Bạn đã bao giờ đẩy một chiếc tủ nặng trượt trên sàn nhà chưa? Bạn dùng sức theo một hướng, chiếc tủ lại trượt theo một hướng khác, và chỉ một phần lực của bạn thực sự làm chiếc tủ di chuyển. Phần lực còn lại bị lãng phí, ép chiếc tủ xuống sàn mà chẳng giúp nó đi xa thêm chút nào. Trong Toán học lớp 10, người ta có một phép tính sinh ra đúng để đo phần lực có ích đó: tích vô hướng của hai vectơ. Nó cho bạn biết hai vectơ cùng hướng với nhau đến mức nào, và kết quả của nó là một con số, không phải một mũi tên nữa. Bài này sẽ giúp bạn nắm chắc công thức, tính chất và cách dùng tích vô hướng để giải bài tập, từ những phép tính đơn giản nhất đến việc chứng minh hai đường thẳng vuông góc.
Tích vô hướng xuất hiện ở khắp nơi trong chương trình Toán 10 và cả Vật lí: công của một lực được tính bằng tích vô hướng của lực và độ dời, góc giữa hai đường thẳng được tìm ra nhờ tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương, và điều kiện vuông góc cũng được viết gọn lại thành một đẳng thức bằng không. Nếu bạn chỉ học thuộc công thức mà không hiểu vì sao nó lại có dạng đó, bạn sẽ rất dễ nhầm lẫn khi gặp bài tập tọa độ hoặc bài tập chứng minh. Vì vậy, trong bài này, chúng ta sẽ đi từ ý nghĩa hình học của tích vô hướng, rồi mới đến công thức tọa độ, các tính chất quan trọng, bốn ví dụ tính từng bước, năm lỗi sai mà học sinh hay mắc nhất, và cuối cùng là năm bài tập tự luyện có đáp án giải thích cặn kẽ như một buổi chữa bài trên lớp.
Tích vô hướng là gì — một con số, không phải một mũi tên
Cho hai vectơ a và b khác vectơ không. Tích vô hướng của hai vectơ a và b, kí hiệu là a·b, được định nghĩa bằng công thức a·b = |a|·|b|·cos(a, b), trong đó |a| và |b| là độ dài của hai vectơ, còn (a, b) là góc giữa hai vectơ, lấy giá trị từ 0 độ đến 180 độ. Bạn hãy đọc công thức này theo nghĩa đời thường: tích vô hướng lấy độ dài của vectơ thứ nhất nhân với độ dài của vectơ thứ hai, rồi nhân thêm với cosin của góc xen giữa chúng. Vì cosin là một số, nên kết quả cuối cùng cũng là một số. Đây là điểm khác biệt lớn nhất so với phép cộng hay phép trừ vectơ, vốn cho ra một vectơ mới: tích vô hướng cho ra một số vô hướng, vì vậy nó mới có tên là tích vô hướng.
Bạn hãy tưởng tượng hai vectơ cùng hướng, góc giữa chúng bằng 0 độ. Khi đó cosin bằng 1, tích vô hướng bằng đúng tích hai độ dài, đạt giá trị lớn nhất có thể. Ngược lại, nếu hai vectơ ngược hướng nhau, góc giữa chúng bằng 180 độ, cosin bằng âm 1, tích vô hướng bằng âm của tích hai độ dài. Còn khi hai vectơ vuông góc với nhau, góc bằng 90 độ, cosin bằng 0, tích vô hướng bằng 0. Ba trường hợp đặc biệt này chính là chìa khóa để bạn đoán nhanh dấu của tích vô hướng trước khi tính: góc nhọn thì tích vô hướng dương, góc tù thì tích vô hướng âm, góc vuông thì tích vô hướng bằng 0. Nhiều học sinh chỉ nhớ công thức mà quên mất ý nghĩa này, nên khi đề bài hỏi dấu của tích vô hướng, các bạn lại lúng túng dù chỉ cần nhìn góc là trả lời được ngay.
Từ định nghĩa, người ta rút ra một tính chất vô cùng quan trọng: hai vectơ a và b vuông góc với nhau khi và chỉ khi a·b = 0. Tính chất này biến một câu hỏi hình học thành một phép tính số học: muốn kiểm tra hai đường thẳng có vuông góc hay không, bạn chỉ cần lấy hai vectơ chỉ phương của chúng, tính tích vô hướng, rồi xem kết quả có bằng 0 hay không. Trong bài tập tọa độ, tính chất này càng tiện lợi hơn nữa, vì bạn không cần vẽ hình mà vẫn kết luận được tính vuông góc một cách chắc chắn. Bạn hãy nhớ kĩ: điều kiện a·b = 0 chỉ đúng khi cả hai vectơ đều khác vectơ không, vì vectơ không thì vuông góc với mọi vectơ theo quy ước, nhưng bài tập thường chỉ xét các vectơ khác không.
Một tính chất khác cũng hay xuất hiện trong đề thi là bình phương vô hướng của một vectơ: a² = a·a = |a|². Bạn hãy kiểm chứng: theo định nghĩa, a·a = |a|·|a|·cos(a, a), mà góc giữa một vectơ với chính nó bằng 0 độ, cosin bằng 1, nên kết quả bằng |a|·|a| = |a|². Tính chất này cho bạn một cách tính độ dài vectơ mà không cần dùng đến tọa độ: nếu đề bài cho a·a hoặc a², bạn chỉ cần lấy căn bậc hai là ra độ dài của vectơ a. Ngược lại, nếu đề bài cho độ dài, bạn cũng tính được ngay bình phương vô hướng. Ví dụ, một vectơ có độ dài bằng 5 thì bình phương vô hướng của nó bằng 25, và một vectơ có bình phương vô hướng bằng 16 thì độ dài của nó bằng 4.
Khi hai vectơ được cho bằng tọa độ trong mặt phẳng Oxy, tích vô hướng có một công thức tính rất gọn. Nếu a = (x₁; y₁) và b = (x₂; y₂) thì a·b = x₁·x₂ + y₁·y₂. Bạn chỉ cần nhân hoành độ với hoành độ, tung độ với tung độ, rồi cộng hai kết quả lại với nhau. Công thức này thực ra cũng suy ra từ định nghĩa, nhưng trong bài tập trắc nghiệm, bạn sẽ dùng nó nhiều hơn hẳn công thức góc, vì đề bài thường cho tọa độ sẵn. Từ công thức tọa độ, bạn cũng suy ra ngay công thức tính góc giữa hai vectơ: cos(a, b) = (x₁·x₂ + y₁·y₂) / (|a|·|b|), trong đó |a| = √(x₁² + y₁²) và |b| = √(x₂² + y₂²). Bạn hãy ghi nhớ cả hai công thức này, vì chúng là cặp đôi không thể tách rời trong mọi bài tập tọa độ về tích vô hướng. Khi cần tính nhanh các phép nhân trong bài tập tọa độ, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ kiểm tra lại kết quả.
Tích vô hướng còn có ba tính chất giống như phép nhân các số thông thường, và bạn nên thuộc lòng cả ba. Thứ nhất là tính giao hoán: a·b = b·a, nghĩa là đổi thứ tự hai vectơ thì kết quả không thay đổi. Thứ hai là tính chất với một số thực k: (k·a)·b = k·(a·b) = a·(k·b), nghĩa là bạn có thể đưa hệ số ra ngoài dấu tích vô hướng một cách tự do. Thứ ba là tính phân phối đối với phép cộng vectơ: a·(b + c) = a·b + a·c. Ba tính chất này giúp bạn khai triển các biểu thức như (a + b)² hay (a − b)·(a + b) giống hệt như khai triển hằng đẳng thức với các số thông thường, chỉ khác ở chỗ a² ở đây hiểu là |a|². Nhờ đó, nhiều bài toán chứng minh hình học trở nên rất ngắn gọn: bạn chỉ cần biến đổi đại số trên các tích vô hướng là xong, không cần vẽ thêm đường phụ phức tạp.
Bốn ví dụ tính từng bước, từ dễ đến khó
Ví dụ 1 (dùng đúng số liệu mẫu): Cho hai vectơ a và b có |a| = 2, |b| = 3 và góc giữa hai vectơ bằng 60°. Tính a·b.
Bạn áp dụng trực tiếp định nghĩa: a·b = |a|·|b|·cos(a, b) = 2·3·cos60°. Bạn nhớ cos60° = 1/2, nên a·b = 2·3·(1/2) = 3. Vậy tích vô hướng của hai vectơ bằng 3. Bạn hãy kiểm tra lại ý nghĩa: góc 60° là góc nhọn nên tích vô hướng phải dương, và kết quả 3 là số dương, phù hợp. Nếu bạn tính ra một số âm ở đây thì chắc chắn bạn đã nhầm giá trị cosin, vì cos60° là một số dương. Đây là ví dụ mẫu đơn giản nhất, nhưng nó chứa toàn bộ tinh thần của định nghĩa: nhân hai độ dài với cosin của góc xen giữa.
Ví dụ 2 (tính bằng tọa độ và tìm góc): Cho a = (1; 2) và b = (3; 4). Tính a·b rồi suy ra cosin của góc giữa hai vectơ.
Bạn dùng công thức tọa độ: a·b = 1·3 + 2·4 = 3 + 8 = 11. Tiếp theo, bạn tính độ dài của từng vectơ: |a| = √(1² + 2²) = √5, còn |b| = √(3² + 4²) = √25 = 5. Bạn thay vào công thức tính góc: cos(a, b) = (a·b) / (|a|·|b|) = 11 / (5√5). Bạn có thể viết gọn lại thành 11√5 / 25, và tính gần đúng bằng 11 / (5 × 2,236) = 11 / 11,18 ≈ 0,984. Vì cosin gần bằng 1 nên góc giữa hai vectơ rất nhỏ, khoảng 10,3°. Bạn thấy không, chỉ với vài phép nhân và một phép chia, bạn đã tìm được cả tích vô hướng lẫn góc giữa hai vectơ mà không cần vẽ hình.
Ví dụ 3 (chứng minh vuông góc): Cho a = (2; 3) và b = (−3; 2). Chứng minh a vuông góc với b.
Bạn tính tích vô hướng bằng tọa độ: a·b = 2·(−3) + 3·2 = −6 + 6 = 0. Vì a·b = 0 và cả hai vectơ đều khác vectơ không nên a vuông góc với b. Bạn hãy để ý một mẹo nhỏ rất hay gặp trong đề thi: khi hai vectơ có tọa độ hoán đổi cho nhau và đổi dấu một thành phần, tích vô hướng thường bằng 0. Ở đây, vectơ b = (−3; 2) chính là vectơ a = (2; 3) sau khi đổi chỗ hai thành phần và đổi dấu thành phần thứ nhất. Mẹo này giúp bạn đoán nhanh đáp án trong bài trắc nghiệm, nhưng khi trình bày tự luận, bạn vẫn phải viết đầy đủ phép tính như trên, vì đáp án đúng mà không có lập luận thì không được điểm trọn vẹn.
Ví dụ 4 (tìm góc khi biết tích vô hướng): Cho hai vectơ a và b có |a| = 4, |b| = 5 và a·b = 10. Tính góc giữa hai vectơ a và b.
Bạn bắt đầu từ định nghĩa: a·b = |a|·|b|·cos(a, b), nên cos(a, b) = (a·b) / (|a|·|b|) = 10 / (4·5) = 10 / 20 = 0,5. Bạn nhớ cosin bằng 0,5 thì góc bằng 60°, vì cos60° = 1/2. Vậy góc giữa hai vectơ a và b bằng 60°. Bạn có thể kiểm tra thêm bằng bình phương vô hướng: a² = |a|² = 16 và b² = |b|² = 25, nếu cần tính độ dài của vectơ tổng a + b thì bạn dùng công thức |a + b|² = a² + 2·a·b + b² = 16 + 2·10 + 25 = 61, nên |a + b| = √61 ≈ 7,81. Dạng bài này rất hay xuất hiện trong đề kiểm tra, vì nó kiểm tra cùng lúc cả định nghĩa, cả giá trị cosin của góc đặc biệt, cả tính chất bình phương vô hướng.
Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Nhầm tích vô hướng với một vectơ.
Nhiều bạn thấy phép nhân hai vectơ thì nghĩ kết quả cũng là một vectơ, rồi cố gắng tìm hướng và độ dài của nó. Cách tránh: bạn hãy nhớ tích vô hướng cho ra một con số, không có hướng, không có điểm đặt. Mỗi lần tính xong, bạn tự hỏi: kết quả của mình có phải là một số không? Nếu bạn viết đáp án dưới dạng một cặp tọa độ thì chắc chắn bạn đã nhầm với phép cộng vectơ hoặc phép nhân vectơ với một số.
Lỗi 2: Quên nhân với cosin của góc xen giữa.
Nhiều bạn tính a·b bằng cách nhân hai độ dài với nhau rồi dừng lại, bỏ quên thừa số cos(a, b). Cách tránh: bạn hãy viết đầy đủ công thức a·b = |a|·|b|·cos(a, b) ra giấy nháp trước khi thay số, và gạch chân thừa số cosin để nhắc mình không được bỏ sót. Với ví dụ mẫu |a| = 2, |b| = 3, góc 60°, nếu quên cosin thì bạn sẽ ra 6 thay vì 3, sai gấp đôi đáp án đúng.
Lỗi 3: Dùng sai góc giữa hai vectơ.
Nhiều bạn lấy góc ngoài hoặc góc bù nhau thay vì góc xen giữa hai vectơ khi đưa chúng về cùng một gốc. Cách tránh: bạn hãy nhớ góc giữa hai vectơ luôn được tính sau khi đưa hai vectơ về cùng một điểm gốc, và giá trị của nó nằm trong khoảng từ 0 độ đến 180 độ. Khi vẽ hình, bạn đặt hai vectơ chung gốc rồi mới đo góc ở giữa chúng; nếu góc bạn đo được lớn hơn 180 độ thì đó không phải là góc giữa hai vectơ.
Lỗi 4: Tính tích vô hướng tọa độ bằng cách nhân chéo.
Nhiều bạn tính a·b với a = (x₁; y₁) và b = (x₂; y₂) thành x₁·y₂ + y₁·x₂, tức là nhân chéo hoành độ với tung độ. Cách tránh: bạn hãy nhớ công thức đúng là nhân cùng loại với nhau: hoành độ nhân hoành độ, tung độ nhân tung độ, rồi cộng lại, tức là a·b = x₁·x₂ + y₁·y₂. Bạn có thể tự kiểm tra bằng một ví dụ đơn giản: vectơ đơn vị i = (1; 0) nhân vô hướng với chính nó phải bằng 1, mà theo cách nhân chéo thì 1·0 + 0·1 = 0, rõ ràng là sai.
Lỗi 5: Kết luận vuông góc chỉ vì hai vectơ có độ dài bằng nhau.
Nhiều bạn thấy |a| = |b| thì cho rằng hai vectơ vuông góc với nhau. Cách tránh: bạn hãy nhớ điều kiện vuông góc duy nhất là a·b = 0, không liên quan gì đến việc hai độ dài có bằng nhau hay không. Hai vectơ có cùng độ dài có thể cùng hướng, ngược hướng, hoặc tạo với nhau bất kì góc nào. Muốn kết luận vuông góc, bạn bắt buộc phải tính tích vô hướng và kiểm tra nó có bằng 0 hay không.
Năm bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ ba công thức: a·b = |a|·|b|·cos(a, b), a·b = x₁·x₂ + y₁·y₂, và a vuông góc với b khi a·b = 0.
Câu 1: Cho hai vectơ a và b có |a| = 2, |b| = 3 và góc giữa hai vectơ bằng 60°. Tích vô hướng a·b bằng bao nhiêu?
A. 6
B. 1,5
C. 3
D. 0
Câu 2: Cho a = (1; 2) và b = (3; −1). Tích vô hướng a·b bằng bao nhiêu?
A. 5
B. 1
C. −1
D. 7
Câu 3: Điều kiện để hai vectơ a và b khác vectơ không vuông góc với nhau là gì?
A. a·b = 0
B. a·b = 1
C. |a| = |b|
D. a = b
Câu 4: Cho vectơ a có độ dài bằng 5. Bình phương vô hướng a² bằng bao nhiêu?
A. 5
B. 10
C. √5
D. 25
Câu 5: Cho hai vectơ a và b có |a| = 4, |b| = 6 và a·b = 12. Góc giữa hai vectơ a và b bằng bao nhiêu?
A. 30°
B. 60°
C. 90°
D. 120°
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | C | B | A | D | B |
Giải thích Câu 1 — Đáp án C (3) đúng: Bạn áp dụng định nghĩa: a·b = |a|·|b|·cos60° = 2·3·(1/2) = 3. Đáp án A (6) sai vì bạn đã quên nhân với cos60° = 1/2, chỉ nhân hai độ dài với nhau. Đáp án B (1,5) sai vì bạn đã dùng cos60° = 1/4 thay vì 1/2. Đáp án D (0) sai vì tích vô hướng chỉ bằng 0 khi hai vectơ vuông góc, mà góc ở đây là 60°, không phải 90°.
Giải thích Câu 2 — Đáp án B (1) đúng: Bạn dùng công thức tọa độ: a·b = 1·3 + 2·(−1) = 3 − 2 = 1. Đáp án A (5) sai vì bạn đã tính 1·3 + 2·1 = 5, tức là quên dấu trừ ở tung độ của vectơ b. Đáp án C (−1) sai vì bạn đã tính 1·3 + 2·(−2) = −1, tức là nhân tung độ của a với một số không có trong đề bài. Đáp án D (7) sai vì bạn đã tính 1·3 + 2·2 = 7, tức là lấy tung độ của a nhân với chính nó thay vì nhân với tung độ của b.
Giải thích Câu 3 — Đáp án A (a·b = 0) đúng: Theo định nghĩa, a·b = |a|·|b|·cos(a, b), mà hai vectơ vuông góc nghĩa là góc giữa chúng bằng 90°, cos90° = 0, nên a·b = 0. Đáp án B (a·b = 1) sai vì tích vô hướng bằng 1 không nói lên điều gì về góc giữa hai vectơ. Đáp án C (|a| = |b|) sai vì hai vectơ cùng độ dài có thể tạo với nhau bất kì góc nào, không nhất thiết phải vuông góc. Đáp án D (a = b) sai vì hai vectơ bằng nhau thì cùng hướng, góc bằng 0°, hoàn toàn không vuông góc.
Giải thích Câu 4 — Đáp án D (25) đúng: Bạn dùng tính chất bình phương vô hướng: a² = |a|² = 5² = 25. Đáp án A (5) sai vì bạn đã lấy chính độ dài thay vì bình phương của nó. Đáp án B (10) sai vì bạn đã nhân độ dài với 2 thay vì nhân với chính nó. Đáp án C (√5) sai vì bạn đã lấy căn bậc hai của độ dài, trong khi bình phương vô hướng là bình phương của độ dài, không phải căn bậc hai.
Giải thích Câu 5 — Đáp án B (60°) đúng: Bạn tính cos(a, b) = (a·b) / (|a|·|b|) = 12 / (4·6) = 12 / 24 = 0,5, mà cosin bằng 0,5 thì góc bằng 60°. Đáp án A (30°) sai vì cos30° = √3 / 2 ≈ 0,866, không phải 0,5. Đáp án C (90°) sai vì góc vuông thì cosin bằng 0 và tích vô hướng cũng bằng 0, trong khi đề bài cho a·b = 12. Đáp án D (120°) sai vì cos120° = −0,5, cho tích vô hướng âm, trong khi đề bài cho tích vô hướng dương bằng 12.
Câu hỏi thường gặp về tích vô hướng
Hỏi: Tích vô hướng có phải là một vectơ không?
Đáp: Không. Tích vô hướng của hai vectơ là một số thực, không có hướng và không có điểm đặt. Bạn đừng nhầm nó với phép cộng vectơ hay phép nhân vectơ với một số, vốn cho ra một vectơ mới. Chính vì kết quả là một số nên người ta mới gọi nó là tích vô hướng.
Hỏi: Khi nào tích vô hướng bằng 0?
Đáp: Tích vô hướng bằng 0 khi hai vectơ vuông góc với nhau, hoặc khi ít nhất một trong hai vectơ là vectơ không. Trong bài tập thông thường, người ta dùng tính chất này để chứng minh hai đường thẳng vuông góc: bạn chỉ cần tính tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương và kiểm tra nó có bằng 0 hay không.
Hỏi: Tích vô hướng có thể âm không?
Đáp: Có, hoàn toàn có thể. Khi góc giữa hai vectơ là góc tù, lớn hơn 90° và nhỏ hơn 180°, cosin của góc đó âm nên tích vô hướng cũng âm. Ví dụ, hai vectơ ngược hướng nhau có tích vô hướng bằng âm của tích hai độ dài. Vì vậy, bạn đừng bao giờ tự động kết luận tích vô hướng là số dương.
Hỏi: Công thức tọa độ và công thức góc, dùng công thức nào?
Đáp: Bạn dùng công thức nào tiện hơn với dữ kiện đề bài cho. Nếu đề bài cho độ dài và góc thì dùng công thức a·b = |a|·|b|·cos(a, b). Nếu đề bài cho tọa độ thì dùng công thức a·b = x₁·x₂ + y₁·y₂. Cả hai công thức đều cho cùng một kết quả, nên bạn hãy chọn công thức nào cần ít bước tính hơn.
Hỏi: Học tích vô hướng để làm gì trong các bài sau?
Đáp: Tích vô hướng là công cụ để tính góc giữa hai đường thẳng, chứng minh vuông góc, tính công của một lực trong Vật lí và tính độ dài hình chiếu của một vectơ lên một vectơ khác. Nếu muốn đi tiếp, bạn hãy xem bài công thức tính độ dài vectơ để ôn lại cách tính độ dài, vì mọi bài toán góc đều cần đến độ dài của hai vectơ.
Kết luận
Tích vô hướng của hai vectơ gói gọn trong một công thức: a·b = |a|·|b|·cos(a, b), cùng với ba tính chất quan trọng là a vuông góc với b khi a·b = 0, a² = |a|², và công thức tọa độ a·b = x₁·x₂ + y₁·y₂. Bạn hãy nhớ ba điều: tích vô hướng là một con số chứ không phải một vectơ, dấu của nó cho biết góc giữa hai vectơ là nhọn hay tù, và giá trị 0 của nó chính là dấu hiệu của tính vuông góc. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để tính tích vô hướng bằng cả hai công thức, tìm góc giữa hai vectơ và chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong bất kì bài toán nào của chương trình Toán 10 — và hiểu thêm vì sao chỉ một phần lực đẩy của bạn mới thực sự làm chiếc tủ di chuyển.