Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Bạn đã biết cách đọc tọa độ của một vectơ, và bạn đã biết khi nào hai vectơ bằng nhau. Bây giờ, câu hỏi tiếp theo rất tự nhiên là: nếu cộng hai vectơ lại với nhau thì được vectơ nào, và nếu nhân một vectơ với số 2 hay số 3 thì vectơ mới dài ra bao nhiêu, hướng có đổi không? Tin vui là bạn không cần vẽ hình bình hành hay đo đạc gì cả: mọi phép toán với vectơ đều làm được ngay trên hai con số tọa độ, bằng phép cộng, phép trừ và phép nhân mà bạn đã quen từ cấp hai. Bài viết này thuộc chương Vectơ, sách giáo khoa Toán 10, bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống, và nó sẽ trang bị cho bạn ba công thức tọa độ dùng trong gần như mọi bài tập vectơ còn lại của năm học.

Bạn hãy hình dung tọa độ của vectơ như hai ngăn kéo riêng biệt: ngăn hoành độ và ngăn tung độ. Khi cộng hai vectơ, bạn cộng ngăn hoành độ với ngăn hoành độ, ngăn tung độ với ngăn tung độ, hai ngăn không bao giờ lẫn vào nhau. Khi nhân vectơ với một số, bạn nhân số đó vào cả hai ngăn, ngăn nào cũng được nhân như nhau. Chỉ cần nhớ hai quy tắc ngăn kéo này, bạn sẽ tính đúng mọi phép toán vectơ mà không cần nhớ thêm bất cứ điều gì khác. Bài viết gồm phần công thức, bốn ví dụ tính từng bước có đối chiếu với hình vẽ, năm lỗi sai thường gặp, năm bài tập tự luyện kèm giải thích chi tiết từng đáp án và phần giải đáp nhanh những thắc mắc hay gặp nhất.

Cộng, trừ và nhân vectơ với một số — làm ngay trên tọa độ

Cho hai vectơ a = (x₁; y₁) và b = (x₂; y₂). Công thức cộng hai vectơ viết như sau: a + b = (x₁ + x₂; y₁ + y₂). Bạn đọc công thức này thành một câu đơn giản: muốn cộng hai vectơ, bạn cộng hai hoành độ với nhau để được hoành độ mới, cộng hai tung độ với nhau để được tung độ mới. Ví dụ với a = (1, 2) và b = (3, −1), hoành độ mới bằng 1 + 3 = 4, tung độ mới bằng 2 + (−1) = 1, vậy a + b = (4, 1). Bạn hãy chú ý phép cộng ở tung độ là 2 cộng với trừ 1, kết quả là 1 chứ không phải 3, vì cộng một số âm chính là trừ đi giá trị tuyệt đối của nó. Đây là chỗ nhiều bạn tính nhẩm sai nhất, nên bạn hãy viết dấu ngoặc quanh số âm rồi mới tính, đừng tính nhẩm trong đầu khi mới học.

Công thức trừ hai vectơ cũng làm theo đúng quy tắc ngăn kéo: a − b = (x₁ − x₂; y₁ − y₂). Bạn trừ hoành độ cho hoành độ, trừ tung độ cho tung độ, mỗi ngăn trừ riêng. Với a = (1, 2) và b = (3, −1), hoành độ mới bằng 1 − 3 = −2, tung độ mới bằng 2 − (−1) = 3, vậy a − b = (−2, 3). Bạn hãy để ý phép trừ ở tung độ: 2 trừ đi trừ 1 bằng 2 cộng 1 bằng 3, vì trừ một số âm chính là cộng với số đối của nó. Quy tắc đổi dấu này là nguồn gốc của phần lớn các lỗi sai trong bài tập trừ vectơ, nên bạn hãy viết rõ từng bước đổi dấu ra giấy nháp, đừng làm tắt. Một mẹo nhỏ là bạn có thể nghĩ phép trừ a − b chính là phép cộng a + (−b), trong đó vectơ đối −b bằng (−x₂; −y₂), rồi cộng theo quy tắc cộng đã học, kết quả sẽ giống hệt nhau.

Công thức nhân vectơ với một số viết như sau: với số thực k bất kì, k nhân vectơ a bằng (k nhân x₁; k nhân y₁). Bạn nhân số k vào cả hoành độ lẫn tung độ, không bỏ sót ngăn nào. Với a = (1, 2) và k = 2, bạn được 2a = (2 nhân 1; 2 nhân 2) = (2, 4). Bạn hãy hiểu ý nghĩa hình học của phép nhân này: nhân vectơ với số 2 thì vectơ dài gấp đôi nhưng vẫn chỉ cùng một hướng, nhân với số trừ 1 thì vectơ đổi hướng ngược lại mà giữ nguyên độ dài, nhân với số 0 thì vectơ biến thành vectơ không. Khi k là một phân số như một phần hai, vectơ mới ngắn lại còn một nửa. Bạn chỉ cần nhớ nhân cả hai tọa độ, còn hướng và độ dài thay đổi ra sao thì hình vẽ sẽ cho bạn thấy ngay.

Ba công thức trên có một điểm chung rất đẹp: chúng đều làm việc theo từng thành phần, không bao giờ trộn hoành độ với tung độ. Bạn có thể kiểm chứng tính đúng đắn của chúng bằng hình vẽ quy tắc hình bình hành: vẽ vectơ a rồi vẽ vectơ b nối tiếp vào đầu mút của a, vectơ tổng chính là vectơ nối từ gốc tới đầu mút cuối cùng, và tọa độ của nó đúng bằng tổng từng thành phần như công thức đã cho. Sự thống nhất giữa hình học và đại số này chính là điều làm cho phương pháp tọa độ mạnh mẽ: bạn tính bằng số cho nhanh, và hình vẽ sẽ xác nhận lại kết quả cho bạn. Trong phần ví dụ sau, mỗi kết quả tính bằng công thức đều có thể đối chiếu với một mũi tên trên hệ trục Oxy, và bạn nên tập thói quen đối chiếu này trong những bài đầu tiên.

Trước khi đi vào ví dụ, bạn hãy ghi nhớ thêm hai hệ quả hay dùng. Thứ nhất, vectơ đối của a = (x₁; y₁) là −a = (−x₁; −y₁), tức là đổi dấu cả hai tọa độ, đây chính là trường hợp riêng của phép nhân vectơ với số k = −1. Thứ hai, hiệu hai vectơ a − b bằng tổng của a với vectơ đối của b, nên bạn có thể tính a − b bằng cách đổi dấu b rồi cộng, cách nào tiện hơn thì dùng cách đó. Khi gặp một biểu thức dài như 2a − 3b, bạn cứ làm từng bước: tính 2a trước, tính 3b sau, rồi trừ hai kết quả cho nhau theo từng thành phần. Bạn đừng cố làm tất cả trong một dòng, vì càng nhiều bước gộp lại thì càng dễ sai dấu. Khi cần kiểm tra lại một phép tính nhẩm, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ tính toán. Ngoài ra, trước khi cộng hay trừ hai vectơ, bạn nên ôn lại bài tọa độ hai vectơ bằng nhau, vì nhiều bài tập kết hợp cả hai kiến thức: tính tổng rồi so sánh với một vectơ cho trước.

Bốn ví dụ tính từng bước, đối chiếu bằng hình vẽ

Ví dụ 1 (dùng đúng số liệu mẫu): Cho hai vectơ a = (1, 2) và b = (3, −1). Tính a + b và 2a.
Bạn tính tổng trước: a + b = (1 + 3; 2 + (−1)) = (4, 1). Hoành độ mới bằng 1 + 3 = 4, tung độ mới bằng 2 + (−1) = 1, vậy a + b = (4, 1). Bạn tính tiếp 2a: 2a = (2 nhân 1; 2 nhân 2) = (2, 4). Bạn kiểm tra lại bằng hình vẽ: vectơ a là mũi tên xanh tới điểm (1, 2), vectơ b là mũi tên cam tới điểm (3, −1), vectơ tổng a + b là mũi tên xanh lá tới điểm (4, 1), còn vectơ 2a là mũi tên tím đứt nét tới điểm (2, 4), nằm trên cùng đường thẳng với vectơ a nhưng dài gấp đôi. Bạn hãy để ý điểm (2, 4) đúng là gấp đôi điểm (1, 2) theo cả hai tọa độ, đó là dấu hiệu cho thấy phép nhân với số 2 đã làm đúng. Nếu bạn tính được 2a = (2, 2) thì bạn đã quên nhân tung độ, còn nếu tính được (1, 4) thì bạn đã quên nhân hoành độ.

Ví dụ 2: Cho hai vectơ a = (1, 2) và b = (3, −1). Tính a − b và b − a, rồi nhận xét mối quan hệ giữa hai kết quả.
Bạn tính a − b: hoành độ bằng 1 − 3 = −2, tung độ bằng 2 − (−1) = 3, vậy a − b = (−2, 3). Bạn tính b − a: hoành độ bằng 3 − 1 = 2, tung độ bằng −1 − 2 = −3, vậy b − a = (2, −3). Bạn nhận xét: hai kết quả là hai vectơ đối nhau, vì (2, −3) chính là đổi dấu cả hai tọa độ của (−2, 3). Đây không phải là sự trùng hợp: với bất kì hai vectơ a và b nào, ta luôn có b − a = −(a − b). Bạn hãy nhớ quy tắc này để kiểm tra bài làm của mình: nếu bạn tính a − b và b − a mà hai kết quả không đối nhau thì chắc chắn một trong hai phép tính đã sai dấu. Trên hình vẽ, hai vectơ này là hai mũi tên ngược hướng nhau, dài bằng nhau, cùng đi qua gốc tọa độ.

Ví dụ 3: Cho hai vectơ a = (1, 2) và b = (3, −1). Tính 3b và −a.
Bạn tính 3b: nhân số 3 vào cả hai tọa độ của b, hoành độ bằng 3 nhân 3 = 9, tung độ bằng 3 nhân (−1) = −3, vậy 3b = (9, −3). Bạn tính −a: nhân số −1 vào cả hai tọa độ của a, hoành độ bằng −1 nhân 1 = −1, tung độ bằng −1 nhân 2 = −2, vậy −a = (−1, −2). Bạn kiểm tra lại: vectơ 3b dài gấp ba lần vectơ b và cùng hướng với b, vì số 3 là số dương, còn vectơ −a ngược hướng với vectơ a và dài bằng vectơ a, vì nhân với số −1 chỉ đổi hướng mà không đổi độ dài. Bạn hãy chú ý dấu của tung độ trong 3b: 3 nhân với −1 cho ra −3, nhiều bạn viết nhầm thành 3 vì quên dấu trừ của số −1. Bạn hãy viết phép nhân có dấu ngoặc đầy đủ, chẳng hạn 3 nhân (−1) = −3, thì sẽ không bao giờ sai dấu.

Ví dụ 4: Cho hai vectơ a = (1, 2) và b = (3, −1). Tính 2a − b và kiểm tra kết quả bằng cách tính gộp từng thành phần.
Bạn làm theo hai bước: tính 2a trước, 2a = (2 nhân 1; 2 nhân 2) = (2, 4), rồi trừ vectơ b: 2a − b = (2 − 3; 4 − (−1)) = (−1, 5). Bạn kiểm tra bằng cách tính gộp: hoành độ bằng 2 nhân 1 trừ 3 = 2 − 3 = −1, tung độ bằng 2 nhân 2 trừ (−1) = 4 + 1 = 5, vậy kết quả cũng là (−1, 5), hai cách tính khớp nhau. Bạn hãy để ý phép trừ ở tung độ: 4 trừ đi −1 bằng 4 cộng 1 bằng 5, đây là chỗ dễ sai dấu nhất trong cả bài. Dạng bài kết hợp nhân rồi trừ như thế này rất hay gặp trong đề kiểm tra, và cách làm an toàn nhất là tách thành hai bước nhỏ như trên, tính xong bước nào thì viết kết quả bước đó ra giấy rồi mới làm tiếp bước sau, đừng gộp tất cả vào một dòng duy nhất.

Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh

Lỗi 1: Cộng hoành độ với tung độ, trộn hai ngăn tọa độ vào nhau.
Nhiều bạn tính a + b với a = (1, 2) và b = (3, −1) thì lấy 1 + (−1) = 0 làm hoành độ và 2 + 3 = 5 làm tung độ, được kết quả sai là (0, 5). Cách tránh: bạn hãy luôn cộng số đầu với số đầu và số sau với số sau, viết hai phép tính trên hai dòng riêng biệt rồi mới ghép kết quả lại thành một cặp. Bạn có thể dùng ngón tay che đi tung độ khi đang cộng hoành độ, rồi che hoành độ khi đang cộng tung độ, để mắt bạn không bao giờ nhìn nhầm sang ngăn bên cạnh. Quy tắc ngăn kéo này áp dụng cho cả phép cộng, phép trừ và phép nhân vectơ với một số.

Lỗi 2: Quên nhân số k vào một trong hai tọa độ.
Nhiều bạn tính 2a với a = (1, 2) thì chỉ nhân hoành độ mà quên nhân tung độ, được (2, 2), hoặc chỉ nhân tung độ mà quên nhân hoành độ, được (1, 4). Cách tránh: bạn hãy viết công thức k nhân a bằng (k nhân x₁; k nhân y₁) ra giấy nháp rồi thay số vào cả hai vị trí, đừng tính nhẩm trong đầu. Bạn kiểm tra lại bằng hình vẽ: vectơ 2a phải nằm trên cùng đường thẳng với vectơ a và dài gấp đôi, nên điểm cuối của nó phải là (2, 4), gấp đôi cả hai tọa độ của điểm (1, 2). Nếu một tọa độ không gấp đôi thì chắc chắn bạn đã quên nhân ở ngăn đó.

Lỗi 3: Sai dấu khi trừ một số âm.
Nhiều bạn tính 2 − (−1) thì viết thành 1, hoặc tính −1 − 2 thì viết thành 1, vì nhầm lẫn giữa phép trừ và phép cộng số âm. Cách tránh: bạn hãy nhớ quy tắc trừ một số âm bằng cộng với số đối của nó, tức là 2 − (−1) = 2 + 1 = 3 và −1 − 2 = −3. Bạn hãy viết rõ bước đổi dấu ra giấy nháp, chẳng hạn viết 2 − (−1) thành 2 + 1 rồi mới tính, đừng làm tắt trong đầu. Trong ví dụ 2, phép tính a − b có tung độ là 2 − (−1) = 3, nếu bạn viết thành 1 thì cả vectơ kết quả sẽ sai, và mọi bước sau dùng kết quả đó cũng sai theo.

Lỗi 4: Cho rằng a + b bằng b + a là sai, hoặc a − b bằng b − a.
Nhiều bạn nghĩ thứ tự trong phép trừ không quan trọng nên tính b − a thay cho a − b, hoặc ngược lại, nghĩ phép cộng vectơ không có tính giao hoán. Cách tránh: bạn hãy nhớ phép cộng vectơ có tính giao hoán, a + b luôn bằng b + a, vì cộng hai số thực theo từng thành phần thì thứ tự không quan trọng. Nhưng phép trừ vectơ không có tính giao hoán: a − b bằng trừ của b − a, tức là hai vectơ đối nhau, như ví dụ 2 đã chỉ ra. Bạn hãy phân biệt rõ hai phép toán này: cộng thì đổi chỗ được, trừ thì đổi chỗ sẽ đổi dấu toàn bộ kết quả. Khi đề bài hỏi a − b, bạn phải trừ đúng thứ tự, không được tự ý đổi thành b − a.

Lỗi 5: Nhân vectơ với số âm mà quên đổi hướng, hoặc nhân với số 0 mà giữ nguyên vectơ.
Nhiều bạn tính −a với a = (1, 2) thì viết thành (1, 2) như cũ, hoặc tính 0 nhân a thì viết thành a, vì nghĩ nhân với số âm hay số 0 thì vectơ không thay đổi. Cách tránh: bạn hãy nhớ nhân vectơ với số k là nhân số k vào cả hai tọa độ, không có ngoại lệ nào. Với k = −1, bạn đổi dấu cả hai tọa độ nên −a = (−1, −2), vectơ mới ngược hướng với vectơ cũ. Với k = 0, bạn nhân 0 vào cả hai tọa độ nên 0 nhân a = (0, 0), tức là vectơ không. Bạn hãy kiểm tra lại bằng ý nghĩa hình học: nhân với số âm thì mũi tên quay ngược lại, nhân với số 0 thì mũi tên biến mất hoàn toàn, không còn vectơ nào nữa.

Năm bài tập tự luyện

Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ công thức: a + b = (x₁ + x₂; y₁ + y₂), a − b = (x₁ − x₂; y₁ − y₂) và k nhân a = (k nhân x₁; k nhân y₁), mỗi phép toán làm riêng theo từng thành phần.

Câu 1: Cho hai vectơ a = (1, 2) và b = (3, −1). Vectơ a + b bằng vectơ nào sau đây?
A. (4, 1)
B. (2, 3)
C. (4, 3)
D. (2, 1)

Câu 2: Cho hai vectơ a = (1, 2) và b = (3, −1). Vectơ a − b bằng vectơ nào sau đây?
A. (4, 1)
B. (−2, 3)
C. (2, −3)
D. (−4, −1)

Câu 3: Cho vectơ a = (1, 2). Vectơ 3a bằng vectơ nào sau đây?
A. (3, 2)
B. (1, 6)
C. (3, 6)
D. (4, 5)

Câu 4: Cho vectơ b = (3, −1). Vectơ −2b bằng vectơ nào sau đây?
A. (6, −2)
B. (−6, −2)
C. (6, 2)
D. (−6, 2)

Câu 5: Cho hai vectơ a = (2, −1) và b = (−2, 1). Vectơ a + b bằng vectơ nào sau đây?
A. (0, 0)
B. (4, −2)
C. (0, 2)
D. (4, 0)

Giải thích Câu 1 — Đáp án A ((4, 1)) đúng: Bạn cộng từng thành phần: hoành độ bằng 1 + 3 = 4, tung độ bằng 2 + (−1) = 1, vậy a + b = (4, 1). Đáp án B ((2, 3)) sai vì bạn đã lấy hiệu hoành độ 3 − 1 = 2 và tổng tung độ 2 + 1 = 3, trộn phép cộng với phép trừ. Đáp án C ((4, 3)) sai vì tung độ đúng phải là 2 + (−1) = 1, bạn đã cộng 2 + 1 = 3 do bỏ qua dấu trừ của số −1. Đáp án D ((2, 1)) sai vì hoành độ đúng phải là 1 + 3 = 4, bạn đã lấy 3 − 1 = 2, tức là trừ thay vì cộng.

Giải thích Câu 2 — Đáp án B ((−2, 3)) đúng: Bạn trừ từng thành phần: hoành độ bằng 1 − 3 = −2, tung độ bằng 2 − (−1) = 2 + 1 = 3, vậy a − b = (−2, 3). Đáp án A ((4, 1)) sai vì đó là vectơ tổng a + b, bạn đã cộng thay vì trừ. Đáp án C ((2, −3)) sai vì đó là vectơ b − a, bạn đã trừ ngược thứ tự; hai vectơ a − b và b − a là hai vectơ đối nhau. Đáp án D ((−4, −1)) sai vì hoành độ −4 và tung độ −1 không xuất phát từ phép trừ nào đúng: 1 − 3 = −2 chứ không phải −4, và 2 − (−1) = 3 chứ không phải −1.

Giải thích Câu 3 — Đáp án C ((3, 6)) đúng: Bạn nhân số 3 vào cả hai tọa độ: hoành độ bằng 3 nhân 1 = 3, tung độ bằng 3 nhân 2 = 6, vậy 3a = (3, 6). Đáp án A ((3, 2)) sai vì bạn chỉ nhân hoành độ mà quên nhân tung độ. Đáp án B ((1, 6)) sai vì bạn chỉ nhân tung độ mà quên nhân hoành độ. Đáp án D ((4, 5)) sai vì bạn đã cộng số 3 vào từng tọa độ thay vì nhân: 1 + 3 = 4 và 2 + 3 = 5, đó là phép cộng một số với vectơ, không phải phép nhân vectơ với một số, và phép cộng đó vốn không có nghĩa trong chương trình này.

Giải thích Câu 4 — Đáp án D ((−6, 2)) đúng: Bạn nhân số −2 vào cả hai tọa độ của b: hoành độ bằng −2 nhân 3 = −6, tung độ bằng −2 nhân (−1) = 2, vì tích của hai số âm là một số dương, vậy −2b = (−6, 2). Đáp án A ((6, −2)) sai vì đó là vectơ 2b, bạn đã bỏ qua dấu trừ của số −2. Đáp án B ((−6, −2)) sai vì tung độ đúng phải là (−2) nhân (−1) = 2, bạn đã viết thành −2 do quên quy tắc âm nhân âm bằng dương. Đáp án C ((6, 2)) sai vì hoành độ đúng phải là −6, bạn đã bỏ dấu trừ ở hoành độ trong khi vẫn giữ đúng tung độ.

Giải thích Câu 5 — Đáp án A ((0, 0)) đúng: Bạn cộng từng thành phần: hoành độ bằng 2 + (−2) = 0, tung độ bằng −1 + 1 = 0, vậy a + b = (0, 0), tức là vectơ không. Đáp án B ((4, −2)) sai vì bạn đã trừ hai vectơ thay vì cộng: 2 − (−2) = 4 và −1 − 1 = −2, đó là vectơ a − b chứ không phải a + b. Đáp án C ((0, 2)) sai vì tung độ đúng phải là −1 + 1 = 0, bạn đã bỏ dấu trừ của số −1 nên tính nhầm thành 1 + 1 = 2. Đáp án D ((4, 0)) sai vì hoành độ đúng phải là 0, bạn đã lấy 2 − (−2) = 4 do trừ thay vì cộng ở ngăn hoành độ. Bạn hãy nhận xét: hai vectơ a và b trong câu này là hai vectơ đối nhau, nên tổng của chúng bằng vectơ không, đây là tính chất bạn sẽ gặp lại rất nhiều lần.

Giải đáp nhanh về phép toán vectơ theo tọa độ

Hỏi: Cộng hai vectơ có cần vẽ hình bình hành không?
Đáp: Không cần, nếu bạn chỉ cần đáp số. Công thức tọa độ cho bạn kết quả ngay bằng phép cộng hai cặp số, nhanh hơn và chính xác hơn vẽ hình. Hình bình hành chỉ cần khi đề bài yêu cầu minh họa, hoặc khi bạn muốn kiểm tra lại kết quả bằng mắt. Trong bài kiểm tra trắc nghiệm, bạn cứ dùng công thức tọa độ, còn hình vẽ thì để dành cho những lúc bạn nghi ngờ đáp số của mình.

Hỏi: Vì sao a − b lại khác b − a?
Đáp: Vì phép trừ vectơ không có tính giao hoán. Bạn tính a − b bằng cách trừ từng thành phần của b khỏi a, còn b − a thì trừ ngược lại, hai kết quả là hai vectơ đối nhau: b − a = −(a − b). Bạn có thể hình dung bằng số thực: 5 − 3 = 2 còn 3 − 5 = −2, hai kết quả đối nhau. Với vectơ cũng vậy, chỉ khác là bạn trừ cả hai thành phần cùng một lúc.

Hỏi: Nhân vectơ với số âm thì hướng thay đổi thế nào?
Đáp: Vectơ mới sẽ quay ngược lại 180 độ so với vectơ cũ, tức là chỉ về phía đối diện, còn độ dài thì bằng trị tuyệt đối của số nhân nhân với độ dài cũ. Ví dụ nhân vectơ a = (1, 2) với số −2 thì được (−2, −4), mũi tên chỉ ngược hướng với mũi tên cũ và dài gấp đôi. Nhân với số −1 thì chỉ đổi hướng mà giữ nguyên độ dài, nên −a chính là vectơ đối của a.

Hỏi: Có thể cộng một số thực với một vectơ không?
Đáp: Không. Phép cộng chỉ có nghĩa giữa hai vectơ với nhau, hoặc giữa hai số thực với nhau, chứ không có phép cộng giữa một số và một vectơ. Nếu bạn gặp biểu thức như 3 + a thì đó là biểu thức sai, không có nghĩa trong chương trình Toán 10. Số thực chỉ được phép nhân với vectơ, như 3a, hoặc cộng với một số thực khác. Bạn hãy nhớ kĩ điều này để không bị lừa bởi những đáp án nhiễu trong đề trắc nghiệm.

Hỏi: Làm sao để kiểm tra nhanh kết quả phép toán vectơ?
Đáp: Bạn có ba cách kiểm tra nhanh. Thứ nhất, vẽ các vectơ lên hệ trục Oxy và xem điểm cuối có khớp với kết quả tính toán không, như hình minh họa của ví dụ 1. Thứ hai, dùng tính chất đối nhau: tính cả a − b và b − a rồi xem hai kết quả có đối nhau không. Thứ ba, tính lại bằng cách gộp từng thành phần như ví dụ 4, nếu hai cách tính cho cùng một kết quả thì đáp số của bạn rất đáng tin. Bạn nên tập cả ba cách này trong lúc ôn tập, tới khi vào phòng thi thì chỉ cần dùng một cách nhanh nhất.

Kết luận

Cộng, trừ và nhân vectơ với một số theo tọa độ gói gọn trong ba công thức làm việc theo từng thành phần: cộng thì cộng hoành độ với hoành độ và tung độ với tung độ, trừ thì trừ từng thành phần, nhân với số k thì nhân k vào cả hai tọa độ. Bạn hãy nhớ ba điều: không bao giờ trộn hoành độ với tung độ, luôn viết rõ bước đổi dấu khi trừ một số âm, và phân biệt phép cộng có tính giao hoán với phép trừ không có tính giao hoán. Làm xong năm bài tập tự luyện và đối chiếu với phần giải thích ở trên, bạn đã đủ tự tin để tính bất kì biểu thức vectơ nào bằng tọa độ. Bước tiếp theo, bạn hãy dùng ba công thức này để chứng minh các tính chất hình học, chẳng hạn tìm tọa độ trung điểm hay trọng tâm, vì đó mới là nơi phép toán vectơ phát huy hết sức mạnh của nó.