Sáng nay lúc 6 giờ, hai xe buýt cùng rời bến. Xe số 8 cứ 8 phút lại có một chuyến, xe số 12 cứ 12 phút lại có một chuyến. Bạn An đứng ở bến xe tự hỏi: “Mấy giờ thì hai xe lại cùng rời bến một lần nữa?” Bạn ấy liệt kê: xe số 8 rời bến lúc 6 giờ 8 phút, 6 giờ 16 phút, 6 giờ 24 phút, 6 giờ 32 phút…; xe số 12 rời bến lúc 6 giờ 12 phút, 6 giờ 24 phút, 6 giờ 36 phút… Nhìn vào hai dãy thời gian, An thấy 6 giờ 24 phút xuất hiện ở cả hai dãy, và đó là lần trùng nhau đầu tiên sau 6 giờ. Khoảng thời gian 24 phút ấy chính là bội chung nhỏ nhất của 8 và 12.
Bài toán hai xe buýt là ví dụ quen thuộc nhất của bội chung nhỏ nhất, gọi tắt là BCNN. Trong đời sống, bạn sẽ gặp BCNN mỗi khi cần tìm thời điểm hai sự việc lặp lại cùng lúc: hai đèn nhấp nháy cùng sáng, hai bạn cùng trực nhật, hay quy đồng mẫu số hai phân số. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn tìm BCNN bằng cách phân tích ra thừa số nguyên tố — cách làm chuẩn theo sách giáo khoa Toán 6 — và chỉ rõ điểm khác biệt quan trọng nhất với ƯCLN để bạn không bao giờ nhầm hai khái niệm này nữa.
Nhắc lại: bội, bội chung là gì?
Nếu số tự nhiên a chia hết cho số tự nhiên b thì a được gọi là bội của b, còn b được gọi là ước của a. Chẳng hạn, 24 chia hết cho 8 nên 24 là bội của 8, 8 là ước của 24. Tập hợp các bội của 8 là B(8) = {0; 8; 16; 24; 32; 40; 48; …}, tập hợp các bội của 12 là B(12) = {0; 12; 24; 36; 48; 60; …}.
Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả các số đó. Nhìn vào hai tập hợp trên, các số 0, 24, 48, … vừa là bội của 8 vừa là bội của 12, nên BC(8, 12) = {0; 24; 48; 72; …}. Trong các bội chung khác 0 ấy, số nhỏ nhất là 24, và đó chính là bội chung nhỏ nhất, kí hiệu BCNN(8, 12) = 24.
Định nghĩa đầy đủ như sau: bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp các bội chung của các số đó. Bạn hãy nhớ hai tính chất rất tiện: mọi bội chung của a và b đều là bội của BCNN(a, b), và BCNN(a, b) luôn lớn hơn hoặc bằng số lớn nhất trong các số đã cho. Ví dụ, BC(8, 12) = {0; 24; 48; 72; …} chính là tập hợp các bội của 24, nên chỉ cần tìm được BCNN là bạn liệt kê được ngay toàn bộ bội chung.
Công thức tìm BCNN bằng cách phân tích ra thừa số nguyên tố
Muốn tìm BCNN của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện ba bước sau:
Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.
Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng.
Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó. Tích đó là BCNN phải tìm.
Áp dụng vào ví dụ 8 và 12:
Bước 1: 8 = 2³; 12 = 2² · 3.
Bước 2: Thừa số nguyên tố chung và riêng của 8 và 12 là 2 và 3. Thừa số 2 có trong cả hai số nên là thừa số chung, thừa số 3 chỉ có trong 12 nên là thừa số riêng, nhưng cả hai đều được chọn.
Bước 3: Số mũ lớn nhất của 2 là 3 (so sánh 2³ và 2², lấy 2³), số mũ lớn nhất của 3 là 1. Vậy BCNN(8, 12) = 2³ · 3 = 8 · 3 = 24.
Vì sao phải lấy số mũ lớn nhất? Hãy nghĩ thế này: BCNN phải là bội của cả hai số, nên mỗi thừa số nguyên tố trong BCNN phải “đủ lớn” để bao được số lần xuất hiện của nó trong bất kì số nào. Trong 8, thừa số 2 xuất hiện 3 lần, trong 12 chỉ xuất hiện 2 lần, nên BCNN phải chứa 3 thừa số 2 mới chia hết cho cả 8. Lấy số mũ lớn nhất chính là cách đảm bảo điều đó, đồng thời không lấy thừa để ra số nhỏ nhất có thể.
Điểm khác biệt lớn nhất với ƯCLN nằm ở hai chỗ: thứ nhất, BCNN chọn cả thừa số chung lẫn thừa số riêng, còn ƯCLN chỉ chọn thừa số chung; thứ hai, BCNN lấy số mũ lớn nhất, còn ƯCLN lấy số mũ nhỏ nhất. Bạn hãy học thuộc câu đối này: “Ước chung lớn nhất: chung, nhỏ nhất. Bội chung nhỏ nhất: chung và riêng, lớn nhất.”
Ba trường hợp đặc biệt giúp tính nhanh
Trường hợp 1: Nếu các số đã cho từng đôi một nguyên tố cùng nhau thì BCNN của chúng bằng tích của các số đó. Ví dụ, 5, 7 và 8 từng đôi một nguyên tố cùng nhau nên BCNN(5, 7, 8) = 5 · 7 · 8 = 280. Tương tự, BCNN(7, 8) = 7 · 8 = 56 vì 7 và 8 nguyên tố cùng nhau.
Trường hợp 2: Trong các số đã cho, nếu số lớn nhất là bội của các số còn lại thì BCNN của các số đã cho chính là số lớn nhất ấy. Ví dụ, 48 là bội của cả 12 và 16 nên BCNN(12, 16, 48) = 48. Gặp trường hợp này, bạn không cần phân tích gì cả, đáp số có ngay.
Trường hợp 3: BCNN của một số với 1 bằng chính số đó, tức là BCNN(a, 1) = a và BCNN(a, b, 1) = BCNN(a, b) với mọi số tự nhiên a, b. Vì mọi số đều là bội của 1, nên thêm số 1 vào không làm thay đổi kết quả.
Ví dụ 1: Tìm BCNN theo công thức gốc
Tìm BCNN(8, 12).
Bài giải:
Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố: 8 = 2³; 12 = 2² · 3.
Bước 2: Thừa số nguyên tố chung và riêng của 8 và 12 là 2 và 3.
Bước 3: Số mũ lớn nhất của 2 là 3, số mũ lớn nhất của 3 là 1. Vậy BCNN(8, 12) = 2³ · 3 = 8 · 3 = 24.
Kiểm tra lại: 24 : 8 = 3, 24 : 12 = 2, cả hai đều chia hết. Số nhỏ hơn 24 mà chia hết cho cả 8 và 12 không tồn tại: các bội của 8 là 8, 16, 24…, trong đó 8 và 16 đều không chia hết cho 12. Vậy 24 đúng là bội chung nhỏ nhất.
Ví dụ 2: Tìm BCNN của ba số
Tìm BCNN(6, 8, 12).
Bài giải:
Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố: 6 = 2 · 3; 8 = 2³; 12 = 2² · 3.
Bước 2: Thừa số nguyên tố chung và riêng của 6, 8 và 12 là 2 và 3.
Bước 3: Số mũ lớn nhất của 2 là 3 (so sánh 2¹, 2³, 2²), số mũ lớn nhất của 3 là 1. Vậy BCNN(6, 8, 12) = 2³ · 3 = 8 · 3 = 24.
Kiểm tra lại: 24 : 6 = 4, 24 : 8 = 3, 24 : 12 = 2, cả ba đều chia hết. Thử số nhỏ hơn, chẳng hạn 12, thì 12 không chia hết cho 8, nên 24 đúng là nhỏ nhất.
Ví dụ 3: Tìm số nhỏ nhất chia hết cho cả hai số
Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khác 0 chia hết cho cả 9 và 15.
Bài giải:
Số nhỏ nhất khác 0 chia hết cho cả 9 và 15 chính là BCNN(9, 15).
Bước 1: Phân tích ra thừa số nguyên tố: 9 = 3²; 15 = 3 · 5.
Bước 2: Thừa số nguyên tố chung và riêng là 3 và 5.
Bước 3: Số mũ lớn nhất của 3 là 2, số mũ lớn nhất của 5 là 1. Vậy BCNN(9, 15) = 3² · 5 = 9 · 5 = 45.
Vậy số cần tìm là 45.
Thử lại: 45 : 9 = 5, 45 : 15 = 3, cả hai đều chia hết. Số nhỏ hơn 45, ví dụ 30, chia hết cho 15 nhưng không chia hết cho 9, nên 45 đúng là đáp số. Nếu bạn muốn kiểm tra nhanh các phép chia này, hãy dùng máy tính Casio online để bấm lại.
Ví dụ 4: Bài toán thực tế — hai xe buýt cùng rời bến
Hai xe buýt cùng rời bến lúc 6 giờ. Xe số 8 cứ 8 phút lại có một chuyến, xe số 12 cứ 12 phút lại có một chuyến. Hỏi sau bao lâu hai xe lại cùng rời bến, và lúc đó là mấy giờ?
Bài giải:
Thời gian để hai xe lại cùng rời bến chính là BCNN(8, 12).
Ta có 8 = 2³; 12 = 2² · 3.
Thừa số nguyên tố chung và riêng là 2 và 3, với số mũ lớn nhất lần lượt là 3 và 1.
Vậy BCNN(8, 12) = 2³ · 3 = 24.
Sau 24 phút, hai xe lại cùng rời bến.
Lúc đó là 6 giờ 24 phút.
Đáp số: sau 24 phút, lúc 6 giờ 24 phút.
Nhận xét: bài toán “sau bao lâu thì gặp lại nhau” luôn đưa về tìm BCNN. Ngược lại, bài toán “chia nhiều nhất” thì đưa về ƯCLN như bài trước. Chỉ cần đọc kĩ đề bài, bạn sẽ biết ngay mình cần tìm ƯCLN hay BCNN.
Ứng dụng quan trọng: quy đồng mẫu số bằng BCNN
Ứng dụng đầu tiên và hay gặp nhất của BCNN là quy đồng mẫu số các phân số. Muốn cộng hay trừ hai phân số khác mẫu số, ta phải đưa chúng về cùng một mẫu số, và mẫu số chung nhỏ nhất chính là BCNN của hai mẫu số. Ví dụ, tính 1/8 + 1/12: BCNN(8, 12) = 24, ta quy đồng 1/8 = 3/24 và 1/12 = 2/24, rồi cộng lại được 3/24 + 2/24 = 5/24. Nếu lấy mẫu chung là 96 thì vẫn tính được, nhưng các số sẽ to hơn và cuối cùng lại phải rút gọn, mất nhiều thời gian.
Hãy thử thêm hai ví dụ. Tính 1/6 + 1/8: BCNN(6, 8) = 24, quy đồng 1/6 = 4/24 và 1/8 = 3/24, cộng lại được 4/24 + 3/24 = 7/24. Tính 2/9 + 1/15: BCNN(9, 15) = 45, quy đồng 2/9 = 10/45 và 1/15 = 3/45, cộng lại được 10/45 + 3/45 = 13/45. Một ví dụ với phép trừ: 1/6 − 1/10, BCNN(6, 10) = 30, quy đồng 1/6 = 5/30 và 1/10 = 3/30, trừ đi được 5/30 − 3/30 = 2/30 = 1/15. Bạn thấy đấy, chỉ cần tìm đúng BCNN của hai mẫu số là bài toán quy đồng trở nên gọn gàng, và đây cũng là lí do vì sao ngay sau bài BCNN, sách giáo khoa sẽ dạy bạn cộng trừ phân số.
Lỗi sai thường gặp khi tìm BCNN
Dưới đây là bốn lỗi mà học sinh hay mắc nhất khi tìm bội chung nhỏ nhất.
Lỗi 1: Chỉ chọn thừa số chung mà bỏ thừa số riêng. Ví dụ sai: tìm BCNN(8, 12) mà chỉ lấy thừa số chung 2, ra 2³ = 8. Cách đúng: phải chọn cả thừa số riêng 3, BCNN(8, 12) = 2³ · 3 = 24. Bỏ thừa số riêng thì kết quả 8 không chia hết cho 12, nên không thể là bội chung. Đây là lỗi ngược với lỗi hay gặp ở ƯCLN, nơi người ta lấy thừa cả thừa số riêng.
Lỗi 2: Lấy số mũ nhỏ nhất thay vì số mũ lớn nhất. Ví dụ sai: BCNN(8, 12) = 2² · 3 = 12. Cách đúng: lấy số mũ lớn nhất, BCNN(8, 12) = 2³ · 3 = 24. Lấy số mũ nhỏ nhất là cách tìm ƯCLN, và 12 là ƯCLN(8, 12) chứ không phải BCNN. Nhớ câu đối: “ƯCLN lấy nhỏ nhất, BCNN lấy lớn nhất.”
Lỗi 3: Nhầm BCNN với tích của hai số. Ví dụ sai: BCNN(8, 12) = 8 · 12 = 96. Sự thật: 96 đúng là một bội chung của 8 và 12, nhưng không phải bội chung nhỏ nhất, vì 24 nhỏ hơn mà vẫn chia hết cho cả hai. Chỉ khi hai số nguyên tố cùng nhau thì BCNN mới bằng tích của chúng, ví dụ BCNN(7, 8) = 56.
Lỗi 4: Tính BCNN của ba số mà quên một số. Ví dụ sai: tìm BCNN(6, 8, 12) mà chỉ xét 6 và 8, ra 24 rồi kết luận ngay. Trong ví dụ này đáp số trùng hợp đúng, nhưng cách làm sai: nếu đề là BCNN(6, 8, 9) thì xét hai số đầu ra 24, mà 24 không chia hết cho 9, đáp số đúng phải là 72. Bạn phải phân tích đủ cả ba số rồi mới chọn thừa số.
Bài tập tự luyện
Câu 1: Tìm BCNN(6, 10).
A. 30
B. 2
C. 60
D. 15
Câu 2: Tìm BCNN(9, 12).
A. 36
B. 18
C. 108
D. 3
Câu 3: Tìm BCNN(4, 6, 8).
A. 24
B. 12
C. 48
D. 8
Câu 4: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khác 0 chia hết cho cả 12 và 18.
A. 36
B. 216
C. 6
D. 72
Câu 5: Hai bạn An và Bình cùng trực nhật hôm nay. An cứ 4 ngày trực một lần, Bình cứ 6 ngày trực một lần. Hỏi sau bao nhiêu ngày hai bạn lại cùng trực nhật?
A. 12 ngày
B. 2 ngày
C. 24 ngày
D. 10 ngày
Bảng đáp án
| Câu | Đáp án | Giải thích chi tiết |
|---|---|---|
| 1 | A | 6 = 2 · 3; 10 = 2 · 5. Thừa số chung và riêng là 2, 3, 5, số mũ lớn nhất đều là 1 nên BCNN(6, 10) = 2 · 3 · 5 = 30. Đáp án B sai vì 2 là ƯCLN(6, 10), không phải BCNN. Đáp án C sai vì 60 là một bội chung nhưng không phải nhỏ nhất. Đáp án D sai vì 15 không chia hết cho 6. |
| 2 | A | 9 = 3²; 12 = 2² · 3. Thừa số chung và riêng là 2 và 3, số mũ lớn nhất lần lượt là 2 và 2 nên BCNN(9, 12) = 2² · 3² = 4 · 9 = 36. Đáp án B sai vì 18 không chia hết cho 12. Đáp án C sai vì 108 là một bội chung nhưng không phải nhỏ nhất. Đáp án D sai vì 3 là ƯCLN(9, 12), không phải BCNN. |
| 3 | A | 4 = 2²; 6 = 2 · 3; 8 = 2³. Thừa số chung và riêng là 2 và 3, số mũ lớn nhất lần lượt là 3 và 1 nên BCNN(4, 6, 8) = 2³ · 3 = 24. Đáp án B sai vì 12 không chia hết cho 8. Đáp án C sai vì 48 là một bội chung nhưng không phải nhỏ nhất. Đáp án D sai vì 8 không chia hết cho 6. |
| 4 | A | 12 = 2² · 3; 18 = 2 · 3². Thừa số chung và riêng là 2 và 3, số mũ lớn nhất đều là 2 nên BCNN(12, 18) = 2² · 3² = 4 · 9 = 36. Thử lại: 36 : 12 = 3, 36 : 18 = 2, đều chia hết. Đáp án B sai vì 216 là tích 12 · 18, là bội chung nhưng không nhỏ nhất. Đáp án C sai vì 6 là ƯCLN(12, 18). Đáp án D sai vì 72 là một bội chung nhưng không phải nhỏ nhất. |
| 5 | A | Số ngày để hai bạn lại cùng trực là BCNN(4, 6). Ta có 4 = 2²; 6 = 2 · 3, nên BCNN(4, 6) = 2² · 3 = 12. Sau 12 ngày hai bạn lại cùng trực. Đáp án B sai vì 2 là ƯCLN(4, 6). Đáp án C sai vì 24 là một bội chung nhưng không phải nhỏ nhất. Đáp án D sai vì 10 không chia hết cho 4 và cũng không chia hết cho 6. |
Câu hỏi thường gặp
Câu hỏi 1: BCNN của hai số nguyên tố cùng nhau bằng bao nhiêu?
Trả lời: Bằng tích của hai số đó. Ví dụ 7 và 8 nguyên tố cùng nhau nên BCNN(7, 8) = 7 · 8 = 56. Tương tự, BCNN(5, 7, 8) = 5 · 7 · 8 = 280 vì ba số này từng đôi một nguyên tố cùng nhau.
Câu hỏi 2: Nếu số lớn nhất là bội của các số còn lại thì BCNN bằng bao nhiêu?
Trả lời: Bằng chính số lớn nhất ấy. Ví dụ 48 là bội của cả 12 và 16 nên BCNN(12, 16, 48) = 48. Đây là trường hợp đặc biệt rất hay gặp, giúp bạn trả lời ngay mà không cần phân tích.
Câu hỏi 3: BCNN của một số với 1 bằng bao nhiêu?
Trả lời: Bằng chính số đó. Ví dụ BCNN(25, 1) = 25, BCNN(9, 12, 1) = BCNN(9, 12) = 36. Vì mọi số đều là bội của 1, nên thêm số 1 vào không làm thay đổi kết quả.
Câu hỏi 4: Tìm được BCNN rồi thì tìm bội chung như thế nào?
Trả lời: Mọi bội chung của a và b đều là bội của BCNN(a, b). Ví dụ BCNN(8, 12) = 24, mà B(24) = {0; 24; 48; 72; …} nên BC(8, 12) = {0; 24; 48; 72; …}. Bạn không cần liệt kê bội của từng số rồi tìm giao nhau nữa.
Câu hỏi 5: BCNN dùng để làm gì trong thực tế?
Trả lời: Dùng để tìm thời điểm hai sự việc lặp lại cùng lúc (hai xe buýt, hai đèn nhấp nháy, hai bạn trực nhật), và để quy đồng mẫu số hai phân số: mẫu số chung nhỏ nhất chính là BCNN của hai mẫu số. Ví dụ, để cộng 1/8 + 1/12, ta quy đồng với mẫu chung nhỏ nhất là BCNN(8, 12) = 24, được 3/24 + 2/24 = 5/24.
Một mẹo nhỏ cho ngày kiểm tra: khi đã tìm được BCNN, hãy chia thử đáp số cho từng số đã cho để xem có chia hết không, rồi thử xem số nhỏ hơn một nửa đáp số có phải bội chung không. Ví dụ, tìm BCNN(9, 12) = 36 thì 36 : 9 = 4 và 36 : 12 = 3 đều chia hết, còn 18 thì không chia hết cho 12, nên 36 đúng là nhỏ nhất. Nếu đáp số của bạn chia cho một số nào đó còn dư, nghĩa là bạn đã bỏ sót thừa số hoặc lấy nhầm số mũ. Ngoài ra, bạn có thể ước lượng nhanh: BCNN luôn lớn hơn hoặc bằng số lớn nhất trong các số đã cho, và không bao giờ vượt quá tích của chúng, nên nếu đáp số nằm ngoài khoảng đó thì chắc chắn đã sai ở đâu đó.
Dùng máy tính Casio online để kiểm tra kết quả
Khi tìm BCNN, bạn hãy dùng máy tính Casio online để kiểm tra xem đáp số có thật sự chia hết cho từng số đã cho không: ví dụ 36 : 12 = 3 và 36 : 18 = 2 đều là phép chia hết, chứng tỏ 36 là bội chung. Máy tính còn giúp bạn kiểm tra nhanh các số nhỏ hơn có phải bội chung không, để chắc chắn đáp số của mình là nhỏ nhất.
Tóm lại, tìm BCNN chỉ có ba bước: phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố, chọn ra các thừa số chung và riêng, rồi lập tích với số mũ lớn nhất. Nhớ thêm ba trường hợp đặc biệt — nguyên tố cùng nhau thì BCNN bằng tích, số lớn nhất là bội của các số còn lại thì BCNN bằng số lớn nhất, và BCNN với 1 bằng chính số đó — là bạn đã có thể xử lí nhanh hầu hết các bài tập lớp 6. Và đừng quên câu đối phân biệt với ƯCLN: “Ước chung lớn nhất: chung, nhỏ nhất. Bội chung nhỏ nhất: chung và riêng, lớn nhất.” Nắm được câu này, bạn sẽ không bao giờ nhầm hai công thức nữa.