Bạn mở bản đồ trên điện thoại để tìm một quán cà phê. Ứng dụng không nói quán ở phía nào theo kiểu đông hay tây mơ hồ, mà nói quán ở vị trí cách bạn 200 mét về phía đông và 150 mét về phía bắc. Hai con số đó, một theo chiều ngang và một theo chiều dọc, xác định chính xác quán nằm ở đâu. Toán học làm đúng việc đó trong mặt phẳng tọa độ Oxy: mỗi điểm được gọi tên bằng hai con số, hoành độ và tung độ, và mỗi vectơ cũng được gọi tên bằng hai con số, giúp bạn cộng, trừ và đo độ dài vectơ bằng những phép tính số học đơn giản thay vì phải vẽ hình rồi đo bằng thước.
Trong chương trình Toán 10, bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống giới thiệu hệ trục tọa độ Oxy gồm hai trục số vuông góc với nhau tại gốc O: trục hoành Ox nằm ngang và trục tung Oy thẳng đứng. Trên hai trục này có hai vectơ đơn vị, vectơ i nằm trên Ox và vectơ j nằm trên Oy, mỗi vectơ có độ dài bằng 1. Từ hai vectơ đơn vị đó, mọi điểm và mọi vectơ trong mặt phẳng đều có tọa độ của riêng mình. Bài viết này sẽ dẫn bạn từ cách đọc tọa độ của một điểm, tới cách viết một vectơ qua hai vectơ đơn vị, rồi tới bốn ví dụ tính tay, năm lỗi sai hay gặp, năm bài tập tự luyện có giải thích cặn kẽ và phần hỏi đáp cuối bài.
Từ một điểm trên bản đồ tới tọa độ trong mặt phẳng Oxy
Một điểm M trong mặt phẳng Oxy được xác định bởi hai con số x và y, viết là M(x; y). Số x gọi là hoành độ của điểm M, số y gọi là tung độ của điểm M. Bạn tìm hoành độ bằng cách hạ đường vuông góc từ M xuống trục Ox, còn tung độ bằng cách hạ đường vuông góc từ M xuống trục Oy. Ví dụ điểm A(2; 3) có hoành độ bằng 2 và tung độ bằng 3: từ gốc O, bạn đi 2 đơn vị sang phải dọc theo trục Ox, rồi đi 3 đơn vị lên trên song song với trục Oy, bạn sẽ tới đúng điểm A. Dấu của hai con số cho bạn biết điểm nằm ở góc phần tư nào: cả hai số đều dương thì điểm nằm ở góc phần tư thứ nhất, hoành độ âm và tung độ dương thì điểm nằm ở góc phần tư thứ hai, cả hai đều âm thì điểm nằm ở góc phần tư thứ ba, còn hoành độ dương và tung độ âm thì điểm nằm ở góc phần tư thứ tư.
Một vectơ u trong mặt phẳng cũng được xác định bởi hai con số x và y, viết là u bằng (x; y). Cách hiểu sâu sắc nhất của hai con số này là qua hai vectơ đơn vị i và j: vectơ u bằng (x; y) khi và chỉ khi u bằng x nhân i cộng y nhân j. Vectơ i là vectơ đơn vị trên trục Ox, tức là vectơ có độ dài bằng 1 và hướng theo chiều dương của trục Ox, còn vectơ j là vectơ đơn vị trên trục Oy, tức là vectơ có độ dài bằng 1 và hướng theo chiều dương của trục Oy. Khi bạn viết u bằng 3 nhân i trừ j, bạn đang nói rằng vectơ u đi 3 đơn vị theo hướng của trục Ox và 1 đơn vị ngược hướng của trục Oy. Công thức u bằng x nhân i cộng y nhân j chính là cầu nối giữa hình học và đại số: mọi phép toán trên vectơ đều trở thành phép toán trên hai con số x và y.
Khi vectơ u được vẽ từ gốc O, đầu mút của nó chính là điểm có cùng tọa độ với vectơ. Ví dụ vectơ u bằng (3; −1) vẽ từ gốc O sẽ có đầu mút tại điểm có hoành độ 3 và tung độ trừ 1, tức là điểm (3; −1) nằm ở góc phần tư thứ tư. Điều này cho thấy tọa độ của một điểm và tọa độ của một vectơ tuy viết giống nhau nhưng ý nghĩa khác nhau: tọa độ của điểm nói vị trí của điểm đó trong mặt phẳng, còn tọa độ của vectơ nói hướng và độ lớn của một sự dịch chuyển. Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cùng tọa độ, dù chúng được vẽ ở hai chỗ khác nhau trong mặt phẳng. Đây là điểm khác biệt quan trọng nhất giữa điểm và vectơ mà bạn cần ghi nhớ ngay từ đầu.
Từ tọa độ, bạn tính được tọa độ của vectơ nối hai điểm một cách rất gọn. Cho hai điểm A(xA; yA) và B(xB; yB), vectơ AB có tọa độ bằng (xB trừ xA; yB trừ yA), tức là bạn lấy tọa độ của điểm cuối trừ đi tọa độ của điểm đầu. Quy tắc trừ tọa độ điểm cuối trừ điểm đầu này áp dụng cho mọi cặp điểm, và bạn sẽ dùng nó trong gần như mọi bài toán tọa độ sau này. Tương tự, trung điểm M của đoạn thẳng AB có tọa độ bằng trung bình cộng của tọa độ hai đầu mút: hoành độ của M bằng (xA cộng xB) chia 2, tung độ của M bằng (yA cộng yB) chia 2. Nếu cần kiểm tra nhanh một phép trừ tọa độ hay một phép chia đôi, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn tính hộ, nhưng bạn vẫn nên tự làm một lần để nhớ quy tắc.
Hai phép toán đơn giản nhất trên tọa độ vectơ là cộng hai vectơ và nhân một vectơ với một số. Cho hai vectơ u bằng (x1; y1) và v bằng (x2; y2), tổng u cộng v có tọa độ bằng (x1 cộng x2; y1 cộng y2), tức là bạn cộng hoành độ với hoành độ và tung độ với tung độ. Cho một số thực k, vectơ k nhân u có tọa độ bằng (k nhân x; k nhân y), tức là bạn nhân cả hai tọa độ với k. Cuối cùng, độ dài của vectơ u bằng (x; y) được tính bằng căn bậc hai của x bình phương cộng y bình phương, viết là |u| bằng √(x² cộng y²). Năm công thức này, gồm tọa độ điểm, tọa độ vectơ qua i và j, vectơ nối hai điểm, cộng vectơ, nhân vectơ với một số và độ dài vectơ, là toàn bộ hành trang bạn cần để làm mọi bài tập tọa độ trong chương này, kể cả bài công thức độ dài vectơ mà bạn sẽ gặp ngay sau bài này.
Đi từ điểm A(2; 3) tới vectơ u = (3; −1) rồi xa hơn
Ví dụ 1 (dùng đúng số liệu mẫu): Cho điểm A(2; 3) và vectơ u = (3; −1). Xác định hoành độ, tung độ của điểm A và viết vectơ u qua hai vectơ đơn vị i, j.
Điểm A(2; 3) có hoành độ bằng 2 và tung độ bằng 3. Trên mặt phẳng Oxy, bạn tìm điểm A bằng cách từ gốc O đi 2 đơn vị sang phải theo trục Ox, rồi đi 3 đơn vị lên trên song song với trục Oy. Vì cả hai tọa độ đều dương nên điểm A nằm ở góc phần tư thứ nhất. Vectơ u bằng (3; −1) có hoành độ bằng 3 và tung độ bằng trừ 1, nên theo công thức u bằng x nhân i cộng y nhân j, ta có u bằng 3 nhân i cộng (trừ 1) nhân j, tức là u bằng 3 nhân i trừ j. Khi vẽ vectơ u từ gốc O, đầu mút của nó là điểm (3; −1), nằm ở góc phần tư thứ tư vì hoành độ dương và tung độ âm. Bạn hãy để ý điểm A và vectơ u là hai đối tượng khác nhau: điểm A là một vị trí, còn vectơ u là một sự dịch chuyển dài 3 đơn vị sang phải và 1 đơn vị xuống dưới.
Ví dụ 2: Cho hai điểm B(−1; 4) và C(2; 1). Tìm tọa độ vectơ BC và tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng BC.
Vectơ BC có tọa độ bằng tọa độ của điểm cuối C trừ đi tọa độ của điểm đầu B. Hoành độ của vectơ BC bằng 2 trừ (trừ 1) bằng 3, tung độ của vectơ BC bằng 1 trừ 4 bằng trừ 3, nên vectơ BC bằng (3; −3). Bạn kiểm tra lại dấu: 2 trừ (trừ 1) bằng 2 cộng 1 bằng 3, đúng; 1 trừ 4 bằng trừ 3, đúng. Trung điểm M của đoạn thẳng BC có hoành độ bằng (trừ 1 cộng 2) chia 2 bằng 0,5, tung độ bằng (4 cộng 1) chia 2 bằng 2,5, nên M có tọa độ (0,5; 2,5). Bạn có thể kiểm tra bằng cách tính vectơ BM: hoành độ bằng 0,5 trừ (trừ 1) bằng 1,5, tung độ bằng 2,5 trừ 4 bằng trừ 1,5, nên vectơ BM bằng (1,5; −1,5), đúng bằng một nửa của vectơ BC bằng (3; −3), vì M là trung điểm nên vectơ BM bằng một nửa vectơ BC.
Ví dụ 3: Cho hai vectơ u = (2; 5) và v = (−1; 3). Tính tọa độ của vectơ u cộng v, vectơ 2u và vectơ u trừ v.
Tổng u cộng v có hoành độ bằng 2 cộng (trừ 1) bằng 1, tung độ bằng 5 cộng 3 bằng 8, nên u cộng v bằng (1; 8). Vectơ 2u có hoành độ bằng 2 nhân 2 bằng 4, tung độ bằng 2 nhân 5 bằng 10, nên 2u bằng (4; 10). Hiệu u trừ v có hoành độ bằng 2 trừ (trừ 1) bằng 3, tung độ bằng 5 trừ 3 bằng 2, nên u trừ v bằng (3; 2). Bạn hãy kiểm tra lại từng phép tính: 2 cộng (trừ 1) bằng 1, đúng; 5 cộng 3 bằng 8, đúng; 2 nhân 2 bằng 4 và 2 nhân 5 bằng 10, đúng; 2 trừ (trừ 1) bằng 3 và 5 trừ 3 bằng 2, đúng. Ba kết quả này cho thấy mọi phép toán trên vectơ đều quy về phép toán trên từng tọa độ một, không có gì phức tạp hơn phép cộng và phép nhân số học thông thường.
Ví dụ 4: Cho hai điểm A(1; 2) và B(4; 6). Tìm tọa độ vectơ AB và tính độ dài của vectơ AB.
Vectơ AB có hoành độ bằng 4 trừ 1 bằng 3, tung độ bằng 6 trừ 2 bằng 4, nên vectơ AB bằng (3; 4). Độ dài của vectơ AB bằng căn bậc hai của 3 bình phương cộng 4 bình phương, tức là căn bậc hai của 9 cộng 16 bằng căn bậc hai của 25 bằng 5. Vậy độ dài đoạn thẳng AB cũng bằng 5, vì độ dài vectơ AB chính là khoảng cách giữa hai điểm A và B. Đây là bộ ba số 3, 4, 5 nổi tiếng trong tam giác vuông: bạn đi 3 đơn vị theo chiều ngang và 4 đơn vị theo chiều dọc thì khoảng cách thẳng giữa hai điểm là đúng 5 đơn vị, một kết quả đẹp mà bạn sẽ còn gặp lại rất nhiều lần trong hình học tọa độ.
Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Đọc ngược hoành độ và tung độ của một điểm.
Nhiều bạn thấy điểm A(2; 3) thì viết hoành độ bằng 3 và tung độ bằng 2, rồi vẽ điểm sai sang vị trí khác. Cách tránh: bạn hãy nhớ thứ tự trong ngoặc luôn là hoành độ trước, tung độ sau, theo thứ tự bảng chữ cái x rồi y và theo thứ tự trục Ox rồi Oy. Bạn đọc to thành tiếng: A có x bằng 2, y bằng 3, rồi mới vẽ. Một mẹo nhỏ là chữ H trong hoành độ đi trước chữ T trong tung độ, giống như x đi trước y.
Lỗi 2: Viết vectơ u = (x; y) thành u = x nhân i trừ y nhân j trong mọi trường hợp.
Một số bạn nhớ công thức u bằng 3 nhân i trừ j trong ví dụ mẫu rồi áp dụng dấu trừ cho mọi vectơ, kể cả khi y dương. Cách tránh: bạn hãy nhớ công thức gốc là u bằng x nhân i cộng y nhân j, dấu cộng hay trừ là do dấu của y quyết định. Nếu y bằng trừ 1 thì cộng (trừ 1) nhân j chính là trừ j, còn nếu y bằng 5 thì u bằng x nhân i cộng 5 nhân j. Bạn luôn viết đúng công thức cộng trước, rồi mới rút gọn dấu theo giá trị của y.
Lỗi 3: Tính vectơ AB bằng tọa độ của A trừ tọa độ của B.
Lỗi này rất phổ biến: bạn lấy điểm đầu trừ điểm cuối thay vì điểm cuối trừ điểm đầu, khiến vectơ AB đổi hướng thành vectơ BA. Cách tránh: bạn hãy nhớ vectơ AB đi từ A tới B, nên tọa độ của nó là tọa độ của điểm tới B trừ đi tọa độ của điểm xuất phát A. Bạn viết rõ dòng vectơ AB bằng (xB trừ xA; yB trừ yA) ra giấy nháp trước khi thay số, và kiểm tra nhanh bằng hình vẽ: nếu B nằm bên phải A thì hoành độ của vectơ AB phải dương.
Lỗi 4: Nhầm tọa độ của điểm với tọa độ của vectơ khi hai đối tượng có cùng cặp số.
Nhiều bạn thấy điểm (3; −1) và vectơ (3; −1) thì cho rằng chúng là một, rồi dùng tọa độ điểm để cộng vectơ hoặc ngược lại. Cách tránh: bạn hãy nhớ điểm là một vị trí cố định trong mặt phẳng, còn vectơ là một sự dịch chuyển có thể đặt ở bất cứ đâu. Vectơ (3; −1) vẽ từ gốc O có đầu mút tại điểm (3; −1), nhưng cùng vectơ đó vẽ từ điểm A(2; 3) sẽ có đầu mút tại điểm (5; 2). Bạn luôn hỏi mình đang làm việc với điểm hay vectơ trước khi viết công thức.
Lỗi 5: Tính độ dài vectơ bằng x cộng y thay vì căn bậc hai của x bình phương cộng y bình phương.
Một số bạn thấy vectơ (3; 4) thì tính độ dài bằng 3 cộng 4 bằng 7, một kết quả sai hoàn toàn. Cách tránh: bạn hãy nhớ độ dài vectơ là cạnh huyền của tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là |x| và |y|, nên phải dùng định lí Py-ta-go: độ dài bằng căn bậc hai của x bình phương cộng y bình phương. Với vectơ (3; 4), độ dài bằng căn bậc hai của 25 bằng 5, không phải 7. Bạn viết rõ công thức có dấu căn và hai số bình phương trước khi thay số.
Năm bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ các công thức: vectơ AB bằng (xB trừ xA; yB trừ yA), u cộng v cộng từng tọa độ, k nhân u nhân cả hai tọa độ với k, độ dài vectơ bằng căn bậc hai của x bình phương cộng y bình phương.
Câu 1: Cho hai điểm A(3; 5) và B(7; 9). Tọa độ của vectơ AB bằng bao nhiêu?
A. (−4; −4)
B. (10; 14)
C. (4; 4)
D. (3; 5)
Câu 2: Cho hai vectơ u = (2; −3) và v = (1; 4). Tọa độ của vectơ u cộng v bằng bao nhiêu?
A. (1; 1)
B. (3; 1)
C. (3; 7)
D. (1; −7)
Câu 3: Cho vectơ u = (6; 8). Độ dài của vectơ u bằng bao nhiêu?
A. 14
B. 7
C. 48
D. 10
Câu 4: Cho hai điểm M(2; −1) và N(5; 3). Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng MN bằng bao nhiêu?
A. (7; 2)
B. (3; 2)
C. (3,5; 1)
D. (1,5; 2)
Câu 5: Cho vectơ u = (−2; 3). Tọa độ của vectơ 2u bằng bao nhiêu?
A. (−4; 6)
B. (4; −6)
C. (−2; 3)
D. (2; 6)
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | C | B | D | C | A |
Giải thích Câu 1 — Đáp án C ((4; 4)) đúng: Vectơ AB bằng tọa độ của B trừ đi tọa độ của A: hoành độ bằng 7 trừ 3 bằng 4, tung độ bằng 9 trừ 5 bằng 4, nên vectơ AB bằng (4; 4). Đáp án A ((−4; −4)) sai vì đó là vectơ BA, bạn đã lấy A trừ B thay vì B trừ A. Đáp án B ((10; 14)) sai vì bạn đã cộng tọa độ hai điểm thay vì trừ. Đáp án D ((3; 5)) sai vì đó là tọa độ của điểm A, không phải tọa độ của vectơ AB.
Giải thích Câu 2 — Đáp án B ((3; 1)) đúng: Tổng u cộng v có hoành độ bằng 2 cộng 1 bằng 3, tung độ bằng (trừ 3) cộng 4 bằng 1, nên u cộng v bằng (3; 1). Đáp án A ((1; 1)) sai vì bạn đã lấy hoành độ 2 trừ 1 bằng 1 thay vì cộng. Đáp án C ((3; 7)) sai vì tung độ 7 là kết quả của (trừ 3) cộng 10, bạn đã cộng nhầm dấu của tung độ vectơ u. Đáp án D ((1; −7)) sai vì đó là hiệu u trừ v, không phải tổng u cộng v.
Giải thích Câu 3 — Đáp án D (10) đúng: Độ dài của vectơ u bằng căn bậc hai của 6 bình phương cộng 8 bình phương, tức là căn bậc hai của 36 cộng 64 bằng căn bậc hai của 100 bằng 10. Đáp án A (14) sai vì 14 là tổng 6 cộng 8, bạn đã cộng hai tọa độ thay vì dùng định lí Py-ta-go. Đáp án B (7) sai vì 7 là một nửa của 14, không có căn cứ nào trong công thức độ dài. Đáp án C (48) sai vì 48 là tích 6 nhân 8, bạn đã nhân hai tọa độ với nhau.
Giải thích Câu 4 — Đáp án C ((3,5; 1)) đúng: Trung điểm của đoạn thẳng MN có hoành độ bằng (2 cộng 5) chia 2 bằng 3,5, tung độ bằng (trừ 1 cộng 3) chia 2 bằng 1, nên trung điểm có tọa độ (3,5; 1). Đáp án A ((7; 2)) sai vì đó là tổng tọa độ hai điểm, bạn đã quên chia cho 2. Đáp án B ((3; 2)) sai vì bạn đã lấy trung bình của hoành độ 2 và 5 là 3,5 nhưng viết nhầm thành 3, và tung độ 2 là kết quả của (trừ 1 cộng 3) cộng 0, một phép tính sai. Đáp án D ((1,5; 2)) sai vì 1,5 là một nửa hiệu của 5 trừ 2, không phải trung bình cộng của hai hoành độ.
Giải thích Câu 5 — Đáp án A ((−4; 6)) đúng: Vectơ 2u có hoành độ bằng 2 nhân (trừ 2) bằng trừ 4, tung độ bằng 2 nhân 3 bằng 6, nên 2u bằng (−4; 6). Đáp án B ((4; −6)) sai vì bạn đã đổi dấu cả hai tọa độ, tức là tính (trừ 2) nhân u thay vì 2 nhân u. Đáp án C ((−2; 3)) sai vì đó là vectơ u ban đầu, bạn đã quên nhân với 2. Đáp án D ((2; 6)) sai vì hoành độ 2 là kết quả của việc bỏ dấu trừ của (trừ 2) rồi nhân với 1, bạn đã làm mất dấu âm.
Hỏi đáp nhanh về tọa độ vectơ và điểm
Hỏi: Điểm và vectơ có cùng một cặp tọa độ thì có phải là một không?
Đáp: Không. Điểm là một vị trí cố định, còn vectơ là một sự dịch chuyển. Điểm (3; −1) chỉ có một vị trí duy nhất trong mặt phẳng, còn vectơ (3; −1) có thể vẽ từ bất cứ điểm nào: vẽ từ gốc O thì đầu mút của nó trùng với điểm (3; −1), vẽ từ điểm A(2; 3) thì đầu mút của nó là điểm (5; 2). Bạn phân biệt hai khái niệm này bằng cách hỏi: mình đang nói tới vị trí hay sự dịch chuyển.
Hỏi: Vectơ i và vectơ j có gì đặc biệt?
Đáp: Vectơ i và vectơ j là hai vectơ đơn vị, mỗi vectơ có độ dài bằng 1, vectơ i nằm trên trục Ox và hướng theo chiều dương của trục Ox, vectơ j nằm trên trục Oy và hướng theo chiều dương của trục Oy. Hai vectơ này vuông góc với nhau, và mọi vectơ trong mặt phẳng đều viết được duy nhất dưới dạng x nhân i cộng y nhân j. Nhờ có i và j mà tọa độ vectơ có nghĩa hình học rõ ràng, không chỉ là hai con số khô khan.
Hỏi: Vì sao vectơ AB lại bằng tọa độ của B trừ tọa độ của A?
Đáp: Vì vectơ AB là sự dịch chuyển từ A tới B. Bạn tưởng tượng mình đứng tại A, muốn tới B thì phải đi thêm một đoạn bằng hiệu tọa độ của B và A theo mỗi trục. Nếu B ở bên phải A thì bạn đi sang phải, hoành độ của vectơ AB dương; nếu B ở bên trái A thì bạn đi sang trái, hoành độ của vectơ AB âm. Quy tắc điểm cuối trừ điểm đầu chính là cách viết gọn của suy nghĩ này.
Hỏi: Tọa độ của vectơ có thay đổi khi mình dịch chuyển vectơ sang chỗ khác không?
Đáp: Không thay đổi. Đây là tính chất quan trọng nhất của vectơ: hai vectơ bằng nhau khi chúng có cùng tọa độ, dù gốc của chúng đặt ở hai chỗ khác nhau. Bạn có thể trượt một vectơ đi khắp mặt phẳng mà tọa độ của nó vẫn giữ nguyên, vì tọa độ chỉ nói hướng và độ lớn của sự dịch chuyển, không nói vị trí đặt vectơ. Nhờ tính chất này mà bạn có thể đưa mọi vectơ về gốc O để so sánh và tính toán cho tiện.
Hỏi: Học xong tọa độ vectơ và điểm thì làm được bài nào tiếp theo?
Đáp: Bạn sẽ dùng ngay tọa độ để tính độ dài vectơ, xét hai vectơ có bằng nhau hay không, cộng và trừ vectơ, nhân vectơ với một số, rồi tới tích vô hướng của hai vectơ và góc giữa hai vectơ. Xa hơn, tọa độ là công cụ để bạn viết phương trình đường thẳng, phương trình đường tròn và giải mọi bài toán hình học phẳng bằng đại số, thay vì chỉ vẽ hình và đo đạc như trước đây.
Kết luận
Một điểm M(x; y) được xác định bởi hoành độ x và tung độ y, còn một vectơ u bằng (x; y) khi và chỉ khi u bằng x nhân i cộng y nhân j, với i và j là hai vectơ đơn vị trên hai trục Ox và Oy. Từ hai con số x và y, bạn tính được vectơ nối hai điểm bằng cách lấy tọa độ điểm cuối trừ tọa độ điểm đầu, cộng hai vectơ bằng cách cộng từng tọa độ, nhân vectơ với một số bằng cách nhân cả hai tọa độ, và tính độ dài vectơ bằng căn bậc hai của x bình phương cộng y bình phương. Làm xong bốn ví dụ và năm bài tập trong bài này, bạn đã nắm được ngôn ngữ tọa độ của mặt phẳng Oxy, và từ đây mọi bài toán hình học phẳng đều có thể biến thành những phép tính số học rõ ràng, kiểm tra được từng bước.