Bạn và một người bạn đứng ở hai đầu của một căn phòng dài, và bạn muốn gặp nhau ở đúng điểm giữa để trao đổi một món đồ. Bạn không cần đo đạc phức tạp, chỉ cần lấy vị trí của hai người cộng lại rồi chia đôi là ra điểm gặp nhau. Trong toán học lớp 12, điểm gặp nhau đó chính là trung điểm của đoạn thẳng trong không gian Oxyz, và công thức tính tọa độ của nó cũng đơn giản như vậy: lấy trung bình cộng tọa độ của hai đầu mút.
Bài này sẽ giúp bạn làm chủ tọa độ trung điểm trong không gian một cách có hệ thống: từ định nghĩa trung điểm, công thức tính tọa độ trung điểm theo từng thành phần, cách tìm tọa độ một đầu mút khi biết trung điểm và đầu mút còn lại, cho tới 4 ví dụ tính từng bước và 5 bài tập trắc nghiệm có đáp án chi tiết. Chỉ cần nhớ trung điểm là trung bình cộng của hai đầu mút, bạn đã nắm được chìa khóa của cả bài học.
Tọa độ trung điểm trong không gian Oxyz là gì?
Cho hai điểm A(x_A; y_A; z_A) và B(x_B; y_B; z_B) trong không gian Oxyz. Trung điểm M của đoạn thẳng AB là điểm nằm chính giữa đoạn AB, thỏa mãn M là điểm duy nhất sao cho vectơ AM⃗ bằng vectơ MB⃗, tức là M chia đoạn AB thành hai phần bằng nhau. Tọa độ của trung điểm M được tính bằng công thức M((x_A + x_B) / 2; (y_A + y_B) / 2; (z_A + z_B) / 2), nghĩa là mỗi tọa độ của M bằng trung bình cộng của hai tọa độ tương ứng của A và B. Bạn hãy đọc công thức này thành một câu thần chú: cộng hai đầu rồi chia đôi.
Công thức trung điểm có một cách chứng minh rất đẹp bằng vectơ mà bạn nên biết để hiểu sâu hơn. Gọi O là gốc tọa độ, ta có vectơ OM⃗ = (OA⃗ + OB⃗) / 2, vì trung điểm M thỏa mãn OA⃗ + OB⃗ = 2 · OM⃗ theo quy tắc hình bình hành. Từ đẳng thức vectơ này, bạn suy ra từng tọa độ của M bằng trung bình cộng của hai tọa độ tương ứng của A và B. Công thức này đúng trong cả mặt phẳng và không gian, chỉ khác nhau ở số thành phần tọa độ: trong mặt phẳng bạn tính hai thành phần, trong không gian bạn tính ba thành phần. Khi cần kiểm tra lại một phép chia đôi, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.
Từ công thức trung điểm, bạn suy ra cách tìm tọa độ một đầu mút khi biết trung điểm và đầu mút còn lại, một dạng bài toán ngược rất hay gặp trong đề thi. Nếu biết A và trung điểm M thì tọa độ điểm B được tính bằng B = 2 · M − A theo từng thành phần, tức là x_B = 2 · x_M − x_A, y_B = 2 · y_M − y_A và z_B = 2 · z_M − z_A. Bạn hãy nhớ: muốn tìm đầu mút còn lại thì lấy hai lần trung điểm trừ đi đầu mút đã biết. Ngoài ra, trung điểm còn xuất hiện trong nhiều bài toán khác như tìm tâm của hình bình hành, vì hai đường chéo của hình bình hành cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, hay tìm điểm đối xứng, vì trung điểm của đoạn nối một điểm với ảnh của nó qua phép đối xứng tâm chính là tâm đối xứng.
Bốn bài toán mẫu tính từng bước
Ví dụ 1 (dùng đúng số liệu mẫu): Cho A(1; 2; 3) và B(5; 6; 7). Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB.
Bạn áp dụng công thức trung bình cộng từng thành phần: x_M = (1 + 5) / 2 = 3, y_M = (2 + 6) / 2 = 4, z_M = (3 + 7) / 2 = 5. Vậy trung điểm M có tọa độ (3; 4; 5). Bạn hãy kiểm tra lại từng thành phần: hoành độ (1 + 5) / 2 = 3, tung độ (2 + 6) / 2 = 4, cao độ (3 + 7) / 2 = 5, tất cả đều đúng. Đây là ví dụ đơn giản nhất nhưng cũng là quan trọng nhất, vì mọi bài tập về trung điểm đều bắt đầu từ việc cộng hai đầu rồi chia đôi.
Ví dụ 2: Cho A(0; 2; 4) và B(6; 0; 2). Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB.
Bạn tính x_M = (0 + 6) / 2 = 3, y_M = (2 + 0) / 2 = 1, z_M = (4 + 2) / 2 = 3. Vậy trung điểm M có tọa độ (3; 1; 3). Bạn hãy để ý: tung độ của M bằng 1 vì (2 + 0) / 2 = 1, còn cao độ bằng 3 vì (4 + 2) / 2 = 3. Bạn hãy cẩn thận với các thành phần bằng 0, vì 0 cộng với một số rồi chia đôi vẫn cho ra một nửa của số đó, không phải 0.
Ví dụ 3: Cho A(1; 1; 1) và trung điểm M(4; 5; 6) của đoạn thẳng AB. Tìm tọa độ điểm B.
Bạn dùng công thức tìm đầu mút: x_B = 2 · x_M − x_A = 2 · 4 − 1 = 7, y_B = 2 · y_M − y_A = 2 · 5 − 1 = 9, z_B = 2 · z_M − z_A = 2 · 6 − 1 = 11. Vậy điểm B có tọa độ (7; 9; 11). Bạn hãy kiểm tra lại bằng cách tính trung điểm của A(1; 1; 1) và B(7; 9; 11): ((1 + 7) / 2; (1 + 9) / 2; (1 + 11) / 2) = (4; 5; 6), đúng với trung điểm M đã cho.
Ví dụ 4: Cho M(2; −1; 3) và N(−2; 3; 1). Tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng MN.
Bạn tính x = (2 + (−2)) / 2 = 0, y = (−1 + 3) / 2 = 1, z = (3 + 1) / 2 = 2. Vậy trung điểm của đoạn MN có tọa độ (0; 1; 2). Bạn hãy để ý: hoành độ bằng 0 vì 2 và −2 triệt tiêu nhau, còn tung độ bằng 1 vì (−1 + 3) / 2 = 1. Dạng bài này nhắc bạn phải cẩn thận với dấu âm: cộng hai số trái dấu rồi chia đôi có thể cho ra 0 hoặc một số nhỏ, và bạn phải tính đúng dấu của từng số hạng.
Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Cộng hai đầu mà quên chia 2.
Nhiều bạn tính trung điểm của A(1; 2; 3) và B(5; 6; 7) thành (6; 8; 10). Cách tránh: bạn hãy nhớ trung điểm là trung bình cộng, không phải tổng. Sau khi cộng hai đầu, bạn luôn phải chia đôi rồi mới kết luận, và kiểm tra lại bằng cách xem tọa độ trung điểm có nằm giữa hai đầu mút hay không.
Lỗi 2: Lấy hiệu hai đầu thay vì tổng.
Nhiều bạn tính trung điểm bằng (B − A) / 2. Cách tránh: bạn hãy nhớ công thức trung điểm dùng tổng, còn hiệu dùng để tính vectơ AB⃗. Hai công thức này khác nhau hoàn toàn, vì vậy bạn hãy viết rõ công thức M = (A + B) / 2 trước khi thay số.
Lỗi 3: Nhầm trung điểm với trọng tâm tam giác.
Nhiều bạn tính trung điểm của đoạn AB bằng cách cộng ba điểm rồi chia 3. Cách tránh: bạn hãy nhớ trung điểm chỉ liên quan tới hai điểm và chia 2, còn trọng tâm liên quan tới ba điểm và chia 3. Khi đề bài chỉ cho hai điểm A và B thì bạn dùng công thức trung điểm, khi cho ba điểm A, B, C thì bạn mới dùng công thức trọng tâm.
Lỗi 4: Tính trung bình cộng sai một thành phần.
Nhiều bạn tính đúng hai thành phần nhưng sai thành phần thứ ba vì làm quá nhanh. Cách tránh: bạn hãy tính từng thành phần riêng rẽ và viết rõ từng phép tính (x_A + x_B) / 2, (y_A + y_B) / 2, (z_A + z_B) / 2. Sau khi tính xong, bạn hãy kiểm tra lại bằng cách xem mỗi tọa độ của trung điểm có bằng trung bình cộng của hai đầu mút hay không.
Lỗi 5: Tìm đầu mút còn lại bằng cách lấy trung điểm trừ đầu mút đã biết.
Nhiều bạn tính B = M − A thay vì B = 2 · M − A. Cách tránh: bạn hãy nhớ công thức đúng là B = 2 · M − A, vì trung điểm bằng trung bình cộng nên đầu mút còn lại bằng hai lần trung điểm trừ đi đầu mút đã biết. Bạn hãy kiểm tra lại bằng cách tính trung điểm của hai đầu mút vừa tìm được. Nếu muốn ôn lại cách tính tọa độ trọng tâm tam giác, bạn hãy xem bài tọa độ trọng tâm tam giác trong không gian Oxyz.
Năm bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ cộng hai đầu rồi chia đôi.
Câu 1: Cho A(1; 2; 3) và B(5; 6; 7). Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB bằng
A. (3; 4; 5)
B. (6; 8; 10)
C. (2; 3; 4)
D. (3; 4; 10)
Câu 2: Cho A(2; 4; 6) và B(4; 2; 0). Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB bằng
A. (6; 6; 6)
B. (3; 3; 3)
C. (1; 1; 1)
D. (3; 3; 6)
Câu 3: Điểm M(0; 0; 0) là trung điểm của đoạn thẳng AB với A(2; −4; 6). Tọa độ điểm B bằng
A. (−2; 4; −6)
B. (2; −4; 6)
C. (1; −2; 3)
D. (−1; 2; −3)
Câu 4: Cho A(−1; 3; 5) và B(5; −1; 1). Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB bằng
A. (4; 2; 6)
B. (2; 1; 3)
C. (2; 2; 2)
D. (3; 1; 3)
Câu 5: Cho A(1; 1; 1) và B(3; 3; 3). Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB bằng
A. (4; 4; 4)
B. (1; 2; 3)
C. (2; 2; 2)
D. (2; 2; 3)
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | A | B | A | B | C |
Giải thích Câu 1 — Đáp án A ((3; 4; 5)) đúng: Bạn tính M = ((1 + 5) / 2; (2 + 6) / 2; (3 + 7) / 2) = (3; 4; 5). Đáp án B sai vì bạn cộng hai đầu mà quên chia 2. Đáp án C sai vì bạn lấy hiệu hai đầu chia 2. Đáp án D sai vì cao độ (3 + 7) / 2 = 5 chứ không phải 10.
Giải thích Câu 2 — Đáp án B ((3; 3; 3)) đúng: Bạn tính M = ((2 + 4) / 2; (4 + 2) / 2; (6 + 0) / 2) = (3; 3; 3). Đáp án A sai vì bạn cộng hai đầu mà quên chia 2. Đáp án C sai vì bạn chia tổng cho 6 thay vì chia 2. Đáp án D sai vì cao độ (6 + 0) / 2 = 3 chứ không phải 6.
Giải thích Câu 3 — Đáp án A ((−2; 4; −6)) đúng: Bạn dùng B = 2 · M − A = (0 − 2; 0 − (−4); 0 − 6) = (−2; 4; −6). Đáp án B sai vì đó là chính điểm A. Đáp án C sai vì bạn tính M − A thay vì 2 · M − A. Đáp án D sai vì bạn chia đôi kết quả đúng.
Giải thích Câu 4 — Đáp án B ((2; 1; 3)) đúng: Bạn tính M = ((−1 + 5) / 2; (3 + (−1)) / 2; (5 + 1) / 2) = (2; 1; 3). Đáp án A sai vì bạn cộng hai đầu mà quên chia 2. Đáp án C sai vì tung độ (3 + (−1)) / 2 = 1 chứ không phải 2. Đáp án D sai vì hoành độ (−1 + 5) / 2 = 2 chứ không phải 3.
Giải thích Câu 5 — Đáp án C ((2; 2; 2)) đúng: Bạn tính M = ((1 + 3) / 2; (1 + 3) / 2; (1 + 3) / 2) = (2; 2; 2). Đáp án A sai vì bạn cộng hai đầu mà quên chia 2. Đáp án B sai vì đó là tọa độ của một điểm khác, không phải trung điểm. Đáp án D sai vì cao độ (1 + 3) / 2 = 2 chứ không phải 3.
Câu hỏi thường gặp về tọa độ trung điểm trong không gian Oxyz
Hỏi: Trung điểm của một đoạn thẳng là gì?
Đáp: Trung điểm của đoạn thẳng AB là điểm M nằm chính giữa đoạn AB, chia đoạn AB thành hai phần bằng nhau, tức là AM = MB và M nằm trên đoạn AB. Tọa độ của M bằng trung bình cộng tọa độ của A và B theo từng thành phần.
Hỏi: Công thức tính tọa độ trung điểm trong không gian là gì?
Đáp: Với A(x_A; y_A; z_A) và B(x_B; y_B; z_B), trung điểm M có tọa độ ((x_A + x_B) / 2; (y_A + y_B) / 2; (z_A + z_B) / 2). Bạn cộng hai đầu rồi chia đôi từng thành phần. Công thức này đúng trong cả mặt phẳng và không gian, chỉ khác số thành phần.
Hỏi: Biết trung điểm và một đầu mút thì tìm đầu mút còn lại như thế nào?
Đáp: Bạn dùng công thức B = 2 · M − A theo từng thành phần. Ví dụ A(1; 1; 1) và trung điểm M(4; 5; 6) thì B = (2 · 4 − 1; 2 · 5 − 1; 2 · 6 − 1) = (7; 9; 11). Bạn hãy kiểm tra lại bằng cách tính trung điểm của A và B vừa tìm được.
Hỏi: Trung điểm khác trọng tâm tam giác như thế nào?
Đáp: Trung điểm liên quan tới hai điểm và chia 2, còn trọng tâm liên quan tới ba đỉnh của tam giác và chia 3. Trung điểm của đoạn AB là trung bình cộng của A và B, còn trọng tâm của tam giác ABC là trung bình cộng của A, B và C. Bạn đừng nhầm hai công thức này với nhau.
Hỏi: Trung điểm có ứng dụng gì trong bài tập hình học không gian?
Đáp: Trung điểm xuất hiện trong nhiều bài toán: tìm tâm của hình bình hành vì hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, tìm điểm đối xứng vì trung điểm của đoạn nối một điểm với ảnh của nó chính là tâm đối xứng, và tìm tọa độ điểm chia đoạn thẳng theo tỉ lệ cho trước.
Kết luận
Tọa độ trung điểm trong không gian Oxyz chỉ gói gọn trong một công thức: M là trung bình cộng của A và B theo từng thành phần, tức là cộng hai đầu rồi chia đôi. Bạn hãy nhớ ba điều: luôn chia 2 sau khi cộng, muốn tìm đầu mút còn lại thì lấy hai lần trung điểm trừ đi đầu mút đã biết, và đừng nhầm trung điểm với trọng tâm tam giác. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để tính tọa độ trung điểm và tìm đầu mút trong mọi bài toán không gian — và đó là nền tảng để bạn học tiếp tọa độ trọng tâm tam giác ở bài sau.