Công thức liên quan đến tọa độ hai vectơ bằng nhau

Hai anh em sinh đôi đứng cạnh nhau, mặc cùng một bộ quần áo, cao bằng nhau, bước đi cùng một nhịp — nhìn vào, bạn biết ngay hai người giống hệt nhau. Trong hình học, hai vectơ bằng nhau cũng giống như vậy: chúng có cùng độ dài, cùng hướng, và khi bạn đặt chúng lên mặt phẳng tọa độ thì chúng trùng nhau hoàn toàn, không lệch đi một chút nào. Bài học hôm nay sẽ giúp bạn nhận ra hai vectơ bằng nhau chỉ bằng cách nhìn vào tọa độ của chúng, không cần đo đạc, không cần vẽ hình cầu kì. Đây là một trong những công thức ngắn gọn nhất của chương Vectơ trong sách giáo khoa Toán 10, bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống, nhưng lại là chìa khóa để bạn giải rất nhiều bài toán về sau, từ chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau cho tới tìm một điểm chưa biết trên mặt phẳng.

Bạn hãy tưởng tượng mình đang đứng trên một tấm bản đồ có kẻ ô vuông, mỗi ô là một đơn vị. Một mũi tên xuất phát từ gốc tọa độ O và dừng ở điểm có hoành độ 2, tung độ trừ 1. Một mũi tên khác cũng xuất phát từ gốc O và cũng dừng đúng ở điểm đó. Hai mũi tên ấy chính là hai vectơ bằng nhau, dù người ta có thể đặt cho chúng hai cái tên khác nhau. Bài viết này sẽ dẫn bạn đi từ định nghĩa, qua công thức tọa độ, tới bốn ví dụ tính từng bước, năm lỗi sai mà học sinh hay mắc nhất, năm bài tập tự luyện có đáp án giải thích cặn kẽ và năm câu hỏi thường gặp. Học xong, bạn chỉ cần nhìn hai cặp số trong ngoặc là kết luận được ngay hai vectơ có bằng nhau hay không.

Hai vectơ bằng nhau là gì? Nhìn trên mặt phẳng tọa độ

Trong sách giáo khoa Toán 10, hai vectơ được gọi là bằng nhau khi chúng cùng hướng và cùng độ dài. Bạn hãy nhớ kĩ hai điều kiện này đi cùng nhau, thiếu một trong hai thì hai vectơ không thể bằng nhau. Cùng hướng nghĩa là hai vectơ chỉ về cùng một phía, còn cùng độ dài nghĩa là hai mũi tên dài bằng nhau. Khi bạn đặt hai vectơ bằng nhau lên cùng một mặt phẳng tọa độ, chúng sẽ song song với nhau, dài bằng nhau và chỉ cùng một hướng — giống như hai que diêm đặt song song, dài bằng nhau, đầu que cùng chỉ về một phía. Định nghĩa này rất trực quan, nhưng khi làm bài tập, bạn không thể lúc nào cũng đo độ dài và so hướng bằng mắt, vì vậy người ta đưa ra một cách kiểm tra bằng tọa độ, vừa nhanh vừa chính xác tuyệt đối.

Công thức tọa độ của hai vectơ bằng nhau viết như sau: cho hai vectơ a = (x₁; y₁) và b = (x₂; y₂), khi đó a = b khi và chỉ khi x₁ = x₂ và y₁ = y₂. Bạn hãy đọc công thức này thành một câu tiếng Việt đơn giản: hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi hoành độ của chúng bằng nhau và tung độ của chúng cũng bằng nhau. Chữ "và" ở đây rất quan trọng: chỉ cần một trong hai tọa độ khác nhau thì hai vectơ đã không bằng nhau, dù tọa độ còn lại có trùng nhau đi nữa. Ngược lại, nếu cả hai tọa độ đều trùng nhau thì hai vectơ chắc chắn bằng nhau, bạn không cần kiểm tra thêm điều gì nữa. Công thức này biến một khái niệm hình học thành một phép so sánh hai cặp số, và đó chính là sức mạnh của phương pháp tọa độ trong chương trình Toán 10.

Bạn hãy thử hiểu vì sao công thức này đúng. Một vectơ trong mặt phẳng Oxy được xác định hoàn toàn bởi hai con số: hoành độ cho biết vectơ đi sang phải bao nhiêu đơn vị, tung độ cho biết vectơ đi lên bao nhiêu đơn vị. Nếu hai vectơ có cùng hoành độ và cùng tung độ, nghĩa là chúng đi sang phải cùng một quãng và đi lên cùng một quãng, thì điểm cuối của chúng trùng nhau, độ dài bằng nhau và hướng cũng giống hệt nhau. Ngược lại, nếu hai vectơ bằng nhau thì điểm cuối của chúng phải trùng nhau, nên hoành độ và tung độ không thể khác nhau. Bạn thấy đấy, công thức tọa độ và định nghĩa hình học là hai mặt của cùng một sự thật, chỉ là một mặt nói bằng hình, một mặt nói bằng số. Khi làm bài, bạn cứ bám vào mặt số cho nhanh, còn khi cần hiểu bản chất thì nhớ lại mặt hình.

Một điểm đặc biệt mà nhiều bạn hay bỏ qua: hai vectơ bằng nhau không cần có cùng điểm đầu. Vectơ là một mũi tên tự do, bạn có thể trượt nó đi khắp mặt phẳng mà nó vẫn là chính nó, miễn là bạn không xoay nó và không kéo dài hay thu ngắn nó. Vì vậy, hai vectơ đặt ở hai nơi khác nhau trên mặt phẳng vẫn có thể bằng nhau, chỉ cần tọa độ của chúng giống nhau. Đây là điểm khác biệt lớn nhất giữa vectơ và đoạn thẳng: đoạn thẳng gắn với hai đầu mút cố định, còn vectơ thì tự do di chuyển. Trong ví dụ 4 ở phần sau, bạn sẽ thấy hai vectơ AB và CD nằm ở hai vị trí khác nhau nhưng vẫn bằng nhau, chính nhờ tính chất tự do này. Nếu bạn quên điều này, bạn sẽ dễ loại bỏ nhầm những cặp vectơ bằng nhau chỉ vì chúng không chung gốc.

Để dùng công thức cho thành thạo, bạn hãy tập thói quen viết hai vectơ thành hai hàng rồi so sánh từng cột một. Bạn viết hoành độ của vectơ thứ nhất đối diện với hoành độ của vectơ thứ hai, tung độ đối diện với tung độ, rồi kiểm tra từng cặp. Bạn hãy làm chậm rãi trong những bài đầu tiên, gạch chân cặp tọa độ khác nhau nếu có, rồi mới kết luận. Sau vài chục bài tập, việc này sẽ trở thành phản xạ và bạn chỉ cần liếc mắt là biết ngay kết quả. Khi cần kiểm tra lại một phép tính nhẩm, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ tính toán. Ngoài ra, công thức hai vectơ bằng nhau còn là nền tảng để bạn học tiếp bài biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ, nơi bạn sẽ cộng, trừ và nhân vectơ với một số ngay trên tọa độ.

Bốn tình huống kiểm tra hai vectơ có bằng nhau không

Ví dụ 1 (dùng đúng số liệu mẫu): Cho hai vectơ a = (2, −1) và b = (2, −1). Hỏi hai vectơ a và b có bằng nhau không?
Bạn so sánh từng tọa độ một: hoành độ của a là 2, hoành độ của b cũng là 2, vậy x₁ = x₂ = 2. Tung độ của a là −1, tung độ của b cũng là −1, vậy y₁ = y₂ = −1. Cả hai tọa độ đều bằng nhau nên theo công thức, a = b. Trên hình vẽ, hai vectơ này là hai mũi tên trùng nhau hoàn toàn, cùng xuất phát từ gốc O và cùng dừng ở điểm (2; −1). Bạn hãy chú ý dấu trừ ở tung độ: cả hai vectơ đều có tung độ −1, nghĩa là cả hai cùng đi xuống dưới trục hoành một đơn vị, nên chúng chỉ cùng một hướng. Nếu một trong hai có tung độ là 1 thì hai vectơ đã không bằng nhau, dù hoành độ vẫn giống nhau. Đây là ví dụ mẫu mực nhất của công thức: hai cặp số giống hệt nhau thì hai vectơ bằng nhau.

Ví dụ 2: Cho hai vectơ a = (1, 4) và b = (1, 3). Hỏi hai vectơ a và b có bằng nhau không?
Bạn so sánh hoành độ trước: hoành độ của a là 1, hoành độ của b cũng là 1, vậy hai hoành độ bằng nhau. Bạn so sánh tiếp tung độ: tung độ của a là 4, tung độ của b là 3, vậy 4 khác 3, hai tung độ không bằng nhau. Chỉ cần một tọa độ khác nhau là đủ kết luận hai vectơ không bằng nhau, vì vậy a khác b. Trên hình vẽ, vectơ a dài hơn vectơ b một chút và điểm cuối của nó cao hơn một đơn vị, nên hai mũi tên không trùng nhau. Bạn hãy rút ra bài học: đừng vội kết luận khi mới thấy hoành độ giống nhau, hãy kiểm tra nốt tung độ rồi hãy trả lời. Rất nhiều bạn mất điểm ở dạng bài này chỉ vì đọc lướt và thấy cặp số đầu giống nhau là khoanh ngay đáp án bằng nhau.

Ví dụ 3: Tìm m và n để hai vectơ u = (m, −2) và v = (3, n) bằng nhau.
Bạn áp dụng công thức: u = v khi và chỉ khi hoành độ bằng hoành độ và tung độ bằng tung độ. Hoành độ của u là m, hoành độ của v là 3, vậy m = 3. Tung độ của u là −2, tung độ của v là n, vậy n = −2. Kết quả là m = 3 và n = −2. Bạn kiểm tra lại: với m = 3 và n = −2 thì u = (3, −2) và v = (3, −2), hai vectơ giống hệt nhau nên bằng nhau, đúng như yêu cầu. Dạng bài tìm ẩn số này xuất hiện rất nhiều trong đề kiểm tra, và cách giải chỉ có một bước duy nhất là đồng nhất từng tọa độ. Bạn hãy cẩn thận với dấu của số: ở đây tung độ của u là −2 nên n phải bằng −2, không phải bằng 2. Bạn cũng có thể gặp biến thể khó hơn một chút, chẳng hạn u = (2m, 1) và v = (6, 1), khi đó bạn giải phương trình 2m = 6 để được m = 3, còn tung độ đã bằng nhau sẵn rồi.

Ví dụ 4: Cho bốn điểm A(1, 2), B(3, 1), C(0, 3), D(2, 2). Hỏi hai vectơ AB và CD có bằng nhau không?
Bạn tính tọa độ từng vectơ trước. Vectơ AB bằng tọa độ điểm B trừ tọa độ điểm A theo từng thành phần: AB = (3 − 1, 1 − 2) = (2, −1). Vectơ CD bằng tọa độ điểm D trừ tọa độ điểm C: CD = (2 − 0, 2 − 3) = (2, −1). Bạn so sánh: hoành độ của AB là 2, hoành độ của CD cũng là 2; tung độ của AB là −1, tung độ của CD cũng là −1, vậy AB = CD. Bạn hãy để ý: điểm A và điểm C nằm ở hai chỗ khác nhau, vectơ AB và vectơ CD cũng nằm ở hai vị trí khác nhau trên mặt phẳng, nhưng chúng vẫn bằng nhau vì có cùng tọa độ. Đây chính là tính chất tự do của vectơ mà phần trên đã nhắc tới. Trong hình học, kết quả này còn cho bạn biết tứ giác ABDC là hình bình hành, vì hai vectơ đối nhau bằng nhau là dấu hiệu nhận biết hình bình hành rất hay dùng trong các bài chứng minh.

Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh

Lỗi 1: Chỉ so sánh hoành độ rồi kết luận hai vectơ bằng nhau.
Nhiều bạn thấy hai vectơ có cùng hoành độ là vội kết luận chúng bằng nhau mà quên kiểm tra tung độ. Cách tránh: bạn hãy luôn kiểm tra cả hai tọa độ, viết rõ hai dòng x₁ so với x₂ và y₁ so với y₂ ra giấy nháp rồi mới kết luận. Chỉ khi cả hai dòng đều cho dấu bằng thì bạn mới được viết a = b. Bạn hãy nhớ ví dụ 2 ở trên: a = (1, 4) và b = (1, 3) có cùng hoành độ 1 nhưng tung độ khác nhau nên không bằng nhau. Thói quen kiểm tra đủ hai tọa độ sẽ cứu bạn khỏi rất nhiều câu trắc nghiệm bẫy kiểu này.

Lỗi 2: Nhầm lẫn thứ tự hoành độ và tung độ khi so sánh.
Nhiều bạn so sánh hoành độ của vectơ này với tung độ của vectơ kia, chẳng hạn thấy a = (2, 3) và b = (3, 2) thì tưởng hai vectơ bằng nhau vì cùng chứa hai số 2 và 3. Cách tránh: bạn hãy nhớ thứ tự trong cặp tọa độ là cố định, số đầu luôn là hoành độ, số sau luôn là tung độ, và bạn chỉ được so sánh số đầu với số đầu, số sau với số sau. Với a = (2, 3) và b = (3, 2), hoành độ 2 khác 3 nên hai vectơ không bằng nhau, dù tập hợp các con số thì giống nhau. Bạn hãy tập đọc tọa độ thành câu: vectơ a đi sang phải 2 và đi lên 3, vectơ b đi sang phải 3 và đi lên 2, hai hướng đi khác nhau nên hai vectơ khác nhau.

Lỗi 3: Cho rằng hai vectơ bằng nhau phải có cùng điểm đầu.
Nhiều bạn nghĩ hai vectơ muốn bằng nhau thì phải cùng xuất phát từ một điểm, nên khi thấy vectơ AB và vectơ CD nằm ở hai nơi khác nhau thì kết luận ngay là chúng khác nhau. Cách tránh: bạn hãy nhớ vectơ là đại lượng tự do, bạn có thể trượt nó đi bất cứ đâu mà không làm thay đổi nó, giống như bạn cầm một mũi tên di chuyển trên bàn mà không xoay nó. Hai vectơ bằng nhau chỉ cần cùng hướng và cùng độ dài, tức là cùng tọa độ, không cần cùng điểm đầu. Ví dụ 4 đã cho thấy AB và CD ở hai vị trí khác nhau nhưng vẫn bằng nhau. Bạn hãy bỏ hẳn suy nghĩ gắn vectơ với một điểm cố định thì mới làm đúng dạng bài này.

Lỗi 4: Bỏ qua dấu trừ của tọa độ âm.
Nhiều bạn đọc lướt và coi −1 thành 1, hoặc coi (2, −1) thành (2, 1), rồi kết luận hai vectơ bằng nhau trong khi thực tế chúng đối xứng nhau qua trục hoành. Cách tránh: bạn hãy khoanh tròn dấu trừ ngay khi đọc đề, và khi viết lại tọa độ ra giấy nháp thì viết dấu trừ thật rõ, thậm chí viết to hơn các chữ số khác. Bạn hãy nhớ tung độ −1 nghĩa là vectơ đi xuống dưới trục hoành, còn tung độ 1 nghĩa là vectơ đi lên trên trục hoành, hai hướng ngược hẳn nhau. Một dấu trừ bị bỏ qua có thể làm sai cả bài, vì vậy bạn hãy dành một giây kiểm tra dấu trước khi kết luận, nhất là với các bài có nhiều số âm xen kẽ số dương.

Lỗi 5: Nhầm hai vectơ bằng nhau với hai vectơ đối nhau.
Nhiều bạn thấy a = (2, −1) và b = (−2, 1) thì nghĩ hai vectơ bằng nhau vì các con số chỉ đổi dấu, hoặc thấy a = −b thì tưởng a = b. Cách tránh: bạn hãy nhớ hai vectơ đối nhau có tọa độ đối nhau từng thành phần, tức là b = (−x₁; −y₁), và chúng ngược hướng nhau nên không thể bằng nhau, trừ trường hợp đặc biệt cả hai đều là vectơ không. Với a = (2, −1) thì vectơ đối của nó là −a = (−2, 1), hai vectơ này cùng độ dài nhưng ngược hướng, nên a khác −a. Bạn hãy phân biệt rõ hai khái niệm: bằng nhau thì tọa độ giống hệt nhau, đối nhau thì tọa độ đổi dấu toàn bộ. Khi đề bài hỏi về vectơ đối, bạn đổi dấu cả hai tọa độ; khi đề bài hỏi về vectơ bằng nhau, bạn giữ nguyên cả hai tọa độ.

Năm bài tập tự luyện

Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ công thức: a = (x₁; y₁) và b = (x₂; y₂) thì a = b khi và chỉ khi x₁ = x₂ và y₁ = y₂, cả hai điều kiện phải cùng đúng.

Câu 1: Cho hai vectơ a = (3, 5) và b = (3, 5). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. a = b
B. a khác b
C. a = −b
D. Không kết luận được

Câu 2: Cho hai vectơ a = (2, −3) và b = (−3, 2). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. a = b
B. a khác b
C. a = −b
D. b = 2a

Câu 3: Cho hai vectơ a = (0, 4) và b = (4, 0). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. a = b
B. a = −b
C. a khác b vì hoành độ 0 khác 4
D. a + b = (0, 0)

Câu 4: Giá trị của x để hai vectơ u = (x, 1) và v = (4, 1) bằng nhau là bao nhiêu?
A. 1
B. −4
C. 0
D. 4

Câu 5: Cho ba vectơ a = (−2, 3), b = (−2, 3) và c = (3, −2). Cặp vectơ nào sau đây bằng nhau?
A. a = c
B. a = b
C. b = c
D. a = −c

Giải thích Câu 1 — Đáp án A (a = b) đúng: Bạn so sánh từng tọa độ: hoành độ của a là 3, hoành độ của b cũng là 3, vậy x₁ = x₂ = 3. Tung độ của a là 5, tung độ của b cũng là 5, vậy y₁ = y₂ = 5. Cả hai tọa độ đều bằng nhau nên a = b. Đáp án B (a khác b) sai vì không có tọa độ nào khác nhau. Đáp án C (a = −b) sai vì vectơ đối của b là (−3, −5), khác hẳn a. Đáp án D sai vì đề bài cho đủ dữ kiện để kết luận chắc chắn.

Giải thích Câu 2 — Đáp án B (a khác b) đúng: Bạn so sánh hoành độ: hoành độ của a là 2, hoành độ của b là −3, vậy 2 khác −3 nên hai vectơ không bằng nhau. Bạn cũng có thể kiểm tra tung độ: tung độ của a là −3, tung độ của b là 2, cũng khác nhau. Đáp án A (a = b) sai vì cả hai tọa độ đều khác nhau. Đáp án C (a = −b) sai vì vectơ đối của b là (3, −2), trong khi a = (2, −3), hai vectơ này không trùng nhau. Đáp án D (b = 2a) sai vì 2a = (4, −6), khác hẳn b = (−3, 2). Bạn hãy chú ý đây là cặp vectơ hay gây nhầm lẫn vì cùng chứa hai số 2 và 3 nhưng ở vị trí hoán đổi cho nhau.

Giải thích Câu 3 — Đáp án C (a khác b vì hoành độ 0 khác 4) đúng: Bạn so sánh hoành độ: hoành độ của a là 0, hoành độ của b là 4, vậy 0 khác 4 nên hai vectơ không bằng nhau, chỉ cần một tọa độ khác nhau là đủ kết luận. Đáp án A (a = b) sai vì hoành độ và tung độ đều khác nhau. Đáp án B (a = −b) sai vì vectơ đối của b là (−4, 0), trong khi a = (0, 4). Đáp án D (a + b = (0, 0)) sai vì a + b = (0 + 4, 4 + 0) = (4, 4), không phải vectơ không. Bạn hãy nhớ cặp (0, 4) và (4, 0) là ví dụ kinh điển của lỗi nhầm thứ tự hoành độ và tung độ.

Giải thích Câu 4 — Đáp án D (x = 4) đúng: Bạn áp dụng công thức: u = v khi và chỉ khi hoành độ bằng hoành độ và tung độ bằng tung độ. Hoành độ của u là x, hoành độ của v là 4, vậy x = 4. Tung độ của hai vectơ đều bằng 1 nên điều kiện thứ hai đã thỏa sẵn. Đáp án A (x = 1) sai vì 1 là tung độ chung của hai vectơ, không phải hoành độ cần tìm. Đáp án B (x = −4) sai vì bạn đã đổi dấu hoành độ một cách không cần thiết. Đáp án C (x = 0) sai vì với x = 0 thì u = (0, 1), khác v = (4, 1). Bạn hãy luôn ghép đúng cặp: hoành độ với hoành độ, tung độ với tung độ.

Giải thích Câu 5 — Đáp án B (a = b) đúng: Bạn so sánh từng cặp: a = (−2, 3) và b = (−2, 3) có hoành độ −2 bằng −2 và tung độ 3 bằng 3, nên a = b. Đáp án A (a = c) sai vì hoành độ của a là −2 còn hoành độ của c là 3, khác nhau. Đáp án C (b = c) sai vì b = (−2, 3) còn c = (3, −2), cả hai tọa độ đều khác nhau. Đáp án D (a = −c) sai vì vectơ đối của c là (−3, 2), trong khi a = (−2, 3). Bạn hãy để ý c = (3, −2) là vectơ có hai số 3 và −2 hoán đổi vị trí so với a = (−2, 3), còn vectơ đối thật sự của a là −a = (2, −3), nên c không phải vectơ đối của a mà là một vectơ hoàn toàn khác.

Câu hỏi thường gặp về hai vectơ bằng nhau

Hỏi: Hai vectơ bằng nhau có nhất thiết phải cùng điểm đầu không?
Đáp: Không. Vectơ là đại lượng tự do, bạn có thể trượt nó đi khắp mặt phẳng mà không làm thay đổi hướng và độ dài của nó. Hai vectơ bằng nhau chỉ cần cùng tọa độ, tức là cùng hướng và cùng độ dài, dù điểm đầu của chúng ở hai nơi khác nhau. Trong ví dụ 4, vectơ AB và vectơ CD nằm ở hai vị trí khác nhau nhưng vẫn bằng nhau vì cùng có tọa độ (2, −1).

Hỏi: Vectơ không có bằng chính nó không?
Đáp: Có. Vectơ không là vectơ có tọa độ (0, 0), độ dài bằng 0 và không có hướng xác định. Mọi vectơ không đều bằng nhau, vì tọa độ của chúng đều là (0, 0), thỏa mãn công thức x₁ = x₂ = 0 và y₁ = y₂ = 0. Đây cũng là trường hợp duy nhất mà một vectơ bằng chính vectơ đối của nó, vì vectơ đối của vectơ không vẫn là vectơ không.

Hỏi: Hai vectơ cùng độ dài thì có bằng nhau không?
Đáp: Chưa chắc. Cùng độ dài mới chỉ là một trong hai điều kiện, bạn còn cần hai vectơ cùng hướng nữa. Ví dụ vectơ a = (3, 4) và vectơ b = (4, 3) đều có độ dài bằng 5, vì căn bậc hai của 9 cộng 16 bằng 5, nhưng chúng không bằng nhau vì tọa độ khác nhau và hướng cũng khác nhau. Bạn hãy luôn kiểm tra cả hướng lẫn độ dài, hoặc đơn giản hơn là kiểm tra cả hai tọa độ theo công thức.

Hỏi: Làm sao để chứng minh một tứ giác là hình bình hành bằng vectơ?
Đáp: Bạn chỉ cần chứng minh hai vectơ đối của tứ giác bằng nhau, chẳng hạn vectơ AB bằng vectơ DC, thì tứ giác ABCD là hình bình hành. Cách làm là tính tọa độ của hai vectơ đó từ tọa độ bốn đỉnh rồi so sánh từng thành phần theo công thức hai vectơ bằng nhau. Nếu cả hoành độ và tung độ đều bằng nhau thì bạn đã chứng minh xong, không cần đo cạnh hay đo góc. Đây là một trong những ứng dụng quan trọng nhất của công thức này trong chương trình Toán 10.

Hỏi: Hai vectơ bằng nhau thì tọa độ của chúng có thể viết khác nhau không?
Đáp: Không. Nếu hai vectơ bằng nhau thì tọa độ của chúng phải giống hệt nhau, từng số một, kể cả dấu. Bạn không thể viết a = (2, −1) và b = (−1, 2) rồi nói chúng bằng nhau, vì thứ tự các số trong cặp tọa độ là cố định: số đầu là hoành độ, số sau là tung độ. Chỉ có một cách viết duy nhất cho tọa độ của một vectơ, nên hai vectơ bằng nhau luôn có cùng một cách viết tọa độ.

Kết luận

Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi hoành độ bằng hoành độ và tung độ bằng tung độ, đó là toàn bộ nội dung của công thức hôm nay, ngắn gọn nhưng dùng được trong rất nhiều bài toán. Bạn hãy nhớ ba điều: kiểm tra đủ cả hai tọa độ chứ không chỉ một, so sánh đúng cặp hoành độ với hoành độ và tung độ với tung độ, và đừng quên vectơ là đại lượng tự do nên hai vectơ ở hai nơi khác nhau vẫn có thể bằng nhau. Làm xong năm bài tập tự luyện và đối chiếu với phần giải thích cặn kẽ ở trên, bạn đã nắm chắc công thức này. Bước tiếp theo, bạn hãy học cách cộng, trừ và nhân vectơ với một số ngay trên tọa độ, vì đó là kĩ năng bạn sẽ dùng trong mọi bài toán vectơ còn lại của chương trình Toán 10.