó nằm trong khoảng từ 5,20 cm đến 5,30 cm. Khoảng này càng hẹp thì phép đo càng chính xác, và đó chính là ý nghĩa thực tế của độ chính xác d: nó cho bạn biết số đúng đang trốn ở đâu quanh số đo được của bạn.
Bạn hãy ghi nhớ mối quan hệ giữa ba khái niệm này như một chuỗi suy luận: số gần đúng a là điểm xuất phát, sai số tuyệt đối Δa đo khoảng lệch bằng đơn vị đo, sai số tương đối δa đo mức lệch đó theo tỉ lệ phần trăm, còn độ chính xác d là giới hạn trên của sai số tuyệt đối mà bạn có thể cam kết. Khi làm bài tập, bạn hãy đọc kĩ đề bài xem nó cho bạn cái nào: nếu đề cho cả số đúng và số gần đúng thì bạn tính được cả Δa và δa; nếu đề chỉ cho số gần đúng và độ chính xác d thì bạn chỉ viết được khoảng chứa số đúng và ước lượng được sai số tương đối tối đa. Phân biệt rõ hai tình huống này sẽ giúp bạn không bao giờ viết nhầm công thức. Khi cần tính nhanh các phép chia trong bài tập sai số, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ kiểm tra lại kết quả.
Bốn tình huống đo đạc trong đời sống
Ví dụ 1 (dùng đúng số liệu mẫu): Số gần đúng a = 10, số đúng ā = 10,2. Tính sai số tuyệt đối Δa và sai số tương đối δa.
Bạn tính sai số tuyệt đối trước: Δa = |ā − a| = |10,2 − 10| = 0,2. Tiếp theo, bạn tính sai số tương đối: δa = Δa / |ā| = 0,2 / 10,2 ≈ 0,0196, viết dưới dạng phần trăm là khoảng 1,96%. Vậy phép đo này lệch 0,2 đơn vị so với số đúng, tương đương với mức lệch khoảng 1,96%. Bạn hãy kiểm tra lại phép chia: 0,2 chia cho 10,2 bằng 20 chia cho 1020, rút gọn được 1 chia cho 51, và 1 / 51 ≈ 0,0196, nhân với 100 được 1,96%. Đây là ví dụ mẫu đơn giản nhất, nhưng nó chứa toàn bộ quy trình: lấy trị tuyệt đối của hiệu để được sai số tuyệt đối, rồi chia cho giá trị tuyệt đối của số đúng để được sai số tương đối.
Ví dụ 2 (đo chiều dài với độ chính xác cho trước): Một học sinh đo chiều dài của một thanh gỗ được a = 5,25 m với độ chính xác d = 0,05 m. Viết khoảng chứa số đúng và ước lượng sai số tương đối.
Bạn biết số đúng ā nằm trong khoảng [a − d; a + d] = [5,25 − 0,05; 5,25 + 0,05] = [5,20; 5,30], tức là chiều dài thật của thanh gỗ nằm trong khoảng từ 5,20 m đến 5,30 m. Sai số tuyệt đối thỏa mãn Δa ≤ 0,05, nên sai số tương đối thỏa mãn δa = Δa / |ā| ≤ 0,05 / 5,25 ≈ 0,0095, tức là không vượt quá khoảng 0,95%. Bạn hãy để ý: vì bạn không biết chính xác ā bằng bao nhiêu nên bạn chỉ ước lượng được giới hạn trên của sai số tương đối, chứ không tính được giá trị chính xác của nó. Trong bài tập dạng này, đáp án đúng thường được viết dưới dạng bất đẳng thức hoặc khoảng giá trị, chứ không phải một con số duy nhất.
Ví dụ 3 (số đúng nhỏ hơn số gần đúng): Số gần đúng a = 100, số đúng ā = 98. Tính sai số tuyệt đối và sai số tương đối.
Bạn tính sai số tuyệt đối: Δa = |ā − a| = |98 − 100| = |−2| = 2. Nhiều bạn quên dấu giá trị tuyệt đối ở bước này và viết đáp án là âm 2, nhưng sai số tuyệt đối không bao giờ âm, vì vậy bạn phải lấy trị tuyệt đối của hiệu. Tiếp theo, sai số tương đối bằng δa = Δa / |ā| = 2 / 98 ≈ 0,0204, tức là khoảng 2,04%. Bạn hãy so sánh với ví dụ 1: sai số tuyệt đối ở đây lớn gấp 10 lần, nhưng vì số đúng cũng lớn hơn nhiều nên sai số tương đối chỉ nhỉnh hơn một chút, 2,04% so với 1,96%. Đây chính là lí do vì sao người ta luôn dùng sai số tương đối để so sánh các phép đo có quy mô khác nhau.
Ví dụ 4 (phép đo nào chính xác hơn): Phép đo A cho số gần đúng a = 10 với độ chính xác d = 0,1. Phép đo B cho số gần đúng a = 1000 với độ chính xác d = 1. Hỏi phép đo nào chính xác hơn?
Bạn đừng vội trả lời phép đo A vì độ chính xác 0,1 nhỏ hơn 1. Bạn hãy tính sai số tương đối tối đa của từng phép đo. Với phép đo A, δa ≤ 0,1 / 10 = 0,01, tức là 1%. Với phép đo B, δa ≤ 1 / 1000 = 0,001, tức là 0,1%. Sai số tương đối của phép đo B nhỏ hơn gấp 10 lần so với phép đo A, nên phép đo B chính xác hơn, mặc dù độ chính xác d của nó lớn hơn. Bài học ở đây rất thực tế: một cái cân đo hàng tấn có thể lệch đến 1 kg vẫn tốt hơn một cái cân nhà bếp lệch 0,1 kg khi cân một gói đường, vì mức lệch phải được xét theo tỉ lệ với thứ đang đo. Nếu muốn ôn lại cách làm tròn số trước khi đo đạc, bạn hãy xem bài quy tắc làm tròn số trên ClassOn.
Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Quên dấu giá trị tuyệt đối khi tính sai số tuyệt đối.
Nhiều bạn tính Δa = ā − a mà không lấy trị tuyệt đối, nên khi số đúng nhỏ hơn số gần đúng thì đáp án ra số âm. Cách tránh: bạn hãy viết công thức Δa = |ā − a| ra giấy nháp trước khi thay số, và gạch chân hai dấu gạch dọc của trị tuyệt đối để nhắc mình. Bạn hãy nhớ: sai số tuyệt đối là một khoảng cách, mà khoảng cách thì không bao giờ âm.
Lỗi 2: Chia sai số tuyệt đối cho số gần đúng thay vì số đúng.
Nhiều bạn tính sai số tương đối bằng Δa / |a| thay vì Δa / |ā|. Cách tránh: bạn hãy nhớ mẫu số của sai số tương đối là số đúng ā, vì bạn đang so sánh mức lệch với giá trị thật của đại lượng. Trong ví dụ mẫu, chia cho 10,2 cho ra 1,96%, còn chia nhầm cho 10 thì ra 2%, sai lệch tuy nhỏ nhưng vẫn bị trừ điểm trong bài kiểm tra.
Lỗi 3: Nhầm độ chính xác d với sai số tuyệt đối Δa.
Nhiều bạn thấy đề bài cho d = 0,05 thì viết ngay Δa = 0,05. Cách tránh: bạn hãy nhớ d chỉ là giới hạn trên của sai số tuyệt đối, tức là Δa ≤ d, chứ không phải Δa bằng d. Sai số tuyệt đối thật sự có thể nhỏ hơn d rất nhiều, bạn chỉ biết chắc là nó không vượt quá d mà thôi. Khi đề bài hỏi khoảng chứa số đúng, bạn dùng d để viết [a − d; a + d], chứ không được khẳng định số đúng bằng một đầu mút nào đó của khoảng.
Lỗi 4: So sánh độ chính xác của hai phép đo bằng sai số tuyệt đối.
Nhiều bạn thấy phép đo nào có d nhỏ hơn thì cho là chính xác hơn, bất kể hai phép đo có cùng quy mô hay không. Cách tránh: bạn hãy nhớ muốn so sánh hai phép đo khác quy mô thì phải dùng sai số tương đối. Một phép đo có d = 1 khi đo một vật dài 1000 vẫn chính xác hơn một phép đo có d = 0,1 khi đo một vật dài 10, vì sai số tương đối của phép đo thứ nhất chỉ bằng 0,1% trong khi phép đo thứ hai lên tới 1%.
Lỗi 5: Viết sai số tương đối dưới dạng số thập phân mà đề bài hỏi phần trăm, hoặc ngược lại.
Nhiều bạn tính ra 0,0196 rồi viết đáp án là 0,0196% hoặc viết 1,96 mà không có dấu phần trăm. Cách tránh: bạn hãy đọc kĩ đề bài xem nó hỏi dạng nào. Nếu đề hỏi phần trăm thì bạn nhân kết quả thập phân với 100 rồi thêm dấu %, ví dụ 0,0196 thành 1,96%. Nếu đề hỏi dạng thập phân thì bạn giữ nguyên 0,0196. Một thói quen tốt là sau khi tính xong, bạn tự hỏi: đáp án của mình có đơn vị đúng với câu hỏi không?
Năm bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ ba công thức: Δa = |ā − a|, δa = Δa / |ā|, và ā ∈ [a − d; a + d].
Câu 1: Số gần đúng a = 10, số đúng ā = 10,2. Sai số tuyệt đối Δa bằng bao nhiêu?
A. 0,2
B. 0,1
C. 20,2
D. 2
Câu 2: Số gần đúng a = 10, số đúng ā = 10,2. Sai số tương đối δa gần bằng bao nhiêu?
A. 2%
B. 0,196%
C. 1,96%
D. 19,6%
Câu 3: Đo chiều dài được a = 5,25 m với độ chính xác d = 0,05 m. Số đúng ā nằm trong khoảng nào?
A. [5,25; 5,30]
B. [5,20; 5,30]
C. [5,20; 5,25]
D. [5,30; 5,35]
Câu 4: Số gần đúng a = 50, số đúng ā = 50,5. Sai số tương đối δa gần bằng bao nhiêu?
A. 1,01%
B. 0,5%
C. 5%
D. 0,99%
Câu 5: Sai số tuyệt đối Δa có thể nhận giá trị âm không?
A. Không, Δa luôn lớn hơn hoặc bằng 0
B. Có, khi ā nhỏ hơn a
C. Có, khi a là số âm
D. Δa luôn bằng 0
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | A | C | B | D | A |
Giải thích Câu 1 — Đáp án A (0,2) đúng: Bạn tính Δa = |ā − a| = |10,2 − 10| = 0,2. Đáp án B (0,1) sai vì bạn đã lấy một nửa của hiệu, có thể do nhầm với một nửa khoảng cách. Đáp án C (20,2) sai vì bạn đã cộng hai số với nhau thay vì trừ, tức là tính 10,2 + 10 = 20,2. Đáp án D (2) sai vì bạn đã bỏ dấu phẩy thập phân, tính 102 − 100 = 2 thay vì 10,2 − 10 = 0,2.
Giải thích Câu 2 — Đáp án C (1,96%) đúng: Bạn tính δa = Δa / |ā| = 0,2 / 10,2 ≈ 0,0196, nhân với 100 được khoảng 1,96%. Đáp án A (2%) sai vì bạn đã chia 0,2 cho 10 thay vì chia cho 10,2, tức là lấy số gần đúng làm mẫu số. Đáp án B (0,196%) sai vì bạn đã chia 0,2 cho 102 thay vì 10,2, tức là nhân mẫu số lên 10 lần. Đáp án D (19,6%) sai vì bạn đã quên chia cho 10,2 mà chỉ nhân 0,2 với 100 rồi viết thêm dấu phần trăm, tức là tính 0,2 × 100% = 20% rồi làm tròn sai thành 19,6%.
Giải thích Câu 3 — Đáp án B ([5,20; 5,30]) đúng: Bạn tính khoảng chứa số đúng: [a − d; a + d] = [5,25 − 0,05; 5,25 + 0,05] = [5,20; 5,30]. Đáp án A ([5,25; 5,30]) sai vì bạn chỉ cộng d vào a mà quên trừ d, tức là bỏ mất nửa dưới của khoảng. Đáp án C ([5,20; 5,25]) sai vì bạn chỉ trừ d khỏi a mà quên cộng d, tức là bỏ mất nửa trên của khoảng. Đáp án D ([5,30; 5,35]) sai vì bạn đã lấy [a + d; a + 2d], tức là dịch chuyển cả khoảng lên trên một đoạn bằng d.
Giải thích Câu 4 — Đáp án D (0,99%) đúng: Bạn tính sai số tuyệt đối trước: Δa = |50,5 − 50| = 0,5. Sau đó, sai số tương đối bằng δa = 0,5 / 50,5 ≈ 0,0099, tức là khoảng 0,99%. Đáp án A (1,01%) sai vì bạn đã chia 0,5 cho 49,5 thay vì 50,5, tức là lấy a − Δa làm mẫu số. Đáp án B (0,5%) sai vì bạn đã lấy chính sai số tuyệt đối 0,5 rồi gắn thêm dấu phần trăm mà không chia cho số đúng. Đáp án C (5%) sai vì bạn đã tính 0,5 / 10 = 0,05, tức là chia cho một số không liên quan đến đề bài.
Giải thích Câu 5 — Đáp án A (không, Δa luôn lớn hơn hoặc bằng 0) đúng: Theo định nghĩa Δa = |ā − a|, dấu giá trị tuyệt đối đảm bảo kết quả không bao giờ âm, cho dù số đúng lớn hơn hay nhỏ hơn số gần đúng. Đáp án B sai vì khi ā nhỏ hơn a thì hiệu ā − a âm, nhưng sau khi lấy trị tuyệt đối thì Δa vẫn dương. Đáp án C sai vì dấu của a không ảnh hưởng gì đến dấu của Δa, do công thức đã có trị tuyệt đối bao quanh hiệu. Đáp án D sai vì Δa chỉ bằng 0 khi số gần đúng trùng khớp hoàn toàn với số đúng, điều này gần như không bao giờ xảy ra trong thực tế.
Giải đáp thắc mắc về sai số và độ chính xác
Hỏi: Vì sao cân điện tử đo hai lần lại cho hai kết quả khác nhau?
Đáp: Vì mọi dụng cụ đo đều có sai số, và mỗi lần đo là một lần dụng cụ làm tròn kết quả theo độ chính xác của nó. Cơ thể bạn không thay đổi trong vài giây, nhưng con số hiển thị dao động quanh khối lượng thật của bạn trong một khoảng nhỏ. Khoảng dao động đó chính là biểu hiện của sai số tuyệt đối, và nó càng nhỏ thì cái cân càng tốt.
Hỏi: Sai số tuyệt đối và sai số tương đối, cái nào quan trọng hơn?
Đáp: Cả hai đều quan trọng nhưng dùng trong hai tình huống khác nhau. Sai số tuyệt đối cho bạn biết mức lệch tính bằng đơn vị đo, rất tiện khi bạn cần biết số đúng đang nằm trong khoảng nào. Sai số tương đối cho bạn biết mức lệch đó có đáng kể hay không, và nó là tiêu chuẩn để so sánh các phép đo có quy mô khác nhau. Khi đề bài hỏi phép đo nào chính xác hơn, bạn luôn phải dùng sai số tương đối.
Hỏi: Độ chính xác d càng nhỏ thì càng tốt, có đúng không?
Đáp: Đúng, nhưng chỉ khi so sánh các phép đo cùng một đại lượng và cùng quy mô. Độ chính xác d càng nhỏ thì khoảng [a − d; a + d] chứa số đúng càng hẹp, nghĩa là bạn biết số đúng rõ ràng hơn. Tuy nhiên, khi so sánh hai phép đo khác quy mô, bạn vẫn phải nhìn vào sai số tương đối, vì một phép đo có d lớn vẫn có thể chính xác hơn nếu đại lượng nó đo cũng lớn hơn rất nhiều.
Hỏi: Có thể tính được sai số tuyệt đối chính xác khi không biết số đúng không?
Đáp: Không. Khi bạn không biết số đúng ā thì bạn không thể tính được Δa = |ā − a| một cách chính xác. Những gì bạn làm được là dùng độ chính xác d để giới hạn nó: Δa ≤ d, và từ đó viết khoảng chứa số đúng là [a − d; a + d]. Đây là lí do vì sao các nhà sản xuất dụng cụ đo luôn ghi độ chính xác trên bao bì: để người dùng biết sai số của mình tối đa là bao nhiêu.
Hỏi: Học về sai số để làm gì trong các bài sau?
Đáp: Sai số là nền tảng của thống kê và của mọi phép đo trong khoa học. Khi bạn học về số trung bình, phương sai hay độ lệch chuẩn, bạn sẽ gặp lại ý tưởng so sánh một giá trị với giá trị thật của nó. Trong đời sống, hiểu về sai số giúp bạn đọc kết quả xét nghiệm, đánh giá độ tin cậy của một cuộc khảo sát, hay đơn giản là biết vì sao hai cái cân trong nhà lại cho hai con số khác nhau.
Kết luận
Sai số của một số gần đúng gói gọn trong ba công thức: sai số tuyệt đối Δa = |ā − a|, sai số tương đối δa = Δa / |ā| thường viết theo phần trăm, và độ chính xác d cho biết số đúng ā nằm trong khoảng [a − d; a + d]. Bạn hãy nhớ ba điều: sai số tuyệt đối không bao giờ âm nhờ dấu giá trị tuyệt đối, sai số tương đối mới là thước đo công bằng khi so sánh các phép đo khác quy mô, và độ chính xác d chỉ là giới hạn trên của sai số tuyệt đối chứ không phải chính nó. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để tính sai số tuyệt đối và sai số tương đối, viết khoảng chứa số đúng và kết luận phép đo nào chính xác hơn trong bất kì bài toán nào của chương trình Toán 10 — và hiểu thêm vì sao cái cân trong phòng tắm cứ mỗi lần lại cho bạn một con số hơi khác nhau.