Cuối năm học, cô giáo chủ nhiệm muốn chia quà cho các bạn: cô có 24 quyển vở và 36 cây bút. Cô muốn chia thành nhiều phần quà nhất có thể, sao cho mỗi phần quà đều có số vở như nhau và số bút như nhau, không thừa quyển vở hay cây bút nào. Chia thành 6 phần thì mỗi phần có 4 quyển vở và 6 cây bút, được đấy, nhưng liệu có chia được nhiều hơn không? Chia thành 12 phần thì mỗi phần có đúng 2 quyển vở và 3 cây bút — nhiều hơn hẳn, mà vẫn vừa khít. Còn chia thành 13 phần thì sao? 24 không chia hết cho 13, nên không được. Vậy 12 chính là số phần quà nhiều nhất có thể chia, và con số 12 ấy có tên gọi là ước chung lớn nhất của 24 và 36.
Bài toán chia quà trên đây là ví dụ kinh điển nhất của ước chung lớn nhất, gọi tắt là ƯCLN. Trong đời sống, bạn sẽ gặp ƯCLN mỗi khi cần chia đều đồ vật thành nhiều nhóm nhất, rút gọn phân số về dạng tối giản, hay lát gạch sao cho vừa khít một nền nhà. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn tìm ƯCLN bằng cách phân tích ra thừa số nguyên tố — cách làm chuẩn theo sách giáo khoa Toán 6, kèm theo các trường hợp đặc biệt giúp bạn tính nhanh mà không cần phân tích dài dòng.
Nhắc lại: ước, ước chung là gì?
Nếu số tự nhiên a chia hết cho số tự nhiên b thì b được gọi là ước của a, còn a được gọi là bội của b. Chẳng hạn, 12 chia hết cho 3 nên 3 là ước của 12, 12 là bội của 3. Tập hợp các ước của 24 là Ư(24) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}, tập hợp các ước của 36 là Ư(36) = {1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36}.
Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó. Nhìn vào hai tập hợp trên, các số 1, 2, 3, 4, 6, 12 vừa là ước của 24 vừa là ước của 36, nên ƯC(24, 36) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}. Trong các ước chung ấy, số lớn nhất là 12, và đó chính là ước chung lớn nhất, kí hiệu ƯCLN(24, 36) = 12.
Định nghĩa đầy đủ như sau: ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó. Bạn chỉ xét ước chung của các số khác 0, và ƯCLN luôn là một số tự nhiên khác 0. Một tính chất rất tiện: mọi ước chung của a và b đều là ước của ƯCLN(a, b). Ví dụ, ƯC(24, 36) = {1; 2; 3; 4; 6; 12} chính là tập hợp các ước của 12. Nhờ đó, chỉ cần tìm được ƯCLN là bạn liệt kê được ngay toàn bộ ước chung.
Công thức tìm ƯCLN bằng cách phân tích ra thừa số nguyên tố
Muốn tìm ƯCLN của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện ba bước sau:
Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.
Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.
Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó. Tích đó là ƯCLN phải tìm.
Áp dụng vào ví dụ 24 và 36:
Bước 1: 24 = 2³ · 3; 36 = 2² · 3².
Bước 2: Thừa số nguyên tố chung của 24 và 36 là 2 và 3. Thừa số 3 chỉ có trong 36 thì không chọn, nhưng ở đây cả hai số đều có cả 2 và 3.
Bước 3: Số mũ nhỏ nhất của 2 là 2 (so sánh 2³ và 2², lấy 2²), số mũ nhỏ nhất của 3 là 1 (so sánh 3¹ và 3², lấy 3¹). Vậy ƯCLN(24, 36) = 2² · 3 = 4 · 3 = 12.
Vì sao phải lấy số mũ nhỏ nhất? Hãy nghĩ thế này: ƯCLN phải là ước của cả hai số, nên mỗi thừa số nguyên tố trong ƯCLN không được “vượt quá” số lần xuất hiện của nó trong bất kì số nào. Trong 24, thừa số 2 xuất hiện 3 lần, trong 36 chỉ xuất hiện 2 lần, nên ƯCLN chỉ được chứa tối đa 2 thừa số 2. Lấy số mũ nhỏ nhất chính là cách đảm bảo điều đó, đồng thời lấy được càng nhiều càng tốt để ra số lớn nhất.
Ba trường hợp đặc biệt giúp tính nhanh
Trường hợp 1: Nếu các số đã cho không có thừa số nguyên tố chung thì ƯCLN của chúng bằng 1. Hai hay nhiều số có ƯCLN bằng 1 được gọi là các số nguyên tố cùng nhau. Ví dụ, 8 = 2³ và 9 = 3² không có thừa số chung nên ƯCLN(8, 9) = 1. Tương tự, ƯCLN(15, 28) = 1 vì 15 = 3 · 5 và 28 = 2² · 7 không chung thừa số nào.
Trường hợp 2: Nếu số nhỏ nhất là ước của các số còn lại thì ƯCLN của các số đã cho chính là số nhỏ nhất ấy. Nói cách khác, nếu a ⋮ b thì ƯCLN(a, b) = b. Ví dụ, 12 ⋮ 6 nên ƯCLN(12, 6) = 6; 48 ⋮ 12 ⋮ 6 nên ƯCLN(48, 12, 6) = 6. Gặp trường hợp này, bạn không cần phân tích gì cả, đáp số có ngay.
Trường hợp 3: ƯCLN của một số với 1 luôn bằng 1, tức là ƯCLN(a, 1) = 1 và ƯCLN(a, b, 1) = 1 với mọi số tự nhiên a, b. Vì số 1 chỉ có một ước là chính nó, nên ước chung lớn nhất không thể lớn hơn 1.
Ví dụ 1: Tìm ƯCLN theo công thức gốc
Tìm ƯCLN(24, 36).
Bài giải:
Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố: 24 = 2³ · 3; 36 = 2² · 3².
Bước 2: Thừa số nguyên tố chung của 24 và 36 là 2 và 3.
Bước 3: Số mũ nhỏ nhất của 2 là 2, số mũ nhỏ nhất của 3 là 1. Vậy ƯCLN(24, 36) = 2² · 3 = 4 · 3 = 12.
Kiểm tra lại: Ư(24) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}, Ư(36) = {1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36}, ước chung lớn nhất đúng là 12. Thử chia: 24 : 12 = 2, 36 : 12 = 3, cả hai đều chia hết, và không có số nào lớn hơn 12 mà cả 24 và 36 đều chia hết.
Ví dụ 2: Tìm ƯCLN của ba số
Tìm ƯCLN(48, 72, 120).
Bài giải:
Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố: 48 = 2⁴ · 3; 72 = 2³ · 3²; 120 = 2³ · 3 · 5.
Bước 2: Thừa số nguyên tố chung của cả ba số là 2 và 3. Thừa số 5 chỉ có trong 120 nên không chọn.
Bước 3: Số mũ nhỏ nhất của 2 là 3 (so sánh 2⁴, 2³, 2³), số mũ nhỏ nhất của 3 là 1 (so sánh 3¹, 3², 3¹). Vậy ƯCLN(48, 72, 120) = 2³ · 3 = 8 · 3 = 24.
Kiểm tra lại: 48 : 24 = 2, 72 : 24 = 3, 120 : 24 = 5, cả ba đều chia hết. Thử số lớn hơn, chẳng hạn 48, thì 72 không chia hết cho 48, nên 24 đúng là lớn nhất.
Ví dụ 3: Tìm số lớn nhất thỏa mãn điều kiện chia hết
Tìm số tự nhiên a lớn nhất sao cho 90 ⋮ a và 126 ⋮ a.
Bài giải:
Số a lớn nhất mà cả 90 và 126 đều chia hết chính là ƯCLN(90, 126).
Bước 1: Phân tích ra thừa số nguyên tố: 90 = 2 · 3² · 5; 126 = 2 · 3² · 7.
Bước 2: Thừa số nguyên tố chung là 2 và 3.
Bước 3: Số mũ nhỏ nhất của 2 là 1, số mũ nhỏ nhất của 3 là 2. Vậy ƯCLN(90, 126) = 2 · 3² = 2 · 9 = 18.
Vậy a = 18.
Thử lại: 90 : 18 = 5, 126 : 18 = 7, cả hai đều chia hết. Số lớn hơn 18, ví dụ 36, thì 126 không chia hết cho 36, nên 18 đúng là đáp số. Nếu bạn muốn kiểm tra nhanh các phép chia này, hãy dùng máy tính Casio online để bấm lại.
Ví dụ 4: Bài toán thực tế — chia quà nhiều nhất
Cô giáo có 24 quyển vở và 36 cây bút, muốn chia thành nhiều phần quà nhất có thể, mỗi phần có số vở như nhau và số bút như nhau, không thừa. Hỏi chia được nhiều nhất bao nhiêu phần quà, mỗi phần có mấy quyển vở và mấy cây bút?
Bài giải:
Số phần quà nhiều nhất chính là ƯCLN(24, 36).
Ta có 24 = 2³ · 3; 36 = 2² · 3².
Thừa số nguyên tố chung là 2 và 3, với số mũ nhỏ nhất lần lượt là 2 và 1.
Vậy ƯCLN(24, 36) = 2² · 3 = 12.
Chia được nhiều nhất 12 phần quà.
Mỗi phần có 24 : 12 = 2 quyển vở và 36 : 12 = 3 cây bút.
Đáp số: 12 phần quà, mỗi phần 2 quyển vở và 3 cây bút.
Nhận xét: bài toán “chia nhiều nhất” luôn đưa về tìm ƯCLN. Ngược lại, bài toán “sau bao lâu thì gặp lại nhau” hay “số nhỏ nhất chia hết cho cả hai số” thì đưa về BCNN, bạn sẽ gặp ở bài sau.
Ứng dụng quan trọng: rút gọn phân số bằng ƯCLN
Ứng dụng đầu tiên và hay gặp nhất của ƯCLN là rút gọn phân số về dạng tối giản. Muốn rút gọn một phân số, ta chia cả tử số và mẫu số cho ƯCLN của chúng, và kết quả thu được là phân số tối giản, tức là tử và mẫu không còn ước chung nào lớn hơn 1. Ví dụ, rút gọn phân số 24/36: ƯCLN(24, 36) = 12, chia cả tử và mẫu cho 12 ta được 24/36 = 2/3. Phân số 2/3 là tối giản vì ƯCLN(2, 3) = 1.
Hãy thử thêm hai ví dụ. Rút gọn 48/72: phân tích 48 = 2⁴ · 3, 72 = 2³ · 3², thừa số chung là 2 và 3 với số mũ nhỏ nhất lần lượt là 3 và 1, nên ƯCLN(48, 72) = 2³ · 3 = 24. Chia cả tử và mẫu cho 24, ta được 48/72 = 2/3. Rút gọn 90/126: phân tích 90 = 2 · 3² · 5, 126 = 2 · 3² · 7, ƯCLN(90, 126) = 2 · 3² = 18, chia cả tử và mẫu cho 18 ta được 90/126 = 5/7. Một ví dụ nữa: rút gọn 60/84, ta có 60 = 2² · 3 · 5, 84 = 2² · 3 · 7, ƯCLN(60, 84) = 2² · 3 = 12, nên 60/84 = 5/7. Bạn thấy không, chia cho ƯCLN thì chỉ cần một bước là ra phân số tối giản, còn nếu chia cho một ước chung nhỏ hơn thì phải rút gọn nhiều lần mới xong.
Lỗi sai thường gặp khi tìm ƯCLN
Dưới đây là bốn lỗi mà học sinh hay mắc nhất khi tìm ước chung lớn nhất.
Lỗi 1: Chọn cả thừa số nguyên tố riêng. Ví dụ sai: tìm ƯCLN(48, 72, 120) mà lấy cả thừa số 5 (chỉ có trong 120) vào tích, ra 2³ · 3 · 5 = 120. Cách đúng: chỉ chọn thừa số chung của tất cả các số, nên đáp số là 2³ · 3 = 24. Thừa số riêng chỉ dùng khi tìm BCNN, không dùng cho ƯCLN.
Lỗi 2: Lấy số mũ lớn nhất thay vì số mũ nhỏ nhất. Ví dụ sai: ƯCLN(24, 36) = 2³ · 3² = 72. Cách đúng: lấy số mũ nhỏ nhất, ƯCLN(24, 36) = 2² · 3 = 12. Lấy số mũ lớn nhất là cách tìm BCNN, và 72 là BCNN(24, 36) chứ không phải ƯCLN. Hai công thức này rất dễ nhầm, bạn hãy nhớ: ƯCLN lấy nhỏ nhất, BCNN lấy lớn nhất.
Lỗi 3: Phân tích thừa số nguyên tố chưa triệt để. Ví dụ sai: viết 24 = 2 · 12 rồi dừng lại, lấy thừa số 12 không phải số nguyên tố. Cách đúng: phải phân tích đến khi mọi thừa số đều là số nguyên tố: 24 = 2 · 2 · 2 · 3 = 2³ · 3. Bạn có thể phân tích bằng sơ đồ cây hoặc chia liên tiếp cho các số nguyên tố 2, 3, 5, 7… cho đến khi thương bằng 1.
Lỗi 4: Nhầm ƯCLN với số nhỏ nhất trong các số đã cho. Ví dụ sai: ƯCLN(18, 30) = 18 vì 18 là số nhỏ hơn. Sự thật: 30 không chia hết cho 18, nên 18 không thể là ước chung. Cách đúng: ƯCLN(18, 30) = 2 · 3 = 6. Chỉ khi số nhỏ nhất là ước của các số còn lại thì ƯCLN mới bằng số nhỏ nhất, ví dụ ƯCLN(12, 6) = 6 vì 12 ⋮ 6.
Bài tập tự luyện
Câu 1: Tìm ƯCLN(18, 30).
A. 6
B. 3
C. 90
D. 18
Câu 2: Tìm ƯCLN(16, 24, 40).
A. 8
B. 16
C. 24
D. 2
Câu 3: Tìm ƯCLN(27, 45).
A. 9
B. 3
C. 27
D. 135
Câu 4: Tìm số tự nhiên a lớn nhất sao cho 84 ⋮ a và 108 ⋮ a.
A. 12
B. 6
C. 21
D. 42
Câu 5: Một cửa hàng có 60 quả cam và 48 quả táo, muốn xếp thành nhiều đĩa nhất có thể, mỗi đĩa có số cam như nhau và số táo như nhau, không thừa quả nào. Hỏi xếp được nhiều nhất bao nhiêu đĩa, mỗi đĩa có mấy quả cam và mấy quả táo?
A. 12 đĩa, mỗi đĩa 5 quả cam và 4 quả táo
B. 6 đĩa, mỗi đĩa 10 quả cam và 8 quả táo
C. 24 đĩa, mỗi đĩa 2 quả cam và 3 quả táo
D. 4 đĩa, mỗi đĩa 15 quả cam và 12 quả táo
Bảng đáp án
| Câu | Đáp án | Giải thích chi tiết |
|---|---|---|
| 1 | A | 18 = 2 · 3²; 30 = 2 · 3 · 5. Thừa số chung là 2 và 3, số mũ nhỏ nhất đều là 1 nên ƯCLN(18, 30) = 2 · 3 = 6. Đáp án B sai vì chỉ lấy thừa số 3 mà bỏ thừa số 2. Đáp án C sai vì 90 là BCNN(18, 30), không phải ƯCLN. Đáp án D sai vì 30 không chia hết cho 18. |
| 2 | A | 16 = 2⁴; 24 = 2³ · 3; 40 = 2³ · 5. Thừa số chung duy nhất là 2, số mũ nhỏ nhất là 3 nên ƯCLN(16, 24, 40) = 2³ = 8. Đáp án B sai vì 24 không chia hết cho 16. Đáp án C sai vì 16 không chia hết cho 24. Đáp án D sai vì lấy số mũ 1 thay vì số mũ nhỏ nhất là 3. |
| 3 | A | 27 = 3³; 45 = 3² · 5. Thừa số chung là 3, số mũ nhỏ nhất là 2 nên ƯCLN(27, 45) = 3² = 9. Đáp án B sai vì lấy số mũ 1 thay vì 2. Đáp án C sai vì 45 không chia hết cho 27. Đáp án D sai vì 135 là BCNN(27, 45), không phải ƯCLN. |
| 4 | A | 84 = 2² · 3 · 7; 108 = 2² · 3³. Thừa số chung là 2 và 3, số mũ nhỏ nhất lần lượt là 2 và 1 nên ƯCLN(84, 108) = 2² · 3 = 12. Thử lại: 84 : 12 = 7, 108 : 12 = 9, đều chia hết. Đáp án B sai vì 6 chỉ là một ước chung, chưa phải lớn nhất. Đáp án C sai vì 108 không chia hết cho 21 (108 : 21 = 5 dư 3), nên 21 không phải ước chung. Đáp án D sai vì 84 : 42 = 2 nhưng 108 : 42 = 2 dư 24, nên 42 không phải ước chung. |
| 5 | A | 60 = 2² · 3 · 5; 48 = 2⁴ · 3. Thừa số chung là 2 và 3, số mũ nhỏ nhất lần lượt là 2 và 1 nên ƯCLN(60, 48) = 2² · 3 = 12. Xếp được nhiều nhất 12 đĩa, mỗi đĩa có 60 : 12 = 5 quả cam và 48 : 12 = 4 quả táo. Đáp án B sai vì 6 chưa phải số đĩa nhiều nhất. Đáp án C sai vì 60 không chia hết cho 24 (60 : 24 = 2 dư 12), nên không xếp được 24 đĩa đều nhau. Đáp án D sai vì 4 chưa phải số đĩa nhiều nhất. |
Câu hỏi thường gặp
Câu hỏi 1: ƯCLN của hai số nguyên tố cùng nhau bằng bao nhiêu?
Trả lời: Bằng 1. Hai số nguyên tố cùng nhau là hai số không có thừa số nguyên tố chung nào, ví dụ 8 và 9, 15 và 28. Vì không có thừa số chung để chọn nên ƯCLN của chúng bằng 1.
Câu hỏi 2: Nếu a chia hết cho b thì ƯCLN(a, b) bằng bao nhiêu?
Trả lời: Bằng b, tức là bằng số nhỏ hơn. Ví dụ 24 ⋮ 8 nên ƯCLN(24, 8) = 8. Đây là trường hợp đặc biệt rất hay gặp, giúp bạn trả lời ngay mà không cần phân tích.
Câu hỏi 3: ƯCLN của một số với 1 bằng bao nhiêu?
Trả lời: Bằng 1. Ví dụ ƯCLN(25, 1) = 1, ƯCLN(100, 1) = 1. Vì số 1 chỉ có một ước là chính nó, nên ước chung lớn nhất không thể vượt quá 1.
Câu hỏi 4: Tìm được ƯCLN rồi thì tìm ước chung như thế nào?
Trả lời: Mọi ước chung của a và b đều là ước của ƯCLN(a, b). Ví dụ ƯCLN(24, 36) = 12, mà Ư(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12} nên ƯC(24, 36) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}. Bạn không cần liệt kê ước của từng số rồi tìm giao nhau nữa.
Câu hỏi 5: ƯCLN dùng để làm gì trong thực tế?
Trả lời: Dùng để chia đều đồ vật thành nhiều nhóm nhất mà không thừa, rút gọn phân số về dạng tối giản (chia cả tử và mẫu cho ƯCLN của chúng), và lát gạch, cắt vải sao cho vừa khít. Ví dụ, rút gọn phân số 24/36: ƯCLN(24, 36) = 12 nên 24/36 = 2/3 sau khi chia cả tử và mẫu cho 12.
Một mẹo nhỏ cho ngày kiểm tra: khi đã tìm được ƯCLN, hãy chia thử cả hai số cho đáp số của mình rồi kiểm tra xem hai thương có còn ước chung nào lớn hơn 1 không. Ví dụ, tìm ƯCLN(84, 108) = 12 thì 84 : 12 = 7 và 108 : 12 = 9, mà ƯCLN(7, 9) = 1, chứng tỏ 12 là đáp số đúng. Nếu hai thương vẫn còn ước chung lớn hơn 1, chẳng hạn tìm được 6 mà 84 : 6 = 14 và 108 : 6 = 18 vẫn cùng chia hết cho 2, thì đáp số của bạn chưa phải lớn nhất và cần nhân thêm. Cách thử lại này chỉ tốn vài chục giây nhưng bắt được hầu hết các lỗi quên thừa số chung hay lấy nhầm số mũ.
Dùng máy tính Casio online để kiểm tra kết quả
Khi phân tích một số ra thừa số nguyên tố, bạn hãy dùng máy tính Casio online để kiểm tra phép chia: ví dụ 108 : 2 = 54, 54 : 2 = 27, 27 : 3 = 9, 9 : 3 = 3, 3 : 3 = 1, từ đó khẳng định 108 = 2² · 3³. Máy tính giúp bạn không bị nhầm ở bước chia, bước dễ sai nhất khi tìm ƯCLN.
Tóm lại, tìm ƯCLN chỉ có ba bước: phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố, chọn ra các thừa số chung, rồi lập tích với số mũ nhỏ nhất. Nhớ thêm ba trường hợp đặc biệt — không có thừa số chung thì ƯCLN bằng 1, số nhỏ là ước của số lớn thì ƯCLN bằng số nhỏ, và ƯCLN với 1 luôn bằng 1 — là bạn đã có thể xử lí nhanh hầu hết các bài tập lớp 6. Và đừng quên phân biệt với BCNN ở bài sau: ƯCLN lấy thừa số chung với số mũ nhỏ nhất, BCNN lấy thừa số chung và riêng với số mũ lớn nhất.