Tính chất chia hết của một tổng: (a + b) ⋮ m, ví dụ và bài tập

Giờ ra chơi, cô giáo mang đến lớp một túi kẹo: 12 viên kẹo dâu và 15 viên kẹo chanh. Cô muốn chia đều tất cả số kẹo cho 3 tổ, mỗi tổ nhận được số kẹo như nhau. Có chia được không? Bạn Lan nhanh nhảu: “12 chia hết cho 3, 15 cũng chia hết cho 3, vậy gộp lại chắc chắn chia hết cho 3 ạ!” Cô giáo gật đầu: 12 + 15 = 27, và 27 chia cho 3 được đúng 9, mỗi tổ nhận 9 viên. Nhưng nếu túi kẹo chỉ có 12 viên kẹo dâu và 14 viên kẹo chanh thì sao? 14 không chia hết cho 3, và tổng 26 chia cho 3 còn dư 2, không chia đều được nữa.

Hai tình huống nhỏ ấy chứa đựng cả một tính chất quan trọng của phép chia hết: khi mọi số hạng đều chia hết cho cùng một số thì tổng cũng chia hết cho số đó, còn chỉ cần một số hạng “lạc loài” thì tổng sẽ không chia hết. Tính chất này không chỉ giúp bạn trả lời nhanh “có chia hết hay không” mà không cần tính tổng, mà còn là chìa khóa để giải nhiều bài toán tìm số chưa biết trong chương trình lớp 6. Bài viết này sẽ trình bày đầy đủ tính chất chia hết của một tổng, một hiệu, kèm ví dụ và bài tập để bạn dùng thành thạo.

Nhắc lại: thế nào là chia hết?

Cho hai số tự nhiên a và b, trong đó b khác 0. Nếu có số tự nhiên q sao cho a = b · q thì ta nói a chia hết cho b, kí hiệu a ⋮ b. Chẳng hạn, 12 = 3 · 4 nên 12 ⋮ 3. Ngược lại, nếu phép chia a cho b còn dư thì ta nói a không chia hết cho b, kí hiệu a ∤ b. Chẳng hạn, 14 chia cho 3 được 4 dư 2 nên 14 ∤ 3.

Khi a chia hết cho b, ta còn nói a là bội của b và b là ước của a. Ví dụ, 15 ⋮ 5 nên 15 là bội của 5, còn 5 là ước của 15. Bạn hãy ghi nhớ một vài sự thật hiển nhiên nhưng rất hay dùng:
Mọi số tự nhiên khác 0 đều chia hết cho chính nó và chia hết cho 1.
Số 0 chia hết cho mọi số tự nhiên khác 0, vì 0 = b · 0.
Nếu a ⋮ m thì k · a cũng ⋮ m với mọi số tự nhiên k, ví dụ 12 ⋮ 3 nên 5 · 12 = 60 cũng ⋮ 3.

Tính chất 1: Tổng của các số cùng chia hết cho m thì chia hết cho m

Nếu a ⋮ m và b ⋮ m thì (a + b) ⋮ m. Tính chất này đúng với tổng có nhiều số hạng: nếu a ⋮ m, b ⋮ m và c ⋮ m thì (a + b + c) ⋮ m.

Vì sao lại như vậy? Giả sử a = m · q₁ và b = m · q₂, tức là a gồm q₁ nhóm m, b gồm q₂ nhóm m. Gộp a và b lại, ta được a + b = m · q₁ + m · q₂ = m · (q₁ + q₂), rõ ràng vẫn là một số lần của m. Ví dụ quen thuộc ở đầu bài: 12 = 3 · 4 và 15 = 3 · 5, nên 12 + 15 = 3 · (4 + 5) = 3 · 9 = 27, và 27 ⋮ 3.

Trong thực tế, tính chất này giúp bạn kiểm tra tính chia hết mà không cần cộng ra tổng. Muốn biết 234 + 345 + 456 có chia hết cho 3 không, bạn chỉ cần xét từng số hạng: 234 ⋮ 3 (vì 2 + 3 + 4 = 9 ⋮ 3), 345 ⋮ 3 (vì 3 + 4 + 5 = 12 ⋮ 3), 456 ⋮ 3 (vì 4 + 5 + 6 = 15 ⋮ 3), nên tổng chia hết cho 3. Tính tổng ra 1 035 rồi chia cho 3 cũng được, nhưng xét từng số hạng nhanh và ít nhầm hơn nhiều.

Tính chất 2: Hiệu của hai số cùng chia hết cho m thì chia hết cho m

Nếu a ⋮ m, b ⋮ m và a ≥ b thì (a − b) ⋮ m. Lí do cũng giống như trên: a = m · q₁, b = m · q₂ thì a − b = m · (q₁ − q₂), vẫn là bội của m. Ví dụ: 48 ⋮ 6 và 30 ⋮ 6 nên 48 − 30 = 18 ⋮ 6, đúng vì 18 : 6 = 3.

Điều kiện a ≥ b chỉ để hiệu là số tự nhiên, vì trong chương trình lớp 6 ta chưa học số âm. Nếu a nhỏ hơn b, hiệu sẽ âm và ta không xét. Bạn hãy nhớ tính chất hiệu luôn đi kèm tính chất tổng, vì trong nhiều bài toán người ta hỏi cả hai: vừa hỏi tổng có chia hết không, vừa hỏi hiệu có chia hết không.

Tính chất 3: Chỉ một số hạng không chia hết thì tổng không chia hết

Nếu a ⋮ m, b ⋮ m, còn c ∤ m thì (a + b + c) ∤ m. Nói cách khác, trong một tổng, chỉ cần đúng một số hạng “không chia hết” thì cả tổng sẽ không chia hết. Ví dụ: 20 ⋮ 4, 14 ∤ 4 nên 20 + 14 = 34 ∤ 4, vì 34 : 4 = 8 dư 2.

Nhưng bạn phải cẩn thận với trường hợp có từ hai số hạng không chia hết trở lên: khi đó tổng có thể chia hết, cũng có thể không. Ví dụ, 10 ∤ 3 và 5 ∤ 3 nhưng 10 + 5 = 15 ⋮ 3; ngược lại, 10 ∤ 3 và 7 ∤ 3 mà 10 + 7 = 17 ∤ 3. Vì vậy, tính chất 3 chỉ kết luận được khi có đúng một số hạng không chia hết. Đây chính là điểm mà nhiều bạn hay vội vàng kết luận sai.

Một lưu ý ngược lại cũng rất quan trọng: tổng chia hết cho m không có nghĩa là từng số hạng đều chia hết cho m. Ví dụ, 10 + 5 = 15 ⋮ 3 nhưng cả 10 và 5 đều không chia hết cho 3. Tính chất chỉ nói một chiều: từ các số hạng suy ra tổng, chứ không suy ngược lại được.

Ví dụ 1: Xét tính chia hết của một tổng cơ bản

Không tính tổng, hãy cho biết 12 + 15 có chia hết cho 3 không? Vì sao?

Bài giải:
Ta có 12 ⋮ 3 vì 12 = 3 · 4.
Ta có 15 ⋮ 3 vì 15 = 3 · 5.
Vì cả hai số hạng đều chia hết cho 3 nên theo tính chất 1, tổng (12 + 15) ⋮ 3.
Kiểm tra lại: 12 + 15 = 27, và 27 : 3 = 9, đúng là chia hết.
Nhận xét: bạn không cần tính 12 + 15 = 27 mới kết luận được. Chỉ cần nhìn vào từng số hạng là đủ, và cách này đặc biệt hữu ích khi các số hạng rất lớn.

Ví dụ 2: Tổng có ba số hạng đều chia hết

Tổng 24 + 36 + 48 có chia hết cho 6 không? Nếu có, thương bằng bao nhiêu?

Bài giải:
Ta có 24 ⋮ 6 vì 24 = 6 · 4.
Ta có 36 ⋮ 6 vì 36 = 6 · 6.
Ta có 48 ⋮ 6 vì 48 = 6 · 8.
Vì cả ba số hạng đều chia hết cho 6 nên tổng (24 + 36 + 48) ⋮ 6.
Thương là 4 + 6 + 8 = 18, tức là (24 + 36 + 48) : 6 = 108 : 6 = 18.
Nhận xét: thương của tổng bằng tổng các thương của từng số hạng. Mẹo này giúp bạn tính nhanh: thay vì cộng 24 + 36 + 48 = 108 rồi chia cho 6, bạn có thể chia từng số rồi cộng các thương lại.

Ví dụ 3: Tìm số chưa biết bằng tính chất chia hết

Tìm tất cả các số tự nhiên x có một chữ số sao cho tổng 42 + x chia hết cho 7.

Bài giải:
Ta có 42 ⋮ 7 vì 42 = 7 · 6.
Để tổng 42 + x chia hết cho 7, số hạng còn lại x cũng phải chia hết cho 7 (nếu x không chia hết cho 7 thì theo tính chất 3, tổng sẽ không chia hết).
Các số tự nhiên có một chữ số chia hết cho 7 là 0 và 7.
Vậy x = 0 hoặc x = 7.
Thử lại: 42 + 0 = 42 ⋮ 7, đúng; 42 + 7 = 49 ⋮ 7, đúng.
Nhận xét: dạng bài “tìm x để tổng chia hết” là dạng kinh điển của tính chất này. Mấu chốt là tách tổng thành một số hạng đã biết chia hết và số hạng chứa x, rồi ép x phải chia hết cho cùng số đó. Nếu bạn muốn kiểm tra lại phép chia 42 : 7 hay 49 : 7, hãy dùng máy tính Casio online để bấm nhanh.

Ví dụ 4: Bài toán thực tế — xếp kẹo vào đĩa

Mẹ mua 25 quả cam và 15 quả táo, muốn xếp đều tất cả vào các đĩa, mỗi đĩa 5 quả. Hỏi mẹ có xếp hết không, và xếp được bao nhiêu đĩa?

Bài giải:
Ta có 25 ⋮ 5 vì 25 = 5 · 5.
Ta có 15 ⋮ 5 vì 15 = 5 · 3.
Vì cả hai số hạng đều chia hết cho 5 nên tổng số quả (25 + 15) ⋮ 5, tức là xếp hết, không thừa quả nào.
Tổng số quả là 25 + 15 = 40 quả.
Số đĩa cần dùng là 40 : 5 = 8 đĩa.
Đáp số: xếp hết, được 8 đĩa.
Nhận xét: nếu mẹ mua 25 quả cam và 14 quả táo thì tổng là 39 quả, 39 không chia hết cho 5 nên sẽ thừa 4 quả. Chỉ cần một số hạng thay đổi là kết quả đổi ngay, đúng như tính chất 3 đã nói.

Dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9 — công cụ xét nhanh số hạng

Tính chất chia hết của một tổng chỉ phát huy tác dụng khi bạn xét nhanh được từng số hạng có chia hết cho m hay không. May mắn là với các số 2, 3, 5, 9, 10, sách giáo khoa đã cho ta những dấu hiệu rất gọn. Một số chia hết cho 2 khi chữ số tận cùng của nó là 0, 2, 4, 6 hoặc 8. Một số chia hết cho 5 khi chữ số tận cùng là 0 hoặc 5. Một số chia hết cho 10 khi chữ số tận cùng là 0. Một số chia hết cho 3 khi tổng các chữ số của nó chia hết cho 3, và chia hết cho 9 khi tổng các chữ số chia hết cho 9.

Hãy thử kết hợp dấu hiệu với tính chất tổng qua vài ví dụ. Số 234 có tổng các chữ số là 2 + 3 + 4 = 9, mà 9 chia hết cho cả 3 và 9 nên 234 ⋮ 3 và 234 ⋮ 9. Số 345 có tổng các chữ số là 3 + 4 + 5 = 12, 12 ⋮ 3 nhưng 12 ∤ 9 nên 345 ⋮ 3 mà 345 ∤ 9. Số 1 025 tận cùng là 5 nên 1 025 ⋮ 5, nhưng tổng các chữ số là 1 + 0 + 2 + 5 = 8 không chia hết cho 3 nên 1 025 ∤ 3. Số 7 350 tận cùng là 0 nên chia hết cho cả 2, 5 và 10, tổng các chữ số là 7 + 3 + 5 + 0 = 15 ⋮ 3 nhưng 15 ∤ 9 nên 7 350 ⋮ 3 mà 7 350 ∤ 9. Khi đã xét nhanh được từng số hạng bằng dấu hiệu, bạn áp dụng tính chất tổng để kết luận ngay: ví dụ 234 + 345 + 7 350 đều chia hết cho 3 nên tổng của chúng chia hết cho 3, còn 1 025 + 345 thì không chia hết cho 3 vì 1 025 ∤ 3 mà chỉ có một số hạng không chia hết.

Lỗi sai thường gặp khi xét tính chia hết của một tổng

Dưới đây là bốn lỗi phổ biến nhất. Bạn hãy đọc kĩ, vì những lỗi này xuất hiện trong rất nhiều bài kiểm tra.

Lỗi 1: Thấy tổng chia hết thì kết luận từng số hạng đều chia hết. Ví dụ sai: 10 + 5 = 15 ⋮ 3 nên 10 ⋮ 3 và 5 ⋮ 3. Sự thật: 10 : 3 = 3 dư 1, 5 : 3 = 1 dư 2, cả hai đều không chia hết cho 3. Tính chất chỉ suy từ số hạng ra tổng, không suy ngược lại.

Lỗi 2: Thấy hai số hạng không chia hết thì kết luận tổng không chia hết. Ví dụ sai: 10 ∤ 3 và 8 ∤ 3 nên 10 + 8 ∤ 3. Sự thật: 10 + 8 = 18 ⋮ 3. Khi có từ hai số hạng không chia hết trở lên, tổng có thể chia hết hoặc không, phải tính cụ thể mới biết.

Lỗi 3: Quên mất điều kiện của hiệu. Ví dụ sai: 21 ⋮ 7 và 35 ⋮ 7 nên 21 − 35 ⋮ 7. Trong chương trình lớp 6, 21 − 35 không phải là số tự nhiên nên ta không xét hiệu này. Muốn dùng tính chất hiệu, số bị trừ phải lớn hơn hoặc bằng số trừ: 35 − 21 = 14 ⋮ 7 mới đúng.

Lỗi 4: Nhầm lẫn giữa “chia hết cho m” và “chia hết cho từng số hạng”. Ví dụ sai: 36 ⋮ 4 và 36 ⋮ 9 nên 36 ⋮ 13. Sự thật: chia hết cho 4 và chia hết cho 9 không có nghĩa là chia hết cho 4 + 9 = 13, vì 36 : 13 = 2 dư 10. Tính chất của tổng nói về tổng các số bị chia, không phải tổng các số chia.

Bài tập tự luyện

Câu 1: Không tính tổng, cho biết 18 + 27 có chia hết cho 9 không?
A. Có, vì cả 18 và 27 đều chia hết cho 9
B. Không, vì 18 + 27 = 45 không chia hết cho 9
C. Có, vì 18 chia hết cho 9 còn 27 thì không
D. Không, vì 27 không chia hết cho 9

Câu 2: Tổng 20 + 14 có chia hết cho 4 không?
A. Không, vì 14 không chia hết cho 4
B. Có, vì 20 chia hết cho 4
C. Có, vì 20 + 14 = 34 chia hết cho 4
D. Không, vì 20 không chia hết cho 4

Câu 3: Hiệu 56 − 21 có chia hết cho 7 không?
A. Có, vì cả 56 và 21 đều chia hết cho 7
B. Không, vì 56 − 21 = 35 không chia hết cho 7
C. Có, vì 56 chia hết cho 7 còn 21 thì không
D. Không, vì 21 không chia hết cho 7

Câu 4: Tìm tất cả các số tự nhiên x nhỏ hơn 10 sao cho tổng 30 + x chia hết cho 6.
A. x = 0 hoặc x = 6
B. x = 3
C. x = 5
D. x = 4

Câu 5: Lớp 6A có 28 bạn nam và 21 bạn nữ. Cô giáo muốn chia lớp thành các nhóm, mỗi nhóm có số bạn nam và số bạn nữ như nhau. Hỏi cô có thể chia thành 7 nhóm được không?
A. Được, mỗi nhóm có 4 bạn nam và 3 bạn nữ
B. Không, vì 28 không chia hết cho 7
C. Không, vì 21 không chia hết cho 7
D. Được, mỗi nhóm có 7 bạn nam và 7 bạn nữ

Bảng đáp án

Câu hỏi thường gặp

Câu hỏi 1: Tổng chia hết cho một số thì các số hạng có nhất thiết chia hết cho số đó không?
Trả lời: Không. Ví dụ 10 + 5 = 15 ⋮ 3 nhưng cả 10 và 5 đều không chia hết cho 3. Tính chất chỉ đi một chiều: từ số hạng suy ra tổng, không suy ngược lại.

Câu hỏi 2: Hai số hạng đều không chia hết thì tổng có chia hết được không?
Trả lời: Có thể. Ví dụ 10 ∤ 3 và 5 ∤ 3 nhưng 10 + 5 = 15 ⋮ 3. Ngược lại, 10 ∤ 3 và 7 ∤ 3 mà 10 + 7 = 17 ∤ 3. Khi có từ hai số hạng không chia hết trở lên, bạn phải tính cụ thể, không kết luận vội được.

Câu hỏi 3: Tính chất chia hết có dùng được cho tổng ba, bốn số hạng không?
Trả lời: Được. Nếu tất cả các số hạng đều chia hết cho m thì tổng chia hết cho m, dù tổng có bao nhiêu số hạng. Ví dụ 12 + 18 + 24 + 30 đều chia hết cho 6 nên tổng 84 ⋮ 6. Tương tự, nếu chỉ đúng một số hạng không chia hết thì tổng không chia hết.

Câu hỏi 4: Hiệu a − b dùng tính chất chia hết khi a nhỏ hơn b thì sao?
Trả lời: Trong chương trình lớp 6, ta chỉ xét hiệu khi a ≥ b để kết quả là số tự nhiên. Nếu a nhỏ hơn b, hiệu sẽ là số âm, ta chưa học tới. Bạn chỉ cần nhớ: muốn dùng tính chất hiệu, hãy lấy số lớn trừ số nhỏ.

Câu hỏi 5: Tính chất chia hết của một tổng dùng để làm gì trong thực tế?
Trả lời: Rất nhiều việc: kiểm tra nhanh một số tiền có chia đều cho các thành viên không, xếp đồ vào thùng mà không thừa, kiểm tra mã số, hay làm bước đệm để học ước chung và bội chung ở các bài sau. Nắm chắc tính chất này, bạn sẽ thấy các bài về ƯCLN và BCNN trở nên dễ hiểu hơn nhiều.

Tóm lại, tính chất chia hết của một tổng chỉ có ba ý chính: mọi số hạng cùng chia hết thì tổng chia hết; mọi số hạng cùng chia hết thì hiệu cũng chia hết; chỉ một số hạng không chia hết thì tổng không chia hết. Nhớ thêm chiều ngược lại không đúng — tổng chia hết chưa chắc số hạng đã chia hết — là bạn đã nắm vững toàn bộ bài học. Hãy làm lại năm bài tập trên cho đến khi không còn nhầm lẫn nào, rồi bạn sẽ thấy dạng bài này trở thành “điểm miễn phí” trong mọi bài kiểm tra.